Моделирование процессов переработки контейнерных грузов в транспортных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Нырков А. А. Имитационное моделирование транспортных процессов / А. А. Нырков, А. П. Нырков. — СПб.: СПГУВК, 2010. — 112 с.

3. Волков И. К. Случайные процессы: учебник для вузов / И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цветкова; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 448 с.

4. Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2002. — 407 с.

УДК 656.025.4/6 Ю. Я. Зубарев,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК;

А. С. Гайнуллин,

аспирант,

СПГУВК;

А. С. Хвастунов,

аспирант,

СПГУВК

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕРАБОТКИ КОНТЕЙНЕРНЫХ ГРУЗОВ

В ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМАХ

MODELING OF THE PROCESS OF CONTAINER CARGO HANDLING

IN TRANSPORT SYSTEMS

Рассматривается задача моделирования процессов переработки контейнерных грузов на специализированных перегрузочных терминалах. Приводятся модели процессов для транспортных систем, включающих несколько терминалов, с учетом различной контейнеровместимости каботажных судов.

The problem of modeling the processing of container cargo in specialized cargo handling terminals is considered here. Models of process for transportation systems are given, including several terminals, and different container capacity of coasters is taken into account.

Ключевые слова: транспортные системы, обработка каботажных грузов, вероятностные модели.

Key words: transport systems, coastal cargoes handling, probabilistic model.

<4

*

Н

Ш

А ПРАКТИКЕ часто встречаются случаи, когда на терминале осуществляется обработка m каботажных судов, которые осуществляют циклическую перевозку грузов из R различных портов.

Таким образом, рассматривается транспортная система, включающая в себя R + 1 терминал и m каботажных судов.

В основном число терминалов в системе не превышает трех-четырех. Однако, рассматривая задачу в общем виде, будем считать, что

число терминалов произвольно, а все каботажные суда могут обладать различной грузоподъемностью (контейнеровместимостью). Для общей поставки задачи будем также считать, что интенсивности прихода различных судов в R + 1-й терминал могут отличаться друг от друга. Однако это не исключает вероятность совпадения интенсивностей прихода отдельных судов.

Рассмотрим транспортную систему, включающую в себя R + 1 терминал, между

которыми осуществляют каботажную перевозку контейнерных грузов т судов. Каждый г-й терминал включает в себя Бг причалов, на которых осуществляется переработка грузов.

Перевозки контейнерных грузов можно рассматривать как последовательность циклических операций, где каждое судно перевозит груз от одного порта к другому, а затем возвращается и повторяет операцию.

Рассмотрим движение 1-го судна в прямом и обратном направлении. Время цикла операции Т/ц, является случайной величиной. Однако известно математическое ожидание времени цикла, равное сумме математических ожиданий отдельных составляющих: (математические ожидания времени движения судов по маршруту в прямом и обратном направлениях), Т1обр1,Т1обр2 (математические ожидания времени обработки), Т1ож1, Т1ож2 (математические ожидания времени ожидания в очереди).

При этом первые четыре слагаемых считаются известными, а два последних определяются методом последовательных приближений. Рассмотрим ось времени от 0 до Т соответствующую одной циклической операции. Будем считать, что по прошествии некоторого времени от начала навигации, примерного равного 3^5 Т положение судна в любой момент времени на оси будет случайным и одинаково вероятным в любой точке оси времени. Таким образом, плотность распределения случайного положения судна на оси времени будет постоянной, а координаты судна на этой оси будут подчиняться равномерному закону распределения. В этом случае можно легко показать, что вероятность пребывания 1-го судна в г-м терминале пропорциональна математическому ожиданию времени пребывания судна в этих терминалах, то есть

Т + Т

/,гож 1,г обр

Риг=-

(1)

1г ц

где Р, г — вероятности пребывания судна на терминале, то есть вероятность нахождения судна либо в очереди, либо в обработке.

