CC BY
37
тельно, и необходимость учета в математическом моделировании уравнений, их описывающих.
Поддержана грантом РФФИ № 04-01-00830.
Список литературы
1. King J.W., Kohl H. Upper atmospheric winds and ionospheric drifts caused by neutral air pressure gradients // Nature. 1965. V. 206. №4985. P. 693 — 701.
2. Kohl H., King J.W., Eccles D. Same effects of neutral air wind on the ionospheric F-layer // J. Atmos. Terr. Phys. 1968. V. 30. № 10. P. 1733 — 1741.
3. Salah J.E., Holt J.M. Midlatitude thermaspheric winds from incoherent scatter radar and theory // Radio S. 1974. V. 9. № 2. P. 301—313.
4. Hernander G., Roble R.G. Direct measurements of nighttime midlatitude ther-mosperic winds and temperatures 2. Geomagnetic storms// J. Geophys. Res. 1976. V. 81. № 28. P. 5173 — 5181.
5. Jacchia L.G. New static models of the thermospheric and exospheric with empirical temperature profiles / / SAO Spec. Rep. 1970. № 313.
6. Jacchia L.G. Revised static models of the thermosphere and exosphere with empirical temperature profiles // SAO Spec. Rep. 1971. № 332. P. 116.
7. Jacchia L.G. Variations in thermospheric composition: a model based on mass-spectrometer and satellite grad data // SAO Spec. Rep. 1973. № 354.
8. Jacchia L.G. Thermospheric temperature, density and composition: new models // SAO Spec. Rep. 1977. № 375.
9. Намгаладзе А.А., Захаров Л.П. Влияние возмущений состава нейтральной атмосферы и термосферных ветров на F-область ионосферы // Исследование ионосферной динамики. М.: ИЗМИРАН. 1979. С. 84—95.
10. Ишанов С.А., Латышев К. С., Медведев В. В. Моделирование возмущений F2^6-ласти ионосферы при антропогенных воздействиях // Модели в природопользовании: Межвуз. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. Калининград, 1989. С. 136.
Об авторах
С. А. Ишанов — канд. физ.-мат. наук, доц., КГу.
В.В. Медведев — канд. физ.-мат. наук, доц., КГу.
Л.П. Захаров — канд. физ.-мат. наук, доц., КГу.
В. А. Залесская — аспирант, КГу.
Ю.С. Жаркова — аспирант, КГу.
59
УДК 519.6 (075.8)
Г.В. Квитко, К.С. Латышев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТРАНСПОРТИРОВКИ ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПРИБЛИЖЕНИИ ФОККЕРА-ПЛАНКА
Выведена система дифференциальных уравнений для описания квазистационарного процесса транспортировки заряженных частиц. В отличие от моментной постановки [1; 2; 3] получена замкнутая система модельных уравнений, соответствующая
Вестник КГУ. 2005. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. С. 59 — 65.
60
приближению Фоккера-Планка и состоящая из пяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для среднего значения импульса, функции ф(р, z), описывающей пространственное распределение частиц, функции a(z), определяемой угловой дисперсией импульсной переменной, и среднего значения угловой импульсной переменной. Данная система замыкается электромагнитными уравнениями для определения сил самосогласованного поля, зависящего от ф(р, z) и a(z).
A system of differential equations for a description of quasi-steady process of transportation of charged particles is deduced. As against distinct from moments method [1; 2; 3], a closed system of model equations corresponding to the Fokker-Planck approximation and composed of five nonlinear differential equations in partial derivatives for average value of a pulse, a function ф(р, z) describing spatial distribution of particles, a function a(z) determined by an angular dispersion of a pulse variable, and average value of an angular pulse variable was derived. The given system is isolated electromagnetic equations for definition of forces of a self-coordinated field, dependent from ф(р, z) and a(z).
Система электронов пучка описывается функцией распределения fe = fe (t, r, p), зависящей от координат, импульсов и времени и отвечающей следующему кинетическому уравнению [4]:
f + dpf = j f} (1)
dt dr dt dP b ebVey
где V = d- = —, y = (1 -p2 )-1/2, P = V!, dt m0 y c
m0 — масса покоя электрона,
Jeb — интеграл столкновений, описывающий взаимодействия электронов с частицами сорта b .
