Моделирование свойств материала на стадии разупрочнения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:4

МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА НА СТАДИИ

РАЗУПРОЧНЕНИЯ

В.И. Миронов, Г.Л. Крахмальник (Екатеринбург)

Abstract

The results of numerical simulation of full diagrams of deforming for softening material are presented. Simultaneously, relationships of the elastic modulus and of the transverse strain ratio vs the magnitude of longitudinal strain in uniaxial tensile tests are plotted.

В общепринятом варианте теории упругости используются, как правило, две технические константы изотропного материала: коэффициент поперечной деформации (КПД) v и модуль Юнга E. Оба параметра остаются неизменными как при активном растяжении до предела упругости о y, так и при разгрузке. За пределом упругости при

s > s y разделяют активное нагружение с переменными (касательными, мгновенными) параметрами Ep = до/д s, v =-ds '/ds и упругую разгрузку при Eu = E, v u = v; как правило, полагают vp = 0,5, что следует из условия несжимаемости, а изменением модуля разгрузки Eu пренебрегают. Между тем из экспериментов известно, что vp « 0,5 только в области деформаций предела текучести, а при больших деформациях снижается [1]. Изменение модуля Eu при разрыхлении материала достигает десятков процентов [2, 3]. Стадия разупрочнения материала, отражаемая падающей ветвью диаграммы деформирования, в этом плане практически не изучена. Для построения корректной теории разупрочняющихся материалов нужны функциональные зависимости свойств материала от степени деформации при различных видах нагружения.

Рассмотрим предельно простую и легко обсчитываемую физическую модель материала в виде пучка параллельных упруго-хрупких стержней числом m, определяемую следующими соотношениями:

- условием совместности деформаций

где E = const - модуль упругости материала стержней, s Bk - деформация предела прочности стержня с номером k .

Обычно полагается [4], что стержни плотно упакованы и касаются друг друга без надавливания в процессе деформирования. Сохраняя это свойство модели,

s k = s , k = 1, m ;

- условием равновесия

(1)

(2)

где fk = const - площадь сечения стержня, а о к - напряжение в нем;

- физическими уравнениями

(3)

естественно предположить, что две половинки разрушенного по одному сечению стержня разгрузятся, образуя «пору», и «раздвинут без надавливания» целые стержни. Таким образом, с появлением разрушенных стержней в образце идут два конкурирующих процесса: снижение площади поперечного сечения вследствие вытяжки целых стержней и увеличение площади за счет разрушенных. Меняется соотношение продольных s и поперечных s ' деформаций для пучка в целом. Коэффициент поперечной деформации при дискретном подходе

As ' (4)

v = -^

As

становится функцией от степени деформации, что и выражает суть проводимого ниже расчета КПД.

В исходном состоянии геометрически одинаковые стержни диаметром d0 и площадью сечения f 0 перемешаны и плотно упакованы в пучок (образец, испытуемый объем) с квадратным сечением площадью F0 = md02 и стороной a0 = = 4md0.

Согласно выражениям (3) отдельный стержень остается упругим вплоть до разрушения. Его диаметр убывает при растяжении по закону

d = d 0(1 -vs ), (5)

где v = const - коэффициент Пуассона материала стержня.

Вместе с диаметром убывает площадь и сторона сечения образца, появляется поперечная деформация

a0 - a (s ) (6)

s ' = •

0

Пока нет разрушенных волокон, имеем

F(в ) = mdо(1 — V в )2, (7)

a(в ) = 4md0 (1 — V в ),

а поперечная деформация образца согласно (6) и (7)

в ' = vв,

следовательно, КПД образца остается постоянным и равным коэффициенту Пуассона материала стержня. Не меняют своих значений при разгрузке КПД V u = V и модуль Eu = E. Объемная деформация модельного образца совпадает с таковой для сплошного стержня тех же размеров. Сохранение упругих свойств в модельном образце на начальном этапе деформирования можно считать качественным подтверждением правомерности сделанных допущений, поскольку физическая суть деформирования не искажается.