Рассмотрим R + 1 терминалов как автономную систему. Тогда интенсивность прихода 1-го судна к R + 1-му терминалу будет определяться выражением

1

^7,Д + 1 „

/М 'АЮ&р /ож

где — математическое ожидание суммар-

ного времени движения 1-го судна в прямом и обратном направлениях; ТШр и — математическое ожидание времени обработки 1-го судна и его ожидания в терминале, из которого 1-е судно движется к г + 1-му терминалу.

Соответственно суммарная интенсивность прихода т судов в R + 1-й порт будет иметь вид

т 1

^ _ V1_________________

Л+1 гг7 гр Л-Т

1=1 ±1 М 'Г11овр 11ож

Наиболее сложной задачей в данном случае является определение вероятностей Р(Д + 1) и того, что в R + 1-м терминале будет п судов. При этом необходимо учитывать, что суда поступают на г + 1-й терминал с различной интенсивностью А,. Предполагается, что учет среднего времени ожидания каждого судна в очереди позволяет рассматривать приход различных судов в порт как независимые случайные события. Тогда для определения вероятностных характеристик процесса обработки т судов, прибывающих из различных портов, можно воспользоваться общей теоремой о повторении опытов [1].

Действительно движение каждого из т судов по маршруту в обоих направлениях можно считать независимыми друг от друга.

Время обработки каждого судна в порту также не зависит от числа обрабатываемых судов.

Однако при т > S, что имеет место в подавляющем большинстве практических случаев, в терминале может возникнуть очередь.

В то же время учет взаимного влияния судов в терминале может быть осуществлен путем введения среднего времени ожидания судна в очереди.

Пусть терминал предназначен для обработки т судов (производится т независимых опытов). Нахождение /-го судна в терминале будет представлять собой событие А, а нена-^^0^ хождение — А1.

Событие должно определить вероят-

ность Рп того, что в терминале будет п судов (событие А появиться ровно п раз). Обозначим Е событие, состоящее в том, что событие А

Выпуск 3

Выпуск 3

появится п раз в т опытах. Представим Еп как сумму произведений элементарных событий:

Еп = А1А2...АпАп+1...Ат +... + А1А2А3...Ат_1Ат + +...A1A2...Am_nAm_n+1...A)n,

причем в каждое из произведений событие А входит п раз, событие раз. Число

таких комбинаций, будет С”, но сами комбинации между собой будут уже неравновероятны.

Применяя теорему сложения и теорему умножения для независимых событий, получим

Рп,т = Р1Р2-Р„<1п+1~4т+-+Р1<12Рз-Ят-1Рт +

+ ... + ЯД2..4т-пРп-п+1...Рт,

то есть искомая вероятность равна сумме всех возможных произведений, в которые буквы р с разными индексами входят п раз, а буквы q с разными индексами т - п раз.

Для того чтобы чисто механически составлять все возможные произведения из п букв р и т - п букв q с разными индексами, в работе [1] предлагается следующий формальный прием. Составим произведение п биномов:

Ф„ 00 = (<?, + Р^)(д 2 + р2г)..(ят + ртг)

или короче:

т

ф»(г) = П (я,+рА

г=1

где г — произвольный параметр.

Поставим задачу найти в этом произведении биномов коэффициент при гп. Для этого перемножим биномы и произведем приведение подобных членов. Очевидно, каждый член, содержащий гп, будет иметь в качестве коэффициента произведение п букв р с какими-то индексами и т - п букв q, а после приведения подобных членов коэффициент при гп будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа. Следовательно, способ составления этого коэффициента полностью совпадает со способом вычисления вероятности Рп в задаче о повторении опытов.

Функция фт(г), разложение которой по степеням параметра г дает в качестве коэффициентов вероятности Р , называется произ-

г п, тт г

водящей функцией вероятностей Рп или просто производящей функцией.

Пользуясь понятием производящей функции, была сформирована общая теорема

о повторении опытов в следующем виде [1].

