CC BY
36
УДК 517.958
Моделирование волновода типа «рупор» А. Л. Севастьянов, А. И. Черноиванов
Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия
В работе показано отличие описаний волновода типа «рупор» методом адиабатических мод и методом волноводов сравнения. Отличие продемонстрировано на результатах численных расчетов.
Ключевые слова: интегрально-оптические волноводы, плавно-нерегулярные волноводы, метод адиабатических волноводных мод, метод волноводов сравнения.
В данной работе мы изучаем электромагнитные поля направляемых мод плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводов на примере волновода типа «рупор». Они описываются уравнениями Максвелла, которые для непоглощаю-щей неоднородной изотропной среды в системе СИ в отсутствие источников можно записать в следующем виде:
В многослойном интегрально-оптическом волноводе электромагнитное поле, являющееся решением системы (1), на границах раздела слоев должно удовлетворять тангенциальным граничным условиям: ЕТ|х = Ет|2, Нт|х = Нт|2. Решения уравнений Максвелла (1) ищем в следующем виде [1].
Ру (у, г) = к^дф/ду, рг(у, г) = к^дф/дг, Р(у, г) = к-1 [(д<р/ду)2 + (дср/дх)2]1/2 ,
ко = ш/с, ш — круговая частота монохроматического излучения, с — скорость света. Декартова система координат ориентирована следующим образом. Ось Ох волновода и на регулярных участках перпендикулярна слоям. Оси Оу, Ох на регулярных участках волновода параллельны слоям. Направляемые моды волновода распространяются вдоль оси Ох. Подстановка (2) в (1) приводит после ряда преобразований к следующим результатам.
Для продольных компонент Ег(х; у,£), Нг(х; у,£) получаем следующие уравнения второго порядка:
д2Ег/дх2 + х2Ег = -Рух2д/ду(х~2)Ег - с(ше)-1 [х2ргд/ду(х~2)] Шг/Ах, (3) д2Нг/дх2 + х2Нг = -Рух1д/ду(х72)Нг - с(ги^)-1 [х%д/ду(Х72)] (1Ег/дх. (4)
Статья поступила в редакцию 3 марта 2012 г.
Работа частично поддержана ГК № 14.740.11.1376-1-001 Минобрнауки.
Авторы благодарят профессора Севастьянова Л.А. за постановку задачи и полезные обсуждения.
1. Общая постановка задачи
го1 Н = едЕ/т, 10 Е = -рдН/дЪ.
(1)
где
Для компонент поля Ех(х; у, г), Еу(х; у, г), Нх(х; у, г), Ну(х; у, ¿) получаем выражения через продольные компоненты Ег(х; у,£), Нг(х; у, г) и их производные:
х1 Ну = (рург + дрг/ду)Нг - гк0ейЕг/йх, х1 Нх = Рг/йх + гк0еруЕг, (5)
х1 Еу = /йх + (рург + дрх/ду)Ег, х1= Р?dEz/йх - гко^ру Нг. (6)
В соотношениях (3)-(6) использованы обозначения: х1 = к0е^ + Р?Р? + X2 = XI + Ру Ру + дру /ду, ру = -гк0Ру - (2[3)-1др/ду, рх = -ъкфг - (2^)-1д/3/дг, с помощью которых производные от напряжённостей Ет выражаются аналогичным образом.
В нулевом приближении для продольных компонент справедливы уравнения [2]:
я2 ро
^ + ^ - /3°)Е0 = 0,
(7)
я2 ш0
^ + к20(ер - Р°)Н02 =0,
(8)
а для поперечных и вертикальных компонент дифференциальные выражения:
но
1 ( \2о о тт0 „•;„ _аК0
Р0 _
=
Н°
к2(ец - 32) ]
1 1
к2(ец - 32) 1
1
ко(ец - -32)
1
-^оРуРгН° - гк0е
ак
Ь. 2 ,
ко(ец - 32)
к2Ф ^ - к{2рургЕ°
ах + £@у
(9) (10) (11) (12)
В работе рассматривается диэлектрический волновод следующей структуры (рис. 1).
