Модификация метода Шатровского решения нелинейных задач оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62.501.12

А. А. ЛАВРУХИН А. Т. КОГУТ

Омский государственный университет путей сообщения

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ШАТРОВСКОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ_

Рассмотрен метод Шатровского поиска близкого к оптимальному управления на примере одной нелинейной системы. Предложена модификация этого метода на основе учета вторых производных в представлении функций, описывающих систему, отрезками ряда Тейлора. Показано преимущество модифицированного метода.

Один из приближенных методов решения задач оптимального управления нелинейными объектами был предложен Д.И. Шатровским [1]. Оноснованна итерационной процедуре, в ходе которой при заданном в виде функции времени начальном приближении управления, на каждом шаге решается линейная задача с использованием рекуррентных вычислений. В результате, как отмечается в [1], получается управление, достаточно близкое к оптимальному. Подробный алгоритм метода Шатровского для задачи Майера приведен в работе [2], где также отмечается, что сходимость метода в большой степени зависит от удачно выбранного начального приближения искомого управления. Для расширения области сходимости можно применить полиномиальную аппроксимацию [3), позволяющую в линейной модели учитывать как первую, так и вторую производные нелинейных функций. Построение итерационных процедур будем проводить в соответствии с методикой, изложенной в [2].

Рассмотрим пример применения метода Шатровского при поиске управления движением ракеты при выводе ее на прямолинейную траекторию. Ракета движется как материальная точка, обладающая постоянной массой, в вертикальной плоскости. Требуется перевести ракету из положения покоя на нулевой высоте в горизонтальный полет на высоте Л. Будем считать, что рассматриваемый объект описывается уравнением [2]:

"V

х2

В вектор состояния

*(0=к(0 *2(0 *э(0 *<(0Г

входят х,, хг - горизонтальная и вертикальная координаты (дальность и высота полета); х3, х4 — скорости изменения координат х, и х2 соответственно.

Начальные условия движения:

х,(0) = 0; х2(0) = 0 ; х3(0) = 0 ; х4(0) = 0. (2)

Ограничение на управление задается условием: \и\< я/2.

Требуется перевести объект за время Тв положение, при котором

х2(Л=Л; (3)

= и»

Для формулировки задачи Майера условия (3) и (4) необходимо записать в виде:

,;(и)=р(х(т))=(х2(г)-/,)2 + хКг). (5)

Таким образом, целью управления является минимизация функционала (5). Аналитическое выражение для оптимального управления и* (() описанным объектом приведено в [2]. Этому управлению соответствует траектория движения объекта х'(£), которая находится путем численного решения уравнения (1) при начальных условиях (2).

При решении задачи методом Шатровского в ходе итерационной процедуры производится приближение первоначально задаваемой функции управления к оптимальному управлению и*(<). Функция управления, найденная на /с-м шаге, обозначается как ик (I). Достаточное количество итераций к определятся неравенством:

(6)

где е - точность минимизации функционала.

В приведенном примере использовались следующие числовые значения параметров:

Г = 1; Л = 0,2; £- = 10"2.

В ходе моделирования получена функция управления й{1) и соответствующая ей траектория хЦ). Управления й(1) и ц'(() показаны на рис. 1. Графики, отражающие зависимость изменения высоты ракеты х2(0 от дальности ее полета приведены на рис. 2, а фазовый портрет системы в плоскости (х„, х2) — на рис. 3, где х*|2((), х*42(0 соответствуют оптимальным фазовым траекториям, а хп(1), ха(1) - найденным по методу Шатровского. Фазовые портреты построены для интервала времени [0, 2Т], на первой поло-

хл

4

СОБЧ

Б ¡П11

вине которого [О, Г] осуществляется управление, а на второй половине [Г, 2Т] — свободное движение.

Невыполнение условия (4), т.е. равенства нулю вертикальной составляющей скорости (при ОТ = 0,076), приводит к тому, что свободное движение ракеты оказывается нестабилизированным и после окончания управления ракета не задерживается на требуемой высоте (см. траекторию х12(1) на рис. 2). Поскольку в данной задаче выведение ракеты на нужную высоту является главной целью управления, решение задачи методом Шатровского можно считать неудовлетворительным, поэтому и требуется изменить алгоритм.

