Моделирование распространения гладкого пламени в открытой однородной газообразной горючей смеси Текст научной статьи по специальности «Физика»

Процессы горения

УДК 614.84:664

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ГЛАДКОГО ПЛАМЕНИ В ОТКРЫТОЙ ОДНОРОДНОЙ ГАЗООБРАЗНОЙ ГОРЮЧЕЙ СМЕСИ

А. Н. Полетаев, Н. Л. Полетаев

Всероссийский научно-исследовательский институт противопожарной обороны МЧС России

В гидродинамическом приближении (фронт пламени — разрыв в среде из идеальных несжимаемых жидкостей) решается задача о распространении гладкого стационарного пламени по однородной газообразной горючей смеси, имеющей форму плоского слоя или цилиндра, в окружении инертного газа той же плотности. Ранее получено приближенное решение задачи для случая плоского слоя горючей смеси. Основу метода решения составляло правдоподобное описание потенциального поля скоростей среды суперпозицией двух движений: однородного навстречу пламени и порождаемого действием равномерно распределенных на занимаемой пламенем поверхности источников газа. Полученное ранее решение уточняется с использованием соотношений, связывающих параметры установившегося течения продуктов горения и течения свежей смеси вблизи фронта пламени. Упомянутый подход к описанию потенциального поля скоростей среды используется для расчета скорости и кривизны пламени в случае горючей смеси цилиндрической формы. Проверка результатов расчета осуществляется на основе экспериментального воспроизведения гидродинамических условий задачи.

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена приближенному решению задачи о распространении гладкого стационарного пламени в открытой однородной газообразной горючей смеси, имеющей форму плоского слоя или цилиндра, в окружении инертного газа той же плотности. Задача является актуальной для теории движения фронта пламени с кромками и представляет определенный практический интерес в связи с прогнозом развития аварийной ситуации, возникающей при зажигании паровоздушной смеси над проливом легковоспламеняющейся жидкости. Несмотря на принципиальную возможность решения задачи численными методами, в настоящей работе отдается предпочтение физически наглядному приближенному методу решения, позволяющему представить результат в аналитической форме. В дальнейшем изложении условия задачи будут соответствовать гидродинамическому приближению Л. Д. Ландау: фронт пламени является поверхностью разрыва, среда состоит из однородных несжимаемых невязких жидкостей, нормальная скорость горения постоянна.

Как известно, влияние течения однородной свежей смеси на движение пламени определяется условием постоянства нормальной скорости горения. Если это условие дополнить правдоподобным описанием обратного влияния пламени на течение смеси перед фронтом горения, то получим метод

моделирования движения пламени. Указанный метод, в общем случае, будет приближенным, поскольку не охватывает течения продуктов горения.

Приближенный метод моделирования стационарного или квазистационарного движения пламени по однородной газообразной горючей смеси [1] основывается на следующем описании влияния пламени на течение перед фронтом горения. Предполагается, что потенциальное поле скоростей среды (вне зоны продуктов горения) является суперпозицией двух движений: однородного навстречу пламени и порождаемого действием равномерно распределенных на занимаемой пламенем поверхности источников газа. Последнее движение можно качественно связать с возмущением потенциального течения среды, вызываемым расширением продуктов горения в пламени.

В системе координат, начало которой совпадает с ведущей точкой пламени, а направление невозмущенного пламенем течения свежей смеси для определенности совпадает с направлением оси у, потенциальное поле скоростей представляется в виде

У(Я, I) = и(I) еу + У'(Н, I), (1)

Я - Я

где У'(Я, I) = -Ц 4 я

Ч

Я - Я

;

Я

еу — единичный вектор в направлении оси у.

Здесь интегрирование производится по всей поверхности пламени; Я — радиус-вектор точки потенциального поля течения; Яу — радиус-вектор точки пламени; — элемент площади пламени; t — время. и(?) совпадает по величине с текущим значением скорости движения ведущей точки пламени по смеси. Жирным шрифтом отмечены векторные величины.

