CC BY
71
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2012. Вып. 1
УДК 621.384.6.01
А. О. Сидорин, Г. В. Трубников, Н. А. Шурхно
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СТОХАСТИЧЕСКОГО ОХЛАЖДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ОХЛАЖДЕНИЯ ДЛЯ НУКЛОТРОНА*)
1. Введение. В Объединенном институте ядерных исследований (ОИЯИ, г. Дубна) начато создание нового ускорительно-коллайдерного комплекса НИКА (NICA -Nuclotron-based ion collider facility), который планируется ввести в эксплуатацию в 2016 г. Комплекс создается на основе действующего синхротрона Нуклотрон (рис. 1), и его ключевым элементом будут два сверхпроводящих кольца коллайдера - установки со встречными пучками. Кольца коллайдера, периметром около 500 м, будут располагаться одно над другим и иметь две точки встречи пучков. Программа экспериментов на коллайдере включает в себя столкновения тяжелых ионов (до золота включительно, при кинетических энергиях в диапазоне 1-4,5 ГэВ/н), столкновения тяжелых ионов с протонами, а также столкновения поляризованных протонных (с кинетической энергией в диапазоне от 5 до 12,6 ГэВ) и дейтронных (2-5,8 ГэВ/н) пучков [1]. В одной из точек встречи будет установлен детектор MPD (Multi-Purpose Detector), предназначенный для изучения свойств горячей и плотной барионной материи в столкновениях тяжелых ионов: обнаружения смешанной фазы и критической точки при переходах ядерной материи из адронного состояния в кварк-глюонную плазму. Вторая точка встречи предназначена для размещения детектора SPD (Spin-Physics Detector) с целью
Сидорин Анатолий Олегович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Электроника физических установок» Московского института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА ТУ), заместитель начальника ускорительного отделения Лаборатории физики высоких энергий Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна, Московская обл.). Количество опубликованных работ: около 200. Научные направления: физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника, накопительные кольца, системы охлаждения и пучков заряженных частиц, компьютерное моделирование. E-mail: [email protected].
Трубников Григорий Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Электроника физических установок» Московского института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА ТУ), начальник ускорительного отделения Лаборатории физики высоких энергий Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна, Московская обл.). Количество опубликованных работ: 110. Научные направления: физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника, накопительные кольца, системы охлаждения и пучков заряженных частиц, компьютерное моделирование. E-mail: [email protected].
Шурхно Николай Алексеевич — выпускник Московского государственного университета, аспирант, младший научный сотрудник Лаборатории физики высоких энергий Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна, Московская обл.). Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доц. Г. В. Трубников. Научные направления: физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника, системы стохастического охлаждения пучков заряженных частиц, компьютерное моделирование. E-mail: [email protected].
*) Работа выполнена при финансовой поддержке гранта FRRC (FAIR Russia Research Center).
© А. О. Сидорин, Г. В. Трубников, Н. А. Шурхно, 2012
изучения структуры спина нуклонов («спиновый кризис») в столкновениях поляризованных пучков легких ионов [2].
Рис. 1. Схема ускорительного комплекса НИКА 1 - источники частиц и инжекционные цепочки (линейные ускорители) - для ионов и легких ядер;
2 - сверхпроводящий синхротрон-бустер; 3 - сверхпроводящий синхротрон Нуклотрон;
4 - сверхпроводящие кольца коллайдера.
Основным требованием к коллайдеру в режиме работы со встречными пучками тяжелых ионов является обеспечение рекордно большой (для данного диапазона энергий) светимости - на уровне 1027 см-2с-1. Достижение такой величины возможно только в режиме столкновений коротких сгустков с предельной по пространственному заряду фазовой плотностью частиц. При этом время жизни светимости будет определяться ростом фазового объема пучка из-за внутрипучкового рассеяния. Расчеты показывают, что обеспечение требуемой средней светимости невозможно без эффективного охлаждения пучков в течение эксперимента. Из двух методов охлаждения, применяемых в настоящее время для пучков тяжелых ионов, - электронного и стохастического - наиболее привлекательным представляется последнее. В отличие от электронного охлаждения оно не вызывает дополнительные потери частиц (при электронном - ионы рекомбини-руют с охлаждающими электронами, что может приводить к существенному сокращению времени жизни пучка) и значительно проще по технической реализации. Однако в России отсутствует опыт разработки и эксплуатации систем стохастического охлаждения, а ряд особенностей коллайдера НИКА не позволяет напрямую применить технические решения, используемые в зарубежных научных центрах. Наибольшей трудностью
является необходимость охлаждать сгруппированный пучок с большой величиной пикового тока. Поэтому для разработки системы охлаждения коллайдера необходимы экспериментальные исследования по изучению предельных возможностей метода. С этой целью планируется провести тестовый эксперимент по охлаждению ускоренного пучка ионов, циркулирующего в Нуклотроне на плато магнитного поля. Для сокращения сроков подготовки эксперимента работа осуществляется в тесном сотрудничестве с исследовательским центром Юлих (г. Юлих, Германия), где в настоящее время разрабатывается система стохастического охлаждения для накопителя HESR, сооружаемого в рамках проекта FAIR (г. Дармштадт, Германия).
