CC BY
54
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК И» 1 (#7) 2010
неравновесных систем - 2008 : матер. XI Всерос. сем. -Красноярск: ИВМ СО РАН. 7.008. - С. 177 - 180.
8. Чайковский, Ю- Юбилей Ламарка-Дарвина и революция и иммунологии. Ч. 3. Иммунитет как упорядоченность / Ю. Чайковский// Наука и жизнь. — 2009. — №4. — С.34 —43-
9. Прнгожин, И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой : пер. с англ. / И. Пригожин, И. Стенгерс. — М. : Прогресс, 1986. — 432 с.
СИЗИКОВ Виктор Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики.
Адрес для переписки: e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 30.11.2009 г. © В. П. Сизнков
УДК 681.3.06
Е. Б. ЮДИН
Омский государственный технический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ИНТЕРНЕТ В УСЛОВИЯХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВИРУСОВ И СЛУЧАЙНЫХ ОТКАЗОВ ЭЛЕМЕНТОВ СЕТИ
В статье исследуется адекватность применения случайных графов предпочтительного связывания в задачах анализа устойчивости Интернет. Используются данные о реальных сетях: сети автономных систем и сети маршрутизаторов Интернет. Анализируется устойчивость сетей в условиях распространения вируса и в условиях случайных отказов элементов (узлов и связей).
Ключевые слова: Интернет, контактный кластер, распространение вируса.
1. Введение
При анализе устойчивости Интернет к хакерским атакам, распространению программных вирусов, к случайным отказам оборудования важной задачей является определение самой структуры сети. Однако точно' определить эту структуру невозможно, Интернет — слишком большая, динамичная и многоаспектная но функционированию сеть. Например, можно рассматривать сеть Интернет как множество соединенных между собой маршрутизаторов, а можно — как множество соединенных между собой ав тономных систем (т.е. 1Р-сетей и маршрутизаторов, управляемых одним или несколькими операторами, имеющими единую политику маршрутизации с Интернетом).
Огромное значение! и исследовании Интернет играют модели сетей на основе случайных графов (сл. г.). Многие годы большие сети тина Интернет рассматривались на основе классического сл. г. (графа Эрдеша-Реньи), получаемого случайным равномерным распределением т рёбер между парами заданного числа N вершин. Однако при анализе реальной се ти Интернет исследователи столкнулись с «неклассичностью» (не пуассоновским характером) распределения локальной степени связности ее узлов [ 1). Хотя число узлов, обладающих степенью, значительно превышающей степени большинства остальных узлов, как и в классическом графе, относительно невелико (рис. 1), в целом распределение вероятностей Ок узлов степени связности к, как
правило, подчиняется не пуассоновскому, а степенному закону Ок = к~а, а >0 (11.
Случайный граф, удовлетворяющей заданному условию, предложенный А. Барабаши и Р. Альберт (БА-граф), строится на основе правила «предпочтительною связывания» [ 1 ]. Это правило реализуется в ходе генерации графа путем повторяемых шагов добавления к графу новой вершины с т ребрами, когда вероятность р, присоединения свободного конца каждого нового ребра к /-й вершине графа пропорциональна степени к1 этой вершины: р=к)/Ъ)к1 (/'= 1,.,., N. где N — текущее число вершин в графе).
Интересны теоретические и методологические результаты, полученные для БА-графов в области моделирования устойчивости. Так, Р. Пастор-Саторас и А. Виспиани [2] обнаружили, что пороговая сопротивляемость таких графов к распространению вирусов сходится к нулю с ростом числа вершин, а значит, даже слабые вирусы будут распространяться и сохраняться в системе (что соответствует факту необычной «живучести» компьютерных вирусов (21). Другое интересное свойство БА-графов установлено Ш. Хав-лином и заключается в том, что такие графы очень устойчивы к случайным удалениям вершин/ребер, но чувствительны к целенаправленным «атакам» на сильносвязные вершины (3]. Также для моделирующих большие сети БА-графов предложены и теоретически обоснованы стратегии борьбы с распространением вирусов и стратегии повышения надёжности. Например, обоснована неэффективность случайной «вакцинации» [11.
