CC BY
37
Моделирование упругопластической деформации поликристаллов
с ОЦК- и ГЦК-структурой
С.А. Берестова
Уральский государственный технический университет - УПИ, Екатеринбург, 620002, Россия
В рамках аналитического подхода выполнено моделирование упругопластической деформации поликристаллов с ОЦК- и ГЦК-структурой при макрооднородном напряженном состоянии с использованием дискретной модели.
Simulation of the elastic-plastic deformation of bcc and fcc polycrystals
S.A. Berestova
Ural State Technical University - UPI, Ekaterinburg, 620002, Russia
In the framework of an analytical approach the elastic-plastic deformation of bcc and fcc polycrystals in the macrouniform stress state is simulated using a discrete model.
1. Введение
Классическими работами о влиянии распределения активных систем скольжения на пластическую деформацию поликристаллов являются работы Закса и Тейлора, в которых предполагалось, что однородным является поле напряжений или деформаций соответственно. Это позволяло оценить значения макроскопического растягивающего напряжения, при которых в поликристалле начинается пластическая деформация, по информации о критическом напряжении сдвига в основных системах скольжения. В дальнейшем этот метод был распространен и на описание начальной пластической деформации при сложном напряженном состоянии как квазиизо-тропных, так и текстурированных поликристаллов. Общим недостатком этих подходов является то, что они не учитывают анизотропию упругих свойств зерен, которая существенным образом сказывается на неоднородности напряженного состояния и уровне напряжений в активных системах скольжения.
В последние годы в рамках тех или иных гипотез, а также средствами численного моделирования были предприняты попытки уточнения классических резуль-
татов Закса и Тейлора. Численный расчет микронапряжений с помощью метода конечный элементов был выполнен в работах [1-4], с использованием методов статистической механики деформированного твердого тела в работах [5-7]. При этом численные расчеты проводятся, как правило, с введением дополнительных упрощающих гипотез, связанных с уменьшением числа систем скольжения, использованием двумерной модели и описанием упругих свойств, не соответствующим реальному поведению кристаллов при нагружении. Методы статистической механики деформированного твердого тела достаточно громоздки, что затрудняет использование результатов в различных прикладнык задачах.
Предлагаемый аналитический метод позволяет с учетом факторов, влияющих на упругопластическую деформацию однофазных поликристаллов, в трехмерной постановке оценить порядок вовлечения зерен поликристалла в пластическую деформацию, а также распределение пластически деформированных и упругих зерен в поликристалле в зависимости от вида прилагае-
© Берестова C.A., 2005
мой нагрузки и анизотропии упругих свойств зерен поликристалла.
2. Дискретная модель квазиизотропного поликристалла
В качестве модели однофазного поликристалла рассмотрим неоднородную на мезоуровне среду с ячейками полиэдрической формы. Каждой ячейке припишем одинаковые характеристики кристалла с кубической симметрией, для описания упругих свойств которого достаточно трех независимых констант. Ориентация кристаллографических осей в каждой ячейке считается случайной. В модели квазиизотропного поликристалла их распределение в пространстве равновероятно. Реальные материалы, обладающие такой структурой, — ОЦК- и ГЦК-металлы и сплавы.
Ориентация кристаллографических осей зерен в по-ликристаллическом материале в общем случае задается направляющими косинусами (рис. 1), а разброс осей в пространстве — плотностью распределения углов Эйлера или некоторой текстурной функцией [8]:
^ = (е, еу ) = С08(Х\, Ху ).
Распределение кристаллографических осей в поли-кристаллическом материале можно также задавать с помощью интегральных характеристик—текстурных параметров [9], которые являются осредненными комбинациями направляющих косинусов. Количество независимых текстурных параметров зависит от макро- и микросимметрии материала. В случае ортотропного материала с зернами кубической симметрии существуют три таких параметра:
.2 _2
Л _2
Л _2
Д, =101,02, +02,0г, +<2г,0и I
і = 1.2.31 0< Д, <-
где — знак осреднения по множеству ориентаций зерен в поликристалле.
