Моделирование протаивания мерзлого грунта под теплоизоляционными слоями Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 551.34

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОТАИВАНИЯ МЕРЗЛОГО ГРУНТА ПОД ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННЫМИ СЛОЯМИ

© И. Л. Хабибуллин, Г. А. Закирова*

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 96 43.

*Email: [email protected]

Рассматривается моделирование процесса протаивания мерзлого грунта, находящегося под теплоизоляционными слоями. Реализация предложенной модели позволяет найти глубину протаивания мерзлого грунта за теплый период года. Эта величина определяется в зависимости от вида, свойств и толщины теплоизоляционных слоев, льдистости грунтов, температур дневной поверхности и многолетнемерзлых пород. Данная задача возникает при реализации системы геокриологического прогноза в криолитозоне. Такой прогноз необходим при проведении мероприятий инженерно-геологического мониторинга на этапах строительства и эксплуатации различных объектов в условиях вечной мерзлоты. Протаивание мерзлого грунта рассматривается в рамках модели задачи Стефана. При этом распределение температуры в грунте и закон движения фронта протаивания определяется по методике Л. С. Лейбензона. Для нахождения закона движения фронта протаивания получено нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, построено аналитическое решение этого уравнения. При проведении расчетов по этому уравнению важным параметром является время начала протаи-вания мерзлого грунта. Значения этого времени с учетом наличия теплоизоляционных слоев определяется методом интегрального теплового баланса.

Ключевые слова: вечная мерзлота, мерзлый грунт, теплопроводность, протаивание, теплоизоляция, интеграл теплового баланса, задача Стефана, фронт протаивания.

Введение

Интенсивное освоение Субарктических районов России сопровождается развитием деструктивных мерз-лотно-геологических процессов на поверхности криолитозоны. Развитие этих процессов обусловлено техногенным воздействием на поверхностный слой литосферы, сложенной многолетнемерзлыми породами. Особое место среди этих процессов занимает термоэрозия и термокарст грунтов, в результате которых практически исчезает способность грунтов, как несущей основы различных технологических объектов. Основным фактором, определяющим интенсивность процессов термоэрозии и термокарста, является протаивание мерзлых грунтов при изменении термодинамических условий на дневной поверхности. Допустимая предельная глубина протаи-вания мерзлых грунтов (глубина сезонно-талого слоя) определяется нормативными документами по строительству. При этом она может быть регулирована использованием на поверхности теплоизоляционных слоев различной природы. В связи с этим, является актуальной задача мониторинга термического режима мерзлого грунта под теплоизоляционными покрытиями, реализация такого мониторинга предполагает прогноз температурного режима и динамики протаивания мерзлых грунтов [1-3]. Теоретическую основу, этого прогноза составляет физико-математическое моделирование температурных полей, чему и посвящена данная работа.

Постановка задачи

Для расчета глубины оттаивания рассматривается четырехслойная среда: в областях о < z < h01 и h01 < z < h02 находятся теплоизоляционные слои различной природы, в области z > h02 - грунт, который

может быть в талом и мерзлом состояниях.

Температурное поле в этих слоях описывается уравнениями:

д 2Т д Т

А -L = р c —L , (i = 0.1,0.2,1,2),

i 2 r i i ' v ' ' '

д z д t

здесь А и р c - коэффициенты теплопроводности и объемной теплоемкости соответствующих слоев. На границе раздела слоев задаются условия непрерывности температур и тепловых потоков, на границе раздела талого и мерзлого грунтов задаются условия Стефана.

Тн Тф Тг Т

01 hoi / 2 /Lilt)/

02 ll02 b(t) / /3 /

1 L(t)

2 La(t) 4

Рис. 1. Этапы нагрева и протаивания мерзлого грунта.

В начальный момент времени (t=0) температура в слоях изоляции и в мерзлом грунте считается одинаковой: Тн < Тф , здесь ТФ - температура протаивания грунта. При t > 0 на поверхности верхнего теплоизоляционного слоя поддерживается температура тг > тф .

Процесс нагревания можно разделить на четыре этапа (рис. 1). Первый этап описывает проникновение теплового фронта до поверхности h0i, при этом происходит нагрев верхнего слоя теплоизоляции. Во втором этапе происходит нагрев обоих теплоизоляционных слоев. На третьем этапе наряду с дальнейшим нагревом теплоизоляционных слоев происходит нагрев мерзлого грунта до температуры протаивания. На заключительном - четвертом этапе происходит нагрев всех слоев при этом под слоями теплоизоляции появляется область талого грунта, которая расширяется в глубь массива мерзлого грунта. Процесс теплопереноса рассматривается в течении промежутка времени, равному теплому периода года.