л х
Рис. 1. Схематическое изорбражение волновода типа «рупор»
0
0
о
На подложку бесконечной вниз толщины из материала с оптическим показателем преломления п8, размещенную в области 18 = {(х,у,г) : х € (-ж, у, г € (-ж, +ж)}, нанесен основной волноводный слой толщины <1 из материала с оптическим показателем преломления nf ^ п8, размещенный в области // = {(х,у,х) : х € [-<!, 0]; у, г € (-ж, +ж)}. Сверху на основной волноводный слой нанесен дополнительный волноводный слой из материала с оптическим показателем преломления щ ^ п3 переменной толщины х = Н(у, г) (область ненулевой толщины ограничена в плоскости уО£), размещенный в области = {(х,у,х) : х € [0, Ь,(г)]; у, г € (-ж, ж)}. Еще выше расположен покровный слой бесконечной вверх толщины из материала с оптическим показателем преломления пс ^ п
5ч
размещенный в области 1С = (х,у,х) : х е [Н(х), +го); у, г е (-то, +то). На каждой из границ раздела двух сред (границ между областями ) выполняются тангенциальные граничные условия:
ЕТ|-^-о = Ет|-^+о, Нт|-^-о = Нт|-^+о, Ет|-о = Ет|+о, Нт|-о = Нт|+о, (13)
ЕТ 1 Н(г) — 0 = ЕТ ^г+о, НТ |ь(г)-0 = НТ |^(г)+о- (14)
Кроме того, выполняются граничные условия на бесконечности:
| Ети±^\ < \НТи±^\<
Касательные плоскости к границам раздела для условий (13) являются горизонтальными, поэтому система граничных уравнений (13) разделяется на независимые подсистемы для ТЕ- и ТМ-мод [1,2]. Касательные плоскости к границам раздела для условий (14) в общем случае не являются горизонтальными и дН/ду = 0, поэтому тангенциальные компоненты полей в общем случае являются линейными комбинациями всех трех декартовых компонент полей с нетривиальными коэффициентами. Это не позволяет разделить систему граничных уравнений (14) на две независимые подсистемы для ТЕ- и ТМ-мод, что приводит к гибридизации распространяющихся в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе собственных (и несобственных — вытекающих) мод [1,2]:
2. Учет точных тангенциальных граничных условий в методе адиабатических волноводных мод
Граничные условия (13) на горизонтальных плоскостях раздела слоев в покомпонентной записи принимают вид:
Нг (x)|x=-d-о = Нг (x)|x=-d+о, Еу (x)|x= — d—0 = Еу (x)|x=-d+о, (15)
Ег (x)|x=-d-о = Ег (x)|x=-d+о, Ну (x)|x=-d-о = Ну (x)|x=-d+о, (16)
нг (ж)|ж=-о = нг (ж)|ж=+о, Еу (ж)|ж=-о = Еу (ж)|ж=+о, (17)
Ег (х) | х=—0 = Ег (х)1х=-а+о, Ну (ж)|ж=-о = Ну (ж)|ж=+о. (18)
Из трех компонент тангенциального поля Ет(0) в условиях (14) лишь две Е
г (о)
у
Е1(0) линейно независимы. Аналогично из трех компонент магнитного поля лишь две Ну(0) и Н1(0) являются линейно независимыми. Следовательно, граничные условия (14) достаточно выписать лишь для них.