к
Количество узлов» Л'
Много узлов с малым числом связей
Мачо узлов с большим числом связей: «тяжелый хвост»
Рис. 1. Схематическое распределение степени узлов сети Интернет
В целом теория сл. г. позволяет успешно использовать наработки, ранее полученные п теории перколя-ции [4] и теории критических явлений [5] при исследовании таких феноменов, как прыжковая проводимость, образование гелей, сегрегация атомов на поверхности наночастиц и т.д. В моделях перечисленных феноменов задается структура системы (как правило, это регулярный граф или классический сл. г. Эрдеша-Реньи) и параметры, характеризующие взаимодействие элементов структуры. Далее методами статистической физики и вычислительной математики исследуются энергетически выгодные состояния системы и определяются критические значения ее параметров. Формулировка задачи исследования устойчивости Интернет на языке анализа критических явлений является лишь вопросом интерпретации. Например, п сети можно искать некоторую критическую вероятность отказа элементов, при которой сеть переходи т в качественно новое состояние (распадается на множество несвязных компонент) или эпидемиологический порог, при котором вирус в сети перестаё т Погибать, распространяется и приобретает форму эпидемии. Параметрами моделирования для задач надёжности сети могут быть вероятность безотказной работы элемента сети (маршрутизатора, автономной системы) на заданном интервале времени, среднее время наработки на отказ. Для модели распространения вируса параме трами моделирования мо!уг быть средняя частота передачи вируса с одного компьютера на другой, вероятность установленного антивирусного программною обеспечения ит.д
2. Калибровка по распределению степени узлов сети Интернет
Адекватность моделирования реальных сетей БА-графамиво многих работах [1, 2, 3| обосновывается соответствием распределения степени вершин БА-графа распределению степени узлов реальной сети. На рис. 2а, б изображены распределения степени вершин БА-графов и графов, построенных на основе данных о реальной сети [6), далее называемой сетью маршрутизаторов, а также о сети [7]. далее называемой сетью автономных систем Интернет (АС). Действительно, распределения степеней узлов реальных сетей и степеней вершин моделирующих сети БА-графов могут быть описаны одним и тем же степенным законом, график которою на логарифмически-логарифмической шкале изобрази тся прямой линией.
Соответствие распределения степени вершин генерируемою графа распределению степени узлов моделируемой им сети можно улучшить, изменив
правило предпочтительного связывания, применяемого при генерации БА-графа, а именно:
1) используя обобщенное правило предпочтительного связывания, в соответствии с которым вероятность р, присоединения каждого новою конца 1-й вершины определяется по выражению: р=([к1)/ Х/(^), где [{к) — некоторая функция предпочтения, к — степень вершины,у = 1,..., N. N — текущее число вершин в графе;
2) используя случайное приращение, заключающееся в том, что новые вершины при генерации добавляются не с детерминированным числом т (детерминированное приращение), а случайным числом х ребер, описываемым распределением гк= Р [х = А) с математическим ожиданием т.
Графы, сгенерированные с использованием вышеперечисленных модификаций правила предпочтительного связывания, будем называть графами предпочтительного связывания или просто ПС-гра-фы. Задание функции предпочтения и распределения числа добавляемых ребер с повой вершиной будем называть калибровкой ПС-графа но распределению степени узлов генерируемой сети [8]. Заметим, что с учетом вышесказанного, БА-граф можно харак теризовать как частный случай ПС-графа с функцией предпочтения Цк)=к и детерминированным приращением.
На рис. 2в изображено распределение степени вершин ПС-графа, калиброванного по распределению степени узлов сети маршрутизаторов. Для калибровки представленного ПС-графа использовалась линейная функция предпочтения/{А) = 1.493А+ 4- 0.548. Как и следовало ожидать, по распределению степени вершин калиброванный по распределению степени узлов ПС-граф лучше соответствует реальной сети маршрутизаторов, чем БА-граф (рис. 2а, в). Аналогичный вывод можно сделать и при сравнении изображенного на рис. 2г распределения степени вершин ПС-графа, калиброванного по распределению степени узлов сети АС, с распределением степени вершин БА-графа, изображенного на рис. 26. При генерации ПС-графа, калиброванного по распределению узлов сети АС, использовалась логариф-мически-пропорциональная функция предпочтения Г[к)=0.456 к'1п(к). Логарифмически-нропорциональ-ная функция растет быстрее линейной, что соответствует гипотезе о более быстром росте «предпочтения» при выборе вершины с увеличением степени к узлов сети АС, чем в БА-графе.