Определение времени начала протаивания грунта

Для решения рассматриваемой задачи используем интегральный метод, основная идея которого заключается в том, что искомое решение удовлетворяет не исходному уравнению нестационарной теплопроводности, а интегралу теплового баланса [4].

Продолжительность первого этапа нагрева определяется из выражения [3-4].

^ = 0,085

h

(1)

здесь hm и а01 - толщина и температуропроводность первого слоя. Распределение температуры к концу первого (началу второго) этапа (кривая 1 на рис. 1) определяется из выражения:

(i) (h01 - z )

Т 01 ) (z, t = ti) = Тн + (Тг - Тн ) ---- z . „01 ,

h 021

ч 2

50 < z < h„

Т (1) = Тн ' z > „ 01 .

Продолжительность второго этапа t2 определяется из условия достижения фронтом теплового возмущения поверхности раздела второго слоя теплоизоляции и грунта (кривая 2 на рис. 1):

L 2 (t = 12) = „ 01 + „ 02 . (2)

На этом этапе распределения температур в слоях 01 и 02 можно принять в виде:

Т012) = Тг - (Тг - Т ') . — , 0 < z < „01 , (3)

„ 01

2

Т 02 = Тн - (Тн - Т ') --^ , „ 01 < z < „ 01 + L 2 . (4)

L 2

а

01

Здесь T' - температура на границе раздела теплоизоляционных слоев z = h01 (определяется из условия непрерывности тепловых потоков на этой границе):

т , = 2 Л02 ■ Tн ' h 01 + Л01 ■ TГ • L 2 ^

2 Л02 ^ h 01 + Л01 ^ L 2

Поскольку dL 2 > 0 , то есть область нагрева со временем расширяется, то из (5) следует, что dT' 0 . Та-dt dt ким образом, температура на границе раздела слоев теплоизоляции со временем растет. К концу второго этапа

(L 2 = h 01 + h 02) T' достигает значения: T'(z = h01, t = 12) = T'(z = h01, L 2 = h 01 + h 02) .

При t = t! T' = Tн : T0^2) = Tr - (Tr - Tн ) ■ —

h 01 .

Третий этап начинается при t = t2 и продолжается до t = t3, где t - время нагрева поверхности z = h01 + h02 до температуры плавления мерзлого грунта T (кривая 3 на рис. 1). Это время определяется из условия

T (t = ^ z = h 01 + h 02) = Тф . (6)

Четвертый этап t > t3 характеризуется дальнейшим нагревом слоев теплоизоляции и протаиванием мерзлого грунта. В области h

+ ho2 < z < l (t) находится талый грунт, а в области z > l (t) происходит нагрев мерзлого грунта до Te (кривая 4 на рис. 1). Данный этап продолжается до окончания теплого периода года г .

Таким образом, имеет место соотношение:

t1 + 12 + t з + 14 = Г . (7)

В (8) продолжительность теплого периода года г является заданной величиной, поэтому если окажется что tj + t2 + t3 + t4 < г , то протаивание мерзлого грунта не происходит, т.к. в течение теплого периода года (периода нагрева), тепловой фронт не доходит до области мерзлого грунта. Если же протаивание мерзлого грунта имеет место, то глубина сезонного протаивания L определяется из условия:

LT = l(t = г) . (8)

Таким образом, необходимо определить времена ^ , f2, t3, f4.

Время t определяется по (1).

Согласно (2), для нахождения t2 необходимо знать закон движения фронта теплового возмущения на втором этапе - L ( t ) . Для его нахождения используем интегральное условие теплового баланса для этапа 2:

qdt = dQ 01 + dQ 02 . (9)

Здесь qdt - количество тепла, поступившее за время dtв область z < 0 через поверхность z = 0 , dQ 01 и dQ количества тепла, аккумулированные в слоях теплоизоляции 01 и 02 за это время.

