CC BY
104Компоненты и технологии, № 1'2004 Компоненты
Окончание. Начало в № 92003.
Моделирование разброса параметров транзисторов
в КМОП СБИС
Виктор Денисенко, к. т. н.
5. Методы статистического моделирования интегральных схем
Основной проблемой статистического моделирования является сокращение вычислительных затрат при сохранении приемлемой достоверности полученных результатов. Решение этой проблемы ведется по двум направлениям: путем рационального выбора точек, в которых выполняются однократные расчеты, и путем упрощения процедуры моделирования для каждого расчета.
На первом направлении используют метод наихудшего случая, метод вершин, метод Монте-Карло, методы планирования эксперимента. На втором направлении используют метод поверхности отклика (метод макромоделирования), градиентный метод, иерархический блочный метод, метод главных компонентов, метод моделирования критических путей, метод прямых выборок.
Прямое решение задачи статистического моделирования состояло бы в том, чтобы выполнить как можно большее количество расчетов ИС при изменении входных параметров моделей транзисторов с мелким шагом в пределах их разброса, например, от -3а до +3а, чтобы построить функцию распределения выходных параметров (быстродействие, потребляемая мощность, динамический диапазон и т. п.). Однако такой подход оказывается практически нереализуемым, поскольку, даже если брать всего два значения каждого из входных параметров, для перебора всего 16 величин нужно 216 = 65536 расчетов на SPICE, что для цепей большой размерности практически неосуществимо.
Поэтому используют несколько методов, позволяющих сократить количество расчетов при незначительном снижении точности. В их основе лежит упрощение математической модели цепи, которое возможно благодаря тому, что диапазон изменения параметров при статистическом моделировании достаточно мал (10-15%), а требуемая точность невысока. Используется также статистическое подобие функционально различных фрагментов электрических цепей и высокая степень структурной однородности цифровых ИС.
5.1. Метод наихудшего случая
Метод наихудшего случая часто позволяет выявить наихудшие сочетания параметров транзисторов, при которых критерий качества ИС имеет минимальное значение. Параметры модели должны быть статистически независимы, чего можно достигнуть, используя метод главных компонентов.
Метод наихудшего случая требует знания знаков коэффициентов влияния параметров модели транзистора на выходной параметр ИС. Их находят путем (т+1)-кратного моделирования, где m — число варьируемых параметров. Коэффициент влияния любого параметра не должен менять свой знак при варьировании других параметров. В зависимости от знака коэффициента влияния все приращения можно разделить условно на «наилучшие» и «наихудшие». В зарубежной литературе используют термины «fast» и «slow» — «быстрые» и «медленные». После такой классификации параметров можно сделать однократный расчет схемы, используя все «наилучшие» или все «наихудшие» параметры. При этом обычно используют отклонение параметра от номинала на величину ж = ц + Дх и x = р- Дх, где Дх может быть равно, например, 3ха или 2ха, а. Таким образом, общее количество расчетов схемы (для определения знака коэффициента влияния и для моделирования) составляет (m + 1) + 1.
7 9 11
п-МОП, 1^, мА
Рис. 5.1. Измеренные данные (результаты электрических тестов) и вершины, выбранные для моделирования. Эллипсы соответствуют уровням ±3а, ±2 а, а. [16]
Компоиеиты и технологии, № 1'2004
Тем не менее при некоторых формах функциональной связи выходных и входных параметров такой способ может не дать действительно наихудшее значение выходного параметра. Более надежный и широко используемый метод состоит в независимом комбинировании максимальных значений входных параметров (то есть для моделирования используются все сочетания входных параметров, соответствующие углам прямоугольника 1, 2, 3, 4 на рис. 5.1), всего 2" вариантов, где п — число варьируемых параметров. Из полученных откликов выходного параметра выбирают наибольшее отклонение и определяют соответствующее ему сочетание входных параметров. Этот метод гораздо надежнее предыдущего, так как от него не требуется допущение постоянства знака производной при изменении всех параметров в пределах окна варьирования параметров.
5.1.1. Метод границ параметров
Разновидностью метода наихудшего случая является метод границ параметров [8], в котором за один акт моделирования изменяется только один параметр (принимая по очереди два крайних значения), в то время как остальные остаются равными математическому ожиданию. Количество актов моделирования в этом методе равно 2п, то есть для 8 параметров равно 16, в то время как метод наихудшего случая с полным перебором вариантов требует 256 актов моделирования.
5.1.2. Метод вершин
Метод вершин отличается от описанных выше только тем, что значения входных параметров берутся не в углах четырехугольника, охватывающего область разброса параметров, а в 6 вершинах многоугольника, который более точно аппроксимирует область изменения входных параметров (рис. 5.1). Это позволяет исключить из рассмотрения наиболее грубые приближения, соответствующие точкам 2 и 4, которые наиболее удалены от линий равного уровня (эллипсы на рис. 5.1). Благодаря этому метод вершин является более точным.