3. Калибровка по числу треугольников в сети Интернет
Заметим, что соответствие по распределениям степени узлов реальной сети и степени вершин, моделирующего э ту сеть сл. г., не дает га ран ги и соответствия по прочим структурным свойствам, таким как количество заданных подграфов. Например, в БА-графах в отличие от моделируемых ими сетей гораздо меньше подграфов в форме треугольников (т.е. соединённых ребрами в треугольники вершин). Так, число треугольников в сети маршрутизаторов равно 19523, в сети АС — 46873, а их число в БА-графах но преможенной в |9) формуле равны 155 и 200 треугольникам соотве тственно.
Однако, как описано в [9], модифицировав правило предпочтительного связывания, число треугольников в ПС-графе можно увеличить без изменения распределения степени вершин, такие графы будем называть калиброванными по числу треугольников
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВІСТНИК »1 (»;> 7010 ИНФОРМАЦИОННЫ! ТЕХНОЛОГИИ
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ 1ЕСТНИК М* 1 (»7) 2010
Рис. 2. Распределение вершин но степени связности к в графах, моделирующих сеть АС (а, в) и сеть маршрутизаторов
Интернет (б, г).Логарифмически-логарифмическая шкала
Таблица I
Число треугольников в графах, моделирующих сеть АС и сеть маршрутизаторов Интернет
Сеть АС (22963 узла) Сеть маршрутизаторов (124651 узел|
Граф. копирующий реальную сеть 46873 19523
БА-граф (гп“ 2) 154 261
БА-граф, калиброванный по числу треугольников 20932 114760
Линейный ПС-граф Не использовался 288
Линейный ПС-граф. калиброванный по числу треугольников Не использовался 55038
Лога рнфмо -пропорциональный ПС - граф 23231 11е использовался
Логарнфмо-пропорциональный ПС-граф. калиброванный по числу треугольников 26658 11е использовался
Число треугольников в графах является одним из идентификаторов структурных локальных свойств, который мы будем учитывать при анализе устойчивости сетей. В табл. I приведены данные о числе тре-угольников по всех графах, используемых в статье.
4. Моделирование случайных отказов
Рассмотрим задачу моделирования случайных отказов в исследуемых сетях Интернет и в моделирующих эти сети ПОграфах. Будем считать, что потеря функциональности сети происходит при «обвальном» отказе элементов, приводящем к невозможности переноса функций с одних узлов на другие. Поэтому задачу анализа устойчивости сечи к случайным отказам формализуем как определение зависимости размера связывающею (максимального) контактного кластера в се ти от вероятности случайных отказов узлов/связей. Проведем серию экспериментов (метод Монте-Карло), в каждом из которых с заданной вероятностью удаляются узлы (или связи) сети и рассматривается величина максимального кластера. Чем больше вероятность отказа узлов/связей, тем меньше максимальный контактный кластер, сеть распадается па множество несвязных компонент.
На рис. 3 приводятся результаты статистического анализа величины образуемого контактного кластера при случайных удалениях узлов/связей сети АС. Зависимость размера максимального кластера от вероятности отказа узлов/ребер в БА-графс существенно отличается от полученной зависимос ти для реальной сети АС. Результаты моделирования в ПС-графе с логарифмо-пропорциональной функцией предпочтения Цк)=0Л5Ь к1п(к), калиброванном по распределению степени узлов сети АС, и результаты моделирования в реальной сети АС совпадают. Калибровка но треугольникам фактически не влияет на результаты моделирования.
На рис. 4 приводятся результаты статистического анализа величины максимального контактного кластера при случайных отказах узлов/связей сети маршрутизаторов. Хотя в представленном случае калиброванный по распределению степени вершин ПС-граф с линейной функцией предпочтения ((к) = 1.493-Л+ 4- 0.548 в сравнении с БА-графом позволяет повысить точность результатов моделирования при исследовании устойчивости к случайным отказам, полного соответствия в результатах не наблюдается. Кроме тот, диапазон результатов моделирования при различных значениях числа треугольников в ПС-графе (табл. I)
!
