CC BY
42
УДК 674.028
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ В КЛЕЕВЫХ ПРОСЛОЙКАХ КЛЕЕНОЙ ДРЕВЕСИНЫ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОСТОЯННЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
111 2 В. М. Попов , А. В. Иванов , А. В. Латынин , В. В. Посметьев
1 - ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»
2 - ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Проведенные ранее экспериментальные исследования [1] по модифицированию клеевых соединений древесины магнитным полем показали повышение их прочности. Для понимания природы этого эффекта и обобщения требуется провести моделирование процесса склеивания.
Математическая модель процесса склеивания в магнитном поле, разрабатываемая в данном разделе, должна удовлетворять следующим требованиям [2]:
- хорошо согласовываться с экспериментальными данными;
- позволить на основе экспериментальных данных получить аналитическое выражение для прогнозирования результатов технологического процесса;
- иметь возможность сделать выводы физико-химического характера, которые необходимы для оптимизации технологического процесса.
Из большого количества параметров, которые влияют на предел прочности клеевого соединения, основными являются напряженность магнитного поля Н и время выдержки клея или клеевой прослойки в поле t. Остановимся подробнее на выборе аналитического выражения для зависимостей предела прочности на скалывание т(Н) и т(/). От правильности выбора ап-
проксимирующей функции зависит точность прогнозирования (интерполяции и экстраполяции) того, какой получится прочность клеевого соединения в технологическом процессе с заданными Н и t.
1
\ "•3
О 4 8 12. 1В Г, мин
Рис. 1. Аппроксимация экспериментальной зависимости т(0 различными функциями: 1 - полином третьей степени;
2 - экспоненциальная функция;
3 - сигмоидальная функция
На рис. 1 приведены результаты аппроксимации типичной экспериментальной зависимости т(0 различными функциями. Наиболее простая аппроксимация полиномом третьей степени
т(t)=a•t3+b•t2+c•t+d, несмотря на близость графика к экспериментальным точкам, неверно описывает поведение функции при больших t. При ^<х> функция должна выходить на установившееся значение, тогда как при полиномиальной зависимости функция начинает резко убывать после
¿=18 мин. Из наиболее простых и распространенных функций можно было бы выбрать экспоненциальную зависимость вида т^ ) = е , так как экспонента выходит на установившееся значение. Однако в этом случае плохо воспроизводится начальный участок экспериментальной зависимости, поскольку на начальном участке экспонента слишком резко возрастает и не имеет необходимого перегиба. Поэтому перечисленные функции не позволяют корректно описать наблюдаемую в эксперименте зависимость.
Наиболее подходящей аппроксимирующей функцией можно считать функцию Больцмана. Данная функция часто используется при математическом описании химических процессов, поэтому представляется естественным использовать ее для физико-химического процесса склеивания. Функция описывает плавный переход из одного состояния в другое и относится к классу так называемых сигмоидальных (или ¿'-образных) функций. Сигмоидальная функция Больцмана имеет следующий вид:
x{t ) = г2
Ti То
• (1)
1 + е ь
Константы, входящие в выражение (1), имеют четкий физико-химический смысл, а именно:
т1 и т2 - начальное и конечное значения предела прочности на скалывание;
Ь - коэффициент быстроты нарастания прочности;
¿п - время завершения этапа схватывания клея и начала этапа его отверждения (точка перегиба сигмоидаль-
ной функции Больцмана). Физико-химическая трактовка коэффициентов позволяет понять механизм происходящих процессов на основе результатов аппроксимации. Анализируемые ниже зависимости т(Н и т(0 также могут быть описаны сигмоидальной функцией.
Аппроксимация экспериментальных данных производится на основе метода наименьших квадратов. В рамках метода находятся константы, входящие в аппроксимирующее выражение, по условию минимума суммы квадратов отклонений графика от экспериментальных точек. Отсюда решается следующая задача оптимизации: £ (а ,а2,...) =
N
Z(f (a 'a2>...' хЬ уг (х))2
(2)
i=1
^ min ^ a1,a2,...,
где a1, a2, ... - константы (параметры), входящие в аппроксимирующее выражение;
N - количество экспериментальных точек;
хг, уг - набор точек экспериментальной функции y(x);
г - номер экспериментальной точки; f(a1, a2, ... , х) - аппроксимирующая функция.
Решение задачи оптимизации в случае сложного аппроксимирующего выражения производится итерационным методом. В рамках данного сообщения поиск аппроксимирующих выражений выполнен с использованием программы "Microcal Origin 5.0". Данная программа широко применяется при обработке результатов эксперимента.
Исследованиями установлено, что на прочность и долговечность клеевых соединений древесины существенное влияние оказывают внутренние напряжения в клеевой прослойке [3]. Отсюда очевидно, что прогнозирование процесса формирования внутренних напряжений представляет большой научный и практический интерес.
