CC BY
114
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 551.578.46
МОДЕЛИРОВАНИЕ СХОДА СНЕЖНОЙ ЛАВИНЫ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ А. С. Соловьев
Предложена имитационная модель зарождения и схода снежной лавины при изменении температуры окружающей среды. Показано, что при медленном таянии снежной массы лавина образуется внезапно в некоторый момент времени, в который параметры снежной массы достигают критических значений и к которому внутренняя структура снежной массы успевает перестроиться.
Ключевые слова: снег, лавина, температура, теплопередача, моделирование.
Одной из основных причин начала движения снежной массы по склону и зарождения снежной лавины является изменение структуры снежной массы при изменении температуры. Изменение температуры (как повышение, так и понижение) приводит к изменению механических параметров снега (вязкости, сцепления отдельных фрагментов), что вызывает появление внутренних напряжений в снежной массе, и может вызвать деформации и разделение на фрагменты, что при благоприятствующих условиях может привести к образованию снежной лавины. Математическое описание тепловых явлений в снежной массе, а также структурных превращений снежной массы при изменении температуры является чрезвычайно сложным, поэтому до недавнего времени модели зарождения снежной лавины были грубыми и носили качественный характер. Однако в последние годы появилась возможность использовать вычислительную технику для моделирования, поэтому снежная масса на склоне горы может быть представлена с гораздо большей степенью адекватности. В частности, нами ранее разработана модель зарождения и схода снежной лавины, в которой снежная масса состоит из большого числа отдельных
Соловьев Александр Семенович, канд. физ.-мат. наук, доц., Воронежский институт ГПС МЧС России, e-mail: [email protected]
© Соловьев А. С., 2013
фрагментов, сцепленных между собой и способных расцепляться при движении вниз по склону [1].
Целью данной работы являлась разработка математической модели снежной лавины, которая описывала бы не только механическое движение снежной массы и изменение ее структуры, но и тепловые процессы в снежной массе: теплопроводность, теплоемкость, зависимость физических свойств снежных фрагментов от температуры.
Моделирование зарождения и схода лавины проводится в двумерном пространстве XOY. Снежная масса представлена большим количеством (порядка 104) элементов-кругов, имитирующих отдельные фрагменты снега и движущихся по законам классической механики [2, 3]. Механические свойства снежной массы закладываются в выражение для силы взаимодействия между двумя элементами. В модели между элементами действуют упругие (потенциальные) силы и силы вязкого трения (диссипативные). Упругая сила взаимодействия элементов i и ] зависит от расстояния между ними Fij Г) и задается линейной зависимостью
ра (Г ) = с (Г - йз), (1)
где с — коэффициент жесткости, рассчитываемый по модулю упругости снежной массы; йЭ — диаметр элементов снега. При этом если расстояние Гу превышает некоторое критическое расстояние Гк, в модели происходит отрыв двух элементов друг от друга (то есть обнуление силы взаимодействия). Обыч-
но в моделях данного класса выбирают гк = когр^Э, причем коэффициентом когр можно задавать склонность снежной массы к фрагментации: при
когр = 1,0 воспроизводится рассыпчатый снег (могут возникать только силы отталкивания между элементами, но не притяжения); при когр = 1,2 воспроизводится липкий мокрый снег (могут возникнуть как силы отталкивания при Г/ < dЭ, так и силы притяжения при dЭ < Гу < гк). Для задания вязкой составляющей силы взаимодействия элементов используется общепринятая пропорциональная зависимость силы от скорости движения двух элементов по отношению друг к другу.
Поверхность склона представляется элементами-кругами размера dЭ, фиксировано расположенными близко друг к другу вдоль имитируемой поверхности склона. Для того чтобы имитировать неровность поверхности склона, в модели направляющая линия поверхности, по которой располагаются элементы-круги, получается суперпозицией случайных гауссовских пиков. После создания рельефа поверхность в модели поворачивается на определенный угол ф к линии горизонта (угол крутизны склона). Снежная масса в начальный момент времени неподвижна, располагается вдоль склона на большом протяжении и имеет определенную толщину снежного покрова.
Моделирование тепловых процессов и фазовых переходов в объеме снежной массы является чрезвычайно сложной задачей. Сложность обусловлена случайной формой склона и случайной конфигурацией снежной массы на склоне, зависимостью состояния снега не только от температуры, но и от плотности снега, предыстории и других факторов. В то же время в основе модели лежат базовые уравнения классической термодинамики, а сложность задачи преодолевается использованием дискретизации пространства (и соответственно использованием численных методов расчета), а также использованием алгоритмизации и программирования для учета сложных внешних условий.
Распространение тепла в трехмерном случае описывается уравнением теплопроводности [4]
д
-Т (-, г ) = (У, х( -, г )УГ (-, г))+0 (-, г), (2)
где Т (г, г) — искомое распределение температуры
и его зависимость от времени; г — радиус-вектор исследуемой точки пространства; г — время; V — оператор набла:
„ д г д г д -
V — - I +---/ +--к ;
дх ду дг
х, у — декартовы координаты исследуемой точки пространства; i, /, к — единичные векторы декартова пространства; х( Г, г) — коэффициент температуропроводности вещества, зависящий от положе-
ния в пространстве и от времени; 0 (г, г) — поступление тепла от внешней среды, зависящее от положения в пространстве и от времени.
