CC BY
30
ФИЗИКА, РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 517.958:532.5:536.25
И.А. Ермолаев, А.С. Шаповалов, В.Б. Байбурин
МОДЕЛИРОВАНИЕ СМЕШАННЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В КАНАЛАХ СИСТЕМ ОХЛАЖДЕНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Методом конечных элементов Галёркина решается задача смешанной тепловой конвекции в горизонтальных и вертикальных тоскопараллельных каналах. Особенностью задачи является наличие граничных источников тепла конечных размеров.
Математическое моделирование, метод конечных элементов, смешанная термогравитационная конвекция
I.A. Ermolaev, A.S. Shapovalov, V.B. Baiburin
SIMULATION OF MIXED CONVECTION FLOWS IN THE COOLING SYSTEM CHANNELS
BY A FINITE ELEMENTS METHOD
The results of the finite elements Galerkin method the numerical simulation of mixed thermo- convection in the horizontal and vertical channels is provided. The key feature of the problem is the presence of the border heat sources possessing final sizes.
Mathematical simulation, finite elements method, mixed thermogravitational convection
Введение. Обеспечение оптимальных тепловых режимов изделий современной микроэлектроники, оптики, вакуумной и плазменной электроники является важной проблемой конструирования и одним из условий их дальнейшего развития. Значительная часть систем охлаждения таких приборов основана на смешанной, вынужденной и естественной тепловой конвекции. Вследствие этого к настоящему времени выполнено значительное количество экспериментальных и теоретических исследований смешанных конвективных течений, включая случаи полностью развитых потоков, например [1-3], и конвекции на начальном участке, например [4-6], включая случаи как симметричного [3], так и асимметричного [1, 2, 5, 6] нагрева, постоянного вдоль оси канала. Однако в системах охлаждения нагрев часто локализован на участках конечных размеров. Между тем конвекция в присутствии локальных источников тепла изучена менее подробно. Так, смешанная конвекция с локальными источниками тепла изучалась численно и экспериментально отдельно в горизонтальных [7-9] и в вертикальных каналах [10]. При этом практический и теоретический интерес представляет сравнительный анализ конвективного теплообмена в горизонтально и вертикально ориентированных каналах, трубах, щелях и полостях.
В настоящей работе методами, представленными в [11], моделируются смешанные термоконвективные течения на начальных участках двухмерных плоскопараллельных горизонтальных и вертикальных каналов с источниками тепла конечных размеров на границах. Получены зависимости полей температуры и течения от критериальных чисел, проведён сравнительный анализ особенностей конвективного теплообмена.
Постановка задачи, модель, метод решения. Рассматривалось двухмерное стационарное естественное и вынужденное конвективное течение воздуха. До начального момента времени поле температур считалось однородным, температура равна температуре окружающей среды, воздух находился в гидростатическом равновесии в поле силы тяжести, внешнее течение отсутствовало. В
начальный момент времени на части стенки плоскопараллельного канала возникал тепловой источник, характеризуемый постоянным равномерным тепловым потоком, одновременно возникало внешнее течение. Размер теплового источника равнялся толщине канала Н. При решении задачи использовались нестационарные двухмерные уравнения Буссинеска [12], стационарные решения получены методом установления. В качестве масштабов расстояния, времени, скорости и температуры были выбраны Н, Н2/у, п/Н, дН/1. Безразмерные переменные были равны соответственно Х=х/Н, ¥=у/Н, т^П/Н2, и=иН/п, ¥= ьН/п, 9=1Ф/дН. Здесь х, у - координаты, I - время, V - коэффициент кинематической вязкости, и, ь — составляющие скорости в проекции на оси х, у соответственно, Ф = Т - Т0, Т0 -
начальная температура; 1 - коэффициент теплопроводности, qo - плотность теплового потока. Безразмерные уравнения Буссинеска в переменных «вихрь скорости - функция тока - температура» записывались в декартовой системе координат как
да д/да д/да . дв дв
—+ —----------- ----= Ла-Огу—+Огх—, (1)
дт дУ дХ дХ дУ у дХ х дУ
Л/ = а, (2)
Эв + Эу Эв _Эу Эв = 1 лв (3)
дт дУ ЭХ ЭХ дУ Рг . )
где а, у - вихрь скорости, функция тока соответственно, /IV2 , Ог^^Цо#4/IV2 - числа
Грасгофа, Рг = п/% - число Прандтля, gx, gy - составляющие ускорения силы тяжести в проекции на оси, Ь -температурный коэффициент объемного расширения, % - коэффициент температуропроводности.