Будем учитывать электрон-электронное взаимодействие через самосогласованное поле с силой F, определяемой из уравнений Максвелла. Кроме того, не будем интересоваться флуктуациями энергии частиц и запишем кинетическое уравнение в приближении непрерывного замедления. В этом приближении члены кинетического уравнения, соответствующие неупругому рассеянию, заменим членом
df l-l
- Fu dp, где Fu — сила ионизационного торможения, а P = |Р|. Считаем
также, что начальное распределение обладает цилиндрической симметрией, и, кроме того, нет коллективных азимутальных движений и азимутальных сил.
Введем в пространстве координат цилиндрическую систему координат р, z, ф с осью z, направленной по пучку. В импульсном пространстве введем сферическую систему координат P, a, р :
Px = P sin a cos в, Py = P sin a sin в, Pz = P cos a.
Перепишем кинетическое уравнение в этой системе координат. При этом учтем, что
P
/________
dx m0 у
sin a cos в
т/ д/ P ■ -a
=-----------sin a sin в
У ду mg Y
5/ 1 . д/
— cos ф — sin ф^^
dp p дф
5/ . 1 д/
— sin ф + — cos ф^-
dp p дф
т/ д/ P д/
Vz — =--------------------cos a-
дz m0Y
дz
„ д/ | д/ . a 5/ cos a cos в д/ sin в
Fr^— = Fx \ — sin a cos в + —---------------------'--^L---------
5Px [dP 9a P дв P sin a
д/
dPy
д/ cos a sin в д/ cos в
Fy^— = Fy sin a sin в + ^----=—— +
дa
P
дв P sin a
г д/ = г Ід/ „ д/ sin a
Fz дPz “ Fz {dP cos a 5a' P
Тогда кинетическое уравнение примет следующий вид:
5/ +
ді ш0 y
дf 1 дf ^ дf sin al 5p cos( - ф) '+ ■p афsin( - ф) I +cos a &
+ JP [Fu + sin a cosR + F sin a sin в + Fz cos a] + -1 la.) x [fx cos a cos в + Fy cos a sin в - Fz sin a]+-P -дв- x
sin в cos в
-F +F
sin a
sin a
= 1 ' J 'eb {fe },
61
где, как уже отмечалось, в интеграле столкновений выделен член, отвечающий взаимодействию электронов между собой, а взаимодействие электронов с остальными частицами считается упругим.
Будем искать решения этого уравнения, не зависящие от угла в + р. Такие решения существуют, если от этого угла не зависит начальное распределение и, кроме того, проекции сил удовлетворяют следующим условиям: Fx = Fp cos р + Fp sin р, Fy = Fp sin p- Fp sin р, где
Fp и Fp — соответственно радиальные и азимутальные силы. Считая, что Fp = 0, преобразуем уравнение, введя угол / = в - р :
5/ + _P
ді ш0 y
1 fF
P daL p
df df
sin a cos у^т- + cos a^f-
dp 5z
+ -5p- [fu + Fp sin a cos у + Fz cos a]+
1 д/ Гг id/
+P -5* \cos a cos у-Fzsm aJ-]
P 1 1 sin у
------sin у sin a +^——— Fp
ш0 y p P sin a p
+
X
b
=Z' J b f і.
eb
62
Введем новые переменные 9 x = sin a cos/, 9y = sin a sin /. В этих переменных уравнение (2) примет следующий вид:
dt ш0 у
5P
Fu + Fpex + Fz
4Г-
e2
д/
{P Fp[1 -e2l
dex P p
-PFxeJ 1 -e2 + -P-pey JP x x m y p y
df {1 Wp + P Fz>ey^1 e + ш0Y p"
mo Y p
exey }=Z' J * L }•
Здесь 9 = 9Х + 9у . Величины 9х и 9у для пучка можно считать малыми. Поэтому, пренебрегая величинами второго порядка малости там, где это возможно, получим:
" £\
L+_P_
dt m0Y
e L+L
x dp dz
[ + Fz + Fpex ]+ Jfx {P ( exFz)+ m0Y p Єу }"
dP
/ Г1F e + _P_ 1 e e
5ey P z y шYp y
(З)
Интеграл столкновений будем рассматривать в приближении малых углов, считая ионы «замороженными». В этом приближении [5]
Jeb = пЪ (Л z)
<Kb>
dx f + dx f
de x de
2
y J
где (Kb
(Kb ') —
среднеквадратичное изменение углов электронов пучка на
единицу длины в результате взаимодействия с ионами сорта «Ь», а пь (р, z) — плотность ионов сорта «Ь».