Объемная производительность упомянутых источников на единице площади пламени составляет:

у = Р(е - 1)ия = Р(е -1), (2)

где е = р1/р2 >1 — коэффициент расширения продуктов горения;

р15 р2 — плотность свежей смеси и продуктов горения соответственно;

ип — нормальная скорость горения; здесь и в дальнейшем измерение величин с размерностью скорости производится в единицах ип, т.е. принимается ип = 1;

Р — постоянный коэффициент пропорциональности; отражает отличие у от фактической скорости изменения газового объема в задаче, отнесенной к единице площади пламени (совпадение достигается при Р = 1). В той же системе координат для пламени, описываемого соотношением уу = уу(ху, , t), условие постоянства нормальной скорости горения записывается в виде:

д Уу дt

= (Уу п у " 1)

1 +

дУу

\2

дх

у

дУу

\2

д 2

у

(3)

где Уу — скорость потока свежей смеси в непосредственной близости от поверхности пламени; Пу — вектор единичной нормали к поверхности пламени, направленный в сторону продуктов горения.

Предложенный в статье [1] метод моделирования горения не включает универсального способа оценки своего единственного параметра р. Для рассмотренного в работе [1] частного случая неограниченного плоского пламени, искривленного слабым периодическим возмущением, значение Р определено из условия совпадения модельного описания течения свежей смеси с известным точным решением задачи, полученным Л. Д. Ландау. При равенстве Р величине

Р £ =

2е[(е + 1/е - 1)1/2 - 1]

е 2 - 1

(4)

приближенный метод моделирования [1] становится точным в описании движения квазиплоского пламени с малыми градиентами параметров поля течения.

РИС.1. Схема расположения потоков горючей смеси 1, продуктов горения 2 и инертного газа 3 относительно плоского фронта горения F (заштрихован) для задачи распространения пламени в однородном открытом плоском слое. Поверхности П — границы потоков инертного газа

В работе [2] описанный метод моделирования применялся для решения рассматриваемой здесь задачи о движении пламени по плоскому открытому слою однородной газообразной горючей смеси. Показано, что форма пламени, отвечающая устойчивому к длинноволновым возмущениям решению задачи, не зависит от Р и представляется плоской полосой (рис. 1). Скорость движения пламени по свежей смеси и определяется соотношением

и = 1 + у/2.

(5)

Из-за отсутствия способа оценки Р в работе [2] использовалось значение Р£ из статьи [1]. Формальным основанием для этого являлось подобие рассматриваемых в работах пламен. Однако переход от неограниченного плоского пламени к ограниченному с необходимостью сопровождается появлением значительных градиентов параметров течения среды, что нарушает условия применимости результатов [1]. Таким образом, выбор Р = Р£ и связанная с ним оценка и = иь в соответствии с формулами (2), (4) и (5) в статье [2] представляются не вполне обоснованными.

В настоящей работе предложено вернуться к вопросу о величинах Р и и для задачи с плоским горючим слоем и уточнить их расчетные значения. Для этого согласно [3] используются соотношения параметров потенциального течения, следующие из закономерностей стационарного течения в трубке тока, охватывающей свежую смесь и продукты горения. Затрагивается вопрос о точности оценки скорости пламени в рамках используемого стационарного метода решения задачи в связи с известным фактом нестационарности пламен, имеющих кромку, в гидродинамическом приближении [4].

Кроме того, в настоящей работе упомянутый подход к описанию потенциального поля скоростей среды используется для расчета скорости и кривизны стационарного пламени в случае горючей смеси цилиндрической формы. Проверка результатов рас-

чета осуществляется на основе экспериментального воспроизведения гидродинамических условий задачи при инициирования волны горения в полом цилиндре, выполненном из огнепреграждающей сетки и помещенном в однородную горючую пропановоздушную смесь существенно большего объема.

Моделирование распространения пламени в слое

Рассмотрим полученное в работе [2] аналитическое представление приближенного решения задачи о стационарном распространении пламени по открытому однородному плоскому слою горючей смеси в окружении инертного газа той же плотности. Выберем движущуюся с пламенем систему координат, в которой параметры задачи не зависят от координаты 2, направление движения невозмущенной пламенем среды совпадает с направлением оси у, а плоскость (у, 2) является плоскостью симметрии задачи. За единицу длины примем полуширину пламени (по осих). В дальнейшем все величины будут относиться к координатной плоскости (х, у), а под поверхностью пламени (пламенем) будет пониматься его проекция на данную плоскость. Величины, связанные с поверхностью пламени, отмечены индексом "/". Схема расположения линий тока среды вблизи фронта пламени приводится на рис. 2. Обозначения рис. 2, совпадающие с принятыми для рис. 1, относятся к одним и тем же объектам.

