Моделирование процессов загрязнения воздуха Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.711.3 +502/504

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ВОЗДУХА © 2014 г. С.Г. Курень, Г.В. Николенко, А.П. Мул, Г.Ю. Рябых, Валявин В.Ю., Сокол Н.А.

Курень Сергей Григорьевич - кандидат технических наук, доцент, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: SergejGrigorevich@yandex. ru.

Николенко Галина Васильевна - аспирант, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: [email protected].

Kuren Sergey Grigorievich - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: SergejGrigorevich@yandex. ru.

Nikolenko Galina Vasilievna - Post-Graduate Student, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: [email protected].

Мул Александра Павловна - старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000.

Mul Aleksandra Pavlovna - Senior Lecturer, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia.

Рябых Галина Юрьевна - кандидат физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: [email protected].

Ryabich Galina Yurievna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Professor, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: [email protected].

Валявин Виктор Юрьевич - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой сервиса и технической эксплуатации автотранспортных средств, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: [email protected].

Valyavin Victor Yur'evich - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Head of Department of the Service and Technical Exploitation of Automobile Vehicles, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail:[email protected].

Сокол Николай Александрович - кандидат технических наук, доцент, кафедра сервиса и технической эксплуатации автотранспортных средств, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, e-mail: [email protected].

Sokol Nikolay Alexandrovich - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Department of the Service and Technical Exploitation of Automobile Vehicles, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: [email protected].

Проведено построение и исследование математической модели загрязнения окружающей среды, что позволит проанализировать процесс загрязнения воздуха. Объектом исследования являются валовые выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от автотранспорта, зафиксированные в Ростове-на-Дону и Ростовской области за 19992008 г. Данная модель необходима для исследования процесса загрязнения, прогнозирования его развития и при проектировании очистных сооружений.

Ключевые слова: загрязнение воздуха от автотранспорта, математические модели в экологии, логистическая модель, метод наименьших квадратов, относительная погрешность.

Atmospheric pollution with harmful substances bear the greatest risk to humans, so many industrialized countries are paying close attention to the protection of the atmospheric air. Objective of given article are research and construct a mathematical model of environmental pollution by means of which the analysis ofprocess of air pollution is made. The subject of a study are total emissions of pollutants into the atmosphere from vehicles, recorded in Rostov-on-Don and Rostov Region for the period 1999-2008. The given model is necessary for further use at research ofprocess ofpollution, forecasting of its progress and the design of water treatment constructions.

Keywords: air pollution from motor vehicles, mathematical models in ecology, logistic model, least square method, approximation error.

По агрегатному состоянию выбросы вредных веществ в атмосферу классифицируются на газообразные (диоксид серы, оксиды азота, углерода, углеводороды и др.); жидкие (кислоты, щелочи, растворы солей и др.); твердые (канцерогенные вещества, свинец и его соединения, органическая и неорганическая пыль, сажа, смолистые вещества и пр.).

В предлагаемой работе исследованы процессы загрязнения атмосферы с учётом валовых выбросов загрязняющих веществ при помощи математических подходов [1-3], адаптированных для данной задачи и ранее не использовавшихся для её решения.

Преимущества математических моделей состоят в том, что они достаточно точны и абстрактны, переда-

ют информацию логически однозначным образом. Модели точны, поскольку позволяют осуществлять предсказания, которые можно сравнить с реальными данными, поставив эксперимент или проведя необходимые наблюдения. Модели абстрактны, так как символическая логика математики извлекает те и только те элементы, которые важны для дедуктивной логики рассуждения, исключая все посторонние значения.

Разработанные математические модели должны давать оценку антропогенного загрязнения воздушной среды региона, выявлять основные источники загрязнения, определять основные экологические последствия этого загрязнения, т.е. иметь характеристические и предсказательные функции.

Целью данной работы является разработка адекватной математической модели, пригодной для исследования процесса загрязнения, его динамики и при проектировании очистных сооружений.

Постановка задачи: построить и проверить на адекватность математическую модель загрязнения атмосферы валовыми выбросами веществ [4] от автотранспорта и от стационарных предприятий в г. Ростове-на-Дону и Ростовской области за десятилетний период и осуществить практически прогнозирование экологической ситуации на основе этой модели.

Разработка методов решения

Моделирование роста объемов выбросов от автотранспорта с помощью уравнения Ферхюльста. Рассматриваем объем выбросов как функцию времени

N (г + Дг) - N (г)

N(t), тыс. т. Величина

At

описывает сред-

нюю скорость роста в интервале времени (t; t+At). Определяем существование производной по вре-

dN (t) N (t + At) - N (t) мени-= lim

dt At

Здесь и далее производная по времени будет обо-dN (t)

значаться

dt

- = N.