тыс.
вершин
о БА-граф. т = 2
д БАграф. т - 2. калибровлниыЯ по числу
треугольников
Сс|Ъ АС
ТЫС.
осршим
ПС-граф, кпякбровапиый по распределению степени уїло» сети АС
Q ПС-траф. калибров піший по
распределению степени узлов сети АС и числу Tpeyinm.ii и ко*
Рис. 3. Величина максимального кластера при случайных отказах узлов (слева) и свячен между узлами (справа) в графах, моделирующих сеть АС
X ПС-граф, капиброааиний по
распределению степени узлов сои маршрутизаторов
О ПС-граф. халиОроиаипый по
распределению стспенснн уїловссім хгзрш5>утимгоров и числу треуголытхоп д ВЛ-граф. m - 2. качиброванныЯ по числу іреуіольиикои
° БА-гряф, m - 2
Сеті, маршрутизаторов Ивтсрнет
Рис. 4. Величина максимального кластера ири случайных отказах узлов (слева) и связей между узлами (справа) в графах, моделирующих сеть маршрутизаторов
позволяет сделать вывод о невозможности существенно повлия ть на результаты за счет калибровки но числу треугольников и необходимости учета r правиле предпочтения более TOI1КИХ структурных свойств сети.
5. Моделирование распространения вируса
Рассмотрим задачу моделирования распространения вируса в сети Интернет, воспользовавшись моделью «восприимчивый — инфицированный восприимчивый» (SIS или susceptible infected — sus-
ceptible 110)). Узлы n соответствии с этой моделью могут находиться в двух состояниях: здоровый (восприимчивый) и больной (инфицированный). Вирус передается только между связанными узлами сети. В каждый момент времени больной элемент может заразить соседний здоровый с вероятностью и, в то время как инфицированный элемент может вылечиться с вероятностью 5. Коэффициент распространения Х=о)/5.
Будем считать, что 5=1 и изменять только параметр D. Такая модель согласуется с присутствием в системе программного антивирусного обеспечения, позволяющего на следующем шаге после заражения «вылечит,» заразившийся компьютер, ири этом пользователи такой сети не становятся внимательнее к вирусам и, «очистив» компьютер, со временем снова «подхватывают» вирусы. Суп, вычислительного эксперимента заключалась в следующем: на первом шаге алгоритма случайно заражалось 20 % узлов сети, далее выполнялись шаги, в которых инфицироватпше
вершины заражали соседние вершины с заданным коэффициентом распространения (Х=и), после чего сами выздоравливали сами (й=1). Первые 5 тысяч шагов система стабилизируется, и данные но ней не собираются, на следующих 500 шагах считается средняя плотность инфицированных вершин. В результате строится зависимость плотности инфицированных вершин р при заданных значениях X. На рис. 5 представлены результаты моделирования распространения вируса. Анализ графиков рис. 5 позволяет сделать вывод, чю, как и в случае моделирования случайных отказов, ПС-графы при анализе распространения вируса позволяют достаточно точно моделировать исследуемые процессы. Причем калибровка по распределению степени вершин и но количеству треугольников в сети увеличивает точность определения плотности инфицированных вершин в ПС-графах.