2. Стохастическое охлаждение. Стохастическое охлаждение - это процесс уменьшения амплитуд бетатронных колебаний или энергетического разброса пучка частиц (соответственно охлаждение поперечной и продольной степеней свободы) при применении системы обратной связи. Общая идея метода такова: в некоторой точке кольца ускорителя измеряется поперечная координата или отклонение энергии частиц от номинального значения с помощью так называемых пикап-электродов. Затем сигнал обрабатывается, усиливается и воспроизводится импульсным корректирующим устройством -кикером, расположенным на некотором расстоянии от пикапа по ходу движения пучка. Время задержки распространения сигнала в передающих кабелях и устройствах электроники подбирается таким образом, чтобы оно оказалось равным времени пролета частицы с номинальной энергией от пикапа до кикера. При охлаждении поперечных степеней свободы дополнительно накладывается условие на величину набега фазы поперечных колебаний при движении частиц от пикапа до кикера. При охлаждении продольной степени свободы набег фазы может быть произвольным.
При оптимальном выборе параметров системы время охлаждения распущенного пучка можно грубо оценить по следующей формуле [3]:
где т - время охлаждения; Ш - ширина полосы пропускания радиотехнической линии обратной связи; N - количество частиц в ускорителе; М, М - так называемые факторы перемешивания частиц, определяющие эффективность работы системы: М - при пролете от пикапа до кикера и М - при пролете от кикера до пикапа; и - отношение мощности полезного сигнала к мощности шумов; Z - заряд иона.
Пикап и кикер являются резонансными устройствами. Их проектируют на среднюю частоту полосы пропускания, при этом чувствительность симметрично «спадает» при больших и меньших частотах. Для обеспечения приемлемой чувствительности во всем диапазоне частот верхняя частота, как правило, выбирается в 2 раза больше нижней.
Для уменьшения времени охлаждения желательно иметь как можно более широкую полосу пропускания системы. Кроме ограничений, связанных с техническими возможностями мощной электроники, ширина полосы ограничена также параметрами ускорителя и разбросом по импульсу в охлаждаемом пучке. Время пролета частицы от пикапа до кикера увеличивается (или уменьшается), если ее импульс отличается от номинального значения. Если разница между временем пролета частицы и временем прохождения сигнала через радиотехническую линию становится больше длительности импульса, приложенного к кикеру, охлаждение перестает работать. Характерная длительность импульса, приложенного к кикеру, обратно пропорциональна ширине полосы пропускания системы т ~ 1/Ш. Соответственно условие эффективной работы системы
(1)
т N M + U/Z2 '
охлаждения принято формулировать в виде ограничения на фактор перемешивания частиц при пролете от пикапа к кикеру:
М « > 1, (2)
Р
в которой Трк - время пролета от пикапа до кикера частицы с номинальным значением импульса, г/ = у ^ - так называемый «слип-фактор» ускорителя (здесь р - это импульс частицы, а ] - частота ее обращения в ускорителе), Др/р - максимальное относительное отклонение частиц пучка по импульсу от номинального значения. В синхротронах слип-фактор связан с энергией частиц как
1 1
11 72 11'
где 7 - Лоренц-фактор частиц; ^гг - Лоренц-фактор, соответствующий критической энергии ускорителя. Такого предварительного рассмотрения стохастического охлаждения достаточно, чтобы оценить все параметры системы, которая может быть реализована на Нуклотроне:
Периметр ускорителя, м ..................................................................................251.5
Охлаждаемые ионы .............................................. протоны, С 6+
Энергия (Ео), ГэВ/н ..........................................................................................3.5
Максимальное относительное отклонение по импульсу (Дро/ро) 10~3
Слип-фактор кольца (п)....................................................................................0.0322
Полоса пропускания системы /т1п//тах ГГц ............................2/4
Интенсивность охлаждаемого пучка (М) ................................................109
Частота обращения (/о), МГц ......................................................................1.2