Рассмотрим более подробно условия (14). В точке (Ь(у, г), у, х)г границы раздела х = Ь(у, г) касательная плоскость задается уравнением йх - (дЬ/ду)д,у -(дН/д= 0. Тангенциальные к этой плоскости составляющие напряжённостей
электрического Ет(0) и магнитного Нт(0) полей в покомпонентной записи принимают вид
§яХ0) + [1 + (£)2] 40) - ЕР
(19)
у 1 + ( Ш )2 + (Ш )2
Рт (0) = ду + I.1 + (Э- ) J ^У ду д-
^у = Ет (о) =
ду ' ^дг
ээ^ ехо) - дуд-г ЕУ0) + [1+( дг )2] Е-о)
1 + ( ду )2 + (Э- )2
Севастьянов А. Л., Черноиванов А. И. Моделирование волновода типа . . . 59
Нг (0) = + [1 + ( ш )2]Н0) — ffffi0)
у 1 + ( дУ )2 + (f )2
v ду ' Vdz'
Нт (0) = дИ0) - ШШн(у0) + [1 + ( Ш )2]vZ0)
(20)
1 + ( ш )2 + (ш )2 '
С учетом этих выражений граничные условия (14) записываются в виде:
Ету (0)(х; у, г)\х=Н(у,2)-о = Ету(0)(х; у, г)\х=к(у,г)+о, (21)
Е1 (0)(х; у,г)\х=Ну,г)-о = Егг(0)(х; у, г)\х=нм+0, (22)
Щ(0)(х; У,г)\х=Цу,г)-о = Щ(0)(х; у,г)\х=Цу,г)+о, (23)
НУ(0)(х; у,г)\х=Н(у,2)-о = Щ(0)(х; у, г)\х=Ну,г)+о. (24)
В случае волновода типа «рупор» негоризонтальный участок границы меняется с изменением аргумента z , но не меняется с изменением аргумента у. Следовательно
ру = 0,pz = р, dh/dy = 0, dh/dz = tan ti (25)
При этом уравнения (7)—(8) принимают вид:
20
-J0 + k¡ (ец - Р2)Е0
-2 н0
+ к0 - З2)Н0 = 0,
(26)
а соотношения (9)—(12) принимают вид:
Н
о —iк0е dE0
X2
dx '
^0 = —iк0^ dHz
X2
dx '
0 iк0/3 dEZ = —
X2
dx
Но = -
i k0Íi dH0
X2 dx
(27)
(28)
0
В силу выражений (25) и (27)-(28) в волноводе типа «рупор» граничные условия на негоризонтальной границе раздела выполняются раздельно для разных мод, но внутри каждой моды происходит перемешивание компонент магнитного поля в ТЕ-поляризации и компонент электрического поля в ТМ-поляризации.
2\
Для TM-мод: Н^(0) = Hly(0), а El(0) = (El(0) + El(0)) / (
/( 1+[ £) )' т.е.
(0) = tan +eZ0) (29)
= 1 + tan2 $ • (29)
Для TE-мод: E¡(0) = ^, а Hl(0) = (f Hl(0) + Hl(0)) / ( 1 + (, т.е.
-I(0) = tan1Hl^, (30)
где а — угол наклона негоризонтальной плоскости рупора к горизонтальной плоскости уОх.
3. Система уравнений, описывающая трансформацию
волноводных мод
Перейдем к рассмотрению ТМ-моды. Выпишем явный вил общих решений для трех ненулевых компонент электромагнитного поля ТМ-моды с учетом граничных условий на бесконечности.
Есг = АС ехр{-7сж}, (31)
Еах = А8 ехр{7вж}, (32)
Е{ = А+ exp{ixfX} + А] exp{-ixfX}, (33)
Е1г = А+ ехр{%Х1х} + А~[ ехр{-%Х1х}, (34)
Щ = 1-^Ас ехр{-1сх}, (35)
Хс
Щ = -ехр{Ъх}, (36)
Хб
ко £f
|А+ ехр{гх/х} - ехр{-гх}Х}} , (37)
н' = 1Х7Г
Н1у = {А+ ехр{гх1Х} - А1 ехр{-гх1Х}} , (38) Х1
Есх = —Хг^Ас ехр{-1сх}, (39)
Хс
Щ = - г-кХ21±А3 ехр{Ъх}, (40)
Е* = кХ(^{А++ ехр{^1х} - А7 ехр{-Х/х}] , (41)
Е1 = {А+ ехр{гХ1х} - А^ ехр{-гХ1х}} . (42)
Здесь использованы обозначения Хо = л/е^ - @2, 7? = -у = в, I, /, с.