Вероятность того, что событие А в т независимых опытах появится ровно п раз, равна коэффициенту при гт в выражении производящей функции:

,

1=1

вероятность появления события А в 1-м опыте

р,=р, *+г а я, = 1 - р,

В работе [1] показано, что общую теорему о повторении опытов можно представить следующим образом:

т т

Ш*/+/>/*) =

1=1 п=0

Левая и правая части равенства представляют собой одну и ту же производящую функцию фт(г). Слева она записана в виде одночлена, а справа — в виде многочлена. Раскрывая скобки в левой части и выполняя приведение подобных членов, получим все вероятности:

Р0 Р., ..., Р

0 1 ’ т

как коэффициенты соответственно при нулевой, первой и последующих степенях.

Среднее время ожидания судна в очереди не зависит от времени обработки судна и его маршрута, поэтому для определения среднего времени ожидания можно воспользоваться выражением

Л+1,ож

_ ^Д+1

',Д+1

При определении среднего времени пребывания судна в терминале необходимо учитывать, что судам, которые характеризуются разным временем обработки, соответствует различное время пребывания в терминале и поэтому для определения среднего времени пребывания в терминале /-го судна необходимо представить указанное время в виде суммы:

Т — Т 4-Т

/,д+1 ■ч.д+юж ' ^/,д+1обр

Теперь рассмотрим г-й (г = 1, 2, ..., R) терминал как автономную систему. Будем считать, что из г-го терминала т. судов совершают перевозку грузов в R + 1-й терми-

нал. При этом тможет меняться в пределах

1 < т. < т. Тогда для интенсивности прихода /-го судна в г-й порт можно записать следующим образом:

1'г Т +Т +т

АМ т ',(й+1)ож т -,/(Д+1)обр

Соответственно суммарная интенсивность прихода судов в г-й терминал:

Ё1

_ ____ ______________.

Т +Т +Т

1=11ш (д+1)ож т /(д+1)обр

Далее для каждого г-го терминала можно по аналогии с R + 1-м терминалом определить среднее число судов в очереди и среднее число судов в г-м терминале. Далее определяются среднее время ожидания судов в очереди в .-м терминале и суммарное время пребывания судна в г-м терминале.

Сложность расчетов заключается в том, что не являются известными средние значения времени ожидания судна во всех терминалах , а следовательно, среднее

значение времени циклической операции каждого судна Т/ц и вероятности пребывания каждого судна на соответствующих терминалах (^й+1 Еи^г£). Поэтому, как и в предыдущем случае, задача решается методом последовательных приближений. На первой итерации значения средних времен ожидания для каждого терминала берутся

равными нулю, а значения вероятностных характеристик для каждого R + 1-го терминала определяются независимо друг от друга. Полученные в результате расчетов на первой итерации значения , , Тгож и Т^+1ож под-

ставляются в качестве исходных данных для расчета на второй итерации. Указанные итеративные расчеты продолжаются до тех пор, пока значения вероятностных характеристик на двух последующих итерациях будут отличаться друг от друга на достаточно малые величины, определяемые требуемой точностью расчетов.

Рассмотрим два важных частных случая, которые вытекают из вышесказанной общей постановки задачи. В первом частном случае будем считать, что R = 1, то есть рассматривать только 2 терминала. Однако величины Тш и Тобр/ для различных судов могут отличаться друг от друга. В ряде случаев, когда эти отличия сравнительно невелики, имеет смысл усреднить характеристики судов.

Вторым важным частным случаем является случай, когда суда совершают циклическую перевозку грузов из двух терминалов в третий (R = 2), однако все суда имеют одинаковую контейнеровместимость, то есть средние значения времени обработки каботажных судов равны между собой. Таким примером является циклическая перевозка грузов из Мурманска и Архангельска в Дудинку.

Список литературы

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. — М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. — 564 с.

2. Русинов И. А. Переработка контейнерных грузов / И. А. Русинов, Ю. Я. Зубарев. — СПб.: Политехника, 2009. — 317 с.

Выпуск 3