Время пролета пучка от пикапа к кикеру, нс ........................................^400
Время распространения ВЧ-сигнала от пикапа к кикеру, нс .... ^270
Ожидаемое время охлаждения (г), с ........................................................<10
3. Возможности реализации системы стохастического охлаждения на
Нуклотроне. Нуклотрон - сверхпроводящий синхротрон с периметром 251.5 м и магнитной жесткостью до 45 Тл-м, находится в эксплуатации в ОИЯИ с 1993 г. [4]. Он предназначен для ускорения тяжелых многозарядных ионов с энергией до 6 ГэВ/н (для отношения заряда к массе Z/A = 1/2), пучков протонов и поляризованных пучков дейтронов. Магнитная структура состоит из восьми суперпериодов, каждый содержит три регулярных периода типа ФОДО и один период без дипольных магнитов (большой пря-
молинейный промежуток). Регулярный период включает в себя фокусирующую и де-
фокусирующую квадрупольные линзы, четыре дипольных магнита и два малых свободных промежутка, предназначенных для размещения мультипольных корректоров и устройств диагностики пучка. Большие прямолинейные промежутки используются для размещения устройств ввода и вывода пучка, высокочастотных ускоряющих станций, устройств диагностики и т. п.
Кикер системы стохастического охлаждения должен находиться при комнатной температуре (ввиду того, что в нем выделяется достаточно большая тепловая мощность).
В Нуклотроне имеется единственный «теплый» большой прямолинейный промежуток
(7-й по ходу пучка, начиная с точки инжекции), в котором располагается станция внутренних мишеней [5, 6]. В этом же промежутке есть достаточно места и для размещения кикера. Причем для размещения пикапа оптимальным является 3-й промежуток, расположенный диаметрально противоположно 7-му (рис. 2). Данный промежуток
находится при криогенной температуре (от 4 до 15 К), что позволяет уменьшить мощность теплового шума с пикапа.
Лоренц-фактор, соответствующий критической энергии Нуклотрона, составляет примерно 9.16. Ожидаемый относительный разброс по импульсу ускоренного пучка не превышает 10-3 (что примерно отвечает вертикальному размаху сепаратриссы при ускорении). При ширине полосы пропускания, равной 2 ГГц, условие (2) соответствует энергиям выше примерно 2.7 ГэВ/н. Время охлаждения (рассчитанное по формуле (1)) имеет пологий минимум в диапазоне энергий 3-4 ГэВ/н. При этом время пролета частиц от пикапа к кикеру составляет примерно 400 нс, а время распространения ВЧ-сигнала вдоль диаметра кольца - приблизительно 270 нс. Таким образом, имеется достаточный технический запас для задержки сигнала в элементах системы охлаждения. Время, доступное для охлаждения пучка, определяется возможностями системы электропитания магнитов и линз Нуклотрона. В настоящее время максимальная длительность плато магнитного поля - примерно 10 с. Чтобы уверенно зарегистрировать эффект охлаждения, характерное время охлаждения должно быть меньше данной величины. Это требование определяет количество частиц охлаждаемого пучка. По оценке (1) время охлаждения 10 с соответствует нескольким единицам на 109 частиц, что с большим запасом может быть обеспечено на Нуклотроне для полностью ободранных ионов углерода или протонов.
Создаваемый на Нуклотроне канал стохастического охлаждения планируется последовательно использовать для проверки различных методов охлаждения продольной степени свободы распущенного и сгруппированного пучков: метода фильтров, метода Пальмера и времяпролетного метода. Не исключена и возможность охлаждения
Пикап
Кикер
Рис. 2. Схема кольца Нуклотрона (оптическая структура) с предлагаемым расположением элементов системы охлаждения пикап-станции и кикера
поперечной степени свободы, трудность в осуществлении которого связана в первую очередь с необходимостью обеспечения нужного набега фазы поперечных колебаний на участке от пикапа до кикера, что требует перестройки рабочей точки ускорителя.
Структура создаваемой системы ориентирована на реализацию прежде всего продольного охлаждения по методу режекторного фильтра. Для оценки основных параметров системы (особенно необходимой мощности усилителя) был разработан алгоритм и проведено численное моделирование эволюции функции распределения частиц путем решения уравнения Фоккера-Планка.