Таким образом, схема, приближенная к жизни, должна быть функцией, которая при небольших объемах выбросов будет резко возрастать, при средних размерах валовых выбросов сводить рост примерно к нулю и снижаться при большом числе автомобилей. Простейшей функцией, удовлетворяющей таким условиям, является зависимость, предложенная Фер-( N4

хюльстом, N = NN I 1--

, I К,

Это уравнение также называется логистическим. Величина Я является коэффициентом роста. Член (1-Л/К) удерживает рост объемов выбросов в определенных границах, так как когда N возрастает, (1-Л/К) уменьшается. Величины N лежат в интервале от 0 до К. N=0 означает полную очистку, а Л=К - наибольшее предельно достижимое количество выбросов загрязняющих веществ от автотранспорта в атмосферу.

На основе логистического уравнения построим математическую модель роста загрязнений.

В таблице представлены исходные данные по динамике выбросов в атмосферный воздух Л, тыс. т, по статистике, проводимой государственными докладами [5, 6] и «Экологическим вестником Дона» [7-10] за 1999-2008 гг.

Динамика валовых выбросов загрязняющих

веществ в атмосферу от автотранспорта в Ростовской области, тыс. т, за 1999-2008 гг.

Далее рассмотрим процесс загрязнения воздуха выбросами от автотранспорта, не учитывая очистку. Выбросы фиксируются периодически (с интервалом в 1 год) [4]. Объем выбросов возрастает: количество выбросов в следующем году есть функция от количества в текущем году. В самом простом случае количество выбросов ежегодно увеличивается пропорционально количеству источников (автомобилей), т.е. увеличение есть линейная функция.

Однако в реальных ситуациях надо учитывать действие других факторов, которые сдерживают рост количества выбросов. По мере роста объемов выбросов ухудшается экологическая обстановка. Объемы небольшого количества выбросов распространяются в атмосфере быстро. Слишком большое количество выбросов в ограниченном пространстве концентрируется локально.

Год t Выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от автотранспорта N

1999 196,3

2000 224

2001 220

2002 251

2003 305

2004 346

2005 403

2006 446,4

2007 510

2008 522,8

Расчет проводился в математическом пакете Mathcad. Введем исходные данные, которые описаны в таблице:

(196 ^ 240

t :=

(1999^ 2000 2001 2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

n1 :=

220 251 305 346 403

446 510 522

ч

/

/

Задаем начальные условия: k=300; p=190 лет; r=0,5; N0=8 тыс. т.

Для аппроксимации исходных данных будем использовать функцию, описывающую логистическую модель:

к

N(x) :=--г—-т-+ p, (1)

1 + [ — - 1|e

I N0 J

где N0 - начальное количество естественного загрязнения атмосферы; N(x) - объем загрязнения в момент времени x; p - положительный параметр (сдвиг во времени); r - удельная скорость роста объема загрязнений (увеличение объемов выбросов); k - поддерживающая ёмкость среды (то есть максимально возможный объём (концентрация) выбросов).

Для аппроксимации методом наименьших квадратов находим частные производные и приравниваем их к нулю:

9

Е

j=0

-rtj

1 + e 1

N 0

-1

+ p - N1.

- rt •

ke 1

1 -rtj 1 + e 1

N 0

-1

N0

- rtj

1 + e 1

N0

-1

= 0,

9

Е

1=0

1 + e -rtJ [A -1

N 0

kte-rti [A -1

1 I N 0

+ p - N1 j

л -rtj

1 + e 1

9

Е

j =0

N0

к

-1

= 0,

1 + e -rt1 [A -1 N0

+ p - N1 j

к 2 e-

N0 + e rtj (к - N0)

= 0,

9

Е

1=0

-rt1

1 + e 1

N 0

-1

+ p - N11

= 0 .

Таким образом, получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую решаем встроенной функцией Find:

( к Л (( к ЛЛ (387,537Л

r

N 0

. Р .

:= Find

w

r

N0 p

JJ

0,583 8,13 186,347

Функция Find возвращает решение системы уравнений в виде вектора. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных, которые получаем равными k=387,54 тыс. т; r=0,58 тыс. т/год; N0=8,13 тыс. т; p=186,35 года.

Полученные коэффициенты подставляем в исходное уравнение (1).

Исходя из полученных данных, можно предположить, что предел роста загрязнений равен lim N(t) ^ 573,8 тыс. т.

Для того чтобы численно проанализировать полученные результаты, посчитаем невязку системы

9

/ -I -г , . , .. \/ ^ . ~ ^ ^ ~

также относительную

Е (N(tj) - N1 )2 = 643,903, а

i=1

погрешность

E(N(ti) - N1i )2 i=0

= 0,022.