Если поликристалл моделируется совокупностью зерен различных идеальных ориентаций, то возможно определение этих параметров через индексы Миллера каждой ориентировки , совпадающей по направлению с соответствующей осью лабораторной системы координат:
Д
,, ч 2 2,2 2,2 2
\iuvw)) = и V + и + V
: = п
(и + V + )
Тогда текстурные параметры поликристалла в дискретной модели определяются соотношением:
Д і =2 С, Д
(і)
1^ ’
I
где е1 — объемные доли зерен 1-ой ориентации.
Каждый набор трех текстурных параметров задает текстурированный поликристалл с определенными упругими свойствами. В случае квазиизотропного поликристалла текстурные параметры Д1 = А 2 = А 3 = 1/5.
В дальнейшем непрерывное распределение заменяем эквивалентным дискретным распределением по семи возможным ориентациям. Выбор ориентаций и их объемной доли в поликристалле осуществляется исходя из равенства текстурных параметров моделей с непрерывным и дискретным распределением кристаллографических осей.
Простейшей дискретной моделью, удовлетворяющей данному условию эквивалентности, является семикомпонентная модель, которая получается добавлением к ориентировке (001)[100] ориентировок, образуемых ее поворотом вокруг каждой из осей четвертого порядка на угол 45° против хода часовой стрелки, с дальнейшими поворотами кристалла таким образом, чтобы оси третьего порядка совпадали с направлением одной из осей лабораторной системы координат. Для результирующих поворотов методами линейной алгебры найдены матрицы преобразования системы координат, как произведения матриц двух последовательных поворотов. Вычислены текстурные параметры для каждой из семи дискретных ориентаций зерен в поликристалли-ческом агрегате (табл. 1).
Полюсная фигура (100) дискретной модели квазиизотропного поликристалла представлена на рис. 2.
С учетом аддитивности операции усреднения, а так-
7
1, рассчитываются
Рис. 1. Ориентация кристаллографических осей зерен
же условия нормировки Ь С
1=1
объемные доли С1 зерен 1-ой ориентации. При этом для квазиизотропного поликристалла получено с1 = 7/25,
С2 — О3 — С4 — С5 — с6 — О7 — 3/25.
3. Напряженное состояние зерен поликристалла
При любом напряженном состоянии макрообъема зерна в поликристалле, в том числе и квазиизотропном,
Дискретная модель квазиизотропного поликристалла
Ориентация
Преобразование 1
п
а = — 4
Преобразование 2
в = агссо8
Матрица преобразования
0і = (еі >е і)
Текстурные параметры
(і)
1. (001) [100]
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Д(11) =Д(21) =Д(31) = 0
2. (1 11)[211]
423 0 - 1Д/з
146 142 143 146 - 14Ї 143
Д2) =Д(22) = 14, Д(32) = 13
3. (111)[2 1 1]
423 0 1/73
-146 142 143 -146 -142 143
д(3) =Д(23) = 14,
Д(33) = 1/3
4. (1 01)[111]
143 -146 - 14г 143 423 0
143 -146 142
Д(24) =Д(34) = 1/4,
Д4) = 13
5. (101)[111]
143 146 - 14і -143 423 0
143 146 14Ї
Д(25) =Д(35) = 14, Д5) = 13
6. (112)[11 0]
142 143 146 -142 143 146 0 - 1Д/3 423
Д6) =Д(36) = 14, Д(26) = 13
7. (1 12)[110]
142 143 -146 -142 143 -146 0 143 423
д(7) =Д(37) = 14, Д(27) = 13
нет
нет
вследствие анизотропии их упругих свойств, находятся в условиях сложного напряженного состояния, отличающегося от макроскопического.
Рассмотрим макроскопические напряжения при отказе от гипотезы об однородности среды. В этом случае они определяются усреднением микронапряжений, отнесенных к областям второго порядка малости (кристаллитам) по сравнению с представительными элементами объема. Микронапряжения зависят от приложенных макроскопических напряжений, эффективных и локаль-
ных значений упругих констант. Для дальнейшего моделирования представляют интерес тензоры микронапряжений в локальных кристаллографических осях, вычисленные для каждой ориентировки дискретной модели поликристалла, при различной ориентации внешней нагрузки.