Процесс формирования внутренних напряжений в клеевых прослойках можно отнести к классу физических процессов, носящих переходный характер. К такому классу относятся процессы охлаждения или нагревания тел, включения или выключения электрических приборов, распада радиоактивных элементов. В переходных процессах зависимость некоторого физического параметра X от времени является обычно экспоненциальной [4]. Экспоненциальная зависимость следует из решения дифференциального уравнения, в котором скорость изменения величины X пропорциональна ее абсолютному значению, то есть уравнения вида
ах (' > = -к - X (,),
dt
(3)
где к - коэффициент пропорциональности.
Решением данного уравнения является экспоненциальная функция
X ^ ) = к + С, (4)
где С - некоторая константа, определяемая с использованием начальных условий.
Ранее [5] получены опытные данные по кинетике формирования внутренних напряжений клеевых соединений древеси-
ны для необработанного и обработанного в магнитном поле клея. Исходя из сути проведенного эксперимента, используем следующую аппроксимирующую зависимость ов ^) для случая отсутствия магнитного
поля:
ав (t) = ^ И И -°в (0))-
(t-t0)
, (5)
где ав(<ю) - сформировавшиеся внутренние напряжения по окончании склеивания;
а в(0) - внутренние напряжения в момент начала склеивания; h - коэффициент быстроты возникновения внутренних напряжений; ^ - время начала измерений. Входящий в (5) коэффициент к, находясь в знаменателе экспоненты, показывает, за какой промежуток времени разность напряжений ав(да)-ав(^ уменьшится в некоторое число раз (в частности в е~2,72 раза), то есть характеризует скорость появления внутренних напряжений. Необходимо также отметить, что для всех экспериментов принимается ^=0, поскольку отсчет времени начинался с начала склеивания.
Аппроксимация методом наименьших квадратов [6] позволила получить следующую зависимость:
ств ^ ) = 38,61 - 38,06 - е
(6)
Как видно из рис. 2, имеет место хорошее совпадение графика данной зависимости с экспериментальными данными. Из графика данного рисунка также видно, что магнитное поле снижает темп роста внутренних напряжений. При этом зависимость напряжений от времени ав(^ является бо-
к
е
лее сложной, чем используемая выше экспоненциальная зависимость. По S-образному виду графика и, исходя из смысла протекающих физико-химических процессов, можно считать, что целесообразно использовать в качестве аппроксимирующего выражения функцию Больц-мана.
Рис. 2. Формирование внутренних напряжений клеевых прослоек из клея марки ПВА без обработки (1) и с обработкой (2) в магнитном поле напряженностью 16-104 А/м
(5)
1 + e h
Здесь te - момент смены характера изменения функции (точка перегиба сигмоидаль-ной функции Больцмана).
Поиск коэффициентов, входящих в (7), для аппроксимации экспериментальных данных произведен на основе метода наименьших квадратов с использованием итерационного алгоритма. Получена зависимость o.(t) в виде
/ч , 15,42 +1,20 a.(t) = -1,20 + ' . (8)
1 + e 45'03
Из анализа выражения (8) можно видеть, что магнитное поле эффективно подавляет процесс формирования внутренних напряжений на начальном этапе
склеивания. Воздействие магнитного поля приводит к тому, что рост напряжений протекает не по резкому экспоненциальному закону, а по слабовозрастающему почти линейному участку сигмоидальной функции, сменяющейся в момент времени 100 мин и выходящей на насыщение экспоненциальной зависимостью.
Следует отметить также тот факт, что показатели роста ов и h для обоих случаев практически одинаковы (ов=44,30 мин, h=45,03 мин). Это свидетельствует о том, что магнитное поле не снижает появления внутренних напряжений, но изменяет сам механизм формирования внутренних напряжений. Здесь можно предположить, что магнитное поле упорядочивает полимерную структуру клеевой прослойки, когда объем клея мало изменяется. В тоже время при отсутствии магнитного поля из-за неупорядоченного отверждения объем клея возрастает.
Ненулевое значение слагаемого ов(0) позволяет оценить ошибку эксперимента. Поскольку число экспериментальных точек достаточно велико, ошибка эксперимента связана не со случайной ошибкой, а с системной, которая легко исключается вычитанием. Относительная ошибка составляет порядка 8 %. Малая величина ошибки и преимущественный систематический ее характер позволяют считать результаты эксперимента достоверными.
Библиографический список
1. Попов В.М., Иванов А.В. Интенсивная технология получения клееной древесины повышенной прочности // Вестник
МГУЛ "Лесной журнал", 2007. №4 . С. 8991.
2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем / М.: Высш. шк., 1998. 319 с.
3. Фрейдин А.С., Вуба К.Т. Прогнозирование свойств клеевых соединений древесины / М.: Лесная промышленность, 1980. 223 с.
4. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Гра-ковский Ю.В. Планирование эксперимента
при поиске оптимальных условий / М.: Наука, 1976. 279 с.
5. Попов В.М., Шендриков М.А., Иванов А.В., Жабин М.А. Влияние магнитного и электрического полей на прочность клееной древесины // Вестник МГУЛ «Лесной Вестник», 2009. №4. С. 122-126.
6. Займан, Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем / М.: Мир, 1982. 592 с.