Метод наихудшего случая и его модификации дают чрезмерно завышенные или, наоборот, заниженные требования к допускам на параметры элементов, что приводит к увеличению вероятности неоптимального проектирования. Он не позволяет также получить статистическую информацию, необходимую для оценки выхода годных кристаллов. Несмотря на очевидные недостатки, метод наихудшего случая широко используется на практике для грубой оценки работоспособности ИС при заданном разбросе входных параметров благодаря его предельной простоте.
5.2. Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло, в отличие от рассмотренных выше, относится к точным методам, поскольку он не использует упрощений исходной задачи, которые снижают точность статистического моделирования. Его точность определяется только количеством расчетов, но не методикой их выполнения. Вместо параметров моделей он обычно использует главные компоненты, значения которых получают с помощью генератора случайных чисел с нормальным законом распределения.
После перехода от главных компонентов к параметрам модели выполняют моделирование электрической цепи обычным способом, с помощью SPICE.
По своей сути метод Монте-Карло является математическим аналогом естественного процесса, порождающего кристаллы с неодинаковыми параметрами. Так же, как на полупроводниковой пластине выходные параметры каждого кристалла (ИС) появляются в строгом соответствии с параметрами транзисторов на этом кристалле, так и в методе Монте-Карло выходные параметры каждого акта моделирования ИС получаются в строгом соответствии с исходными параметрами транзисторов в этом акте моделирования.
Метод Монте-Карло позволяет получить полную статистическую информацию о моделируемой цепи, однако вследствие чрезмерной вычислительной сложности (обычно он требует несколько тысяч расчетов схемы) находит применение только для небольших фрагментов электрических цепей.
5.3. Градиентный анализ
Статистическое моделирование методом Монте-Карло требует многократных расчетов электрической цепи и для ИС, содержащих больше нескольких сотен транзисторов, становится невыполнимым. Однако известно, что разброс параметров транзисторов в ИС редко превышает 10-15%. Это позволяет воспользоваться разложением функции y = f(x), описывающей зависимость выходных параметров электрической цепи (например, быстродействие, потребляемая мощность, динамический диапазон) от вектора x варьируемых параметров транзисторов, в ряд Тейлора в окрестности математического ожидания x = ц. Ограничиваясь первым членом разложения (в предположении, что это справедливо при изменении входных параметров в пределах ±3а), получим линеаризованную модель электрической цепи в виде
ЭДх)
ях)-у(ц)=Х
м дх,
(5.1)
=D
і=і дхі
Х(хг.-ц,.)
Х=Ц
X
1=1
ґд/(х)л2
Эх,-
v 1 у
Vm4
х£>[хг.]+ХХ
<=1 М
^Дх)4
Эдс,-v ‘ у
X
ЭХ;
хсоу(д:г-,д:7),
40
30
o'-
20
X
<D 3 10
л и 0
о
* -10
-20
-30
L=l,2 мкм
/ / / 1=0,5 мкм
- "***. чЧ
// // // / / / / / /
-3-2-10 12 3
Разброс длины канала в единицах а
Рис. 5.2. Зависимость тока насыщения от длины канала для длинноканального (пунктирная линия) и короткоканального (сплошная линия) транзистора [22]
где производные взяты в точке x = ц. Производные в этом выражении находят с помощью моделирования на SPICE. После этого, зная среднеквадратические отклонения входных параметров, по формуле (5.2) можно найти среднеквадратическое отклонение выходного параметра.
Этот метод называется градиентным потому, что в нем используются производные по координатам, которые являются компонентами вектора градиента grad(fx)).
Если в качестве переменной x использованы главные компоненты, которые являются статистически независимыми по определению, то в выражении (5.2) исчезает второй член, связанный с корреляцией параметров:
°,=
dxj
ха;
(5.3)
Предположение о справедливости линеаризации в пределах ±3а подтверждено экспериментально для ИС динамического оперативного запоминающего устройства.
Из (5.1) можно найти дисперсию о? выход. 2 ного параметра при заданной дисперсии оу
входных параметров х, для чего достаточно
взять операцию дисперсии от обеих частей
равенства (5.1):
я[у(х)-:Ки)]=
■ ЭДх)
Градиентный метод очень эффективен в смысле вычислительных затрат, поскольку позволяет заменить многократный расчет электрической цепи расчетом нескольких производных. Основным его недостатком является допущение возможности отбрасывания членов выше первой степени (5.1). Функцию у = Лх1, х2, ..., хт) можно считать линейной только в пределах окна ±3с, что достаточно точно выполняется для транзисторов с длинным каналом, которые распространены в аналоговых ИС. Однако для на-нометровых транзисторов экспоненциальная зависимость порогового напряжения от длины канала в области малых длин приводит к недопустимо большим ошибкам. Это усугубляется тем, что при проектировании ИС обычно выбирают максимальное значение порогового напряжения на графике его зависимости от длины канала. Другой существенной нелинейностью является зависимость тока насыщения от длины канала (рис. 5.2). Если для приборов с длинным каналом (пунктирная линия) такая зависимость практически линейная, то для транзистора с длиной канала 0,5 мкм эта зависимость уже существенно нелинейная при изменении длины канала в пределах ±3ст [22].