ее (n (ti ))2

Такой результат говорит о том, что модель (1) с высокой точностью описывает рост загрязнения атмосферы.

Математическое моделирование процесса загрязнения воздуха на основе модели комменсального типа.

Опишем модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой на основе модели комменсального типа (т.е. модели с двумя параметрами, каждый из которых положительно влияет на рост другого) [1-3].

Пусть X(t) - объем (концентрация) загрязнений в момент времени ^ Y(t) - объем уловленных загрязнений в момент времени t.

IX = аХ -ЪХУ,

IУ = -й?У + сХУ

где a, b, c, d - положительные

постоянные, характеризующие скорость изменения выброшенных и уловленных загрязнений и взаимодействия между ними.

Определяем коэффициенты a, Ь, c, d методом наименьших квадратов.

k

к

к

x

к

1

х

2

к

к

i=0

к

x

х

2

к

X

х

2

Коэффициенты a, b, c, d получаем равными

'a := 0,4; b := 0,002; с := -0,4; d :=-0,001.

Далее проверяем адекватность модели. Считаем относительную погрешность по формуле

Vz (x - **)2 + (y - У*)2

ü

22 xi + Уг

которая равна 8 = 9 %, т.е.

построенная модель вполне адекватна.

Прогнозирование

Сделаем прогнозирование дальнейшего развития процесса загрязнения атмосферы с помощью логистической модели (1). Рассчитаем величину загрязнения на следующий год (2009 г.). В уравнение модели подставляем найденные параметры: £=387,54 тыс. т; г=0,58 тыс. т/год; N0=8,13 тыс. т; ^=186,35 года.

Подставив параметры, получаем

N (2009) = - 387'54

1 + 1

( 387,54

I 8,13

-1 e

+186,35.

Отсюда значение Ы= 573,89 тыс. т.

Валовые выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от автотранспорта в Ростовской области в 2009 г. составили N1=461,1 тыс. т [8].

Найдем относительную погрешность вычислений: получаем 0,19 - относительная погрешность предсказанного значения.

Выводы

В данной статье рассмотрены элементы математического моделирования загрязнения воздуха:

1. Описан метод решения дифференциальных уравнений.

2. Применен метод наименьших квадратов.

3. Найдена относительная погрешность действительных данных от данных, полученных с помощью модели.

4. Сделан прогноз на 1 год.

5. Проверена адекватность моделей.

Результаты данной статьи важны для исследования процессов загрязнений и практического использования при оценке экологической обстановки в г. Ростове-на-Дону и Ростовской области.

Литература

1. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов : учеб. пособие. М., 1993. 302 с.

2. РомановМ.Ф., ФедоровМ.П. Математические модели в экологии. СПб., 2003. 240 с.

3. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели в биологии М., 2010. 400 с.

4. Пустовая Л.Е., Месхи Л.Е. Методы и приборы контроля окружающей среды. Экологический мониторинг : учеб. пособие. Ростов н/Д., 2008.

5. Государственный доклад «О состоянии окружающей природной среды Ростовской области в 1995 году» / под общ. ред. В.Д. Гребенюка, В.Н. Агеева, М.В. Паращенко. Ростов н/Д., 1996. 164 с.

6. Государственный доклад «О состоянии окружающей природной среды Ростовской области в 2000 году» / под общ. ред. В.П. Водолацкого, П.П. Ульянова, М.В. Паращенко. Ростов н/Д., 2001. 136 с.

7. Экологический вестн. Дона «О состоянии окружающей среды и природных ресурсов Ростовской области в 2003 году» / под общ. ред. С.М. Назарова, В.М. Остроухо-вой, М.В. Паращенко. Ростов н/Д., 2004. 264 с.

8. Экологический вестн. Дона «О состоянии окружающей среды и природных ресурсов Ростовской области в

2008 году» / под общ. ред. С.Г. Курдюмова, Г.И. Скрипки, М.В. Паращенко. Ростов н/Д., 2009. 356 с.

9. Экологический вестн. Дона «О состоянии окружающей среды и природных ресурсов Ростовской области в

2009 году» / под общ. ред. С.Г. Курдюмова, Г.И. Скрипки, М.В. Паращенко. Ростов н/Д., 2010. 372 с.

10. Экологический вестн. Дона «О состоянии окружающей среды и природных ресурсов Ростовской области в

2010 году» / под общ. ред. С.Ф. Трифонова, Г.И. Скрипки, М.В. Паращенко. Ростов н/Д., 2011. 349 с.

Поступила в редакцию

25 июня 2014 г

-0,582009