Необходимо отметить, что коэффициент температуропроводности выражается через коэффициенты теплопроводности к, теплоемокости с и плотности вещества р следующим образом:
X — к / (с -р).
Уравнение (2) является чрезвычайно сложным и допускает аналитическое решение лишь в простейших учебных задачах (одномерное приближение, простые геометрические формы, постоянный коэффициент теплопроводности и т. д.). Поэтому для исследуемого в настоящей работе объекта решение уравнения (2) сразу ориентируется на использование сеточных конечно-разностных численных методов и компьютера. Сетка для решения задачи теплоперено-са привязывается к элементам снежной массы. Центр каждого круга-элемента является узлом сетки. Каждый узел сетки имеет примерно пять соседей (зависит от конкретной конфигурации окружения элемента), от которых возможен прием тепла, либо которым возможна передача тепла.
В конечно-разностной (сеточной) постановке задачи уравнение (2) преобразуется следующим образом. Для каждого узла / на каждом шаге интегрирования температура текущего узла (элемента снега) Т зависит от температуры соседних узлов следующим образом [5]:
/—1
Л/.,.
(3)
где Д — шаг дискретизации по времени; &/■ — коэффициент температуропроводности между узлами / и /; N — количество соседних узлов; Д/ — расстояние между центрами узлов; Qi — поступление тепла от внешней среды к данному узлу; qi — количество теплоты, потребляемое или выделяющееся при фазовом превращении элемента снега /.
Используя последнюю формулу можно на текущем шаге интегрирования по времени т пересчитать температуру Т' каждого узла / для следующего шага интегрирования т + 1.
Температура элемента снега влияла на параметры его связи с соседними элементами, в частности на коэффициенты вязкости d и связности когр.
В первой серии компьютерных экспериментов имитировали «мгновенное» таяние снежной массы. В течение первых 7 с компьютерного эксперимента снежный покров обладал высокой вязкостью ^ = 1,5 Н-с/м) и связностью (когр = 1,05), поэтому располагался на склоне неподвижно. В момент времени г = 7 с производилось скачкообразное изменение параметров снега, соответствующее состоянию тающего снега. Коэффициент вязкого трения между элементами снега снижался до значения d = 0,5 Н-с/м, а коэффициент ограничения взаимо-
действия до значения ^гр = 1,02. Так как теперь снежный покров по механическим свойствам становился ближе к жидкости, чем к твердому телу, он начинал двигаться вниз по склону. При малой крутизне склона (0...300) снежный покров медленно сползал по склону, со средней скоростью vср, не превышающей 0,6 м/с. При этом его движение существенно торомозилось взаимодействием с поверхностью склона, поэтому скорость движения снежной массы увеличивалась до некоторого значения и более не менялась. При большой же крутизне склона (40...600) вклад сил тяжести повышался по сравнению с силами трения, поэтому образовывалась полноценная лавина: скорость движения снежной массы неограниченно возрастала (в течение более чем 10 с скорость достигала 6 м/с) (рис. 1).
Рис. 1. Увеличение скорости движения снежной массы Уср с течением времени; в момент времени t = 7 с производится скачкообразное изменение параметров снежной массы («таяние снега»)
Для повышения адекватности модели в следующем компьютерном эксперименте производили не мгновенное изменение параметров снежной массы, а плавное. Плавное изменение параметров общепринято описывать так называемой ступенькообразной (сигмоидальной) функцией. Такая функция воспроизводит переход величины с одного уровня на другой. Из сигмоидальных функциий наибольшее распространение для задач подобного класса получила функция Больцмана, которая часто применяется в описании химических процессов:
F (t )= F2 + FZF-
(4)
1 + e
где Fl и F2 — начальный и конечный уровни функции; Д/ — параметр, определяющий время перехода с уровня на уровень; /0 — момент времени, в который функция наполовину перешла с уровня на уровень (точка перегиба сигмоидальной функции Больцмана).
Для двух основных параметров, определяющих состояние снежной массы, переход производится с уровня 1,5 на уровень 0,5 Н-с/м для ^ и с уровня 1,05 на уровень 1,02 для ^гр. Учитывая, что общая длительность компьютерного эксперимента
составляла 100 с, было выбрано /0 = 50 с, Д/ = 20 с. Тогда зависимость параметров d и ^гр от времени описывается следующими формулами:
d (t ) = 0, 5 +
kop (t) = 1,02 +
1.5 - 0,5;
t-50 9
1 + e ^
1.05 -1,02
t-50 ’
1 + e ^
(5)
(6)
где / измеряется в секундах.
График изменения с течением времени параметра d приведен на рис. 2а. График ^гр (/) имеет аналогичный вид, поэтому не приводится.