В выбранной координатной плоскости уравнение поверхности пламени имеет вид уу(ху) = 0 (-1 < ху < 1), а компоненты вектора скорости потенциального течения среды (вне зоны продуктов горения) определяются соотношениями:

Гх = — 1п х 4я

у 2 + (х + 1)2 у 2 + (х - 1)2 ]

гу = 1 +

Г 1Л х + 1 ( г ^ х - 1

- агС^ + я

1 у ) 1 у )

(6)

й,

РИС.2. Схема линий тока вблизи покоящегося пламени Г. На линии тока П движение продуктов горения вдали от пламени прекращается. Симметричная часть схемы ниже оси у не приводится

На большом удалении от пламени горючая смесь и инертный газ движутся со скоростью, численно равной скорости распространения пламени по смеси (5), а давление постоянно и равно Рх. Невозмущенная пламенем полутолщина горючего слоя й1 и полузазор й3 между установившимися потоками инертной среды за фронтом пламени определяются равенствами:

Й1 = 1/ и; йз = (1 + у )/ и.

(7)

Решение задачи, описываемое соотношениями параметров потенциального течения среды (2) и (5) - (7), содержит свободную величину р, для которой необходимо выбрать конкретное значение. Однозначному выбору препятствует приближенный характер решения. Представляется разумным обусловить данный выбор выполнением дополнительных соотношений для параметров потенциального течения среды, которым удовлетворяет точное решение задачи. В работе [3], посвященной приближенному решению задачи о стационарном распространении пламени по однородной газообразной смеси в канале, приводятся два таких соотношения. Прежде чем перейти к их описанию, сделаем необходимое пояснение к рис. 2.

Поскольку описанное выше решение задачи не затрагивает поля скоростей в области продуктов горения, представленная на рис. 2 схема линий тока в этой области носит качественный характер. Тем не менее данная схема исключает заполненную продуктами горения застойную (неподвижную относительно пламени) зону, которая берет начало на кромке пламени и простирается на значительные расстояния вдоль потока продуктов горения. Такая зона впервые рассматривалась теоретически в работе [3]. Необходимым условием использования модельных представлений о застойной зоне является конечное значение скорости среды на кромке пламени (что имело место в [3]). В нашем случае данное условие не выполняется: соотношения (6) приводят к логарифмической расходимости касательной к пламени скорости среды ¥х по мере приближения к кромке пламени (х ^ ±1, у ^ 0). Присутствие застойной зоны в этом случае привело бы к ошибочным следствиям, в частности, бесконечной скорости среды на линиях тока вдоль границ этой зоны и бесконечно отрицательному давлению в ее объеме (равных, согласно интегралу Бернулли, значениям данных параметров среды на кромке пламени).

Перейдем к описанию двух дополнительных соотношений для параметров потенциального течения свежей смеси, построенных на закономерностях стационарного течения в трубке тока, охватывающей свежую смесь и продукты горения.

Первое дополнительное соотношение связано с сохранением потока массы для указанной трубки тока и выражается (при отсутствии застойной зоны) равенством толщины потока продуктов горения для области установившегося течения за фронтом пламени величине 2Н3. Согласно [3] соотношение можно записать в виде:

2к3 =1

е ё х

у

-1 V2 у

(8)

где интегрирование осуществляется по всей поверхности пламени. Здесь У2у — установившееся значение скорости продуктов горения на линии тока, пересекающей пламя в точке ху. Согласно [4]

^2 у =.Ш2 -е (е- 1) - (е- 1)Г2

(9)

где V представляет х-компоненту вектора скорости свежей смеси на внешней стороне (у ^ 0) фронта пламени в точке ху-. Из равенств (6) следует:

Vх = — 1п ^^ 2л

' 1 + ху ^

1 - х г V у /

(10)

Объединяя выражения (8)-(10) и учитывая симметрию решения, получим первое соотношение в виде:

к

у

е

"оЛ 1еи 2 -е (е- 1) - (е- 1)Г2

(11)

Знак приближенного равенства в соотношении (11) обусловлен тем, что верхний предел интегрирования вдоль поверхности пламени не достигает кромки (меньше 1) из-за перехода значений подкорневого выражения в отрицательную область при ху > ку. При х = ку подкорневое выражение обращается в ноль. Здесь

ку = 1 - 2

ехр

2л еи

2

е-1

-е

+1

-1

(12)