4. Методика моделирования процесса стохастического охлаждения с помощью уравнения Фоккера-Планка. Анализ процесса охлаждения продольной степени свободы пучка можно провести путем численного моделирования эволюции во времени функции распределения частиц по энергии t) = Основные факторы, определяющие эффективность охлаждения, могут быть описаны как «дрейфовый» F(E) = /oASc и «диффузионный» D(E,t) = ^/о (AEfc) члены уравнения Фоккера-Планка
®t»№№,f|_wtl®M, (3,
Дрейфовый член, или сила трения, описывает охлаждение одиночной частицы, а диффузионный - все эффекты, приводящие к «нагреву» пучка. Здесь AEc(E) - полезная часть энергии сигнала коррекции за оборот, а AEic - часть энергии, связанная с некогерентными шумовыми эффектами, fo - частота обращения частицы, E - отклонение энергии от номинальной кинетической энергии Eo.
В п. 5 и 6 приводится вывод коэффициентов уравнения Фоккера-Планка через параметры радиотехнических элементов системы для метода охлаждения, основанного на использовании режекторного фильтра. Суть этого метода заключается в следующем: сигнал от пучка, снимаемый с пикапа, усиливается и с соответствующей задержкой прикладывается к кикеру. В электронную схему (рис. 3), передающую сигнал от пикапа к кикеру, включается радиотехнический фильтр, который «вырезает» из основного сигнала гармоники частоты обращения равновесной частицы и изменяет фазу сигнала на 180°. В результате сигнал коррекции не воздействует на равновесные частицы и в то же время ускоряет медленные частицы и замедляет быстрые - т. е. уменьшает разброс по продольной компоненте импульса. Данный полезный эффект может быть описан дрейфовым членом уравнения (3).
Кроме сигнала, наведенного на пикапе самой частицей, на частицу воздействуют и сигналы, наведенные другими частицами пучка. Этот некогерентный эффект зависит от мощности дробового шума пучка (или шумов Шоттки) и приводит к диффузионному увеличению разброса по импульсу. Причиной еще одного источника «нагрева» пучка, связанного с работой системы охлаждения, являются тепловые шумы элементов радиотехнического тракта, приложенные к кикеру.
Выражения для дрейфового и диффузионного членов выводятся на основе передаточной функции системы, которая получается в результате перемножения передаточных функций ее основных элементов: чувствительности пикапа, коэффициента усиления усилителя, передаточных функций режекторного фильтра и линии задержки, чувствительности кикера.
5. Выражение когерентного члена через параметры системы. Система с обратной связью, включающая периодический режекторный фильтр, показана на рис. 3.
Время пролета, 7/
> <
20(50 Ом)
Рис. 3. Схема системы обратной связи от пикапа к кикеру
Цель анализа - выразить передаточные функции всех радиотехнических элементов системы через их электрические параметры. После этого можно получить выражение для когерентной (фактически, охлаждающей силы трения) части сигнала коррекции.
-м О
Г
Е
Е
=0 1Ь
I
Рис. 4. Схематичное изображение четвертьволнового пикапа а - вид вдоль пучка; б - вид перпендикулярно пучку.
Импеданс пикапа (рис. 4) Zp определяется как отношение выходного напряжения пикапа Ур к току пучка ¿ь: Zv = Ур¿р. Каждый пикап имеет характеристику «качества» перевода тока пучка в напряжение - чувствительность (для пикапа - сравнение с мощностью идеального трансформатора тока; для кикера - отношение амплитуды напряжения, влияющего на частицы, к амплитуде подводимого напряжения). Для четвертьволновых электродов она выражается так [7, 8]:
1 , 1
1
Б(х, си) = ехр(—у(в--)) эш 6/д(х, IV, к), 6 = —(—- + —)и;Ь.
2
2с вв
(4)
Здесь вв = кв/с, вь = Vь/с - отношения скоростей распространения сигнала в пластине электрода и пучка к скорости света, Ь - длина пластины. Геометрический фактор пикапа (в электростатике это величина поля конечной заряженной пластины) определяется следующим образом:
2
^д (х} ги, К) = — агсЛап
где и> - ширина пластины; Н - расстояние между ними; х - расстояние между орбитой пучка и центром пластины. Таким образом, каждый пикап настроен на определенную частоту, и его чувствительность будет симметрично спадать по обе стороны от нее. Рассчитанная зависимость показана на рис. 5.