В данном компьютерном эксперименте снежная масса изначально располагалась на склоне крутизной 50° (при таком угле образуется ярковыра-женная лавина). С началом плавного изменения параметров снега («таянием») долгое время (вплоть до 65 с, рис. 2б) снежная масса была неподвижной и не претерпевала сколько-нибудь заметных изменений. Скорость движения снежной массы в этом временном интервале была практически нулевой.
а)
Рис. 2. График изменения параметра d (а)
(при медленном уменьшении коэффициента вязкости снежной массы d и одновременном согласованном уменьшении параметра Ro в некоторый момент времени начинается образование снежной лавины) и рост скорости снежной массы (б)
Начиная же с момента времени / = 65 с происходило зарождение и сход снежной лавины, что
иллюстрируется графиком скорости vср (0 (рис. 2б) и серией последовательных иллюстраций состояния снежной массы (рис. 3).
Рис. 3. Движение снежной массы по склону и изменение ее структуры по мере таяния снега
С 65 до 72 с характер движения снежной массы может быть описан как медленное сползание по склону ^ср не более 0,2 м/с). На иллюстрациях (рис. 3) видно, что при t = 70 с снежный покров распределен уже не равномерно вдоль склон, а с уплотнениями и просветами. Начиная с t = 72 с характер движения снега меняется: образуется полноценная лавина. Скорость движения снежной массы неограниченно возрастает (рис. 2б). Снеж-
ная масса становится все более фрагментируемой (рис. 3, t = 75 с, t = 80 с), и вдоль склона формируется псевдо-кипящий слой, который практически не испытывает взаимодействия с поверхностью склона и поэтому скорость его движения, определяемая в основном силами тяжести, быстро растет (рис. 3, t = 85 с).
Необходимо отметить, что, несмотря на плавное изменение параметров снега, зарождение и сход лавины начинаются внезапно, в некоторый момент времени. Этот момент времени определяется достижением параметрами критических значений (в частности, d = 0,8 Н-м/с, ^гр = 1,03), а также некоторой предысторией (предварительной перестройкой снежной массы).
Выводы
1. Впервые разработана имитационная модель зарождения и схода снежной лавины при изменении температуры окружающей среды.
2. В зависимости от крутизны склона происходит либо медленное сползание тающей снежной массы по склону (угол склона 0...300), либо лавинообразное движение снега (угол более 400).
3. При медленном таянии снежной массы лавина образуется внезапно в некоторый момент времени, в который параметры снежной массы достигают критических значений и к которому внутренняя структура снежной массы успевает перестроиться.
Библиографический список
1. Имитационная модель схода снежной лавины: свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2011614354 от 02.06.2011 г. / А. С. Соловьев, В. В. Посметьев, А. В. Калач, О. М. Лебедев.
2. Particle Based Simulation of Fluids / S. Premoze [et al.] // Eurographics. — 2003. — № 3, Vol. 22. — P. 103—113.
3. Hafner, J. Atomic-Scale Computation Materials Science / J. Hafner // Acta Mater. — 2000. — Vol. 48. — P. 71—92.
4. Полянин, А. Д. Линейные задачи тепло- и мас-сопереноса: Общие формулы и результаты / А. Д. Полянин // Теоретические основы химической технологии. — 2000. — № 6, т. 34. — С. 563—574.
5. К проблеме неизотермического массопереноса в пористых средах / Н. Н. Гринчик [и др.] // Инженернофизический журнал. — 2003. — № 6, т. 76. — С. 129—142.
References
1. Imitacionnaja model' skhoda snezhnojj laviny:
svidetel'stvo o gos. registracii programmy dlja EhVM № 2011614354 ot 02.06.2011 g. / A. S. Solov'ev, V. V. Pos-met'ev, A. V. Kalach, O. M. Lebedev.
2. Particle Based Simulation of Fluids / S. Premoze [et al.] // Eurographics. — 2003. — № 3, Vol. 22. — P. 103—113.
3. Hafner, J. Atomic-Scale Computation Materials Science / J. Hafner // Acta Mater. — 2000. — Vol. 48. — P. 71—92.
4. Poljanin, A. D. Linejjnye zadachi teplo- i massope-renosa: Obshhie formuly i rezul'taty / A. D. Poljanin // Teoreti-cheskie osnovy khimicheskojj tekhnologii. — 2000. — № 6, t. 34. — S. 563—574.
5. K probleme neizotermicheskogo massopere-nosa v poristykh sredakh / N. N. Grinchik [i dr.] // Inzhenerno-fizicheskijj zhurnal. — 2003. — № 6, t. 76. — S. 129—142.
MODELLING OF THE DESCENT OF THE AVALANCHE AT AMBIENT TEMPERATURE CHANGE
A. S. Solov’ev
PhD in Physics and Mathematics, Assoc. Prof.,
Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia, e-mail: [email protected]
The imitating model of origin and avalanche descent is offered at ambient temperature change. It is shown that at slow thawing of snow weight the avalanche is formed suddenly in some timepoint in which parameters of snow weight reach critical values and to which the internal structure of snow weight manages to be reconstructed.
Keywords: snow, avalanche, temperature, heat transfer, modeling.