Граничные условия для системы (1)-(3) имели вид: на боковых границах канала вне источника тепла в=0, /=Яе, Э//ск=0 (условия «прилипания», температура равна температуре окружающей среды); на источнике тепла /=Э//дп=0, Эв/дп=1 (условия «прилипания», плотность теплового потока); на входных границах в=0, 0=0, Э//да=0 (безвихревой поток на входе, его температура равна температуре окружающей среды); на выходной границе Э//дп=0, дб/дп=0, Эв/ск=0 (условия «удалённой» границы). Здесь Яе - критерий Рейнольдса, значения а на твердых непроницаемых границах определялись по формуле Вудса, в начальный момент времени ю(Х, У, 0) = у(Х, У, 0) = 0(Х, У, 0) = 0.
Задача решалась методом конечных элементов Галеркина. Температура, вихрь скорости и функция тока аппроксимировались линейной комбинацией не зависящих от времени функций формы на линейных треугольных конечных элементах. Для временной аппроксимации использовалась неявная двухслойная схема.
Рис. 1. Поля течений в горизонтальном (а, б, в) и вертикальном (г, д, е) каналах при Рв=10:
а, г - Gt=104, б, д - 105, в, е - 106
Уравнения (1)-(3) решались последовательно, каждый временной шаг начинался с вычисления поля температуры (3), затем определялись граничные условия для вихря скорости, и решалось уравнение (1), далее поле вихря скорости корректировалось и определялось поле функции тока (2). Расчеты проводились по конечно-элементной программе БРБМЛ1_ТБКМО (свидетельство №2012611497), реализующей данный алгоритм. Расчеты проводились на неравномерной сетке. Про-
верка на более подробной сетке показала, что относительное изменение максимума температуры не превышает 1%.
Результаты. Влияние выталкивающей силы, обусловленной локальным нагревом, на внешний поток заключается в возникновении вторичного вихревого течения, деформирующего профиль скорости основного потока и перераспределяющего локальные коэффициенты теплоотдачи и трения. Структура вторичного течения в горизонтальных и вертикальных каналах имеет ряд отличий. Так, в горизонтальном канале, показанном на рис. 1 а, б, в, с увеличением числа Грасгофа вторичное течение приобретает вид двух несимметричных поперечных вихрей. Линией на стенке показан нагреваемый участок. Интенсивность вихря, вращающегося против часовой стрелки заметно выше, вихри смещены относительно источника тепла вниз по потоку. В вертикальном канале, показанном на рис. 1 г, д, е, вторичное течение имеет вид одиночного поперечного вихря более высокой интенсивности, вытянутого вдоль оси канала.
Следует отметить, что влияние вторичных вихрей в горизонтальном канале смещает внешнее течение к противоположной стенке, увеличивая его скорость на этом участке (рис. 1 б, в). В вертикальном канале основной поток вследствие взаимодействия с вторичным вихрем, напротив, смещён к стенке с тепловым источником, также увеличивая скорость потока вблизи источника тепла. Всё это позволяет предположить более эффективную теплоотдачу в вертикальном канале, а также наибольшее усиление теплоотдачи и трения вблизи источника тепла и на некотором участке границы за источником тепла.
Зависимости структуры течения от интенсивности внешнего потока для горизонтального и вертикального канала качественно близки. Во всех случаях рост критерия Яе приводит к уменьшению интенсивности вихрей и к их смещению по направлению внешнего течения.
4*
--------'"-д
' ""'---И
_____________I____________I___________I_________
О 10 20 30 ОгЮ3
Рис. 2. Зависимость максимума температуры от интенсивности конвективного и внешнего течения для горизонтального (сплошные линии) и вертикального (пунктирные линии) каналов:
1, 2 - Ре=0; 3, 4 - Ре=5; 5, 6 - Ре=10
В условиях слабой конвекции при 0г<104 внешнее течение лишь немного деформируется выталкивающей силой, обусловленной нагревом, в условиях же развитого конвективного течения профиль скорости внешнего потока значительно изменяется по длине канала.
Рис. 2 иллюстрирует количественные отличия конвективного теплообмена в каналах различной ориентации. Теплообмен в режиме теплопроводности (0т=0, Яв=0) не зависит от расположения канала и характеризуется одинаковым максимумом температуры (крайние левые точки кривых 1 и 2). Сравнение теплообмена в горизонтальном (кривые 2, 4, 6) и вертикальном (кривые 1, 3, 5) каналах с источником тепла выявило значительно более низкую температуру при вертикальном расположении. Так, слабая конвекция при 0т<104 незначительно влияет на температуру в горизонтальном канале, но существенно - на температуру в вертикальном канале. Здесь максимум безразмерной температуры резко уменьшается от 0.42 до 0.22 даже при чрезвычайно слабой конвекции 0г<103. В режиме развитого конвективного течения при 0г>104 зависимость максимума температуры вт(Ог) становится
близкой к линейной для каналов любой ориентации. Зависимость температуры от интенсивности внешнего течения 6m(Re) является почти линейной для вертикального канала и нелинейной для горизонтального канала. Температура воздуха в горизонтальном канале даже при наличии внешнего течения заметно выше, чем в вертикальном канале при отсутствии такового.
