CC BY
45
Сведения об авторах Антропов Илья Михайлович,
инженер по изоляции и средствам защиты от перенапряжений
второй категории ПО «ЦЭС» филиала ОАО «МРСК Северо-Запада» «Колэнерго».
Россия, 184209, Мурманская область, г. Апатиты, ул. Фестивальная, д. 2А
Эл. почта: [email protected]
Невретдинов Юрий Масумович,
ведущий научный сотрудник лаборатории высоковольтной энергетики и технологии Центра физико-технических проблем энергетики Севера КНЦ РАН, к.т.н.
Россия, 184209, Мурманская область, г. Апатиты, мкр. Академгородок, д. 21А Эл. почта: [email protected]
УДК 621.311 Д.В.Куклин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОВОДНИКОВ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ ПРИ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДОВ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ ТЕЛЕГРАФНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНО С МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
Аннотация
Для моделирования проводников малого диаметра в методе конечных разностей во временной области существует несколько методов, основанных на решении телеграфных уравнений. Однако при проникновении проводников в поглощающие граничные условия возникает ошибка расчетов. Это не позволяет точно моделировать проводники бесконечной длины. В статье представлен простой способ избежать данной ошибки. Проверка данного способа выполнена для метода, предложенного Guiffaut и др., так как он позволяет моделировать произвольно ориентированные проводники и численно устойчив при сложных соединениях проводников. Вероятно, предложенный способ подойдет и для других методов, основанных на решении телеграфных уравнений.
Ключевые слова:
метод конечных разностей во временной области, заземлитель.
D.V.Kuklin
MODELING OF INFINITE LENGTH WIRES WITH THE HELP OF METHOD USING TELEGRAPHER EQUATIONS TOGETHER WITH FINITE DIFFERENCE TIME DOMAIN METHOD
Abstract
There are several techniques based on telegrapher equations for modeling thin wires in finite-difference time-domain (FDTD) method. However, an error occurs when wires penetrate absorbing boundary conditions, which does not allow to model wires with infinite length exactly. A simple way to avoid this error is presented in the article. Verification of the presented approach is made for method proposed by Guiffaut et al. as this method allows to model arbitrarily oriented wires and it is numerically stable for wire junctions. The presented approach can probably be used for other methods based on telegrapher equations.
Keywords:
finite-difference time-domain method, grounding.
81
В методе конечных разностей во временной области (finite-difference time-domain, FDTD) [1] используются две группы методов, моделирующих проводники, поперечный размер которых меньше размера расчетной сетки. В одной из групп проводники моделируются путем изменения параметров среды (либо изменением конечно-разностных выражений метода FDTD) [2-5], в другой используются телеграфные уравнения [6-8]. Методы второй группы позволяют моделировать произвольно ориентированные проводники с диаметром, не зависящим от размера сетки, что дает большую свободу в выборе модели (антенны, опоры и их заземлители сложных конструкций и пр.). Однако использование данного метода в том случае, когда проводник проникает в поглощающие граничные условия PML (perfectly matched layer) [1], приводит к ошибке расчетов. Это не позволяет точно моделировать проводники бесконечной длины, используемые, например, для расчетов электрических характеристик заземлителей.
Несмотря на то что две данные группы методов основаны на одинаковых аппроксимациях, их реализация различается тем, что в первой группе распространение волн вдоль проводников рассчитывается самим методом FDTD, во второй же группе распространение волн рассчитывается при помощи решения телеграфных уравнений и осуществляется распределение токов в проводниках по расчетной сетке метода FDTD (и обратно). Взаимодействие токов в проводниках с полями сетки вносит существенные изменения в процесс расчета, а так как поглощающие граничные условия не предполагают подобных изменений, то появляется ошибка. Возможно, данную ошибку можно исправить путем модификации поглощающих граничных условий, но это относительно сложная задача и, вероятно, это приведет к увеличению времени расчета.
В данной работе предлагается моделировать бесконечные проводники путем простого соединения проводников, моделируемых разными методами, то есть без какой-либо модификации поглощающих граничных условий и самих методов моделирования проводников (рис. 1).
проводник 1, смоделированный проводник 2, смоделированный методом, предложенным методом, предложенным
Guiffaut и др. Railton и др.
Рис.1. Участок расчетной области, показывающий соединение проводников
Так как метод, предложенный авторами Railton и др. [2], лишь предполагает изменение параметров среды, то проводники могут проникать в PML-область, не приводя к ошибке расчетов. Поэтому для моделирования бесконечного проводника методом, предложенным Guiffaut и др. [8], его конец соединяется
82
с началом проводника, смоделированного методом [2]. Важно, чтобы проводник 1 располагался вдоль сетки расчета электрического поля: только так он может быть соединен с проводником 2. Для устранения отражений волн от конца проводника 1 (рис. 1) напряжение на его конце рассчитывается, как [9]:
Un+1
U N
— Un
— UN-1
cAt -A cht + Ai
Un -unn-i ),
(i)
где U - напряжение в узле; N - номер узла проводника (всего N узлов); n - момент времени; c - скорость света; At - временной шаг; А! - расстояние между узлами. Было обнаружено также, что при большом числе итераций расчетного цикла может возникать неустойчивость, которая устраняется небольшим перекрытием проводников (проверено для перекрытий 0.04А и А, где А - размер ячейки), то есть когда конец проводника 1 расположен дальше начала проводника 2 по направлению к концу проводника 2 (рис. 1).