Рассмотрим возможную модификацию метода для движения объекта, описываемого в общем случае системой дифференциальных уравнений:

90

45

-45

-90

.....\

.................и \И* ".....

0.5 </Г—

Рис. 1. Функции управляющего воздействия (й=0,2).

7,(х, и)'

= /(х,и)=

А.

(7)

где векторы* и и имеют размерности соответственно пит.

Начальное приближение управления и(0 выберем равным и°(() = и0. Рассмотрим к-й шаг итерации. На этом шаге будем искать такое новое управление цк((), которое уменьшит функционал J{uk) по сравнению с предыдущим шагом.

Допустим, что функция и*(£) отличается от и*~'(() на вариацию И((), а соответствующая управлению и*(() траектория 0 отличается от соответствующей управлению траектории на величину

/С):

и'(1)=ик-'(0+И(0; Тогда уравнение объекта на А-м шаге: Если считать, что вариации у* и И малы:

ук

(8) (9)

(10)

то функцию / (•) можно аппроксимировать отрезком ряда Тейлора с учетом вторых производных:

хк =/(*'-', и*-')+ У/Д**"', и'-1).у* ик-')-ук +

+1 У2/„(**"', ик~')• ук ® у" + ^2/,11(хк'1, ц*"')■ ук ® V* +

где У/^х*"1, и*-1), У/и(х*_|, и*"1) - матрицы первых производных функции /по переменным х и и соответственно, имеющие размерности пхл и пхт (матрицы Якоби);

У2/^*"', И*"'), ^/у-1,!!»-1), У2/"^** ', и" ') - матрицы вторых производных функции / по переменным х и и, имеющие размерности лхл2, пхт2, пхтп, пхтп соответственно (матрицы Гессе);

® - прямое (кронекеровское) произведение матриц.

Рис.2. Фазовые траектории (Ь=0,2).

Рис.3. Фазовые портреты |й=0,2).

Для упрощения аналитических зависимостей, как и в примере (1), будем полагать, что смешанные производные равны нулю, тогда выражение (11) можно записать в виде:

х* = /*-' + ЧГхк'У +IУ^-'у" ®ук +

2

(12)

В соответствии с [3], выражение (12) представляется следующим образом:

к

у +

(13)

где /п, 1т - единичные матрицы размерности л*пи тхт соответственно.

Будем считать, что входящие в выражение (13) функции времени у* и у* известны, тогда вариация управления V* и вызванное ей изменение траектории у* линейно входят в функцию /(■).

Требуется определить такое И, которое приводит к уменьшению функционала т.е. выполняется неравенство

У<У

(14)

Определим изменение функционала на к-м шаге итерационного процесса:

(15)

Получим выражение для SJI' в виде линейной зависимости от у*. Для этого, считая, что

у* ->0,

аппроксимируем функционал

^=4хк-' + ук) (16)

отрезком ряда Тейлора с учетом вторых производных:

, (17)

где У«/-1, УУ'1 — векторы первых и вторых производных функции <рпо переменным х соответственно. Выражение (17) можно записать в виде:

у^-Ч^уу-'^"®/,,)

■ (18)

Задача улучшения управления ик сводится к задаче поиска такой вариации И, которая бы минимизировала приращение функционала

53к

у/-ч1уу-'(у*®/„)

(19)

на решениях линеинои системы

У* =

У/^Ду2/,*'1^'®0

у^-'+^У2/^''®^)

УЧ

(20)

р*(0=-с граничным условием

Рк(т)=-

Р*(0 (21)

После определения решения уравнения (21) можно найти В соответствии с [2), для того, чтобы выполнялось 53 к<0, требуется выбрать И((),

удовлетворяющее условию

"м

<0 = £

рЧО,

(23)

г = 0, 1, 2,... ттах. (24)

Значение гтах выбирается из условия:

(25)

где 5 — малое число, задающее точность приближения функции управления.

Для выбора гв выражении (23), производится проверка условия

(26)

начиная с г = 0.

