CC BY
28
УДК 531.383
А.А. Гуськов
канд. техн. наук, доцент, кафедра «Авиационные приборы и устройства», Арзамасский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
А.П. Мокрое
магистрант,
кафедра «Авиационные приборы и устройства», Арзамасский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ДРЕЙФА МАЛОГАБАРИТНОГО ГИРОСКОПА
Аннотация. В статье рассмотрена физика формирования дрейфа малогабаритного гироскопа на сферической шарикоподшипниковой опоре, обусловленного несимметрией изготовления магнитоэлектрического двигателя. Разработана математическая модель дрейфа гироскопа, предложен вариант компенсации дрейфа гироскопа за счет изменения закона управления напряжением питания двигателя.
Ключевые слова: малогабаритный гироскоп, магнитоэлектрический двигатель, дрейф гироскопа.
A.A. Guskov, Arzamas Polytechnic Institute (branch) Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev
A.P. Mokrov, Arzamas Polytechnic Institute (branch) Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev
MODELLING OF PROCESS OF FORMATION OF DRIFT OF THE SMALL-SIZED GYROSCOPE
Abstract. In article the physics of formation of drift of the small-sized gyroscope on a spherical ball-bearing support caused by asymmetry of production of the magnetoelectric engine is considered. The mathematical model of drift of a gyroscope is developed, the option of compensation of drift of a gyroscope due to change of the law of management of engine supply voltage is offered.
Keywords: small-sized gyroscope, spherical ball-bearing support, magnetoelectric engine.
Объектом исследования является малогабаритный трехстепенный гироскоп [1] на сферической шарикоподшипниковой опоре, применяемый в качестве чувствительного элемента гиростабилизатора или двухканального датчика угловой скорости. Малые габариты гироскопа обеспечиваются, в первую очередь, за счет применения магнитоэлектрического двигателя, представляющего собой две пары неподвижных катушек с углом разворота 180 градусов и взаимно перпендикулярными осями и закрепленный на роторе подвижный магнит.
На рисунке 1 представлена электрическая схема двигателя. Цифрами I—IV обозначены четверти положения северного полюса магнита ротора относительно рабочих (вертикальных) частей катушек статора.
Закон управления напряжением питания двигателя UA(t) и Ue(t) формируется по сигналам датчиков Холла ДхА и ДхВ.
Графики зависимостей напряжения питания UA(t) (основная линия) и сигнала датчика Холла URi(A(t) (тонкая линия) от положения ротора для катушек фазы А представлены на рисунке 2. Зависимость тока в катушке фазы А можно представить в следующем виде:
i a = /'о sgn ( sin«), (1)
где a=2p/T - угол поворота магнита (отсчитывается относительно оси Z, рис. 1), Т - период вращения ротора (время одного оборота ротора).
Ток в катушках фазы В меняется во времени аналогично со смещением на четверть периода:
/в = /0эдп | эт | а + р \ | = /0эдп (еоэа)
(2)
Рисунок 1 - Электрическая схема двигателя
Рисунок 2 - Зависимости напряжения питания иА(() и сигнала датчика Холла УдхА(() от времени (катушки фазы А)
Целью данной работы является разработка математической модели дрейфа гироскопа, вызванного несовершенством магнитоэлектрического двигателя, и поиска путей компенсации дрейфа.
Причиной появления дрейфа является действие на ротор гироскопа вредных моментов со стороны магнитоэлектрического двигателя. Такие моменты могут возникнуть из-за несимметрии его конструкции, например, геометрической несимметрии катушек, несимметричного распределения магнитного поля постоянного магнита в зазоре, неточной установки датчиков Холла относительно катушек двигателя или неидеальных характеристик датчиков Холла.
Рассмотрим влияние несимметрии катушек на формирование дрейфа на примере катушек фазы А.