Если пренебречь азимутальным движением электронов, возникающим из-за рассеяния, то, полагая ^ = 0 и 9 у = 0 в (3), получим:
L+-P-\eS+L
dt ш0 y I x dp dz
+ L \Fu + Fz + Fpex ] + 2
+f { k-e>F=} "b (p, ^ ^.
xb
4 de?
Будем искать решение этого уравнения в виде
/ ( р, г, /, 9 х ) = 8(р - ро (р, г, г)) • л(р, г, /, 9 х ). Подставив это выражение в (4), получим:
S(P - Po +
дп dt ' ш0 Y
e дп + дп
ex dp + dz
+f (Fp - exFzМєЧ +
dex
+ 5'(P - Po )
F„ + Fz + Fpex -5Po
p x dt m0Y dp
P_ 5P0, e________p_ 5P0
m0 y dz
(4)
+
+
4
Воспользуемся тем, что /(х) 5(х - х0 ) = / (х0 )8(х - х0), а
/(х) 8 (х-хо)= /(хо) 8'(х-хо)--дх|х=х08(х-хо).
Тогда
5п , Ро
дТ т0 у
9 5п + 5п 9: др + дг
+ п Ро др0 9: + Ро др0 !-п1 -др + ^дрт + ^Р9:
т0у др : т0у дг
п[ + р + ?р9х]
+.1 (г -9 г _дп+
+ Р0 рр 9хГг' д9 1р=р0 д9 +
дРи дГг дрр
-8'(Р - Р0 )>
Р = Р0
Р = Р0
др + р др
0 + р0 ^0 9 + р0 др0
дТ т0 у др : т0 у дг
л> =
= 8(Р - Р0 )•£ Щ (р, г)
(к2)
4 д92 .
63
Приравнивая коэффициенты при б и б , получим:
др0 + р0 др0 9 + р0 др0 = (г + г + г 9 )
з 9х + ^ \ги + гг + гр9:Лр=Pо,
дт т„ч дп т,л дг I 0
Р0 дРг
дТ т0у др т0у дг
(5)
дп +_Р0_
дТ т0у
_ дп дп 9:— + — др дг
1 (- рА )р=Р0
дп
ёё:
+п
( др, 9 + Р дР,Л
тоу др т0у дг
,М
д2п
(дР„ дРг дР , _ , ,
-п|—и +----- + р^9: IР=Р =Хпь(р,г)------------2
^ дР дР дР :)Р=Р0 ^ 4 д9Х
Отсюда получаем следующие уравнения:
д Р.
0 + р0 д Р(
-----------1-----------------------
д Т т 0у дг
- = (р„ + Р )| р=Р0,
р0 • дР0 = р
т0у др
Р =Р0
дп Рг
- + -
0
дt т0у
дг
дР0
- + 9^
др
Р^(Р„-9:Р; ) Р=Р0 ^9^ + ((г, + р, )| р=Р0 +
(6)
др, дР дРр
Рр|Р=Р 9: -- ^ +'дг + ^^Р=Р0 = ?• ЩЬ(р, г)
дР дР дР
.^К2! •«2£
4 д9Х'
(7)
(8)
(9)
Будем искать квазистационарные решения поставленной задачи, не
дР, дР: 5Рр
учитывая члены -р,-дри-др. Тогда система (7) — (9)примет вид:
-^•-Р=^^ )|
ШоУ дг 1
Р=Ро
шоУ 5р
(10)
(И)
ь
+
+
64
Ро
то Y
сП+9 сП
dz x dp
+ p^(Fp -9xFz)^97 + F + Fz + Fp9x)п = Ф^,
(12)
(к2>
где ф(р, г) = Е Пь (р, г)^;-*-.