В выражения (13), (18) — (20) входят некоторые функции времени ук(() и у"(I), которые мы считали известными. В работе [3] предлагается для определения этих функций использовать двухступенчатый метод. Для этого на каждом к-м шаге итерации применяется метод Шатровского в том виде, в котором он описан в [2]. В результате можно найти функции вариации управления V1 (I) и вариации траекторий у V,! I а также новые для данного шага функции управления а1'(1) итраектории хк(1). В модифицированном методе на каждом шаге итерации при поиске и*(0 и х*((), функции ик~'(/) их'"'(1] выбираются равными функциям, найденным методом Шатровского:

х*-'(0=*Ч0-

(27)

(28)

В соответствии с [2], для нахождения укЦ) и ук(1) функции /и7линеаризуются в виде:

ЧУ <рк~У\

(29)

(30)

Такая формулировка задачи получена по аналогии с описанной в [2] для метода Шатровского. Уравнение (20) является нестационарным неоднородным дифференциальным уравнением. В работе [2] показано, что в подобных задачах удобно использовать метод сопряженных уравнений, находя вектор р(<) размерности п, являющийся решением системы

(22)

При решении задачи модифицированным методом Шатровского получена траектория х(ф Зависимость изменения высоты ракеты х2и) от дальности полета х,(() показана на рис. 2, а фазовый портрет в плоскости (х4, х2) — на рис. 3. Модифицированному методу соответствуют функции х|2(<) их42((), которые можно сравнить с построенными ранее теоретическими х*12((), х*42(/) и экспериментальными хУ2(1), х42(Ч- При использовании модифицированного метода не удается достичь требуемой высоты, однако после окончания управления ракета продолжает движение, близкое к горизонтальному. В данной задаче стабилизация движения на определенной высоте является главной целью, поэтому модифицированный метод дает лучший результат. Для сравнения метода Шатровского и его модификации, ошибки по управлению приведены в таблице. Поскольку важно не только минимизировать функционал качества, но и обеспечить стабильный горизонтальный полет, рассматриваются две ошибки: функционал .7 и модуль вертикальной составляющей скорости ракеты х4 в момент окончания управления Т. Из таблицы видно, что хотя функционал для модифицированного метода .7(7] минимизирован хуже, модуль вертикальной скорости |х4(Т)| на порядок меньше.

Рис. 4. Функции управляющего воздействия (й=0,28).

Х]2.............................

/л а л12 <

Х1--

Рис. 5. Фазовые траектории (}г=0,28).

Рис. б. Фазовые портреты (Ь=0,28).

Таблица

Ошибки по управлению

Траектория 3(1) ЫТ) I

Л = 0,2

0,0000 0,0000

Щ) 0,0078 0,0764

т 0,0093 0,0091

Л = 0,28

т 0,0043 0.0617

т 0,0002 0,0110

Для увеличения точности работы системы (выведения ракеты на нужную высоту) используем метод масштабирования желаемой высоты. В частности, для Л = 0,28 были получены результаты, представленные на рис. 4 — 6. Функции управляющего воздействия приведены на рис. 4, зависимости изменения высоты от дальности полета — на рис. 5, фазовые портреты в плоскости {х4, х2) — на рис. 6. Кривые х"12({), х"42(() соответствуют оптимальным фазовым траекториям х12^, хАг(1), — найденным по методу Шатров-ского, а х12(() и х42(0 — найденным по модифицированному методу. Функционалы и модули вертикальной скорости в момент окончания управления приведены во второй части таблицы. При масштабировании желаемой высоты, модифицированный метод позволяет вывести ракету на требуемую высоту так, что в дальнейшем высота изменяется незначительно (см. рис. 5). Функционал для модифицированного метода 7(7] на порядок меньше функционала для метода Шатровского, а модуль вертикальной скорости для модифицированного метода в 5 — 6 раз меньше модуля вертикальной скорости для метода Шатровского.

Из приведенного анализа можно сделать вывод о том, что при решении задачи Майера поиска близкого к оптимальному управления можно использовать мо-

дификацию метода Шатровского с использованием полиномиальной аппроксимации, учитывающей вторые производные функций модели объекта. Это в некоторых случаях поможет лучше минимизировать функционал задачи Майера и достигнуть более стабильного движения объекта после окончания управления.

Библиографический список

1. Шатровский Л.И . Об одном численном методе решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1962, № 3. - С. 488-491.

2. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления. — М : Высшая школа, 2003. — С. 614.

3. Когут А.Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления. — Омск: Изд-во ОмГУПС, 2003. - С. 244.

ЛАВРУХИН Андрей Александрович, аспирант кафедры «Автоматика и системы управления». КОГУТ Алексей Тарасович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления».