CC BY
13
Об авторе
Никита Андреевич Рязанов — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
About the author
Nikita Ryazanov — PhD student, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]
УДК 519.6
Л. В. Зинин, А. А. Шарамет, А. Ю. Васильева
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КИСЛОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНО ЗАРЯЖЕННЫМ МИКРОСПУТНИКОМ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ
Приводятся результаты моделирования взаимодействия одноион-ной тепловой ионосферной плазмы, состоящей из ионов кислорода и электронов с заряженным микроспутником. Для моделирования использовался метод молекулярной динамики. Показано, что за спутником возникает так называемая ионная тень с низкой ионной концентрацией.
The results of modeling the interaction of a single-ion thermal ionospheric plasma consisting of oxygen ions and electrons with a charged microsatellite are presented. The molecular dynamics modeling method was used. It is shown that behind the satellite there is a so-called ionic shadow with a low ionic concentration.
Ключевые слова: математическое моделирование, тепловая плазма, метод молекулярной динамики, заряженный спутник.
Key words: mathematical modeling, thermal plasma, molecular dynamics method, charged satellite
Хорошо известно, что на измерения макропараметров тепловой ионо-сферно-магнитосферной плазмы значительное влияние оказывает заряд космического аппарата. Этот факт существенно осложняет интерпретацию измерений, которая и так достаточно сложная экспериментальная задача. Исследованию этой проблемы посвящено достаточно большое число работ, отметим классическую — [1]. В последние годы делались различные попытки снижения потенциала спутника во время космического полета (см.: [2; 3]).
Вместе с тем имеющиеся в настоящее время активные способы снижения положительного потенциала спутника, например с помощью инжекции ионного пучка [2], отрицательно сказываются на измерениях другими приборами. Для анализа измерений были разработаны неко-
29
© Зинин Л. В., Шарамет А. А., Васильева А. Ю., 2017
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 29-34.
30
торые модели, часть которых успешно использовались для моделирования взаимодействия плазмы и заряженного спутника [4 — 6]. Отметим и работы по созданию моделей космических аппаратов и распределения электрических полей вокруг них [7—10].
Математические модели, посвященные расчетам физических характеристик плазмы вблизи космических аппаратов, были основаны главным образом на методе крупных частиц [7; 8]. Метод имеет несомненные преимущества при моделировании плазмы, концентрация которой составляет порядка сотен и тысяч частиц в кубическом сантиметре.
Между тем при более низких концентрациях возможно применение «прямого» метода моделирования — метода молекулярной динамики [11; 12]. Суть его состоит в моделировании движения всех частиц в области моделирования (электронов и ионов) в соответствии с законами классической механики, при этом электрическая сила в правой части уравнения движения складывается из электрического поля спутника и электрических полей всех частиц в области моделирования [13 — 15]. Такой подход имеет очевидные преимущества, но при этом требует значительных вычислительных мощностей и в настоящее время может быть использован как тестовый, не претендуя на детальное описание процессов взаимодействия заряженного спутника и плазмы. Более того, стремительный рост вычислительных возможностей суперкомпьютеров дает уверенность в том, что модельные задачи будут приближены к реальным в ближайшем будущем.
Уравнения модели, как уже указывалось, соответствуют уравнениям движения частицы в рамках классической механики
та = цБ + ц[\ х Н],
где т — масса частицы (электрона или иона); ц, а, V — заряд, векторы ускорения и скорости частиц; Б — напряженность электрического поля; Н — магнитное поле. Напряженность электрического поля рассчитывается в соответствии с законом Кулона и является суммой значений от всех п частиц и микроспутника:
Е = У —Ц_Г + Б г
,=г ^ад2 г
Задача рассматривалась в следующей постановке. Модельная область представляла собой куб с ребром 1 метр. В центре этого куба расположен микроспутник диаметром 10 см. Относительная скорость спутника по отношению к плазме составляет 5 и 10 км в секунду и направлена вдоль горизонтальной оси X.
Тепловая плазма состоит их однозарядных ионов кислорода и электронов. Общее число частиц каждого типа в расчетной области 2-107. В начальный момент времени все частицы распределены равномерно внутри рабочей области, а их скорости подчиняются закону распределения Максвелла с температурой 5000 К. Заряд спутника составляет +5 Вольт, что типично для высот магнитосферы на освещенных участках.
Временной шаг составляет 10- 8 с, что соответствует пространственному масштабу примерно 5 мм для электронов, чьи тепловые скорости порядка 500 км/ с. Электроны, попавшие на поверхность спутника, поглощаются, а электрический потенциал микроспутника поддерживается инжектируемыми фотоэлектронами. Ионы кислорода и электроны, вылетевшие из расчетной области, возвращаются обратно с невозмущенными «максвелловскими» скоростями вследствие того, что на передней и боковых границах расчетной области должно поддерживаться условие квазинейтральности, соответствующее невозмущенным условиям.
На каждом шаге моделирования необходимо решать 4-107 уравнений, причем для каждого из них в правой части рассчитывать электрическое поле от всех частиц и спутника. Магнитное поле в данных расчетах не учитывается. Расчеты были сделаны на вычислительном кластере Балтийского федерального университета им. И. Канта.
Решать задачу на установление в классическом виде не представляется возможным в силу статистических флуктуаций. В силу этого в данной работе мы ограничились рассмотрением временного интервала 10- 4 с порядка плазменной частоты.
На рисунке 1 представлены ионы кислорода (один ион — одна точка), пересекшие плоскость ХОХ за два последних временных шага.
31
-0,4 -0.2 0 0.2 0.4
Рис. 1. Пространственное распределение ионов кислорода в плоскости ХОХ. Относительная скорость плазмы и спутника направлена вдоль горизонтальной оси и составляет 5 км/с
32
Значительное влияние электрического поля и относительной скорости плазмы на пространственное распределение ионов кислорода наблюдается только в области за спутником. Для скорости 5 км/ с зоны сильно пониженной ионной концентрации перед спутником почти не наблюдается. Ионная тень имеет поперечные размеры порядка размера микроспутника и продольные размеры до 40 см.
Увеличение относительной скорости плазмы до 10 км/ с приводит к удлинению ионной тени и более выраженному сгущению ионов перед спутником (рис. 2). Ионная тень простирается до границы области моделирования и имеет меньшую поперечную величину.
Ч1
-------
0.2
: V: Д^йТК^*« * • • - '"-л-','-
1N <•'"*' - у*».
■г,: . к; .»" ' ' •' -*' ■ •
О,>' N х : " '/у - :
л :1 С: " -'V " '
К-" ' Н I 3 Л ■
ч 4£ "
-0.2
-0.4
'.у .-;■>« ■<*>'-■',■ -V ' . Л..-'й- Г
- - » , V V-я V .... ; . п- / « -
г«!.,.: 'У;"»' -'у*','": 4 '"г»'-'' 'V'-
* ^ ■I1, ?«. V ..'Я'151- ' " ^-ч-; ■ "У' '
^ 1 .-V > ^^г, »> '''<«■..,* '„ 'V * .' '. г
. .11 : •!••,•>'•■■■.'7а:« '.'.ЧЛ
-0,4
-0.2
0.2
0.4
Рис. 2. Пространственное распределение ионов кислорода в плоскости ХСК.
Относительная скорость плазмы и спутника направлена вдоль горизонтальной оси и составляет 10 км/с
Таким образом, моделирование взаимодействия положительно заряженного микроспутника и тепловой кислородной плазмы методом молекулярной динамики показало наличие ярко выраженной ионной тени за спутником. Ее геометрические характеристики зависят от макропараметров плазмы, потенциала спутника и относительной скорости плазмы и спутника.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту № 15-01-00369-а. Список литературы
1. Альперт Я. Л., Гуревич А. В., Питаевский Л. П. Искусственные спутники в разреженной плазме. М., 1964.
2. Ридлер В., Торкар К., Веселов М. В. и др. Эксперимент РОН по активному регулированию электростатического потенциала космического аппарата // Космические исследования. 1998. Т. 36, № 1. С. 53 — 62.
3. Torkar K., Veselov M. V., Afonin V. V. et al. An experiment to study and control the Langmuir sheath around INTERBALL-2 // Ann. Geophys. 1998. Vol. 16. P. 1086 — 1096.
4. Hamelin M., Bouhram M., Dubouloz N. et al. Combined effects of satellite and ion detector geometries and potentials on the measurements of thermal ions. The Hyperboloid instrument on Interball // Proc. 7th Spacecraft Charging Technology Conference, 23 — 27 April 2001, ESTEC, Noordwijk, The Netherlands. ESA SP-476. P. 569 — 574.