ґт42
дХ;
т т
*°,2+ХХ
<=1 м
ЭДх)
Эх,-
ЭДх)
Эх :
J /
ХСJiXGjXrij
(5.2)
или
Компоненты и технологии, № 1'2004
5.4. Метод поверхности отклика. Планирование эксперимента
В методе поверхности отклика используют те же исходные предположения, что и в градиентном анализе, однако производные находят не моделированием, а методами регрессии, что гораздо точнее. Кроме того, после разложения функции в ряд Тейлора иногда оставляют не только первый, но и второй член разложения. Могут быть использованы и другие функции, хорошо аппроксимирующие зависимость y = f(x); важно только, чтобы они были линейны по неизвестным параметрам. Получаемая таким образом аппроксимирующая функция называется макромоделью цепи, или «поверхностью отклика», а метод моделирования называют методом RSM — Response Surface Method [47, 45]. Поверхность отклика используется для дальнейшего вычисления статистических характеристик выходных параметров по известным входным. В общем случае это выполняется методом Монте-Карло, а в частных случаях линейной и квадратичной макромодели возможно прямое вычисление по аналитически полученным формулам.
Следует отметить различие между статистическими макромоделями и электрическими, которые используются для схемотехнического моделирования больших цепей [2]. Выходной величиной статистической макромодели является разброс параметров моделируемого функционального блока, таких, как потребляемая мощность, быстродействие, коэффициент нелинейных искажений и т. п., в то время как выходными величинами электрических макромоделей являются ток и напряжение. Статистические макромодели всегда описываются алгебраическими уравнениями, поскольку они связывают параметры электрической цепи, являющиеся константами по определению. Электрические макромодели описываются дифференциальными уравнениями.
Благодаря замене сложной моделируемой цепи простой макромоделью в виде поверхности отклика принципиально сокращается трудоемкость выполнения дальнейших статистических расчетов, в результате которых получают плотности распределения выходных параметров цепи при заданных плотностях распределения входных параметров. Вторая причина вычислительной эффективности данного метода состоит в том, что для идентификации параметров поверхности отклика достаточно небольшого числа расчетов схемы, равного или немногим большего числа варьируемых переменных.
Неизвестные параметры уравнения поверхности отклика находят методом наименьших квадратов или с помощью сингулярной декомпозиции матрицы. Для эффективного использования этих методов необходимо правильно выбирать точки, в которых выполняются «измерения». Обычно используют теорию планирования эксперимента. Это позволяет избежать получения плохо обусловленной матрицы в методе наименьших квадратов, что часто неизбежно при необоснованном выборе «измеряемых» точек.
5.4.1. Уравнение поверхности отклика
Макромодель цепи в виде «поверхности отклика» получают обычно разложением функции у = Дх), х = (х1, х2, ..., хт), в ряд Тейлора в окрестности точки х0 = М[х], соответствующей вектору математических ожиданий входных параметров:
/(х0+х)=/(х0)+х'хУ/(х) +
+ ^хх'хУ2/(х)хх+е, (5.4.1)
где V, V2 — т-мерный оператор градиента и оператор Лапласа, е — ошибка отбрасывания остаточного члена ряда. В методе поверхности отклика уравнение (5.4.1) рассматривают как уравнение регрессии, в котором производные являются параметрами и их требуется найти из условия наилучшего приближения «измеренных» данных поверхностью отклика. Поэтому для дальнейшего изложения удобно ввести обозначения у0 = Дх0), П = ЧДх),
©и
0
ml
®1 т
0
Используя эти обозначения, уравнение (5.4.1) можно записать в нескольких упрощенных формах:
т
У = Уо+П'хX + £ = у0+ХТЪ хху+е, (5.4.2) 7=1
>'=3;0 + х,х®хх + е =
т т
= y0+'LYlQijXxiXxj + e, (5.4.3) i=l j=1 ‘<j
У = У о + тГ^х+х'х0х х+є =
т т т
=jo+Xti jxx у+X X 0уХх; Xxj+є
м
>■=1 7‘=1 i<j
(5.4.4)
«измерения», можно записать в виде следующей системы уравнений: т
>'1 = 0О+ХТ';ХЛ:17 + еЬ
м
т
У2 = в О+Х^^^ + Ег, (5.4.5)
7=1
.У«=0о+Х1Т/><хи/+е»,
7-1
где х^ — входные переменные макромодели (параметры транзисторов), для которых выполняется расчет значений у£, т — количество переменных; у1, ..., уп — значения выходного параметра для п актов моделирования; 60, П] — параметры макромодели.
Составим матрицу Б из элементов Хщ (ее называют регрессионной матрицей) для линейной макромодели (5.4.5):
F =
1 хп 1 Х21
1 *„1
Чт
(5.4.6)
Составим также вектор-столбец 6 = (е1, е2, ..., е„)' ошибок измерений, вектор параметров 0 = (00, п)ґ и вектор выходных переменных У = (у1, у2, ..., уп)'. Тогда систему уравнений (5.4.5) можно записать в матричном виде [13]:
Y = FxG+є
(5.4.7)
В уравнении (5.4.2) опущен квадратичный член, в уравнении (5.4.3) — линейный.