Заключение. Таким образом, полученные результаты моделирования смешанных конвективных течений на начальных участках плоскопараллельных каналов с локальными источниками тепла позволяют сделать вывод о более эффективной теплоотдаче при вертикальном расположении. Количественные оценки говорят об уменьшении температуры почти в два раза. При этом даже слабая естественная конвекция в вертикальном канале может обеспечить более эффективное охлаждение, нежели смешанное конвективное течение в канале, расположенном горизонтально. Результаты позволяют формулировать рекомендации при конструировании систем охлаждения, основанных на тепловой естественной и смешанной конвекции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ostrach S. Heat transfer augmentation in laminar fully developed channel flow by means of heating from below / S. Ostrach, Y. Kamotani // Trans. ASME. Ser. C. J. Heat Transfer. 1975. V.97. No.2. P. 220-225.
2. Chiu K. C. Mixed convection between horizontal plates. II. Fully developed flow / K. C. Chiu, J. Ouazzani, F. Rosenberger // Intern. J. Heat Mass Transfer. 1987. V. 30. No. 8. P. 1655-1662.
3. Negendra H. R. Interaction of free and forced convection in horizontal tubes in transition regime / H. R. Negendra // J. Fluid Mech. 1973. V. 57. Pt. 2. P. 269-288.
4. Maughan J.R. Regions of heat transfer enhancement for laminar mixed convection in a parallel plate channel / J.R. Maughan, F.P. Incropera // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1990. V. 33. № 3. P. 555-570.
5. Chiu K. C. Mixed convection between horizontal plates. I. Entrance effects / K. C. Chiu, F. Rosenberger // Intern. J. Heat Mass Transfer. 1987. V. 30. No. 8. P. 1645-1654.
6. Nicolas X. Two-dimensional analysis of the Poiseuilee - Benard flow in rectangular channel heated from below / X. Nicolas, A. Mojtabi // Phys. Fluids. 1997. V. 9. №. 2. P. 337-348.
7. Ермолаев И.А. Смешанная конвекция в горизонтальном канале при локальном нагреве снизу / И.А. Ермолаев, А.И. Жбанов // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2003. № 1. С. 33-40.
8. Flow structure and heat transfer in a horizontal converging channel heated from below / K. S. Wilson, K. C. Chiu, C. J. Richards, Y. Jaluria // Physics fluids. 2000. V. 12. No 8. P. 2128-2136.
9. Lai F. C. Oscillatory mixed convection in horizontal porous layers locally heated from below / F. C. Lai, F. A. Kulacki // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1991. V. 34. No 3. P. 887-890.
10. Elpidorou D. Convection in Vertical Channel with a Finite Wall Heat Source / D. Elpidorou, V. Prasad, V. Modi // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. V. 34. № 2. P. 573-578.
11. Ермолаев И. А. Моделирование смешанной термогравитационной конвекции в области с нерегулярной геометрией и неоднородными условиями на границах / И. А. Ермолаев, А. С. Шаповалов, В. Б. Байбурин // Вестник СГТУ. 2011. №4. Вып. 1. С. 88-93.
12. Гершуни Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. М.: Наука, 1972. 392 с.
Ермолаев Игорь Анатольевич - Igor A. Ermolaev -
кандидат физико-математических наук, Ph. D., Associate Professor
ведущий инженер кафедры «Прикладная физика» Department Applied Physics,
Саратовского государственного университета Chernyshevsky Saratov State University
им. Н.Г. Чернышевского
Шаповалов Александр Степанович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная физика» Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Aleksandr S. Shapovalov -
Dr. Sc., Professor
Head of Department Applied Physics, Chernyshevsky Saratov State University
Байбурин Вил Бариевич -
доктор физико-математических наук, профессор,
Vil B. Baiburin -
Dr. Sc., Professor
заведующий кафедрой «Программное Head: Department Software for Computing
обеспечение вычислительной техники Machinery and Automated Systems,
и автоматизированных систем» Саратовского Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 10.04.13, принята к опубликованию 10.05.13