Для линий тока, пересекающих пламя выше уровня ку (см. рис. 2), по аналогичной причине невозможно оценить установившееся значение скорости продуктов горения вдали от пламени по формуле (9). Согласно [4] данное обстоятельство свидетельствует о нестационарности решения рассматриваемой задачи в гидродинамическом приближении. Наблюдавшееся в опытах дрожание кромок пламени укрепляет уверенность в необходимости осторожного применения стационарной аппроксимации параметров течения продуктов горения вблизи границы П. В рамках используемого в насто-

РИС.3. Зависимость Р, и и ц от е: 1 — Рк ; 2 — рt; 3 — Рр; 4 — Рь; 5 — ик ; б — ир, и,; 7 — иь; 8 — Рр; 9 — Рк

ящей работе подхода представляется целесообразным исключить из рассмотрения область продуктов горения между линиями токаПи П (см. рис. 2). Таким образом, оценка соотношения (11) для параметра к3 объективно носит приближенный характер, представляется разумным определить по порядку величины ее относительную погрешность как

Акз/ кз =±Цк; Цк = 1 - ку.

(13)

Здесь и далее индекс "к" относится к величинам, характеризующим решение (11), в котором знак приближенного равенства заменен знаком точного равенства. С учетом формул (5), (7), (10) и (12) соотношение (11) можно рассматривать в качестве уравнения относительно и. Результат его численного решения ик и полученные с учетом формул (2), (5) и (13) Рк и Цк представлены на рис. 3 (кривые 1,5,9). На графиках указаны погрешности оценок Рк и ик, определенные из равенств (13) с учетом формулы (2) и выражения для к3 из (7):

АР к =±2

1 +Р к (е- 1)

е- 1

Цк; Аик =± (2ик - 1) Цк.

Второе дополнительное соотношение касается сохраненияу-компоненты импульса среды в фиксированном объеме трубки тока (единичной толщины по оси 2 и ограниченном поверхностями х = 0 и П согласно схеме рис. 2 и двумя торцами, параллельными пламени и расположенными по разные стороны от него на значительном удалении). Соотношение имеет вид:

р к +р и2 к1) -

■ 3

к3 +р 2 1 V22ydx

3

-1 Рп (х)ёх = 0,

(14)

где первые два выражения в круглых скобках учитывают потоки импульса в рассматриваемый объем

к

3

0

к

через его соответственно левый и правый торцы, а последнее слагаемое — у-компоненту потока импульса, передаваемого смежным течением среды. Первое интегрирование производится по сечению продуктов горения вдали от пламени. Рп (х) — значение давления среды на пограничной линии тока П и расстоянии х от плоскости симметрии.

Последнее слагаемое в формуле (14) численно совпадает с у-компонентой силы сопротивления движению в идеальной жидкости тела, ограниченного поверхностями П и х = Н1 (отнесенной к единичной толщине тела по оси 2). Поскольку замкнутые тела при таком движении не испытывают сопротивления, указанное слагаемое равно РХ(Н3 - к1). С учетом сказанного, а также соотношения (7) и результатов работ [3] и [4] можно переписать равенство (14) в виде:

А/ _

и - ^еи2 - е(е - 1) - (е - 1)Ух2 ёх/, (15)

о

где интегрирование осуществляется вдоль поверхности пламени. Знак приближенного равенства в соотношении (15) обусловлен той же причиной, что и в (11). Верхний предел интегрирования определяется выражением (12). Аналогично случаю соотношения (11) определим по порядку величины погрешность решения (15) для скорости пламени как

ДЦ = ±црир; = 1

А.

(16)

Здесь и далее индекс "р" относится к величинам, характеризующим решение (15), в котором знак приближенного равенства заменен знаком точного равенства. С учетом формул (2), (5), (7), (1о) и (12) соотношение (15) является уравнением относительно и. Результат его численного решения Цр и полученные с учетом формул (2), (5) и (13) рр и представлены на рис. 3 (кривые 3, 6, 8). На графиках указаны погрешность ДЦр (16) и связанная с ней погрешность оценки рр, определенная с учетом выражений (2) и (5) как

Др р =±

2ДЦ р

е -1

Сравним полученные решения уравнений (11) и (15) на примере зависимости р(е) (рис. 3, кривые 1 и 3), принимая во внимание их конечную точность. При е = 1 решения имеют общий корень р = 1. С отклонением е от 1 проявляется различие решений (ёрА /ёе|е = 1 = 0; ёрр /ёе |е = 1 < 0), которое с ростом е сначала усиливается, а затем ослабевает из-за приближенного характера решений. При е >4 различие решений теряет смысл, поскольку оказывается по порядку величины в пределах точности полученных решений.