На рисунках 3, а, б показана развертка катушек фазы А при прохождении северного полюса магнита в 1-ой и 11-ой четвертях. Пунктирными стрелками показано направление прохождения тока, сплошными стрелками - направление сил, действующих на катушки со стороны магнитного поля.
а)
б)
Рисунок 3 - К анализу несимметрии катушек
Если катушки абсолютно симметричные, то силы, создающие моменты относительно осей У и 2, взаимно уравновешиваются (на рис. 3 эти силы направлены вниз и вверх). Силы, создающие вращательный момент (на рис. 3 направлены вправо), направлены строго параллельно плоскости 0У2 и также не создают моментов вокруг поперечных осей.
Если катушки выполнены несимметрично, или магнит относительно катушек расположен несимметрично, то силы, действующие на верхнюю и нижнюю части катушки не будут равны между собой, что приведет к возникновению момента вокруг оси У.
Непараллельность плоскости 0У2 сил, создающих вращающий момент, приведет к появлению вертикальной проекции этих сил и созданию момента вокруг оси 2.
При дальнейшем движении магнита в 111-ей и !У-ой четвертях меняется направление магнитного поля относительно катушек и происходит переключение полярности напряжения питания иА катушек (рис. 2). При этом направление сил, действующих на катушки, останется таким же, как на рисунке 3, а, б.
Характер зависимости вредных моментов от угла поворота ротора показан на рисунке 4.
Рисунок 4 - Характер зависимостей вредных моментов, создаваемых катушкой фазы А, от угла поворота ротора
Математически подобные зависимости моментов от угла поворота ротора можно описать следующей моделью:
MA = (sm sin a + k* Bm sin(a + P)) i*wld = BJAwld (kAy - kA) sin a,
(3)
М* = |kAzBMsin |a + f) + k ( a - P j| i*wld = BJaWM (k* - k ) cos a, (4)
где ВМ - амплитуда магнитной индукции постоянного магнита, i0 - ток питания катушек статора, w - число витков одной катушки, l- активная длина катушки, d- диаметр катушки, kA , kA , k* ,
kA - коэффициенты асимметрии. Ток iA в (3) и (4) определяется по формуле (1).
Коэффициенты k* , kA учитывают асимметрию в катушках, приводящую к появлению
вредных моментов относительно оси Y, а коэффициенты k* , kA - относительно оси Z.
Формулы (3), (4) получены при условии намагниченности постоянного магнита по гармоническому закону:
B = BM sina. (5)
В силу технологических причин магнит может быть намагничен несимметрично: индукция под одним полюсом может быть больше, чем под другим, и полюса могут быть различными по ширине.
Магнитное поле ассиметричного намагниченного магнита математически можно описать следующей функцией:
B = Во + Bu
л DB . . .
1 +—sina Isina,
В..
(6)
где В0 - коэффициент, имеющий размерность магнитной индукции и определяющий смещение графика распределения магнитной индукции относительно нуля, ДВ - коэффициент, имеющий размерность магнитной индукции и отвечающий за увеличение или уменьшение отрицательной или положительной полуволн функции распределения магнитной индукции В(а).
Математическую модель вредных моментов, учитывающих несимметрию катушек фазы А и намагниченности магнита одновременно, можно получить, подставив в (3) и (4) вместо (5) значение индукции (6):
МA = i Awld
Y A
MA = i Awld
(kA + kA ) В0 + kA ВМ
V 1Y 2 Y / 0 1Y M
(
Л DB . 1 + — sina В.,
л
(
sina-kA В.,
л DB . . .
1--sina Isina
В..
J
(kA +k Az) Во+kABM
1 DB 1 +—cosa
В.,
л
cosa-k В.,
' DB ) 1--cosa
В.,
\
cosa
(7)
(8)
J
Значение величины дрейфа по осям У и I, вызываемого несимметрией катушек фазы А, можно вычислить следующим образом:
w
w
11 T
=--f MА (t)dt,
' HT 0 z
11 T
= —— f MA (t)dt, Hm y
(9) (10)
где Н - кинетический момент ротора.