Для проверки проведем расчет напряжения на вертикальном проводнике для расчетных областей разного размера. В первом случае используется область большого размера с длинными проводниками так, чтобы отраженные от концов проводников волны не успели дойти до точки измерения напряжения за рассматриваемое время расчета (рис. 2а). Во втором случае используется область меньшего размера, в которой проводники моделируются подходом, описанным выше (рис. 2б).
Расчеты проведены для проводников диаметром
20 мм и 101.5 мм (такой диаметр близок диаметру проводника при простом обнулении электрического поля вдоль сетки). Удельное сопротивление грунта - 500 Ом-м, относительная диэлектрическая
проницаемость - 12. Размер ячейки - 0.25 м. Поглощающие граничные условия - CPML (convolutional perfectly matched layer) [1] с толщиной в 15 ячеек. Размер большей расчетной области - 1000^1000^1000 ячеек, меньшей - 100x100x100 ячеек. Длина заземлителя - 3 м.
Рис. 2. Параметры расчетных моделей (пропорции не соблюдены)
83
Ток задавался функцией [10]:
i(t)
t
n
T
i
max
П
1 +
t
T
n exP
-1 + 0.5,
(2)
где n = 10; T = 143 (задает длительность полуспада 100 мкс); т = 0.454 (задает длительность фронта 0.25 мкс); ц = 0.993 (служит для нормализации функции). Функция сдвинута на 0.5т, так как вначале растет слишком медленно. Амплитуда тока - 1 А.
Результаты расчетов разности потенциалов между заземлителем и потенциальным контуром представлены на рис. 3. Видно, что разница между результатами для расчетных областей разных размеров мала, однако для проводников меньшего диаметра ошибка больше. С дугой стороны, перекрытие проводников, равное Д, устраняет эту ошибку (по крайней мере для проводников, расположенных в среде с параметрами вакуума).
Рис.3. Результаты расчета разности потенциалов между заземлителем и потенциальным контуром:
а - больший размер расчетной области; б - меньший размер расчетной области; в - то же, что и б, но с перекрытием проводников, равным А
Также были проведены расчеты с более сложным объектом: опорой. Параметры модели представлены на рис. 4.
В первом случае опора смоделирована при помощи ступенчатой аппроксимации (лучи заземлителя и фазные провода - методом [2]), во втором - методом [8]. Заземлитель состоит из четырех лучей, диаметр которых 12 мм, длина каждого луча - 50 м. Лучи расположены на глубине
0.5 м. Диаметр фазных проводов - 20 мм. Диаметр проводника, моделирующего канал молнии, - 101.5 мм. Удельное сопротивление грунта - 250 Ом-м. Форма импульса тока прежняя. Источник тока - идеальный.
84
а
б
Л* источник тока измерение разности О1 потенциалов —
1
>i 50 м
н' 1
250 Ом м
CPML
Рис.4. Расчетная модель:
а - параметры опоры; б - параметры модели
Результаты расчетов представлены на рис. 5. Рассчитанные напряжения близки. Таким образом, с применением предложенного способа моделирования проводников бесконечной длины появляется возможность проводить расчеты для сложных моделей, включающих, например, опоры на оттяжках или заземлители, проводники которых могут располагаться под любым углом к расчетной сетке.
Рис. 5. Результаты расчетов напряжения на верхней фазе: а - ступенчатая аппроксимация и метод [2]; б - метод [8]
85
Для методов [6] и [7] рассмотренный способ не был проверен. Однако в методе [6] взаимодействие токов в проводниках с полями расчетной сетки происходит схожим с методом [8] образом, когда проводник расположен вдоль расчетной сетки, поэтому результаты расчета методом [6] должны быть близкими к результатам, полученным в данной статье.
Литература
1. Taflove A., Hagness S.C. Computational electrodynamics: The finite-difference time-domain method. Artech House, Incorporated, 2005.
2. The treatment of geometrically small structures in FDTD by the modification of assigned material parameters / C.J.Railton, D.L.Paul, I.J.Craddock, G.S.Hilton // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2005. - Vol. 53, no. 12. - P. 4129-4136.
3. Makinen R.M., Juntunen J.S., Kivikoski M.A. An improved thin-wire model for FDTD // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 2002. - Vol. 50, no. 5. - P. 1245-1255.
4. Umashankar K., Taflove A. Calculation and experimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1987. - Vol. 35, no. 11. - P. 1248-1257.
5. Noda T., Yokoyama S. Thin wire representation in finite difference
time domain surge simulation // IEEE Transactions on Power
Delivery. - 2002. - Vol. 17, no. 3. - P. 840-847.
6. Holland R., Simpson L. Finite-difference analysis of EMP coupling
to thin struts and wires // IEEE Transactions on Electromagnetic
Compatibility. - 1981. - Vol. 23, no. 2. - P. 88-97.
7. Ledfelt G. A stable subcell model for arbitrarily oriented thin wires
for the FDTD method // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. - 2002. - Vol. 15, no. 5-6. - P. 503-515.
8. Guiffaut C., Reineix A., Pecqueux B. New oblique thin wire formalism in the FDTD method with multiwire junctions // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2012. - Vol. 60, no. 3. - P. 1458-1466.
9. Ledfelt G. Hybrid time-domain methods and wire models for computational electromagnetics. 2001.
10. Heidler F., Cvetic J. A class of analytical functions to study the lightning effects associated with the current front // European Transactions on Electrical Power. - 2002. - Vol. 12, no. 2. - P. 141-150.
Сведения об авторе
Куклин Дмитрий Владимирович,
научный сотрудник лаборатории электроэнергетики и электротехнологии Центра физико-технических проблем энергетики Севера КНЦ РАН Россия, 184209, Мурманская область, г. Апатиты, мкр. Академгородок, д. 21А Эл. почта: [email protected]
86