6. Заключение
В представленной работе на основе данных о реальной сети маршрутизаторов и сети автономных систем Интернет рассмотрена адекватность использования моделей сетей на основе случайных графов предпочтительного связывания. Исследованы задачи анализа устойчивости Интернет к случайным отказам и борьбы с распространением вируса в сети. В результате проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
— графы предпочтительного связывания являются адекватными моделями сечей Ин тернет, позво-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК N» 1 07) 2010
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК N» 1 (67) 2010
ПС-граф. калиброванный по раслрележнию степени узлов сети маршрутизаторов я числу треугольников Q д
ПС-граф, кппибровпнкый по распределению степени узлов сети маршрутизаторов
БА-граф (то _ 2)
0,2
БА-граф (« " 2) и калиброванный по числу треугольников
Сеть маршрутизаторов Интернет
X
ПС-граф, калиброванный по распределению степени узяов «ли АС и числу треугольников
ПС-граф, калиброванный по распределению степени утов сети АС
ЬА-граф, т - 2
БЛ-фаф. т - 2, калиброванный по числу треугольников
0 0.05 0.1
0.05
0.1
Сеть АС Интернет
* X
Рис. 5. Плотность инфицированных вершин р в зависимости от коэффициента распространения X в графах, моделирующих
сеть маршрутизаторов Интернет (слева) и сеть АС (справа)
ляя достаточно томно оценивать устойчивость сети к случайным отказам и распространению вируса;
— калибровка графой предпочтительного связывания по распределению степени связности вершин и но числу треугольников повышает адекватность моделей сетей;
— несоответствие резуль татов моделирования на графах, копирующих реальные сети, результатам моделирования, полученным на графах предпочтительного спязьтвания, свидетельствуют о необходимости при построении генераторов случайных графов предпочтительного связывания учи тывать более сложные структурные особенности исследуемых сетей.
Библиографический список
1.Барабаши, Л.-Л. Безмасшгабные сети / Альберт-Ласло Барабаши. Эрик Бонабо//В мире науки. — 2003. - Ne8. - С.55—63.
2. Pastor-Sdtorras. R. Epidemic Spreadiny in Scale-Free Networks/ Postor-Satorras and Alessandro Vespignani // Phys. Rev. LelL -2001 - V 86, P. 3200 - 3203.
3 Cohen, R Breakdown of the Internet under Intentional Attack / R Cohen. K. On??, D. ben-Avraham. and S. Havlin // Phys. Rev. Lett. -2001. - V8G. - P. 3682 - 3685.
•1. Тарасович. Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы /Ю. Ю.Тарасевич. - М.: ЕдиториалУРСС, 2004. - 112с.
5. Мл. Ш. Современная теория критических явлений/Ш. Мл. — М.:Мир, 1980. - 298с.
6. Структура сети маршрутизаторов Интернет, 2006 г., URL: hUp://www.cise.ufl.edu/re5earch/sparso/mat/Pa|ek/internct.maL Дата обращения: 01.09.2009.
7. Структура автономных систем сети Интернет, воссозданная на основе BGP таблиц, 2006 г., URL: http://www-personal. umich.edu/-mejn/netdata/as-22julyW>.7.ip. Дата обращения: 01.09.2009.
8. Задорожный, В. И. Случайные графы с обобщенным правилом предпочтительного связывания (Электронный ресурс): Препринт статьи / В. Н. Задорожный. — Электронный текст и данные. - Режим доступа: http://zadorozhnyi.acouy.ru/ articles/ZadorozhnyiGraphCalibr.pdf.
9. Задорожный, В. Н. Структурные свойства scale-free графа
Барабапти-Лльберт (Электронный ресурс): Препринт
материалов, переданных для публикации в журнале «Автоматики и телемехаиикав, О 2009 / В. Н. Задорожный li. Б. Юдин. — Электронный текст и датгые. — Режим доступа- http://zadoro2-hnyiacouy.ru/articles/ZadorozhnyiYudinLastVersion.pd!.
10. Anderson, R. М. Population Dynamics of Infectious Diseases: Theory and Applications. 1982. — Chapman and Hall, London-New York.
ЮДИН Евгений Борисович, старший преподаватель кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 25.12.2009 г.
© Е. Б. Юдин
Книжная полка
Кудинов, Ю. И. Основы современной информатики [Текст]: учеб. пособие для вузов по специальности «Прикладная информатика» / Ю. И. Кудинов, Ф. Ф. Пащенко. — СПб. [и др.]: Лань, 2009. — 255 с.: рис., табл. —(Учебники для вузов. Специальная литература). — Библиогр.: с. 250-251. — 978-5-8114-0918-1.
В учебном пособии представлены все разделы информатики, определяющие современный уровень подттовки специалистов в системе высшего образования. По своему содержанию книга полностью соответствует требованиям государственных стандартов.