Подставим эти выражения в граничные условия (27)—(30) и получим граничные условия, в явном виде образующие систему линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов А3, А+, А^, А+, А~[, Ас.
г-—Х21^Ас ехр{-7саз} = {А+ ехр{гх№} + А~ ехр{адаз}} , (43)
\с Х1
г ^п л г л , л г 1
-2-Ас ехр{—1саз} + Ас ехр|-1саэ} =
Хс
1аПМ0>3 {А+ ехр{гхгаз} - Аг~ ехр{-гхгаз}} + А+ ехр{гхгаз} - Аг~ ехр{-гхгаз}, (44)
XI
ко £f Х/
|А+ ехр{гх/а2} - А1 ехр{-гх/а2}}
ко £
= "Г— {А+ ехр{гХ1^2} - А1 ехр{-Х1а2}} (45)
ХI
А+ ехр{гх/а2} - А^ ехр{-гх/а2} = А+ ехр^хш} - АГ ехр{-гх1й2} (46)
' Asexp{7sai} = ^ ÍA+ ехр{гх/а!} + Af exp{-ix/ai}} , (47)
Xs Xf ^
A+ exp{ixfai} + Af exp{-ixfai} = As exp{7sai}. (48)
После несложных преобразований система (43)—(48) приводится к виду эквивалентной системы линейных алгебраических уравнений меньшей размерности:
(г tan §koPjc(ei - sc) + Xc2ei){A+ exp{ixia3} - Af exp^x^}} =
= iecxilc{A+[ exp{ixia3} - Af exp^x^}}, (49)
^^{A++ exp{ixia2} -Af exp{-ixia2}} = Xf
= ^{A+ exp{ixia2} - Af exp{-ixia2}}, (50) Xl
A+ exp{ix/a2} - Af exp{-ixfa2} = A+ exp{ixia2} - Af exp{-ixia2}, (51)
k°£f-{A+ exp{ixfai} - A] exp{-ixfai}} =
Xf
%k°T {A+ exp{ixfai} - Af exp{-ixfai}}. (52)
X
Как видно из приведенных выражений, при угле наклона дополнительного волноводного слоя, отличном от нуля, происходит перераспределение энергии между компонентами магнитного поля Н.
Аналогичным образом для ТЕ-моды получаем общие решения для трех ненулевых компонент электромагнитного поля через неопределенные коэффициенты В8, В+, BJ, В+, Bf, Вс.Граничные условия для тангенциальных компонент поля ТЕ-моды приводятся в итоге к системе линейных алгебраических уравнений размерности четыре:
В+(Хс - ЧсХд ехр^Х1а3} + ^(-Хс - ЪХ1) ехр{—Х1а3} = 0, (53)
В+Х1 ехР{^Х/а2} - В]Х1 ехР{-^Х/а2} —
- В+Х/ ехР{гХ1ас} - ^Х/ ехр{—Х1а2} = 0, (54)
В+ ехр{гХ/ас} + В^ ехр{-гх/ас} - В+ ехр^ха} - Bf ех^—ха} = 0, (55)
в+(Х1 + гХ/1в) ехр{гХ/а1} + Вf(-Х2 + гХ/1в) ехр{-гх/а1} = (56)
В случае с ТЕ-модой перераспределения энергии между компонентами электромагнитного поля не происходит.