Таким образом, добиться одновременного выполнения условий (11) и (15) в рамках однопара-метрической модели работы [1] для задачи о стационарном движении пламени по открытому однородному слою можно только в случае е >4. Интерес к этому случаю обусловлен возможностью практических приложений результатов. При е >4 точность решений позволяет использовать любое постоянное значение параметра р из диапазона Рр < р < РА. В дальнейшем будем считать р = Рр, поскольку для уравнения (15) легко получить приближенное аналитическое решение. Если третье слагаемое в подкорневом выражении (15) заменить усредненным значением (е - 1)(Ц- 1)2/3 по интервалу интегрирования, а верхний предел приравнять 1, то решение уравнения (15) не представит трудностей и с учетом формул (2) и (5) даст

Цр =

л/бе + 3 - 1

р р =

3 + л/ 6е + 3

= л/ 6е + 3 - 3.

(17)

Выражения (17) определяют параметры ир , рр и у с точностью, приемлемой для прогноза экспериментальных результатов. Таким образом, при е >4 уточнение предложенного в работе [2] решения задачи можно свести к оценке Цр и рр на основе выполнения единственного дополнительного соотношения (15). Отметим, что полученные в работе [2] решения Ц и р£ (см. рис. 3, кривые 4, 7) несколько ниже приводимых здесь оценок (см. рис. 3, кривые 3, 6 ), однако находятся в пределах точности этих оценок. Последнее, вообще говоря, позволяет использовать полученное в статье [2] решение при условии увеличения погрешности, определенной выражением (16), приблизительно в два раза.

Оставшийся для рассмотрения диапазон 4 > е >1 имеет, в основном, теоретическое значение, поскольку на практике, как правило, е > 4. В этом диапазоне значений е уточнение решения работы [2], наряду с поиском оптимального значения коэффициента р, с необходимостью включает изменение потенциального поля течения среды (6). Ввиду относительной близости решений уравнений (11) и (15) указанное изменение можно рассматривать в качестве поправки к полю скоростей (6). Ниже приводится ее возможный вариант.

Рассмотрим изменение поля (6) путем добавления к нему векторным сложением поля скоростей, описывающего обтекание зоны продуктов горения бесконечным однородным потоком идеальной несжимаемой жидкости. При этом границу данной зоны будем считать жесткой, а скорость потока вдали от нее примем параллельной оси у и равной 5Ц. Естественно, что такая добавка к полю течения не

изменит плоской формы пламени. Внесенная поправка изменит соотношение (5). Его следует переписать в виде

U = 1 + у/2 + 5U.

(18)

Поскольку ширина зоны продуктов горения не изменится, имеем

1 + у

h3 =-—.

3 1+ У/2

(19)

Станет иным также соотношение (10), в правой части которого должна появиться компонента поля обтекания. По аналогии с точным решением задачи об обтекании однородным течением поперечно расположенного отрезка можно предложить следующую аппроксимацию касательной к пламени компоненты скорости свежей смеси:

у (Xf + 1)2 Vf = ^ ln^f 2 + xf 5U. (20)

(Xf "1)2

Соотношения (11) и (15) с учетом выражений (5), (7), (10), (12) и (18) - (20) можно рассматривать в качестве системы из двух уравнений относительно неизвестных и и р в диапазоне 4 > е > 1. Численное решение данной системы уравнений приводится на рис. 3 (кривые 2 и 3). Здесь и далее индекс " относится к величинам, характеризующим совместное решение соотношений (11) и (15), в которых знаки приближенного равенства заменены знаками точного равенства. Решение Ц совпадает с полученным ранее решением уравнения (15): Ц = ир, относительное различие решений не превышает 0,1%. Вблизи е =1 решение Р( совпадает с полученным ранее решением уравнения (11) Р( = рА, имеет место соотношение Ьи( = ик - ир <0.