5. Bouhram M., Dubouloz N., Hamelin M. et al. Electrostatic interaction between In-terball-2 and the ambient plasma. 1. Determination of the spacecraft potential from current calculations // Ann. Geophys. 2002. Vol. 20. № 3. P. 365 — 376.
6. Hamelin M., Bouhram M., Dubouloz N. et al. Electrostatic interaction between In-terball-2 and the ambient plasma. 2. Influence on the low energy ion measurements with Hyperboloid // Ibid. P. 377 — 390.
7. Mandell M. J., Katz I., Hilton M. et al. Nascap-2K spacecraft charging models: algorithms and applications // 2001: A spacecraft charging odyssey. Proceeding of the 7th Spacecraft Charging Technology Conference. 23 — 27 April 2001. ESTEC. Noordwijk. The Netherlands. ESA SP-476. P. 499 — 507.
8. Hilgers, A., Clucas S., Thiebault B. et al. Modeling of Plasma Probe Interactions With a PIC Code Using an Unstructured Mesh // IEEE Trans. Plasma Sci. 2008. Vol. 36, № 5, Part 2. P. 2319 — 2323.
9. Thiebault B., Jeanty-Ruard B., Souquet P. et al. SPIS 5.1: An Innovative Approach for Spacecraft Plasma Modeling // Ibid. 2015. Vol. 43, № 9.
10. Novikov L. S., Makletsov A. A., Sinolits V. V. Comparison of Coulomb-2, NASCAP-2K, MUSCAT and SPIS codes for geosynchronous spacecraft charging // Advances in Space Research. 2015.
11. Alder B. J., Wainwright T. E. Transport processes in statistical mechanics. N. Y., 1958.
12. Холмуродов Х. Т., Алтайский М. В., Пузынин М. В. и др. Методы молекулярной динамики для моделирования физических и биологических процессов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2003. Т. 34, вып. 2. С. 474 — 515.
13. Зинин Л. В., Ишанов С. А., Шарамет А. А., Мациевский С. В. Моделирование распределения ионов вблизи заряженного спутника методом молекулярной динамики. 2-D приближение // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 53 — 60.
14. Шарамет А. А., Зинин Л. В., Ишанов С. А., Мациевский С. В. 2D моделирование ионной тени за заряженным спутником методом молекулярной динамики // Там же. 2013. Вып. 10. С. 26 — 30.
15. Зинин Л. В., Шарамет А. А., Ишанов С. А., Мациевский С. В. Моделирование траекторий электронов и ионов тепловой плазмы в электрическом поле спутника методом молекулярной динамики // Там же. 2014. № 10. С. 47—52.
Об авторах
Леонид Викторович Зинин — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
33
Александр Александрович Шарамет — асс., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected]
34
Алевтина Юрьевна Васильева — асс., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
About the authors
Prof. Leonid Zinin — I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]
Alexandr Sharamet — ass., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]
Alevtina Vasileva — ass., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]
УДК 512.62
С. И. Алешников, М. В. Алешникова, А. А. Горбачёв
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОБРАТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КОНЕЧНЫХ ПОЛЯХ
В работе предложены два алгоритма вычисления обратных элементов в конечном поле Fqn, где q — степень простого числа. Они получены путем обобщения алгоритма Вонга для поля F2n с использованием главной идеи быстрого алгоритма вычисления обратного элемента в поле F n.
2n
In work are two algorithms of calculation of inverses in a finite field Fqn
developed, where q is power of the prime number. They are received by generalisation of algorithm of Wong for a field F2n with use of the main idea for
fast algorithm of calculation of inverses in the field F2n .
Ключевые слова: конечное поле, умножение, инверсия, нормальный базис, циклический сдвиг, алгоритм, быстрый алгоритм.
Key words: finite field, multiplication, inversion, normal basis, cyclic shift, algorithm, fast algorithm.
Введение
В криптосистемах с открытым ключом на эллиптических и гиперэллиптических кривых, в криптосистемах на основе идентификационных данных, использующих спаривания Вейля и Тэйта и их модификации, используются конечные поля большого порядка. В то же время наиболее трудоемкая операция — вычисление обратных элементов. Вопросам ускорения вычислений посвящена огромная литература.
© Алешников С. И., Алешникова М. В., Горбачёв А. А., 2017
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.
Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 34-40.