На начальной стадии нагружения все зерна деформируются упруго, и связь между напряжениями и деформациями в них выражается обобщенным законом Гука. Напряжения в зерне, отнесенные к кристаллогра-
(100) / 97 1 #3 < 11 • 1 ^"ч*4 •6 )2 #3 \ >1 • 11 .
Т 6 V *2 1 #7 *1 7 / * >3 / • 6 У 5 1
0 ю
(к)
Рис. 2. Полюсная фигура (100) семикомпонентной модели квазиизо-тропного поликристалла
фическим осям, найденные в работе [10] из решения Эшелби [11] о деформации зерна кубической симметрии, помещенного в изотропную матрицу с эффективными свойствами, определяются равенством
Г УІ а = £ ак ю
, к=1
I — 1, 2,..., 7.
В данном соотношении ^а^ — тензор макроскопических напряжений. Элементы тензорного базиса ю(к) (к — I, II,..., VI), с учетом кубической симметрии зерен и квазиизотропности поликристалла, задаются в виде:
0 0Л
(е('> *<4
(1)
ю® —
ю
(II)
1
И
1
46
1 0 0 Г1 0 0
ю
(III)
(IV)
ю
ю(V) =
ю
(VI)
1
42
1
42
1
42
1
42
0 1
0 * 0 - 2 00
0 -1 0 000 0 0 0' 0 0 1 010 0 0 1'
000
V1 0 °/
0 1 0 100 000
Переход от инвариантной формы записи к координатной осуществляется с помощью соотношений:
(ю(к > ®ю(к = 4 >
(е ^а)„„ = Отвщ&ц,
тп
VI
=| Е акю
.к=I
(к )
(к)
Коэффициенты в разложении тензора микронапряжений (1) определяются упругими свойствами монокристалла и поликристалла: aI = 1,
5А 2(^1 + 4^*2)
чп
2 А, 2(^1 + 6А*2) + А*2(3А1 + 8А*2)
aVI =
5А 4(А1 + 4А*2)
2 А 4( А1 + 6 А*2) + А*2 (3 А1 + 8А*2)
Упругие константы Аг- кубического монокристалла связаны с упругими коэффициентами су в матричной записи равенствами:
А1 — с 11 + 2с12 — 3К, А 2 — А з — С11
■'12’
А 4 — А5 — А 6 — 2с44, где К — объемный модуль или модуль всестороннего сжатия.
Эффективные упругие константы А* квазиизотроп-ного поликристалла связаны с эффективными упругими коэффициентами с* в матричной записи соотношениями:
А* — с*1 + 2с*2 — 3К,
А2 —А3 —А4 —А5 — А6 — ^11 ^12 — 2с44 •
Эффективный модуль сдвига, в частности, можно определить равенством [12]
* — с л-215
44 44
А = 2с44(с11 с12) =А4і А 2,
или
а>2 — а225а245.
Параметр А характеризует степень анизотропии монокристалла. К слабоанизотропным относятся молибден, алюминий; к сильноанизотропным — свинец, золото, медь, серебро. В случае, когда показатель анизотропии равен единице, монокристалл изотропен в отношении упругих свойств. Примером является вольфрам.