Чувствительность 1.0г
0.8
0.4
0.2
2 3 4
Частота, ГГц
Рис. 5. Зависимость чувствительности пикапа от частоты в пределах полосы пропускания
Вычислим полное выходное напряжение с пикапа:
Р
Ток одной частицы с зарядом Q и частотой обращения /О = /0 + А/о представляет собой сумму дельта-функций:
гъ = Яе ]Г S\t-j\=Qef'0 ]Г exp^nf^t) = ]Г 1п(ш'),ш' = 2nf¿,
n —-^ 0 ' n — — n —-
а выходное напряжение с пикапа
Vpu(f0 ,t) = Sp(x,nu'0 )гп(ш') = Qef0 Zo ^ Sp(x,nu'0 )exp(jn^0t).
Если имеется np пикапов и импеданс соединения Zl (характеристический импеданс), то Zl = S^npZp и
I Zj^Z о _л
VMt) = -Y^-Qefó^2sp(x,nLv'0)exp(jnLv'0t).
Для конкретной предлагаемой геометрии пикапа [9] рассчитываемой системы скорость распространения сигнала в пикапе специально выбирается равной скорости пучка, чтобы синхронно собрать сигнал с 8 пластин, т. е. параметры [3b = Ps в формуле (4), и теперь она выглядит так:
S(x, lv) = exp(~j(— - sin —fg(x, w, h).
c 2 c
Также выбираются равными и импедансы: = 2о. Поэтому окончательно выходное напряжение представим в виде
Передаточная функция для нотч-фильтра (режекторного фильтра) [10] записывается как
Н(/) = \Н(/)| еМз^(/)).
Рассмотрим модель идеального линейного нотч-фильтра, у которого амплитудный и фазовый отклики выглядят так, как показано на рис. 6.
1-
®notch
ж/21 0
-ж/2 --
/
О /о 2/0 З/о 4/0
Рис. 6. Амплитудный (а) и фазовый (б) отклики идеального нотч-фильтра Подробнее параметры передаточной функции можно выразить следующим образом:
1 - п/о
\Н (/)| — Qnotch
Фпf(/)
/о/2
тг/2,п/о < / < (n+ i)/0, -тг/2, (П - ±)/0 < / < п/0.
Теперь, используя формулу ^ = к = г///З2, передаточную функцию для частицы можно записать как
AE
H(nfo) = j2gnotchK——.
Ео
Коэффициент усиления системы считаем реальным и равным Gamp — Gamp(n/0). Задержка сигнала в усилителе (и во всей остальной электронике) добавляется к следующей линии задержки.
Линия задержки выбирается таким образом, чтобы время пролета частицы от пикапа к кикеру Tf было равным времени распространения сигнала в кабеле Td. Его выбирают приблизительно равным времени пролета равновесной частицы:
Td — Tf + ATd,
где АТа - устанавливаемая задержка времени распространения сигнала. Время пролета для неравновесной частицы
АТр Ар 7 АЕ АЕ
-7тг- = -Лрк— = -Г]РК—--тг = ~к~ЕГ
1р р 1+ 7 Е Е
и для энергии Нуклотрона будет составлять Та = Tf « 0.4 мкс.
Сигнал, пришедший с пикапа и обработанный цепью нотч-фильтр - усилитель -линии задержки, достигает кикера. Собирая вместе все записанные ранее передаточные функции, определим напряжение на кикере
Ыг) = Qef¿^^J2S(x^nLVo)Go.mp(nfo)H(nf¡))exp(jnLv'0(t -Тр)).
Следующим шагом выразим напряжение Уи (£ = Тр + АТр), индуцированное частицей, прошедшей пикап в момент времени £ = 0:
*7 / АЕ \
Ук(г = Тр + АТр) = М + К— х
Сашр(п/0)И.е [5(х,пи'0)Н(п/0)] ехр('(aтg(S)+aтg(H) - зп£), (5)
здесь
е = -и0(Тр + АТр) + и0То = и0 (АТр - АТр) =
ио ^АТр + кри Тр
АЕ\ ^ ( АЕ АТр
Напряжение, поданное на кикер, создает продольное электрическое поле между электродами, которое изменяет энергию частиц. Это изменение энергии равно
АЕс(ш) = ^Бк(ш)Ук(ш).
Если используется кикер такой же конструкции, что и пикап, то его передаточная функция будет записана аналогично передаточной функции пикапа:
Б(х,ш) = а/2пК ехр(-.?(0 - -))вт6>/д(х,т,Н).