Аппроксимирующие функции могут иметь произвольный вид, соответствующий смыслу решаемой задачи. Важно только, чтобы они были линейны по параметрам, иначе метод МНК становится неприменим, а использование методов нелинейной оптимизации требует гораздо больших вычислительных ресурсов. Кроме того, линейная (5.4.2) и квадратичная (5.4.3) формы уравнений позволяют аналитическим путем получить математическое ожидание М[у] и дисперсию D[y] выходных переменных по аналогичным параметрам входных случайных переменных, как это будет показано ниже.
Неизвестные коэффициенты в уравнениях (5.4.2 — 5.4.4) можно найти, если выполнить п актов моделирования («измерения») переменной при различных значениях векторов входных переменных х1, х2, ..., хп. Связь между выходными переменными у = /(х) и точками в пространстве входных переменных х1, х2, ..., хп, в которых выполняются
Аналогично можно составить систему уравнений для нахождения параметров полной квадратичной макромодели (5.4.4) (из нее в частном случае следует система
уравнений квадратичной модели (5.4.3)):
т
Л=0 о+ХтЬх*1./ +
7=1
т т
+ХХе#ХхиХлсУ+е1
М ]=\
К/
т
У2 = & 0+ХТ1у><Х2у +
7=1
т т
+ХХ0.7ХХ21Х^+Е2
г=1 7=1
*<7
т
Уп=Ъ 0+ХТЪХХЛ7 +
7=1
т т
+ ЕЕ0!)Ч,^+£», (5.4.8)
г=1 ]=\
*<]
Регрессионная матрица для этой макромодели составляется аналогично (5.4.6) (ниже для наглядности приведен пример матрицы для случая двух переменных — т = 2):
1 *1,1 *1,2 *1,1Х*1,2 х1,1 х\,2 1 *2,1 *2,2 *2,іХ*2,2 *2,1 *2,2
F =
2 2
1 *в, 1 *л,2 *n,lx*n,2 *л,1 *л,2
. (5.4.9)
Компоненты и технологии, № 1'2004
Если теперь вектор в записать в виде
0 =
(5.4.10)
где
©2т >©т1> •••.©««]' (5.4.11)
то систему уравнений для нахождения неизвестных параметров поверхности отклика (5.4.8) можно записать в таком же виде, как и (5.4.5):
Y = Fxв+Є
(5.4.12)
5.4.2. Оценка параметров поверхности отклика
Система (5.4.12) имеет т + 1 неизвестный параметр для линейной модели и т + т2 + 1 для квадратичной; для их нахождения достаточно выполнить по крайней мере т + 1 или, соответственно, т + т2 + 1 расчетов ИС. В общем случае неизвестные коэффициенты в (5.4.12) можно найти методом наименьших квадратов. Для этого минимизируем сумму квадратов отклонений выходных переменных уравнения (5.4.12) от экспериментальных точек ущ.
п т
тп1(Л-Е^)2 (5413)
0 к=1 у=0
Условием минимума (5.4.13) является равенство нулю всех частных производных по параметрам модели в. Для к-го уравнения это равенство можно получить, продифференцировав (5.4.14) по в]:
п т
2хХ(Л-Х^0у)х^=О. (5 414)
к=1 у=0
Поскольку к = 1, ..., п, получим систему из таких уравнений, которая в матричной форме запишется в виде
(Y - Fxty'x F = 0
(5.4.15)
неизвестные параметры регрессионной модели (5.4.12). Зная эти параметры, уравнение поверхности отклика можно записать в виде
У = Бх0 + е;
три варианта уравнений поверхности отклика можно записать теперь в виде
^бо+Л'хх. (5.4.17)
у=0о+;п,хх
* 0 , (5.4.18)
у =§о+тгхх+х'х0хх . (5.4.19)
Коэффициенты уравнения поверхности отклика 0 зависят от расположения и количества точек, в которых выполняются «измерения». Поэтому вектор 0 является случайным и важно знать его дисперсию или ковариационную матрицу соу(0). Ковариационная матрица находится как
cov(0)=M[(§ - 0)х(§ - 0) ] = = о2х( F'xF)-1
Транспонируя обе части этого уравнения, получим
F'x(Y - Fxв) = 0
F/xFxв = F xY
откуда окончательно можно найти вектор параметров макромодели в в виде
§=(xF'xF)_1xF'xY (5.4.16)
Здесь вектор в обозначен как 0 и называется МНК-оценкой вектора параметров в. Аналогично МНК оценки величин п и 0 также будем помечать шляпкой сверху.
Таким образом, зная значения входных параметров в виде матрицы F и отклик на них Y, который получают путем моделирования ИС на SPICE, по уравнению (5.4.16) можно найти
y=§0+ffxx
получаем нормальное распределение на выходе
7Vm(0o+fj4i, Tj'xCxfj)
[45],
поскольку
Щу\=^[0о + Т1'хх]=Д[11'хх]=Т1'хСх'п
(5.4.21)
М[у]=М[§0+т1'хх]=§0+т1'х(х,
(5.4.22)
где С — матрица ковариации входных параметров. В скалярных обозначениях эти соотношения выглядят следующим образом:
ц =М
£fj;XX; + 0o
М
У=1
(5.4.23)
o2y=D
£л7хху+0о
7=1
=2Х2 ха)+2£лг. хт^£ cov(x,., Xj) 7=1 i=1 7=1
i<j
(5.4.24)
Если в качестве параметров использованы главные компоненты, которые центрированы и некоррелированы по определению, то в предыдущем уравнении матрица ковариации превращается в диагональную, и уравнения упрощаются:
Vy =0 т
С7=ЁТ1УХ°У
7=1
(5.4.25)
(5.4.26)
(5.4.20)
где а2 — дисперсия ошибки е.