Моделирование распространения пламени по смеси цилиндрической формы

Применим однопараметрический метод моделирования [1] для случая стационарного движения гладкого пламени по однородной горючей смеси, имеющей форму бесконечного цилиндра и окруженной инертным газом той же плотности. Предполагается, что е > 4 и использование метода в соответствии с результатами предыдущего раздела является корректным. Выберем движущуюся с пламенем цилиндрическую систему координат, в которой ось у совпадает с осью цилиндра, а ее направление — с направлением движения невозмущенной пламенем среды. Рассмотрим решения задачи, не зависящие от угла поворота ф вокруг оси у. Расстояние до оси у характеризуется координатой х. За единицу длины примем расстояние от кромки пламени до оси у, которое в дальнейшем, без ограничения общности (см. следующий раздел), будем считать

РИС.4. Схема распределения нормальных к пламени составляющих скоростей возмущения набегающего однородного потока свежей смеси пламенем для случая A (сплошные стрелки) и B (пунктирные стрелки) в плоскости (x, y)

постоянным. Ведущая точка пламени совпадает с началом координат.

Движение пламени описывается уравнениями (1) и (3). Очевидно, что плоское пламя, занимающее круг с координатами yf = 0 и Xf < 1, отвечает стационарному решению уравнений. Скорость такого пламени определяется выражением (5). Однако в отличие от рассмотренного выше случая горения открытого слоя, плоское пламя в открытой однородной смеси цилиндрической формы неустойчиво.

Для обоснования данного утверждения представим малое и однородное искривление плоского пламени в горючей смеси, имеющей форму слоя (случай A ) и цилиндра (случай B ), на общей схеме рис. 4. Здесь кривая Fявляется для случая A проекцией пламени на координатную плоскость (x, y ), а для случая B — пересечением пламени с данной плоскостью (ф = const). Обозначения рис. 4, совпадающие с обозначениями рис. 1 и 2, относятся к одним и тем же объектам. Радиус кривизны поверхности фронта горения rf не зависит от участка пламени, rf >1. Оценим изменение rf во времени. В силу малости искривления и близости пламени к стационарному состоянию, а также с учетом формул (1) и (3) имеем:

rf =

/я2 Л"1

a yf

д x

f У

df at

■ = —r

f я 2 д x/

д yf at

д yf at

= V f n f —1;

Vf n f = U

1—

2r 2

+ V'fn, (21)

откуда следует

д rf U 2 д 2V'fn

= U — r -

дt

f

д x

(22)

где У'п — нормальная к фронту компонента вектора V' вблизи пламени; и определяется выражением (5).

2

2

2

x

Пламя в слое представляет сегмент бесконечной (вдоль оси 2) цилиндрической поверхности. Легко показать, что для пламени такой формы

не зависит от х

у уп 2

1 + -

1

яг

/

(23)

Из уравнений (22) и (23) для случая открытой горючей смеси, имеющей форму слоя, следует оценка изменения кривизны пламени во времени:

Аг

у У 1 = 1 +1> 0.

2

Неограниченный рост радиуса кривизны свидетельствует об устойчивости плоского пламени к длинноволновым искривлениям в рассматриваемом случае.

Пламя в смеси, имеющей форму цилиндра, представляет ограниченный сегмент сферической поверхности. Можно показать, что для пламени такой формы У'уп зависит от расстояния до оси у:

V У У 1п 2

1+

1

2г

у

Ух*

16г

(24)

у

Выражение дляV'yn представлено здесь с точностью до члена ху. Соотношения (22) и (24) дают следующую оценку изменения со временем кривизны пламени для случая открытой горючей смеси, имеющей форму цилиндра:

Аг

1 = 1 + 1_УП.

(25)

Уравнение (25) имеет два решения — плоское пламя (гу ^ да) и пламя конечной кривизны. Легко видеть, что первое решение неустойчиво: при слабом искривлении плоского пламени (гу >>1) имеет место дальнейшее уменьшение радиуса кривизны ввиду превосходства третьего отрицательного слагаемого в правой части выражения (25). Уменьшение радиуса пламени насыщается с приближением ко второму решению гу = 4 + 8/у , когда правая часть формулы (25) обращается в ноль. Легко видеть, что второе решение является устойчивым. Поскольку для реальных на практике значений параметров задачи оценка величины гу дает от 6 до 8, полученный результат не противоречит использованному при его выводе предположению гу >> 1.

Дополнительно отметим, что присутствие в точном представлении V'yn из соотношения (24) членов высшего порядка по степеням ху указывает на более сложный (чем сферический сегмент) результат деформации пламени со временем. Оценки

показывают, что радиус кривизны устойчивого пламени снижается с приближением к кромке, где составляет около 75% от значения на оси симметрии. Более точное описание параметра, таким образом, принимает вид:

у =(3,5 ± 0,5)(1 + 2/у).