Теперь подставим в формулу коррекции энергии полученное ранее значение напряжения на пластинах кикера (5) и просуммируем только гармоники, входящие в полосу пропускания (2-4 ГГц):
А
2—— /оСатр + К-^-^ г0л/прпКдпогснУ^^р{х, пш'0)Н{{пш'0)Зк{х, пи>'0)ез(-13~п^
где)2 ' —
п=п1
п2
(Ое)2 ( АЕ\
2—— /оСатр ( 1 + к— ) ^о\fnpnK9notchipiK ^ [пвш(2в + п£) эт2 в] ~
^ ' п=п1
(Oe)2 АЕ ™2
--4—j—foGampK——Z0y/npnKfpfK [n-sin(2é> + n£)sin2é>] ,
n=ni
где 0 = ^ + uj'L, и/ = псоо (l + к^-); ni, ni - номера гармоник, соответствую-
11. 1
2с
щие нижней и верхней частотам полосы пропускания.
Окончательно когерентный член запишется следующим образом:
F(E) = foAEc ~
~ - foGampK^-Z0^npnKfpfK [п+ п£) sin2 в\.
n=ni
6. Выражение диффузионного коэффициента, описывающего некогерентный нагрев пучка (шумовой член) через параметры системы. Некогерентный член D пропорционален мощности шума, который состоит из двух компонент: теплового шума усилителя и шума пучка. Используя передаточную функцию кикера Sk, можно выразить некогерентный член уравнения (энергия на нуклон)
D(E, t) = |/о (AEl) = I/o ( ^ = I/o 2 SlZ0 (PT + PB).
Теперь нужно определить мощности шумов Pb (шум пучка, или Шоттки-шум) и Pt (шум усилителя, или «тепловой» шум).
Шум пучка (Шоттки-шум). Ток, создаваемый N частицами в кольце ускорителя, вычисляется следующим образом:
N N œ
I (t) = Qefo^Y. ô(f - hT°n) = Z Qefo cos °n + 2Qefo^ Y, cos(2nhfnt + hdn).
n h n=l n=lh=1
Тогда среднеквадратичное значение тока на Л-ной гармонике
4ms \/(I )
2QefoJ2œsher^j = V2NQef0.
Спектральная плотность мощности Шоттки-шума на выходе пикапа равна
dPb _ Т2 Z2 ZI dN
df
' Zo Zo df
Характеристический импеданс Zc = 2оу/пр/28р(х, си). И окончательно получим выражение для спектральной плотности мощности шума пучка
ЛРъ (п о2,
-у - = (<?е/0) г0прБр{х,и)) — .
Теперь можно записать плотность мощности шума пучка в полосе Шоттки:
dN
1Г
Рь = (Qefô)2foZ0npS2p(x,tu) — .
На кикере после усилителя и нотч-фильтра она будет равна
Ръ = (<?е/о)2иг0пр31(х,и>)^гС2атр |Я„(п/о)|.
Суммируя мощность шума по полосам, находим
п2
Рь = Ш0)2/о2опр0\тр^ 5(х, пи'о)| 2 \Нп(п/0)| Чп(п/0),
п=п1
где Ф„ (п/д) = = Перейдем в функции распределения от частоты к энер-
гии:
ф(/) = = ^Еще)
д,Е (1/ 77/0
Теперь можно явно выразить часть некогерентного члена, связанного с шумом пучка:
ВЬ(Е,1) = ^((АЕ1У) =
4(де,4 / Л ^ 2 п2
АЕ 2 п2 ^г20прпкС2пЕ ( — ) ЩЕ,1)/2р& ]Г п8Ш2 0р 8Ш2 .
п= п1
А2 '0"0' —^ ^ V Е /
Шум усилителя (тепловой шум). На входе предусилителя/усилителя с температурой шума ТN и окружающей температурой Т спектральная плотность мощности теплового шума будет равна
—77- = к (Т + Тп) [Вт/Гц], а/
где к - постоянная Больцмана. Тогда тепловой шум в полосе Шоттки
Рт = к (Т + Тп) /о, что на кикере после усилителя и фильтра приведет к выражению
п2
Ртк = к (Т + Тп) /оС2атр^ \Нп(п/0)|2.
п=п1
И, наконец, некогерентный член, обусловленный тепловым шумом, запишется в следующем виде:
од = ^<(л^с)2> = 2 (^У У0г0к(т + тп)пКс2атрК2/2 (МУ £ п^вк.