Подставив значения моментов (7), (8) соответственно в (9) и (10), после интегрирования получим:
w
11 T
= - T J МА (t )dt = 0,
(11)
2Y
дру
а 11 Г„,а^, 2¡°WldBM (kA - kAy ) wA =--1Mа (t)dt = — v Y '
дрz H T J y ' ' ' 0
pH
(12)
Аналогично рассуждая, можно получить зависимости вредных моментов, обусловленных несимметрией катушек фазы В:
( Г ЛО Л ( ЛО Л ^
МB = iBwld
(kBY + ^By ) B0 + КЯ
i DB
1 +—eos«
B
eos«-kB BM
Л DB
1--eos«
B
eos«
МB = iwld
(kBz + k Bz ) B0 + klBM
í
DB
1 + — sin« B
л
sin«-kB B..
DB
1--sin«
B
л
sin«
и дрейф, вызванный этими моментами:
w
w
11 Г
= 771 í MB(t )dt = 0,
1 1 T 2i0wldBM (kB - kB )
= H ímB(t)dt = —-^^z-2Ü
HTi z pH
(13)
(14)
(15)
(16)
где кв , кв и кв , кв - коэффициенты асимметрии катушек фазы В, приводящие к появлению
вредных моментов относительно оси У и 2 соответственно.
По полученным зависимостям можно сделать вывод, что несимметрия катушек фазы А приводит к появлению дрейфа только по оси 2, а несимметрия катушек фазы А - к появлению дрейфа только по оси У.
Неидеальность датчиков Холла или их неточная установка относительно катушек двигателя приведет к тому, что переключение импульсов тока в катушках не будет совпадать по фазе с движением постоянного магнита (ротора). Математически такой вид асимметрии можно учесть в зависимостях тока от угла поворота постоянного магнита:
(17)
i a = 'osgn (sin (« + pD A)),
iB = i0 sgn (eos(« + pDB)),
(18)
где ДА, ДВ - коэффициенты, определяющие изменение фазы тока в катушках двигателя.
Подставив (17) в (7), (8) и (18) в (13), (14), получим зависимости вредных моментов по осям У и 2 при несимметрии катушек двигателя, магнитного поля и датчиков Холла. И далее, интегрируя данные зависимости, получим математические модели, описывающие дрейф гироскопа по осям У и 2, вызванный несимметрией катушек двигателя:
2/'oW/dBм (ка - к22) ,
wA =
др Y
wA =
дрz
wB =
др Y
wB =
pH
2i0WldBM (kAY - kA ) 2 Y )
pH
2i0WldBM (kBz - kB ) 2Z
pH
2i0WldBM (kBY - kB ) 2 Y )
pH
sin (pDa ), eos(pDa), eos(pDB), sin (pDB).
(19)
(20) (21) (22)
Как видно из (19)-(22) при описанной выше несимметрии конструкции ток в каждой из катушек вызывает дрейф как по одной, так и по другой оси.
Исследуем возможность уменьшения дрейфа за счет изменения уровня подаваемых в катушки двигателя положительных и отрицательных импульсов напряжения.
2 Y
z
Цр Y
Математическую модель тока питания катушек можно представить в виде:
/А = /0эдп (б1п«) ± А/а , (23)
'в = /'о эдп (соБа) +А/в, (24)
где А/а, А/в - изменение амплитуды положительных и отрицательных импульсов тока относительно начального значения /0 в катушках фазы А и В соответственно.