Очевидны следующие выражения:

5T0!2) Я01 ■ (Tг - Т ')

q =-Л01 ■-=-, (10)

д z h„

_ 01 01 ^ Г

' 01 '

r!v к

01

dQ 01 = Р01 ■ с 01 Г T 0(12) - T01)( z, t = /1) }iz ,

0

h 01 + L 2( t)

dQ 02 =^02 ^ ' 02 J (T0Г - Tн )dz . (11)

h

Из (10) с учетом (4) имеем:

2 Л01 ■ Л02 ■ (T Г - T Н )

q =-. (12)

2 Л 02 ^ h 01 + Л01 ^ L 2

Вычисляя интегралы в (11) находим:

Г Тг Т' 2 1

dQ ! = Pol • С 01 -I - +—--Т Н I ■ h 0

L 6 2 3 J

1

dQ 2 =-p02 • С 02 • (Т '- ТН ) • L 2 . (13)

3

С учетом (12)—(13) из (9) следует:

2 h01 h02 • (тг - т н ) _ Pol • С 01 • h 01 _ dt. 2 h02 ^ h01 + h02 ^ l 2 2 dt

■ +

P02 ^ С02 ^ L 2 dT ' P02 ^ С02 ^ (Т ' - тн ) dL 2 + - • - + - • -

3 dt 3 dt

Из этого выражения, учетом очевидного соотношения

d Т ' d Т ' dL ,

dt dL dt

и выражения для Т' (6), после преобразований получается уравнение для нахождения L 2 (t) :

dL 2 Г L 2 3 P01 • С 01 • h 021 + 2 L 2 • h 01 ^ p 02 • c 02 1 , h02

- • I - + - I = 1 , Я 02 = - .

dt L 6 a 02 6 • L2^02 • h 01 + h 01 •L 2 J J P 02 ^ С 02

Решение этого уравнения при начальном условии L02 (t = ^) = h01 имеет вид:

+ 2 •h^ • (L 2 - h01) • h 01 + 2 h01

, 2 .. a 02 . h02 . , h01 • L 2 + 2 h02 • h 01 , ,, , ч

h01 • (3--- 4 •—) • ln-= 6a02 • (t - /1) .

a01 h01 h01 • h01 + 2h02 • h01

Отсюда следует выражение для определения t2 :

„ , , 1 Г h02 ^ (2 h01 + h 02^ „ h02 , , , , 2 a 02 „ h2 . , h01 ^ ( h 01 + h 02 ) + 2 h 02 ^ h 01 1 (14)

'2 = '1 + ^--I -9- + 2 ^ ^ h 01 ^ h 02 + h01 ^ (3--- 4 ^ ^ 1П -"-Г—.-"- I (14)

6 a 02 L 2 h01 a 01 h01 h01 ^ h01 + 2 h02 ^ h01 J

Рассмотрим третий этап нагрева. В начале этого этапа распределение температуры в рассматриваемом массиве определяется выражениями (3) и (4) при t = t2 и L2 = А01 + й02 с учетом Т'):

Т(1Ь . , s гр 2 h02 ^ (Тг T н ) ^ Z

Т01 ( Z ' 1 = ? 2 ) = ТГ--, (15)

2 h02 ^ h 01 + h01 ^ (h 01 + h 02 )

2

r(2^ , ^ T , h01 • (Тг - Тн ) • (2 h 01 + h02 - Z)

Т02 ( Z > f = f 2 ) = ТН + 7-^- . (16)

L2h02 ^ h 01 + h01 ^ ( h 01 + h 02 ) ( h 01 + h 02 )

Т1 (Z > h 01 + h 02 ) = Т н .

Распределение температуры в течение третьего этапа в слоях теплоизоляции и в мерзлом грунте ищем в

виде:

Z h 01

Т 023) = Т " - (Т " - Т "') • ^^^ , h 01 < Z < h 01 + h 02 , (18)

h 02

2

(3) (h о. + h„, + L - z) Т1(3) = Т Н - (Т Н - Т"') —-^- , h 01 + й 02 < Z < h 01 + h 02 + L 3 . (19)

L 3

В этих выражениях значения температуры Т и Т на поверхностях z = h01 , z = а + й02 определяются из условий непрерывности тепловых потоков на этих границах:

ТГ = Тг - (Тг - Т") • — ,0 < z < А01 , (17)

J1 гг _

А 02 h 01 Т г + ' ' Т

_А01 h 02

B

Тг + 2B •

А h.

• Т„

1 + 2 B •

А, h„

B = 1 +

А 02 h 01

(20)

А 02 L 3

Согласно (6) и (20) продолжительность третьего этапа t = t определяется из условия

1 + ■

L з( 13)

= Т г +

L з( 13)

-• Т„

А

2 h 02 -

А02

(21)

Таким образом, для нахождения t необходимо знать закон движения температурного фронта L (t ) в области мерзлого грунта. Значение этой величины определяется из условия интегрального теплового баланса

dQ 03

dQ 0! dQ

q = -+ -

dt

dt

dt

Здесь

q = -а0

дTpf^z = 0, t) д z

А01 • T - T ) h„.