Ь 4
Решение уравнения (12) ищем в виде
9x ) = p(p^z) exp
Vz
Подстановка в уравнение (12) дает:
(9x -90)2
dz (£ )+£ (^ )2(9x-90 ^-(9x-90 )2 £ ) +
_L 5p9 +jp_ 2(9x -90) a(z)d90 9 ] + {_LF p (- 2X9x -90)(z).
4z dr x 4z z y rdT x J [ P0 z
+ PF 2(9x - 90)9x } + ( + Fz + Fp9x ) =
P0 z z/2 } Vz
= ф(р,2)4^ф: -90)2-^-2-2--|.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 9:, получим три уравнения для функций а(г), 90 (р, г), ф(р, г):
d I р
dz ( ^ У--^(92 a) + Щ- 290 + Р0
р
4~z
dz ( 0 z
(4a2902 2a)
2t+TS (f 92 )-mf( F»ir+F> f 290+P0Fp)-8фо20
2 w0'
d90 2a d (a(z)) + mtfiF a = ф 4a;
dr z dz 1 z
P02 zz
(13)
(14)
(15)
Потребуем, чтобы функция п(— р, 9:) удовлетворяла следующему начальному условию:
9: | г=0 = ^•Ф: )■
Тогда для ф, 90, а должны выполняться следующие соотношения:
ф^ г=0 = Нр^-1^ (16)
90 (р,-=0 = 0, (17)
а(г)| -=0 = 1 (18)
Для полной постановки задачи систему (10) — (11), (13) — (15) с условиями (16) — (18) нужно дополнить уравнениями Максвелла. Входящие
z
+
z
в них токи легко выражаются через новые неизвестные функции р(, z) 90 (p, z) и a(z). Например:
Уп = e — pn ( z)= e-^-0- z, 9)9 x = —р0 и т. д.
moY mo Y-a> mo Y Va(z)
На основе полученной системы уравнений были проделаны вычислительные эксперименты по расчету параметров транспортировки электронных пучков в модельных средах и внешних магнитных полях различной конфигурации. Полученные результаты дали хорошее согласие с проведенными ранее исследованиями [6] на основе многомоментной системы уравнений для сильноточных пучков релятивистских электронов.
Статья поддержана грантом РФФИ 04-01-00830.
Список литературы
1. Арсеньев Д.Н., Грудницкий В.Г., Комов А.Л., Рыгалин В.Н.. Численые методы моделирования РЭП // Коллективные методы ускорения и пучково-плазменные взаимодействия: Сб. научн. тр. // РТИ АН СССР, 1980. С. 131 — 140.
2. Квитко Г.В. Математическое моделирование потоков релятивистских заряженных частиц / / Доклады международного математического семинара, посвященного 140-летию Д Гильберта. Калининград: Изд-во КГУ, 2002. С. 291 —298.
3. Квитко Г.В., Буздин А.А., Латышев К.С. Метод «крупных частиц» в задачах моделирования процессов эволюции релятивистских электронных пучков / / Проблемы математических и физических наук: Материалы постоянных научных семинаров. Калининград: Изд-во КГУ, 2000. С. 3 — 8.
4. Александров А.Ф., Богданкевич А.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1988. С. 48.
5. Edward P. Lee. Phys. of Fluids, T.19, №1, 1976.
6. Грудницкий В.Г., Комов А.Л., Буздин А.А., Квитко Г.В. Взаимодействие электронного пучка с газовой струей в устройстве вывода / / Отчет МРТИ АН СССР, №В-266/501, 1983, С. 20.
Об авторах
Г.В. Квитко — ст. преп., КГу.
К.С. Латышев — д-р физ.-мат. наук, проф., КГу.
65
УДК 550.388.2
Н.М. Кащенко ФАКТОРИЗАЦИЯ В ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИОНОСФЕРНОЙ ПЛАЗМЫ
Рассмотрены построение численного метода интегрирования вырожденных эллиптических уравнений на основе факторизации дифференциального оператора этих уравнений и вари-
Вестник КГУ. 2005. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. С. 65 — 70.