п=п1
7. Решение уравнения. Теперь, суммируя все написанное в п. 6, можно записать уравнение в окончательной форме
дЬ
п=п1
- ш (^^Р2 (т)2в**<г+вд«***« ш' Е «ь1 л) -
\ ^ ' п=п1 /
а 4(де)4
~дЁ 1 дЁ ~
^2прпкС2КЕ *(Д,*)/р2Д2 ]Г пет2 врвт2 вк\ = 0.
п2
В рассматриваемой системе количество пикапов пр и кикеров пк одинаково. Поскольку в качестве пикапа и кикера используется абсолютно аналогичная радиотехническая структура, будут равны и форм-факторы /р и /.
Предполагая усиление постоянным в выбранной ширине полосы Ш, уравнение (6) можно переписать в такой форме:
дФ(Е,ь)
дЬ
(Ое)2 Кд ^ \
пР/2рСатр — —ШЕ,г)Е ]Г [п*т(2в + пО*т2в] -
0 V П=П1 )
А
2 Ш 120г0Пр12Кс2атр^вш2ерк(т + тп) пА (Щ^ЕА -
\ ' 0 п=п 1 ^ '
т' — " Е п± (^ЩЕ,1)ЕА = 0. (7,
п=п1 ^ '
атр е(
Результаты численного решения уравнения (7) с реальными параметрами системы охлаждения представлены на рис. 7, 8.
а
Плотность частиц, 1/эВ 2500
2000
1500
1000
500
Среднеквадратичное значение йр/р
1.0000 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002
0.0000
3.496 3.498 3.500 3.502 3.504 0
Энергия, ГэВ
8 10 Время, с
Рис. 7. Эволюция функции распределения (а) - до охлаждения (сплошная линия) и после (пунктирная линия) и среднеквадратичного значения разброса импульсов (б)
для пучка протонов
а б
Плотность частиц, 1/эВ Среднеквадратичное значение dp/p
Рис. 8. Эволюция функции распределения (а) - до охлаждения (сплошная линия) и после (пунктирная линия) и среднеквадратичного значения разброса импульсов (б)
для пучка ионов углерода(С6+)
Расчеты выполнены для протонов и ионов углерода. Показаны зависимость функции распределения и величины разброса по импульсам от времени.
8. Практическая реализация. Полная схема системы охлаждения для Нукло-трона выглядит, как показано на рис. 9.
Пучок
Схема включает следующие компоненты: пикап и кикер, предусилители и усилитель, режекторный фильтр и линию задержки. В качестве пикапа и кикера планируется использовать кольцевые электроды, изначально разработанные в исследовательском центре Юлих в качестве прототипа для HESR. Дизайн пикапа и кикера будет идентичный: это сборка из 16 колец с апертурой 90 мм и с 8 золотыми электродами на каждом.
В каждом кольце пикапа (рис. 10) 8 короткозамкнутых электродов. Сигнал с разных колец собирается соединительными платами, с точно настроенными задержками для разных колец, чтобы сигнал в плате распространялся синхронно с пучком. Таким образом, у структуры есть соответственно 8 выходов, которые затем объединяются для продольного охлаждения. Модульный дизайн такой структуры позволяет легко
Рис. 10. Дизайн одного из 16 колец пикапа
изменять количество колец, что вместе с очень хорошим полным продольным импедансом связи делает это устройство хорошим выбором не только для Нуклотрона, но и для коллайдера НИКА.
Пикап будет установлен в холодной секции кольца (третья прямолинейная секция) в специальном разработанном для этого криостате (рис. 11) для обеспечения оптимальных условий работы пикапа (стабильность, чувствительность, уменьшение шума). В настоящее время участок вакуумной камеры с криостатом находится на стадии изготовления.
Используя специальный кабель, 8 выходных сигналов с соединительных плат выводятся из криостата через два фланца. Сразу после вывода сигнала из криостата на каждом из 8 выходов будет установлен предусилитель.
Кикер будет помещен в специально созданный вакуумный контейнер и расположен в теплом участке кольца Нуклотрона (седьмая прямолинейная секция). Результаты численного моделирования процесса охлаждения дают следующие требования для системы: в случае протонного распущенного пучка необходимая мощность для выполнения эксперимента находится в пределах 30-40 Вт и усиление сигнала составляет приблизительно 140 Дб. Если будет использоваться пучок ионов углерода (С6+), тогда требования к необходимым мощности и усилению существенно понижаются до 10 Вт и 130 Дб соответственно.