(22)

(24)

- количество тепла, поступающее, за единицу времени через поверхность z = 0 , dQ l, d^ , dQ 3 - количества тепла, аккумулированные за время dt в слоях 01,02 и в области 1. Эти величины определяются из выра-

жений:

h

dQ 01 = P01 • C 01 • f [T 013) - T 012)( z, t = 12 ) ^ , dQ 02 = P02 • c 02 * 0

h01 + h02 + L3 (t)

■1 01+ h02 T0(23) - T0(22)( z , t = t 2

dQ 03 = P • c • f h

С учетом (15)-(19) из (24) следует:

(3)

(Т - Тн )dz

(25)

dQ 0

P0

' c 01 • h 01

dT " dQ

P0

c 02 • h 02

dT " dT'

dt

dQ 03 dt

2

dt

dt

dt

dt

P1 • c1 d r ,

—-L • • [(T "'- T н ) • L 3 ]

3 dt

Подставляя эти выражения и (23) в (22), с учетом очевидного соотношения

d d dL 3 dt dL dt уравнение теплового баланса можно представить в виде:

Pn, • c„, • hn, dT " Pm • c._ • hm dT " dT "' р. • c. d

р-m-м, ^-+ р--ra, ^ (_--_-) + р-l ^-•[(T",- ^ ) • L ]

2

dL,

2

dL,

dL,

dL,

dL3 dt

C учетом (20) и (22) это уравнение принимает вид:

1 =\ («L - •.

L

1 B А •h 02 — + — •-

L 3 + A 3 a 1 • А 02

L, 1 dL,

L + A 6 a,

J

dt

P1 • c 1

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

h:

h:

( — -—) • ln( L 3 + A) +

L 3 1 B • А • h 02

—— +---1-— • [L3 + A - A • ln( L3 + A)]+ const

12 a 3 a • А02

Определяя из условия L3 (t = t2) = й01 + й02 постоянную интегрирования, получаем уравнение для закона движения поверхности L в неявном виде:

♦ ♦ 021 h 022 ч ,

t = t + (- - -) • ln

L3 + A

h 01 + h 02 + A

А

L

02

А

h

01

02

A

A

A

ф

02

)

2

А

a

a

a

01

02

t

2

a

a

01

02

+

a

a

01

02

1 B ■ л1 ■ h 02 + — ■ -

3

a 1 ■ Л02

h 02 - A ^ 1П

h 01 + h 02 + A

L 2

( h 01 + h 02 ) ^

12 a.

(26)

Из (21) следует выражение для значения L3 в конце третьего этапа t = t3:

3

Т - Т h h T - Т

L = А ■ Тф 1 Н = 2 ■ (^ + ^ ■Л ■ 1 Ф 1 Н

Т Г - Т Ф Л 02 Л01 Т Г - Т Ф

Подставляя это выражение в (26) получаем формулу для определения продолжительности третьего этапа

1 1 , / 01 02 ч , 13 = 12 + (-- -) ■ 1n

A ■ (Tг - Тн )

(h 01 + h 02 + A ) ■ (TГ - ТФ )

A ^ ■ (-

- Т,

-) - (h 01 + h 02)

Т - Т

Г Ф

1 B ■Л ■ h 02 + — ■ -

3 a 1 ■ Л 02

^ - Т „

ф н

■| A ■

L

Т - Т

г ф

h 01 - h 02

A ln ■■

A ■ (Tг - Тн )

1

(h01 + h02 + A) ■ (Tr - Тф ) J

(27)

Определение закона движения фронта протаивания грунта

Для четвертого этапа распределения температуры в слоях теплоизоляции, в талом и мерзлом грунте принимаются на основе метода Лейбензона [1]:

Т (4) = Т

1 01 1 Г

(Тг - Т1) ■-, T02 ) = Tl - (T1 - T2)

h„,

z - h.

T1(4) = T0 + (Т2 - Тф ) ■

h„, + h„„ + l - z

. (4)

= TН + (Тф - Тн ) ■ erfc

z - 1 - h 01 - h 02 Wa 2 ■ t

(28) (29)

В этих выражениях неизвестные температуры Т1 и Т2 при z = h01 иz = h01 + h02 находятся из условия

непрерывности тепловых потоков на этих границах:

Л Л Л Л Л

" T Г + (^ Л ■ T Ф

h 01 h 02

h„

h„

l

Л Л Л Л

Л 01 Л 02 ^Л01 Л 02 ^ Л1

h 01 h 02

Л h„

Л h„

Л1 l

h 02 Л1

Л1 h 02

1 = (1 + ■ —-) ■ t2 - тф ■ —- ■ .