5.4.3. Преобразование статистических параметров методом поверхности отклика
Поверхность отклика является моделью электрической цепи, которая гораздо проще модели на транзисторном уровне. Это позволяет существенно упростить задачу преобразования входных статистических параметров ИС в выходные. В общем случае эта задача решается методом Монте-Карло. Однако в частных случаях, когда поверхность отклика описывается линейным (5.4.17) или квадратичным уравнением (5.4.18), такая задача может быть решена аналитически. Для этого используют свойство линейного отображения не изменять вид закона распределения случайной величины, то есть при нормальном распределении параметров на входе ^т(ц, С) с вектором математического ожидания ц и ковариационной матрицей С для линейной поверхности отклика
В случае квадратичной поверхности отклика вида (5.4.18) аналитическое выражение для дисперсии и математического ожидания выходных параметров также существует ([45]):
М\у\ = М[0о+х'Х0Хх] =
= 0О+^(0ХС)+Ц'Х0ХЦ (5.4.27)
Б[у]=£)[уо+х'х0хх]=£)[х'х0 хх]= =М[((х - ц)'х 0х(х - р.))2] + +4М[(|х'х0х(х-ц))2] +
+ 4М [ц.'х0х(х- ц.)х(х - ц)'х0х(х - ц,)] -
-О(0хС))2
(5.4.28)
В случае поверхности отклика второго порядка выходная переменная будет иметь закон распределения, отличный от нормального. Однако, как было исследовано, его можно считать нормальным с достаточной для практики точностью [45]. При нормальном т-мерном распределении на входе макромодели ^т(ц, С) последнее соотношение упрощается [45]:
И[у]=2х£г(0хС) 2+4х|а.'х0хСх©Х(л.
(5.4.29)
Достаточно громоздкое доказательство этих соотношений приведено в той же работе [45].
5.4.4. Оптимальные планы эксперимента Таблица 5.1. Матрица полного факторного эксперимента
*1 *2 *3
+1 + 1 + 1
-1 + 1 + 1
+1 -1 + 1
-1 -1 + 1
+1 + 1 -1
-1 + 1 -1
+1 -1 -1
-1 -1 -1
Благодаря тому что рассмотренные выше уравнения поверхности отклика линейны по параметрам, можно спланировать эксперимент таким образом, то есть так выбрать
или
Компоненты и технологии, № 1'2004
матрицу входных переменных Б, что ковариационная матрица соу(0) будет обладать некоторыми желанными свойствами. Например, оптимальный план эксперимента позволяет получить некоррелированные оценки выходных параметров (когда матрица соу(0) является диагональной) или минимальный объем эллипсоида рассеивания, внутри которого лежат экспериментальные точки. Объем этого эллипсоида прямо пропорционален определителю ковариационной матрицы. План может быть оптимальным также в смысле минимизации следа ковариационной матрицы, то есть минимума суммы дисперсий оценок параметров 0 . Если эксперимент не планируется, то ковариационная матрица чаще всего оказывается плохо обусловленной, то есть ее детерминант близок к нулю.
В методе поверхности отклика наибольшее распространение получили ортогональные планы эксперимента, которые позволяют получить диагональную ковариационную матрицу. Различают два типа ортогональных планов: полный факторный эксперимент и дробный факторный эксперимент.
Для поверхности отклика первого порядка (5.4.17) используют двухуровневые планы, то есть планы, в которых каждая переменная принимает только два различных значения.
В полном факторном эксперименте число испытаний (число актов моделирования ИС) равно 2т. Матрица плана эксперимента составляется из символов «+1» и «-1», которые записываются в столбцах матрицы. Заголовками столбцов являются варьируемые переменные. Символ «+1» означает, что в данном опыте надо взять верхнее значение параметра, символ «-1» — нижнее (имеются в виду эксперименты, в которых переменные принимают только два значения, например, х + ах и х - ах). Пример матрицы плана полного факторного эксперимента приведен в таблице 5.1. Она включает все возможные комбинации входных переменных.
Таблица 5.2. Матрица дробного факторного
эксперимента
*1 *2 *3
+1 + 1 + 1
-1 + 1 -1
+1 -1 -1
-1 -1 + 1
Полный факторный эксперимент требует 2т актов моделирования и очень быстро становится невыполнимым при увеличении числа варьируемых переменных. Поэтому большее распространение получил дробный факторный эксперимент. В дробном факторном эксперименте выделяют группу из V вспомогательных факторов и общее число опытов сокращают до 2т-~'. В качестве примера в таблице 5.2 приведена матрица плана при V =1 и т = 3.