Характер разрушения образца определяется как свойствами его структуры, так и условиями нагружения [5]. Структурная неоднородность в схеме Даниэльса моделируется заданием равномерного закона распределения случайной деформации

предела прочности элементов ^{в ^, в ^}. Поврежденность материала ш при i

разрушенных стержнях и деформации в Ba<в <в ^ оценивается относительным

числом разрушенных волокон

i в — в Ba (8)

Ш = — =------------.

m в Bp — в Ba

Нагружение «мертвой» нагрузкой снимает вопрос об устойчивости процесса разрушения и влиянии условий нагружения.

Две половинки разрушенного стержня с номером к разгружаются упруго, без остаточных деформаций. Их диаметр скачкообразно увеличивается от значения

dk = d0(1 — v в Вк)

до начального размера d0.

При наличии i разрушенных стержней находится площадь образца с порами,

F = (т — /^02 (1 — V в)2 + id2, (9)

а затем определяются сторона а, поперечная деформация в ' и КПД на стадии повреждения.

Дискретный подход, отраженный в формулах (4)-(9), удобен для машинного счета. В приведенном ниже примере (рис.1) расчет велся с шагом по деформациям

Ав = (в ВР—в Ва)(т — 1) — 1

для конечного числа стержней т. Кроме того, появляется возможность детального исследования поведения пучка стержней при разрушении одного из них.

Полная диаграмма деформирования, рассчитанная по формулам (1)-(3), при достаточно большом числе стержней выглядит гладкой кривой (см. рис.1,а). В увеличенном масштабе или при малом числе элементов зависимость а (в ) пилообразна (вставка, см. рис.1,а). Точками а, Ь и с отмечены состояния образца перед разрушением отдельного стержня, после разрушения и после активного догружения на величину Ав. По формулам (7), (9), (6) рассчитываются

соответствующие значения поперечной деформации в а',в ь' и в с'. Таким образом, разрушение каждого стержня приводит к скачкообразному изменению свойств моделируемого материала при неизменной деформации и, как следствие, неоднозначности в определении КПД.

Упругие свойства поврежденного материала (в>ва) определяются при

разгрузке и повторном нагружении. Так, модуль разгрузки (при i разрушенных стержнях и с учетом (8))

т — i в Вр — в Ей =-----Е =-------Р----Е

т в Вр в Ва

линейно убывает до нуля с ростом деформации. КПД разгрузки V и , определяемый при Ав ' = в с'—в Ь', также линейно зависит от степени деформации (см. рис.1.б, прямая 1),

в вр— в v и =в——в—v.

В вр В Ва

Сравнивая два последних выражения, получим

V и (в ) = Еи (в ) (10)

V Е

Равенство (10) указывает на то, что графики зависимостей V и(в ) и Еи(в ), построенные в относительных координатах, совпадают. Кроме того, зная зависимость Еи (в ), КПД V и(в ) для данной модели можно вычислить по соотношению

V (11)

V и (в ) = ЕЕи (в ). ' '

Упругие свойства образца, найденные при i разрушенных стержнях, сохраняются до разрушения следующего i +1-го элемента. В данной модели активное нагружение по пути Ь — с идет с КПД V и, принимающим только положительные значения и отражающим тот факт, что в пределах догрузки поперечные размеры образца убывают.

Рис. 1. Модель с хрупкими элементами: а - полная диаграмма деформирования при т=1000 , £=20000 кг/мм2; б - коэффициент поперечной деформации

Сравнивая поперечные размеры образца в состояниях с и а, найдем

Ав ' =8 с'-в а' и полный (текущий, касательный) КПД V (ломаная 2, см. рис.1).

Сравнение зависимостей V р и Ер (в ) = йа/йв приводит к результату, аналогичному

(10) и (11):

V р(в ) = Ер(8 )

V = Е ’

V

V р(в) = 7 Ер(8),

что позволяет найти связь введенных параметров V и и V

( ) ( ) Еи (8 )

V и(в)^ р(в) Е“(Г)

Коэффициент V р может принимать отрицательные значения, отражая тот факт,

что при растяжении поврежденного образца его поперечные размеры могут возрастать. Приращения поперечных деформаций меняют знак с некоторого момента, зависящего от степени структурной неоднородности. Величина скачка на графике V (в ) при

деформации £ Ва зависит от соотношения в Ва и в Вр, возрастая от нуля при в Ва = 0

и стремясь к бесконечности при в Ва^ в Вр при неизменном в Вр (кривая 3 на рис.1,б).