Подставляя (23) в формулы (7), (8) и (24) в (13), (14) с учетом (17), (18) и интегрируя полученные выражения, определим суммарный дрейф гироскопа по осям У и 2 , вносимый магнитоэлектрическим двигателем:
2i0wldBM (kAz - kА ) ,
-—-— sir
pH
wld(kBz - k* )[4i0BM cos(pDB) + pABAi* ]
одру = wA + wB =-—-— sin (pAA ) +
дру дрУ дрУ pH V '
(25)
2pH
wld (kAy - k2Ay) [4ioBM cos (pAa ) + pABAÍa ]
w„pz = WA + ОТ =-—--- +
ДpZ дpz дpz 2pH
2ioWldBM (kBy - kBy )
v 1У — sin (pAB).
(26)
рН
Из (25), (26) можно видеть, что дрейф юдрУ по оси У не зависит от изменения амплитуды тока А/а, а дрейф юдрг по оси 2 не зависит от изменения амплитуды тока А/В.
Условия компенсации дрейфа по осям У и 2 получим, приравняв нулю выражения (25) и (26). Решая эти уравнения относительно А/а и А/В можно определить необходимое для компенсации дрейфа приращение амплитуды импульсов тока:
л ■ 4LB,
Аь =
a - _ло [(k 2У - kAy) cos (pAa ) + (k2By - kBy) sin (pAb )] , (27)
A'b = pB [(kBz - kBz) cos (pAb ) + (k2Az - kA ) sin p )]. (28)
Таблица 1 - Результаты численного моделирования способа компенсации
дрейфа од^ по оси z
Значения коэффициентов асимметрии Дрейф до компенсации, Юдpz град/час Необходимое изменение амплитуды А/' тока , % i0
AB BM k А kА 2 У k 2 k22 2У Aa Ав
0,25 0,9 -0,4 0,9 -0,4 0,1 0,1 52 8,3
0,2 0,9 -0,4 0,9 -0,4 0,1 0,1 52 10,4
0,1 0,9 -0,9 0,9 -0,9 0,5 0,5 57 23
0,1 0,4 -0,6 0,7 -0,9 -0,3 0,3 60 24
0,25 -0,5 0,9 -0,1 -0,9 -0,1 -0,25 65 9,7
0,05 -0,6 0,7 -0,5 -0,5 0 -0,5 73 33,1
0,3 -0,3 0,9 -0,7 0,8 -0,1 0,4 81 10,9
0,1 0,7 -0,8 0,9 -0,6 -0,1 0,4 90 36,3
0,15 0,8 -0,8 -0,8 0,7 0 -0,3 96 23,9
0,2 0,9 -0,9 0,9 -0,9 0 0,5 114 22,9
Оценим, насколько необходимо изменить амплитуду подаваемого тока в катушки для компенсации дрейфа. Пример расчета дрейфа юдрг по оси 2 и значения А/а при различных значениях и знаках коэффициентов асимметрии приведены в таблице 1.
Значения коэффициентов асимметрии выбраны так, чтобы дрейф гироскопа лежал в пределах 50...120 град/час, что соответствует дрейфу опытных образцов малогабаритных гироскопов. Значение величины А/А выражено в процентах относительно начальной амплитуды тока i0.
Результаты численного моделирования подтверждают эффективность предлагаемого способа компенсации дрейфа. Необходимое изменение амплитуды тока не превышает 40%.
Разработанные математические модели расчета дрейфа гироскопа могут быть использованы при анализе причин формирования дрейфа и поиска путей его компенсации.
Рассмотренный способ компенсации дрейфа за счет изменения уровня подаваемых в катушки двигателя положительных и отрицательных импульсов напряжения может быть реализован изменением схемы питания двигателя (подачей опорного тока в катушки двигателя и введением в схему регулировочных пассивных элементов).
Список литературы:
1. Пат. 2446382 Российская Федерация, МПК, G01C 19/02. Гироскоп / Макаров А.М., Кожин В.В., Грязнов Е.А., Уракова Л.Е.; заявитель и патентообладатель ПАО АНПП «Темп-Авиа». - № 2010133531/28; заявл. 10.08.2010; опубл. 27.03.2012. Бюл. № 9.