Эксперименты проводят в случайной последовательности. Предварительно производят рандомизацию матрицы, то есть перестановку ее строк в случайной последовательности с помощью генератора случайных чисел.
Для поверхности второго порядка (5.4.18) — (5.4.19) двухуровневые планы использовать
нельзя, поскольку через две точки невозможно однозначно провести кривую второго порядка. В этом случае применяют трехуровневый эксперимент, в котором входные переменные принимают по три различных значения. Полный трехуровневый эксперимент имеет чрезмерную избыточность, поэтому он не нашел практического применения. Большее распространение нашли ортогональные и рототабельные центральные композиционные планы [48]. Теория планирования эксперимента является чрезвычайно обширной областью, для более подробного знакомства с которой можно обратиться к специальной литературе [48].
Описанный метод поверхности отклика нашел достаточно широкое применение при статистическом моделировании ИС. Он гораздо точнее метода градиента, поскольку линейная модель находится из условия наилучшего приближения в пределах области варьирования переменных, а модель второго порядка гораздо точнее учитывает нелинейности, характерные для ИС, изготовленных по нанометро-вой технологии. Метод Монте-Карло совместно с методом поверхности отклика позволяет получить полную статистическую информацию, пригодную для расчета выхода годных и статистической оптимизации ИС. Важным преимуществом линейной и поверхности отклика является возможность получение полной статистической информации о выходных параметрах аналитическим путем, без использования метода Монте-Карло.
5.5. Применение метода главных компонентов в случае пространственной корреляции параметров
Описанный выше метод главных компонентов использовался для сокращения числа независимых переменных модели МОП-транзистора. Однако он может быть использован с той же целью в случае корреляции параметров, которая появляется вследствие зависимости параметров от расстояния между транзисторами. При этом общий разброс параметров ИС (и локальный, и глобальный) переносится в независимые доминирующие главные компоненты, число которых может быть значительно меньше общего числа варьируемых параметров.
Для использования метода главных компонентов в матрицу корреляции включают параметры всех транзисторов на кристалле [49]. Такая матрица имеет огромные размеры, однако в силу ряда причин она имеет большую степень разреженности, что позволяет использовать эффективные алгоритмы работы с разреженными матрицами.
Корреляционная матрица параметров моделей транзисторов записывается следующим образом:
1 г11,12
г12,11 1
гпт,П •••
гпт,п(т—\)
гП,пт г12,пт
1
(5.5.30)
где Г] к! — коэффициент корреляции двух параметров; первая пара индексов указывает
номер первого транзистора (г) и номер его параметра (]), вторая пара — номер второго транзистора к и номер его параметра (!). Матрица корреляции является симметричной. Размер матрицы (пхт) огромен, однако существуют две возможности его уменьшения. Первая из них состоит в применении метода главных компонентов для учета корреляции параметров в пределах модели, вторая — для учета корреляции между параметрами, принадлежащими разным транзисторам в пределах кристалла. Таким образом, процесс применения метода главных компонентов состоит из двух этапов.
Первый этап заключается в том, что параметры моделей в (5.5.30) заменяют главными компонентами, полученными из матрицы корреляции параметров модели. Методика перехода от параметров моделей к главным компонентам была описана выше. Поскольку количество главных компонентов обычно в несколько раз меньше, чем количество параметров модели, получаем первое уменьшение размерности матрицы (5.5.30). Поскольку главные компоненты некоррелированы, получаем матрицу сильно разреженную, так как коэффициенты корреляции главных компонентов одного и того же транзистора равны нулю (Г] а = 0 для ] Ф !). Кроме того, поскольку главные компоненты моделируют независимые источники разброса параметров, пространственная корреляция остается только между сходными главными компонентами, то есть г^ и =0 для ] Ф к и ] Ф !. Таким образом, ненулевыми остаются только коэффициенты корреляции одноименных главных компонентов разных транзисторов, то есть Г] и Ф 0, и корреляционная матрица оказывается сильно разреженной.
Второй этап состоит в применении метода главных компонентов к матрице, в которой вместо параметров транзисторов стоят главные компоненты, полученные на первом этапе. Здесь удается существенно сократить количество переменных вследствие сильной корреляционной зависимости параметров близко расположенных транзисторов.
Достоинством описанного метода является возможность произвольного уменьшения количества независимых главных компонентов в зависимости от требуемой точности моделирования, чего не позволяет сделать ни один из вышеописанных методов. Кроме того, чем сильнее корреляция параметров, тем меньше независимых главных компонентов можно оставить.
5.6. Метод прямых выборок
В нанометровых ИС статистическое моделирование на основе метода главных компонентов и метода поверхности отклика может давать очень большие ошибки (см. пояснения к рис. 3.3 и рис. 5.2). Причины ошибок могут быть устранены, если использовать результаты измерений в исходном виде, без их традиционной математической обработки. В этом состоит главная идея метода прямых выборок [50, 22].