Для продольного охлаждения методом нотч-фильтра необходимо, чтобы в полосе работы системы пики (подавление основных гармоник) были как можно глубже, а их следование было как можно более равномерным [11]. Нотч-фильтры с коаксиальной линией задержки весьма плохо соответствуют этим требованиям. Криостатирование линии связано с большими дополнительными трудностями и затратами. Поэтому наиболее оптимальным выбором является нотч-фильтр с оптической линией задержки. Схема такого фильтра показана на рис. 12.
Принцип работы нотч-фильтра следующий: луч лазера модулируется входным ВЧ-сигналом с пикапа. Затем делится пополам делителем, в одном из плеч установлены
Сигнал
Лазер
Рис. 11. Сборка пикапа в криостате
Оптический аттенюатор
Модулятор
"U"
Ресиверы
-о
■о
Оптический Оптическая 0птическая Hybrid 180
делитель задержка задержка на половину до нс частоты обращения
Рис. 12. Нотч-фильтр с оптической линией задержки
задержка в полпериода обращения и переменная задержка для более тонкой подстройки. Далее оптический сигнал преобразуется в электрический с помощью ресиверов. Потом сигналы из двух линий вычитаются с инверсией фазы гибридным соединителем.
9. Заключение. Создана математическая модель и реализован алгоритм расчета эволюции функции распределения частиц по энергии для синхротрона с системой стохастического охлаждения, основанной на использовании режекторного фильтра (нотч-фильтра). Моделирование осуществляется путем численного решения уравнения Фоккера-Планка, коэффициенты которого выражаются через передаточные функции всех радиотехнических элементов системы. В результате проведенных расчетов получены зависимости функции распределения и разброса по импульсу пучка протонов и ядер углерода для процесса стохастического охлаждения в сверхпроводящем синхротроне Нуклотрон. Показано, что при реалистичных параметрах системы и пучка частиц возможна уверенная регистрация эффекта охлаждения. Разработана конструкция
криовакуумного модуля системы стохастического охлаждения для Нуклотрона на основе сборки из кольцевых многолепестковых пикапов. Выбрана схема режекторного фильтра и определены требуемые параметры ее основных элементов. Осуществить поэтапную сборку и тестирование системы охлаждения планируется в течение 2011— 2012 гг.
Литература
1. Nuclotron-based ion collider facility // Available: http://nica.jinr.ru.
2. Sisakian A. N., Sorin A. S., Trubnikov G. V. e. a. The Project NICA/MPD at JINR: Search for the mixed phase of strongly interacting matter at Nuclotron-based ion collider facility // XXIII Intern. Symposium on Lepton and Photon Interactions at High Energy. LP07. Daegu, Korea, 2007.
3.Mohl D., Petrucci G., Thorndahl L., van der Meer S. Physics and Technique of Stochastic Cooling // Phys. Rept. 1980. Vol. 58. P. 75-119.
4. Smirnov A. A., Kovalenko A. D. Nuclotron-superconducting accelerator of nuclei at LHE JINR (Creation, Operation, Development) // Particles and Nuclei Letters. 2004. Vol. 1, N VI (123). P. 11-40.
5. Agapov N. N., Butenko A. V., Trubnikov G. V. e. a. Status of the Nuclotron. «Nuclotron-М» project // Proc. of the IPAC'10. Kyoto, Japan. 2010. P. 684-686.
6. Meshkov I., Seleznev V., Shurkhno N. e. a. Stochastic cooling system prototype for Nuclotron // Proc. of RuPAC'10. Protvino, 2010. P. 73-76.
7. Goldberg D., Lambertson G. Dynamic devices: a primer on pickups and kickers // AIP Conf. Proc. 1992. Vol. 249. P. 537-600.
8. Neuffer D. Calculations of pickups/kickers sensitivity // Fermilab. 1982.
9. Brittner P., Greven R., Stassen R. e. a. Recent developments for the HESR stochastic cooling system // Proc. of COOL. Bad Kreuznach, Germany, 2007. P. 191-193.
10. Katayama T., Tokuda N. Fokker-Planck approach for the stochastic momentum cooling with a notch filter // Part. Accel. 1987. Vol. 21. P. 90-120.
11. Bechstedt U., Dietrich J., Henn K. e. a. Optical Notch Filter for the Stochastic Cooling System of COSY // Proc. of PAC. 1999. P. 1701-1703.
Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.