В итоге, напряжения в зерне задаются тензором
а1 а2 аз
43+^+72
а 6 42
а
■а5_
42
а 4
а1 + а 2 а3
42 43 46 42 42
а5
42
а1 - 2 а 2
42 43 46
а
а
II
а
V
1
а
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Системы скольжения
Системы скольжения (ОЦК) Система скольжения (ГЦК) п? (ОЦК), в* (ГЦК) пр (ГЦК), в* (ОЦК) Матрица Щ
(111)[011] (01Т)[111] Г^^л/3 о 1/73 1№, 0 1/72 ,-1/72 ' 0 1/76 -1/76* 0 1146 -1/76 0 1/76 -1/76
(111)[101] (Т01) [111] +1/73 ( 1/73 1№, "-1/72 0 1/72 "- 1/76 0 1/76* -1/76 0 1/76 -1/76 0 1/76
(111)[1Т0] (1Т0)[111] Г^^л/3 о 1/73 1№, т/72 -т/72 0 776 -1/76 0 * 1/76 -1/76 0 1/76 -1/76 0
(111)[0П] (01Т)[Т11] '-№ т/73 1/73 0 т/72 ,-т/72 0 -1/76 1/76 0 1/76 -1/76 0 1/76 -1/76 V )
(111)[101] (101)[Т11] т/73 1/73 +1/72 ( 0 У72, "-1/76 0 -1/76 1/76 0 1/76 1/76 0 1/76 V )
(111)[ТТ0] (Т Т 0)[Т 11] т/73 т/73 472 -т/72 0 1/76 1/76 0' -1/76 -1/76 0 -1/76 -1/76 0
(ТТ1)[0ТТ] (0тТ)[ТТ1] '-№ -т/73 ^/73 0 -т/72 ,-т/72 000
(Т Т1)[101] (101)[ТТ 1] ЧТТ -1/73 1/73 К72 ! 0 У72, "-1/76 0 -1/76 -1/76 0 -1/76 1/76 0 1/76 V )
(ТТ1)[Т10] (Т10)[Т Т1] '-№ -т/72 т/73 472 т/72 0 1/76 -1/76 0* 1/76 -1/76 0 -1/76 1/76 0 V )
(1Т1)[0ТТ] (0ТТ)[1Т 1] 1/73' -1/73 1/73 0 -т/72 472 0 -1/76 -1/76 0 1/76 1/76 0 -1/76 -1/76 V )
(1Т1)[Т01] (Т01)[1Т1] -т/73 1/73 472 0 т/72 "-1/76 0 1/76 1/76 0 -1/76 -1/76 0 1/76 V )
(1Т1)[110] (100)[1Т1] +1/73 ( т/73 1/73 +1/72 ( т/72 0 V ) 666 о о 0
где
а1 = «I ((а'1) + (а22 ) + (а33 ))/л/з,
а2 = «II ((а'і) +(СТ2^-2<аЗз))/4-6,
аз = «ці і) -(ст'22) У7,
СТ 4 =л/2аіу( а'2^,
а5 =!І2ау{ а; з),
аб = л/2ауі(а;
^а'^ — тензор макроскопических напряжений в кристаллографической системе координат соответствующей идеальной ориентировки.
В дальнейшем считаем, что в ОЦК-металлах деформация происходит по 12 основным системам скольжения {110}<111>, в ГЦК-металлах — по системам скольжения (Ш}<110> [13]. Выберем следующую нумерацию систем скольжения р = 1, ..., 12 (табл. 2) и введем в рассмотрение матрицу
№ = п( р ) 5 (р ),
У
где п
(р) „(р)
— направляющие косинусы нормали к
плоскости скольжения и направления скольжения в кристаллографических осях. Отметим, что матрицы Щр) для ОЦК- и ГЦК-металлов идентичны.
В упруго деформированном поликристалле при возрастании нагрузки пластическая деформация начнется в тех зернах, в которых касательные напряжения в одной или нескольких из активных систем скольжения достигнут критического значения ткр. Соответствующее условие имеет вид:
т = Т( р)
кр ^
(2)
р = 1, ..., 12; I = 1, 2, ..., 7; Щст = Щ-Сту.
В итоге 7 ориентировок с 12 системами скольжения в каждой задают 84 системы скольжения, равномерно распределенные по объему квазиизотропного поликристалла.
Рассматривая различные виды макроскопического нагружения, можно получить соответствующие предельные напряжения при заданных значениях ткр, найти ориентировки поликристалла, вовлеченные в пластическую деформацию, и их долю. Если доля вовлеченных в пластическую деформацию зерен больше 0.67, образуется непрерывный кластер из пластически деформированных зерен. При всестороннем сжатии все системы скольжения заблокированы, т.е. в поликристалле нет пластически деформированных зерен.