В качестве входных данных метода прямых выборок используются результаты электрических тестов, выполняемых в процессе про- www.finestreet.ru----------------------
Компоненты и технологии, № 1'2004
изводства ИС. Тестовые транзисторы располагаются вдоль линии скрайбирования пластины, охватывая, таким образом, данные на всей пластине. Результаты электрических тестов преобразуют в параметры компактных моделей, как это описано в разделе 6. В методе прямых выборок подбор параметров модели Ох, Д1, ДЩ выполняют таким образом, чтобы ток стока модели в режиме насыщения 1с1ш{ и ее пороговое напряжение УЛо совпали с аналогичными параметрами, полученными из результатов электрических тестов. Эта задача решается с помощью специально разработанных процедур (см. раздел 2.1).
Полученные таким образом параметры компактных моделей не подвергаются статистической обработке, а хранятся в первоначально полученном виде. Традиционные гистограммы не строятся и не аппроксимируются теоретическими функциями распределения. Это позволяет исключить этап, на котором могут быть внесены ошибки, аналогичные описанным в конце раздела 5.3. Количество измеренных транзисторов должно быть статистически значимым. В некотором смысле эта идея аналогична идее полунатурного [51] или табличного моделирования МОП-транзисторов, когда используется не математическая модель, а экспериментальные данные. Поскольку все данные для одного и того же положения транзистора на кристалле или пластине хранятся вместе, с указанием их координат, учет корреляции и пространственной зависимости параметров происходит автоматически.
Метод прямых выборок позволяет выполнить также анализ чувствительности и оптимизацию ИС. Это становится возможным благодаря тому, что для каждой точки выходной случайной величины можно найти набор входных технологических параметров, при которых она получена. Анализ такой связи позволяет выделить источники разброса, наиболее сильно влияющие на статистические параметры всей ИС. Привязка исходных параметров к координатам их получения позволяет построить двумерную карту распределения параметров кристаллов по поверхности пластины, что важно для дальнейшего анализа выхода годных и оптимизации техпроцесса.
5.7. Методы статистического моделирования цепей большой размерности
Статистическое моделирование описанными выше методами становится невозможным, как только число транзисторов в ИС превышает несколько сотен. В методе Монте-Карло для получения приемлемой достоверности результатов требуемое количество расчетов составляет несколько тысяч. В методе поверхности отклика резко возрастает число «измеряемых» точек, полученное из теории планирования эксперимента. В методе вершин требуемое количество вариантов расчета схемы увеличивается в степенной зависимости от количества варьируемых переменных. Попытки необоснованного уменьшения количества статистических расчетов приводят к снижению точности полученных результатов и могут сделать их бесполезными.
Рис. 5.3. Иерархический метод статистического моделирования
Вместе с тем существует и со временем возрастает необходимость статистического моделирования ССБИС, содержащих миллионы транзисторов. Для решения этой задачи предложен ряд идей, основанных на особенностях электронных цепей большой размерности [45, 52, 50]. К ним относится иерархический принцип моделирования, однократное моделирование статистически идентичных цепей, учет сильной корреляции статистически сходных фрагментов с помощью метода главных компонентов; моделирование не всей ИС, а только критических путей прохождения сигнала.
5.7.1. Иерархический метод статистического моделирования
Иерархический метод статистического моделирования [45, 52, 50] основан на представлении процесса преобразования статистической информации в виде нескольких уровней иерархии (рис. 5.3). Исходными данными могут быть математическое ожидание, дисперсия и ковариационная матрица (f, a, cov) входных параметров процесса моделирования. Входными параметрами могут быть параметры моделей МОП-транзисторов, параметры техпроцесса и результаты электрических тестов, выполняемых в процессе производства ИС. В двух последних случаях параметры компактных моделей МОП-транзисторов непосредственно не заданы, поэтому для их получения необходимо использовать дополнительную процедуру, описанную в разделе 2.
Зная f, a, cov параметры компактных моделей, методом поверхности отклика первого или второго порядка получают f, a, cov параметров отдельных функциональных блоков, таких, как операционные усилители, триггеры, модуляторы (рис. 5.1). Этими параметрами могут быть коэффициент усиления, частота единичного усиления или напряжение смещения нуля операционного усилителя, порог и задержка переключения логического вентиля и т. п. При этом «измеряемые» точки для идентификации поверхности отклика получают с помощью моделирования на SPICE.
Входными величинами моделей верхнего уровня являются f, a, cov, полученные
на предыдущем уровне иерархии. Выходной величиной является разброс итоговых параметров всей ИС, таких, как быстродействие, потребляемая мощность, коэффициент нелинейных искажений, интегральная нелинейность. Параметры разброса получают методом поверхности отклика в сочетании со средствами моделирования функционального уровня для ее идентификации.
В результате применения описанного метода моделирования получают статистические функции распределения качественных показателей всей ССБИС, которые связаны с разбросом технологических параметров или результатами электрических тестов. Эти данные позволяют рассчитать выход годных кристаллов или, при необходимости, скорректировать техпроцесс.