4. Система уравнений, описывающая трансформацию
волноводных мод
В работах, использующих метод волноводов сравнения, точные наклонные граничные условия (14) заменяются приближенными горизонтальными [3,4]. Для описания волноводов типа «рупор» воспользуемся методом волноводов сравнения с цель установить аналитические и численные различия в описании распространяющих в них волноводных мод. В этом методе все уравнения для компонент
электромагнитного поля волноводных ТМ-мод совпадают [5] с уравнениями (26)-(28), справедливыми для метода адиабатических мод. Следовательно, общие решения этих уравнений, удовлетворяющие граничным условиям на бесконечности, совпадают с выражениями (31)—(42). В методе волноводов сравнения нерегулярные участки волновода заменяются набором регулярных участков разной высоты [3,4]. Так что слагаемые в (21)—(24), пропорциональные (dh,dz), в методе волноводов сравнения равны нулю. Следовательно, граничные условия для электромагнитного поля ТМ-мод эквивалентны [5] однородной системе линейных алгебраических уравнений, совпадающей с (49)—(52), если в ней формально положить tan ti = 0.
Присутствие в граничных условиях (49)—(52) слагаемых, пропорциональных тангенсу угла наклона верхней плоскости «рупора», составляет различие метода адиабатических волноводных мод и метода волноводов сравнения. Эти вклады задают отличия в дисперсионных кривых, а также в трансформации полей вол-новодных мод, распространяющихся в «рупоре». Поскольку эти вклады внесли отличие в дисперсионные соотношения только ТЕ-мод, продемонстрируем на этих примерах различие вычисленных величин.
Однородная система линейных алгебраических уравнений (49)—(52), эквивалентная системе граничных уравнений в методе адиабатических мод, вида
МТм (p,ti)A(p,ti) = 0
имеет нетривиальное решение в случае выполнения условия совместности
det Мтм (P,ti) = 0.
В методе волноводов сравнения аналогичная система линейных алгебраических уравнений имеет вид Мтм(Р, 0)А(Р, 0) = 0. Она допускает нетривиальное решение, если выполняется условие совместности detMTM (Р, 0) = 0, которое в интегральной оптике носит название дисперсионного соотношения.
Ниже на графиках приведены количественные различия в значениях распределения коэффициента фазового замедления р (z), вычисленных методом адиабатических мод и методом волноводов сравнения (рис. 2-4).
Для ТЕ-мод тангенциальные граничные условия в методе адиабатических мод не зависят явно от угла наклона ti и эквивалентны однородной системе линейных
алгебраических уравнений (53)-(56) вида Mte (Р)В(Р) = 0. Они совпадают с тангенциальными граничными условиями в методе волноводов сравнения [5]. Общая для обоих методов система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение при выполнении условия совместности det Mte (Р) = 0 , также не зависящего явно от угла наклона ti.
Следует заметить, что вычисления вертикального распределения электромагнитного поля волноводной ТМ-моды по формулам (31)-(42) недостаточно. Для вычисления полного электромагнитного поля соответствующей моды необходимо использование формулы (2), в которую входит запаздывание фазы <fi(z) =
z
<fi(z0) + k0 jP(z')dz'. Последняя величина вычисляется с помощью метода чис-
Z0
ленного интегрирования таблично вычисленной величины Р (z). Результаты сравнения вычисленных двумя методами полных электромагнитных полей направляемых мод волновода типа «рупор» будут опубликованы в последующей работе.