Активизация систем скольжения в случае одноосного растяжения меди (а = 1, р = 0)
скольжения 1 2 3 4 5 6 7
1 -2.98 -8.60 -8.60
2 -3.70 -4.57 8.60 8.60 8.60
3 3.70 4.57 -8.60 2.98
4 2.98 2.59 2.59
5 -3.70 8.60 -4.57 2.98 -2.98 -2.59 -2.59
6 3.70 -8.60 4.57 -2.98
7 2.98 -2.98 2.98 -8.60 -8.60
8 -3.70 -2.59 -2.98 2.98 8.60 8.60
9 3.70 2.59 -2.98
10 -2.98 2.98 -2.98 2.59 2.59
11 -3.70 -2.59 -2.59 -2.59
12 3.70 2.59 2.98
4. Микропластическая деформация квазиизотропного поликристалла при плоском напряженном состоянии
Для наглядности рассмотрим плоское напряженное состояние, заданное тензором макронапряжений вида
Л
"а(ап) 0 0
= 0 Р(ап) 0
0 0 0
Для различных значений а, в с использованием равенства (2) можно рассчитать фактор ориентировки М =(а1^Дкр [13] для каждой из 84 систем скольжения поликристалла. Для примера в таблицах 3-5 приведены
Таблица 4
Активизация систем скольжения в случае двухосного растяжения меди (а = р = 1)
скольжения 1 2 3 4 5 6 7
1 3.70 -8.60 -8.60 4.57 -8.60
2 -3.70 -2.98 -4.57 8.60
3 2.98 8.60 8.60
4 3.70 2.59 2.59 2.59
5 -3.70 -2.98 -2.59
6 2.98 -2.59 -2.59 2.98 -2.98
7 3.70 2.98 -2.98 2.59 2.59 -8,60 4.57
8 -3.70 2.98 8.60 -4.57
9 -2.98 -2.59 -2.59
10 3.70 -2.98 2.98 -8.60 -8.60 2.59
11 -3.70 2.98 -2.59
12 -2.98 8.60 8.60 -2.98 2.98
Таблица 5
Активизация систем скольжения в случае чистого сдвига меди (а = -р = 1)
Система скольжения Ориентировка
1 2 3 4 5 6 7
1 -3.70 8.60 -1.80 -2.22 -8.60
2 -3.70 -9.74 4.30 2.22 8.60
3 1.85 9.74 -4.30 -8.60 1.80
4 -3.70 -2.59 3.52 1.39 2.59
5 -3.70 4.30 -9.74 1.49 -1.49 -2.59 -1.39
6 1.85 -4.30 9.74 -3.52 2.59 -2.98 2.98
7 -3.70 2.98 -2.98 3.52 -2.59 -8.60 -2.22
8 -3.70 -1.29 -2.28 -1.49 1.49 8.60 2.22
9 1.85 2.28 1.29 2.59 -3.52
10 -3.70 -2.98 2.98 -1.80 8.60 2.59 1.39
11 -3.70 -2.28 -1.29 -1.39 -2.59
12 1.85 1.29 2.28 1.80 -8.60 2.98 -2.98
Таблица 6
Активизация систем скольжения в случае одноосного растяжения лития (а = 1, р = 0)
Система скольжения Ориентировка
1 2 3 4 5 6 7
1 -2.57 -4.82 -4.82
2 -5.96 -5.53 4.82 4.82 4.82
3 5.96 5.53 -4.82 2.57
4 2.57 2.66 2.66
5 -5.96 4.82 -5.53 2.57 -2.57 -2.66 -2.66
6 5.96 -4.82 5.53 -2.57
7 2.57 -2.57 2.57 -4.82 -4.82
8 -5.96 -2.66 -2.57 2.57 4.82 4.82
9 5.96 2.66 -2.57
10 -2.57 2.57 -2.57 2.66 2.66
11 -5.96 -2.66 -2.66 -2.66
12 5.96 2.66 2.57
данные для одноосного и двухосного растяжения и чистого сдвига меди (показатель анизотропии А = 3.2). Сведения об упругих свойствах монокристалла взяты из работы [14].