3.7.2. Учет статистической идентичности функциональных блоков
Одной из базовых идей иерархического метода является экспериментально установленный факт [53], что большинство функциональных блоков ИС имеют одинаковые или мало отличающиеся статистические параметры f, а, cov. Например, все триггеры ИС имеют одинаковые функции распределения параметров независимо от их положения на кристалле или схемы связей с другими блоками. Кроме того, инверторы, триггеры и вентили И/ИЛИ-НЕ имеют идентичные либо сильно коррелированные параметры быстродействия (хотя другие параметры могут иметь слабую корреляцию). В то же время параметры триггера, например, плохо коррелированы с параметрами усилителя считывания [50]. В случае сильной корреляции применение метода главных компонентов может существенно уменьшить число варьируемых переменных.
Таким образом, большая электрическая цепь состоит из малого количества статистически различных блоков. Это позволяет многократно использовать один раз полученную статистическую информацию в разных фрагментах ИС, и даже для других микросхем, изготовленных по тому же техпроцессу. Такой способ принципиально (на несколько порядков) уменьшает требуемый объем вычислений.
3.7.3. Использование критических путей прохождения сигнала
В цепях большой размерности обычно имеются фрагменты, разброс параметров которых не влияет (в пределах погрешности расчета) на итоговое быстродействие. Одновременно можно выделить самый длинный (критический) путь прохождения сигнала, от которого зависит быстродействие всей ИС. В таком случае для получения достоверных данных достаточно моделировать только этот путь, игнорируя оставшиеся фрагменты. Обычно критических путей несколько, поэтому перед началом моделирования составляют их список.
В работе [18] моделирование только критического пути прохождения сигнала позволило выбрать оптимальное значение величины HALO области МОП-транзистора и рассчитать выход годных кристаллов.
Компоненты и технологии, № 1'2004
6. Коммерческие средства моделирования
Практически все коммерческие программы схемотехнического моделирования имеют средства для выполнения статистического расчета методом Монте-Карло и методом вершин. Однако в них отсутствуют специальные средства для моделирования больших цепей и подготовки исходных данных, существующие только в специализированных программных продуктах.
Наиболее распространенными средствами статистического анализа ИС является программа SPAYN фирмы 8Иуасо [9] и 8ЮМАРго фирмы Се1е81гу (www.celestry.com). Они позволяют предсказать среднеквадратическое отклонение и плотность распределения качественных показателей ИС, определить процент выхода годных, получить наборы параметров моделей для метода вершин и метода Монте-Карло. Программа может построить карту распределения параметров по поверхности пластины, гистограммы, графики плотности вероятности и трехмерные графики разброса параметров. Для заданного набора исходных данных автоматически находятся статистические зависимости между входными данными, коэффициенты корреляции.
Для получения статистических характеристик ИС программа SPAYN подключается к программе схемотехнического моделирования SmartSpice, с которой она обменивается входными данными и результатами моделирования. В процессе моделирования исполь-
зуется градиентный анализ, метод Монте-Карло, метод главных компонентов и главных факторов, учитывается глобальный и локальный разброс. SPAYN позволяет получать данные из программы UTMOST (Silvaco), которая предназначена для экстракции параметров компонентных моделей.
7. Выводы
Уменьшение характерных размеров транзисторов привело к увеличению разброса их параметров и снижению процента выхода годных. Увеличилась стоимость выполняемых проектов и стоимость комплекта фотошаблонов. Оба фактора привели к резкому возрастанию потребности в достоверном статистическом моделировании ИС.
Несмотря на актуальность проблемы статистического моделирования, эта область находится на начальной стадии своего развития. Фактически, еще нет единой, общепризнанной и широко используемой методики моделирования. Твердое практическое применение и развитие получили метод главных компонентов и метод поверхности отклика. Коммерческие программы используют далеко не все возможности, описанные в научной литературе.
Перспективным направлением идентификации статистических параметров является их экстракция из результатов электрических тестов. Особенно актуальными и наименее изученными являются задачи статистического моделирования нанометровых ССБИС.
Литература
47. Mayer R. H., Montgomery D. C. Response surface methodology: process and product optimization using designed experiments. John Willey & Sons. New York. 1995.
48. Ермаков С. М. и др. Математическая теория планирования эксперимента. Под ред. С. М. Ермакова. М.: Наука. 1983.
49.Zanella S., Nardi A., Neviani A., Quarantelli M., Saxena S., Guardiani C. Analysis of the Impact of Process Variations on Clock Skew // IEEE Trans. on Seniconductor Manufacturing. Vol. 13. No. 4. Nov. 2000.
50. Orshansky M., Chen J.C., Hu C. A statistical performance simulation methodology for VLSI circuits. Design Automation Conference. Proc. 1998.
51. Denisenko V. V. Spice-like simulation using real devices instead of their mathematical models. Intern. Conf. on Modeling and Simulation of Microsystems, Semiconductors, Sensors and Actuators. Proc. 1998. Santa Clara, CA, USA.
52. Fujita T., Onodera H. A method for linking process-level variability to system performances // IEICE Trans. Fundamentals. Vol. E83-A, ^. 12. Dec. 2000.
53. Chen J. C., Hu C., Liu Z., Ko P. K. Realistic worst-case SPICE file extraction using BSIM3. Custom Integrated Circuits Conf. Proc. 1995.