а,МПа

Рис.2 Диаграмма а (в ) - (а) и зависимости изменения свойств пучка при нормальном законе распределения случайной деформации в в - (б)

Таким образом, для получения полной информации об изменении свойств материала, описываемого моделью Даниэльса, при одноосном растяжении достаточно иметь диаграмму а (в ) и зависимость Eu (в ). Остальные параметры Ep (в ), v p(в ), v u(в ) рассчитываются. Этот результат остается в силе при любом

другом законе распределения случайной деформации предела прочности, хотя сами зависимости существенно изменяются. На рис.2,а и 2,б (кривые 1) приведены диаграмма а (в ) и зависимости изменения свойств пучка при нормальном законе распределения случайной деформации в в. Диаграмма а (в ) становится гладкой с точкой перегиба на падающей ветви. Зависимости изменения свойств становятся нелинейными, исчезают скачки в кривых касательных свойств v p и Ep .

Как следует из анализа модели, функциональные характеристики материала E(в ) и v (в ) должны быть увязаны с диаграммой деформирования. Следовательно, такие факторы, как циклирование, температура, активная среда и т.д., должны влиять на них в той же степени, что и на диаграмму в целом. Например, экспериментально установлено вырождение статической диаграммы ряда конструкционных материалов при циклировании [6]. Изменение зависимостей E(в ) и v (в ) при этом не исследовалось.

Дополним уравнения модели (1)-(3) циклическими свойствами стержней при постоянном значении максимальной деформации цикла в M = const. Из эксперимента должны быть известны:

- «трехсигмовый» интервал в Ва, в вр нормального распределения предельный

деформаций нетренированных стержней (рис.3);

- «трехсигмовый» интервал Na, Np случайной долговечности стержней при стационарном пульсирующем нагружении с s м = const;

- кинетическая кривая (для примера однопараметрическая), отражающая вырождение статических свойств стержней при циклировании

s (s n) = s 0 - kna(s m) (12)

bBp (b M ,r4~b Bp Ksn ■>

где k s находится из условия усталостного разрушения наиболее прочного стержня,

s Bp (s M, Np ) = s M . (13)

Ограничимся областью многоцикловой усталости и положим, что кинетические кривые всех стержней подобны кривой (12). Данное ограничение позволяет найти распределение предельных деформаций при любом фиксированном числе циклов тренировки. Пока нет циклически разрушенных стержней n < Na, распределение

полное, а при n > Na - усеченное (рис.3). Разброс долговечности стержней при s м = const обусловлен, таким образом, различным отношением s B/s M в исходном состоянии.

На рис.2,а приведены вырожденные кривые a (s ) , или циклические диаграммы деформирования (кривые 2, 3, 4), а соответствующие зависимости E(s ) и v (s ) в относительных координатах изображены на рис.2,б (n1 = 0, n2 < n3 < n4). Графики Ep (s ) и v p(s ), а также Eu (s ) и v u(s ), построенные после любого

фиксированного числа циклов тренировки, по-прежнему совпадают. Следовательно, циклическое нагружение, меняя параметры диаграммы деформирования и функций E(s ) и v (s ), не нарушает их взаимосвязи.

Рис. 3. Вырождение свойств распределения при циклировании образца

Вывод о существовании указанной связи касается только исследованной модели и имеет качественное значение. Установление подобных связей у конструкционных материалов позволило бы сократить число базовых экспериментов, необходимых для совершенствования моделей материала. Полученные результаты позволяют сделать

заключение о перспективности использования простейших физических моделей

материала для изучения качественных связей его основных характеристик.

Библиографический список

1. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Недосека С.А., Богинич И.О. Модель накопления повреждений в металлических материалах при статическом растяжении// Проблемы прочности. 1995.- №7.- С.31-40.

2. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч.2. Конечные деформации: Пер. с англ./ Под ред. А.П.Филина. - М.: Наука, 1984.-432с.

3. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. -М.: Металлургия, 1986.- 688 с.

4. Волков С.Д. О кинетике разрушения и масштабном эффекте // Заводская лаборатория. - 1960. - №3.- С.323-329.

5. Миронов В. И. Определение стойкости защитных покрытий труб //Прогнозирование качества изделий машиностроения на стадии проектирования. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990.- С.39-45.

6. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. - Екатеринбург: УрО РАН, 1995.-190с.

Получено 25.03.99.