(26)

Конечное значение кривизны пламени с необходимостью вносит поправку для скорости его движения. Выражение для скорости можно получить на основе двух последних из соотношений (21), записанных для ведущей точки пламени (дуу/дt = 0, ху = 0):

и = 1 + -2

1+

1

2г

(27)

у;

Соотношения (26) и (27) с учетом выражения для параметра у = ур из уравнений (17) позволяют оценить характеристики стационарного пламени в открытой однородной смеси цилиндрической формы.

Экспериментальное моделирование движения пламени

В силу диффузионного или конвективного перемешивания инертной среды с горючей на границе контакта прямое экспериментальное воспроизведение идеальных условий задачи о распространении пламени по однородной открытой горючей смеси представляется невозможным или весьма трудоемким. В настоящей работе эксперимент моделирует условия задачи. Под этим здесь понимается создание таких экспериментальных условий для распространения пламени, при которых поле течения среды совпадает с таковым для рассматриваемой задачи в ее идеальной постановке.

Принцип экспериментального моделирования условий задачи демонстрируется на рис. 4. Если предположить, что на рис. 4 изображено стационарное пламя, то внесение огнепреграждающей проволочной сетки вдоль поверхности, представленной штрих-пунктирной линией (проходящей через кромку пламени и описываемой условием х = 1), не исказит поля течения среды в случае достаточно тонкой проволоки. В присутствии огне-преградителя возможно заменить инертную среду на исходную однородную горючую смесь, поскольку сетка фиксирует кромку пламени, не допуская распространения последнего в область х > 1. При этом автоматически исключается упомянутая выше причина потери однородности "эффективным" горючим слоем, ограниченным поверхностью П.

Таким образом, экспериментальное моделирование условий задачи сводится к исследованию

F,

F,

—I

F4

• W

РИС.5. Схема реакционной камеры в сечении, проходящем через ось симметрии вращения: F1 ... Р9 — последовательные положения пламени в плоскости сечения через равные промежутки времени

волны горения в зазоре между двумя плоскими ог-непреграждающими сетками или в полом цилиндре из такой сетки, помещенными в однородную горючую смесь существенно большего масштаба. Ниже описывается экспериментальное моделирование условий задачи с цилиндрической симметрией.

Схема реакционной камеры экспериментальной установки приводится на рис. 5. Через горловину 2 внутренним диаметром 38 мм в герметичном цилиндрическом сосуде 1, выполненном из прозрачного упругого полиэтилена, высотой 300 мм и диаметром 160 мм установлен полый цилиндр высотой 300 мм и внешним диаметром 38 мм, верхняя часть 3 которого высотой Н1 = 200 мм выполнена из огнепреграждающей сетки, а нижняя часть 4 высотой Н2 = 100 мм — из стекла с толщиной стенки 1 мм. Огнепреграждающая сетка сплетена из нержавеющей проволоки (Х18Н10Т) диаметром 0,1 мм; размер стороны квадратной ячейки -0,63 мм. Горловина сосуда закрывается герметичной крышкой 6. В верхней части цилиндра из сетки на оси симметрии располагается источник зажигания 5, представляющий два электрода, к которым по команде с пульта управления подается напряжение, вызывающее искровой разряд.

Методика проведения огневого опыта состояла в следующем. В сосуд через специальный штуцер в крышке вводился определенный объем горючего газа (пропана). Затем газовая среда в сосуде перемешивалась путем многократного вытеснения части газа через упомянутый штуцер в балластный объем с последующим возвращением (использовалась упругость стенок сосуда, позволяющая незначительным перепадом давления изменять объем сосуда на 10 - 15%). На время перемешивания оставляли зазор между днищем сосуда и нижней кромкой стеклянного цилиндра во избежание застойной

зоны в объеме последнего. Затем крышка на горловине сосуда вскрывалась для стабилизации давления в сосуде при горении и срабатывал источник зажигания. Процесс распространения пламени фиксировался расположенной сбоку видеокамерой с частотой кадров 24 с-1 и выдержкой не более 0,005 с.

Типичные положения пламени в реакционной камере, получающиеся совмещением нескольких последовательных кадров съемки, схематично изображены нарис. 5. Можно выделить дваучастка стационарного движения пламени — в цилиндре из сетки (А) и в стеклянном цилиндре (В). Покадровая обработка видеоинформации позволяет в общем случае оценить скорости пламени на этих участках (соответственно и и иВ), площадь поверхности пламени Бу на участке В, а также величину гу, представляющую отношение радиуса кривизны пламени на участке А к радиусу цилиндра из сетки (19 мм). Нормальную скорость горения можно в каждом опыте оценить по известному соотношению ип Бу = иВ Б0, где Б0 — площадь поперечного сечения стеклянного цилиндра.