5. Заключение
В данной работе продемонстрированы теоретическое и численное отличия в описании направляемых мод волновода типа «рупор» двумя методами: нулевым
Рис. 2. Дисперсионные кривые при ТМ-моды нулевого порядка. Толщина первого волноводного слоя d меняется от 0, 61 до 4, 0. Затем толщина второго волноводного
слоя к меняется от 0, 0 до 4, 0
2,2 —. Моделирование волноводных мод волновода типа "рупор" методами:
-- волноводов сравнения
Р * _ -------- адиабатических мод
"I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-Г
2 3 4 5 6 7
с1+И, в единицах X
Рис. 3. Дисперсионные кривые при ТМ-моды первого порядка. Толщина первого волноводного слоя d меняется от 1, 61 до 4, 0. Затем толщина второго волноводного
слоя к меняется от 0, 0 до 4, 0
Моделирование волноводиых мод волновода типа "рупор" методами:
волноводов сравнения
2 3 4 5 6 7
d+h, в единицах X
Рис. 4. Дисперсионные кривые при ТМ-моды второго порядка. Толщина первого волноводного слоя d меняется от 2, 5 до 4, 0. Затем толщина второго волноводного слоя
к меняется от 0, 0 до 4, 0
приближением метода адиабатических мод и методом волноводов сравнения. Даже нулевое приближение метода адиабатических мод вносит существенное отличие, пропорциональное тангенсу угла наклона верхней границы волновода, в описание эволюции, как полей волноводных мод, так и дисперсионных соотношений. Компьютерное моделирование обоих способов описания волноводов типа «рупор» наглядно демонстрирует указанное отличие. Нулевое приближение обеспечивает трансформацию направляемых мод плавно-нерегулярного волновода, не приводя к их гибридизации.
При этом вклад нулевого приближения в эти отличия обеспечивается граничными условиями на наклонной границе волновода. В первом приближении метода адиабатических мод отличие проявится также и в уравнениях, обобщающих уравнения (7)—(8), что приведет и к гибридизации мод [1,2]. Результаты компьютерного моделирования данного явления будут представлены в следующей публикации авторов.
Литература
1. Адиабатические моды плавно-нерегулярного оптического волновода: нулевое приближение векторной теории / А. А. Егоров, А. Л. Севастьянов, Э. А. Ай-рян и др. // Математическое моделирование. — 2010. — Т. 22. — С. 42-54. [Adiabaticheskie modih plavno-neregulyarnogo opticheskogo volnovoda: nulevoe priblizhenie vektornoyj teorii / A. A. Egorov, A. L. Sevastjyanov, Eh. A. Ayjryan и др. // Matematicheskoe modelirovanie. — 2010. — T. 22. — S. 42-54. ]
2. Севастьянов А. Л. Компьютерное моделирование полей направляемых мод тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люненберга: Дис... канд. физ.-мат. наук / РУДН. — М., 2011. [Sevastjyanov A. L. Kompjyuternoe modelirovanie poleyj napravlyaemihkh mod tonkoplenochnoyj volnovodnoyj
obobthennoyj linzih Lyunenberga: Dis... kand. fiz.-mat. nauk / RUDN. — M., 2011. ]
3. Канцелебаум Б. З. Теория нерегулярных волноводов с медленно изменяющимися параметрами. — М.: АН СССР, 1961. [Kancelebaum B. Z. Teoriya neregulyarnihkh volnovodov s medlenno izmenyayuthimisya parametrami. — M.: AN SSSR, 1961. ]
4. Шевченко В. В. Плавные переходы в открытых волноводах (Введение в теорию). — М.: Наука, 1969. [Shevchenko V. V. Plavnihe perekhodih v otkrihtihkh volnovodakh (Vvedenie v teoriyu). — M.: Nauka, 1969. ]
5. Representations of Guided Modes of Integrated-Optical Multilayer Thin-Film Waveguides / E. A. Ayarjan, A. A. Egorov, E. N. Michuk et al. // Preprint JINR E11-2011-31. — 2011. — Vol. 11. — 52 p.
UDC 517.958
Mathematical Modeling of Mouthpiece Type Waveguide A. L. Sevastyanov, A. I. Chernoivanov
Telecommunication Systems Department Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
In the paper is shown the difference in description of the mouthpiece type waveguide by
the method of adiabatic waveguide modes and by the method of comparative waveguides.
The difference is demonstrated by the results of numerical calculations.
Key words and phrases: integrated-optical waveguides, smoothly-irregular waveguides, adiabatic waveguide modes, comparative waveguides, Tykhonov' regularization.