В таблицах выделены системы скольжения ориентировок с минимальным фактором ориентировок. Пустые ячейки указывают на то, что система скольжения заблокирована при данном виде макроскопического нагружения.
По результатам расчетов можно указать по каким системам скольжения в зернах какой ориентации начнется микропластическая деформация. Количества пластически деформированных на начальной стадии зерен недостаточно для образования непрерывного кластера. При одноосном и двухосном растяжении в пластическую деформацию на начальной стадии вовлекаются только 0.48 от общего числа зерен, при чистом сдвиге — 0.24. Несмотря на малое количество ориентировок, вовлеченных при чистом сдвиге в микропластическую деформацию, близость значений факторов ориентировок в зернах другой ориентаций свидетельствует о дальнейшем лавинообразном их вовлечении в пластическую деформацию. Влияние упругих свойств материала сказывается на порядке активации систем скольжения и на абсолютном значении фактора ориентировки. Покажем это на примере растяжения поликристаллического лития (показатель анизотропии А = 9.39, табл. 6).
Расчеты, проведенные для вольфрама (показатель анизотропии А = 1), показали, что минимальный фактор ориентировки в случае одноосного и двухосного растяжения — 2.45, в случае чистого сдвига — 1.22. Отметим, что минимальные значения фактора ориентировок при одноосном растяжении лежат между значениями, вы-
численными в рамках предельных моделей Закса (М = 2.24) и Тейлора (М = 3.06), рассматривающих однородность напряжений и деформаций, и близки к их среднему геометрическому.
Предлагаемый подход может быть легко обобщен на случай дискретной модели поликристалла с большим числом идеальных ориентировок и участием других систем скольжения в микропластической деформации.
Автор выражает благодарность профессору Митю-шову Е.А. за обсуждение постановки задачи и результатов работы.
Литература
1. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. К вопросу о микронапряжениях и микродеформациях в поликристаллах // Металлы. - 2002. - № 5. -С. 77-85.
2. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Статистические параметры распределения упругих мезонапряжений в поликристаллах с кубической решеткой // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 67-75.
3. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопласти-
ческого поведения поликристаллов на мезоуровне // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 37-51.
4. Бейгельзимен Я.Е., Спусканюк А.В., Варюхин В.И., Эфрос Б.М. Компьютерное моделирование пластической деформации поли-кристаллических материалов // ФММ. - 1999. - Т. 87. - № 6. -С. 38-48.
5. Дикусар Л.Д., Дударев Е.Ф., Панин В.Е. Статистическая теория микродеформации поликристаллов I // Изв. вузов. Физика. -1971. - № 8. - С. 96-101.
6. Дударев Е. Ф., Панин В.Е., Никитина Н.В., Дикусар Л.Д., Синиги-
на Л.В. Сопротивление началу пластической деформации в поликристаллах твердых растворов на основе меди // ФММ. - 1970. -Т. 30. - Вып. 5. - С. 1027-1034.
7. Вайнштейн А.А. Взаимосвязь микро- и макронапряжений в метал-
лах // Проблемы прочности. - 1994. - № 4. - С. 75-83.
8. Bunge HJ. Mathematische Methoden der Texturanalyse. - Berlin: Akademie-Verlag, 1969. - 330 s.
9. Митюшов E.A., Гельд H.B., Aдaмeскy P.A. Oбобщенные проводи-
мость и упругость макронеоднородных гетерогенных материалов. - M.: Mеталлургия, 1992. - 144 с.
10. МитюшовE.A., Берестова C.A. Тензор мезонапряжений в поликристаллах с кубической симметрией решетки // Физ. мезомех. -2002. - Т. З. - № 3. - С. 89-92.
11. Эшелби Дж. Kонтинуальная теория дислокаций. - M.: ИЛ., 196З. - 24У с.
12. Александров К.С. Средние значения тензорных величин // ДАН СССР - 1965. - Т. 164. - № 5. - С. 880-804.
13. Бэкофен В. Процессы деформации. - М.: Металлургия, 1977. -287 с.
14. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов: Справочник. -Киев: Наукова думка, 1982. - 286 с.