В таблице приводится сопоставление экспериментальных и расчетных оценок параметров и и гу для двух опытов, отвечающих концентрациям горючего, близким к нижнепредельной и стехиомет-рической соответственно. В указанных случаях имеется достаточно точная расчетная оценка коэффициента расширения продуктов горения [5], необходимого для расчетов по формулам (17), (26) и (27). Данные таблицы свидетельствуют о хорошем соответствии рассчитанных и экспериментально измеренных параметров.

№ U, U/U„ rf

опыта м/с ь опыт расчет опыт расчет

1 0,10 5 2,2 + 0,2 2,3 + 0,1 5,0 + 0,5 5,7 + 0,8

2 0,40 7 2,7 + 0,3 2,8 + 0,2 4,5 + 0,5 5,0 + 0,7

Заключение

В гидродинамическом приближении решалась задача о распространении гладкого стационарного пламени по однородной газообразной горючей смеси, имеющей форму плоского слоя или цилиндра, в окружении инертного газа той же плотности. Использовался предложенный авторами ранее (2001 г.) приближенный метод моделирования распространения пламени, основанный на представлении потенциального поля скоростей среды суперпозицией двух движений: однородного навстречу пламени и порождаемого действием равномерно распределенных на занимаемой пламенем поверхности эффективных источников газа.

6

G

Основу математических критериев правдоподобия моделирования составляли полученные Я. Б. Зельдовичем и др. (1980 г.) два интегральных соотношения параметров стационарного потенциального течения, которым должно удовлетворять точное стационарное решение задачи. Предложенная здесь модификация критериев учитывала тот факт, что в гидродинамичеком приближении у рассматриваемых задач стационарное решение отсутствует (что, по-видимому, должно проявляться в колебаниях кромок пламени). На примере плоского горючего слоя показано, что использованный в данной работе метод моделирования удовлетворяет модифицированным критериям, если коэффициент расширения продуктов горения е > 4. Последнее открывает возможность для практических приложений полученных результатов.

В рамках примененного метода моделирования для случая горючей смеси, имеющей форму слоя, аналитически показана гидродинамическая устойчивость плоского пламени к длинноволновым возмущениям его поверхности. Напротив, для случая цилиндрической горючей смеси, где плоское пламя

также является стационарным решением задачи, выявлена его гидродинамическая неустойчивость к длинноволновым возмущениям. Устойчивая к длинноволновым возмущениям форма пламени, однако, остается близкой к плоской (имеет значительный радиус кривизны).

Получены аналитические выражения для скорости устойчивого пламени и кривизны его поверхности. Показано, что в полученном авторами ранее решении задачи с плоским горючим слоем имело место занижение скорости распространения пламени на величину от 5 до 10% в зависимости от коэффициента расширения продуктов горения.

Проверка результатов расчета для случая с цилиндрической симметрией осуществлена на основе экспериментального воспроизведения гидродинамических условий задачи путем инициирования волны горения в полом цилиндре, выполненном из огнепреграждающей сетки и помещенном в однородную горючую пропановоздушную смесь существенно большего объема. Результаты расчетов и экспериментов совпадают в пределах своей точности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Полетаев Н. Л., Полетаев А. Н. Метод моделирования медленного горения // Пожаровзрыво-безопасность. 2001. Т. 10.№ 1. С. 9-11.

2. Полетаев Н. Л., Полетаев А. Н. Моделирование движения ламинарного пламени по открытому слою горючей газообразной смеси // Пожаровзрывобезопасность. 2001. Т. 10. №2. С.14-18.

3. Zel'dovich Ya. В., IstratovA. G., Kidin N. I., Librovich V. B. Flame propagation in tubes: hydrodynamics and stability // Combustion Science and Technology. 1980. V. 24. P. 1-13.

4. Полетаев А. Н. Об отсутствии стационарного решения задачи распространения искривленного пламени в гидродинамическом приближении // Пожаровзрывобезопасность. 2002. Т. 11.№ 3. С. 3-6.

5. Расчет основных показателей пожаровзрывоопасности веществ и материалов: Руководство. — М.: ВНИИПО, 2002. — 77 с.

Поступила в редакцию 20.07.04.