Л

l

l Л„

(30)

(31)

На поверхности протаивания мерзлого грунта z = h + й02 + l выполняется условие Стефана:

51(4) 5T <4) Л,--1— + Л--2

dl

= Q ф — , Q ф dt

pLG ,

5 z 5 z

Здесь p и L - плотность и удельная теплота плавления льда, G - льдистость грунта.

Из этого условия, с учетом (29) - (31) следует уравнение для определения закона движения поверхности

протаивания мерзлого грунта:

Л1 ■ (Тг - Тф ) Л2 ■ (Тф - Тн )

l + (

h 01 f h 02 Л 01 Л 02

) ч

Q ф

ж ■ a 2 ■ t

dl dt

(32)

Решение этого уравнения, при начальном условии l (t = t ) = h + й02 , определяет положение фронта протаивания мерзлого грунта под слоями теплоизоляции. Здесь время t определяется согласно выражениям (27), (14) и (1). Очевидно, что если t > г , то таяние мерзлого грунта отсутствует и грунт остается в мерзлом состоянии.

При t < г толщина слоя талого грунта определяется из условия I m = I (t = г ) .

L

3

L

h

+

01

13 :

2

2

1

+

+

a

a

a

01

02

z

h

02

2

z

T

Если на поверхности имеется к слоев теплоизоляции с характеристиками А и 2 знаменатель первого

выражения (32) представляется в виде: t + X ■ ^ ——, то есть имеет место суммирование термических сопро-

n = 1 X0 n

тивлений слоев теплоизоляции.

Рассмотрим аналитическое решение уравнения (32). Это уравнение перепишем в виде:

a c dl

l + b

Здесь

= X (Tr - Tф ), b = Q ф

V X01

V7 dt

X2(TГ - Тф )

(33)

"02 У

V

Па 2 ^ Q ф

t (t = t0 = t3 )= * 0 = h 01 + h 02

В (33) используем подстановку iyft

U (t ) =

c(b + l(t))

Очевидно, что l (t):

a-sit dl

-- b, — =

cU (t) dt 2 c

i4t

dU

:4tU (t) cU 2 dt Тогда вместо (33) получаем уравнение с разделяющимися переменными:

dU 1 / 3 2 \ , ч 0

-= -(- U 3 + U 2 + DU ), U (t = t0 )= ^ 0

dt 2 At

Отсюда имеем

c (b + l0 ) 2 c2

D .

(34)

1

dU

- ln t + const = - Г — 2 A Г U (U 2 - U - D )

Дискриминант квадратного трехчлена U 2 - U - D Д = -4D - 1 < 0, так какD > 0.Вычисляя интеграл

справа, а также полагая const = l nC (где C - постоянная интегрирования), общее решение уравнения (34) представим в виде:

tC = f (U ), f (U ) =

U

U ■

U - D

2U - 1

-л/Т

+ 4D

2U - 1 +

vr

+ 4 D

С учетом начального условия (второе уравнение (34)), решение в окончательном виде имеет вид:

2 2

t U U 2 - U„ - D

10 U 02 U 2 - U - D

2U - 1 - E 2U0 - 1 + E 2U - 1 - E 2U - 1 + E

E

+ 4 D

(35)

(36)

Решение исходного уравнения (34) имеет вид:

a-Jt

l(t)=——-b . cU (t)

Здесь U (t) определяется по уравнению (36), в котором л/^

U 0 =

•(b + l0)

t и l - заданные величины по (33).

Выводы

В работе предложена математическая модель расчета температурного поля в массиве мерзлого грунта, находящегося под двухслойным теплоизоляционным покрытием. Двухслойность теплоизоляции позволяет моделировать реальные способы сохранения устойчивости мерзлых грунтов на основе совместного использования теплоизоляционных покрытий естественного (торфа-песчаные смеси, мохово-растительный покров) и искусственного (полимерные пленки, геотекстиль и др.) происхождения. Расчеты по предложенной модели позволя-

k

h

h

01

02

+

a

c = -

a

a

1+ 4 D

■

У

ют подобрать вид (различные коэффициенты теплопроводности и теплоемкости) и толщину теплоизоляционных покрытий, обеспечивающих оптимальный тепловой режим мерзлых грунтов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гарагуля Г. С., Ершов Е. Д. Основы геокриологии. Динамическая геокриология. Ч. 4. М.: Изд-во МГУ, 2001.

2. Хабибуллин И. Л., Солдаткин М. В. Динамика промерзания сезонного-талого слоя криолитозоны с учетом наличия снежного покрова // Вестник Башкирского университета. 2012. Т. 17. №2. C. 843-846.

3. Хабибуллин И. Л., Лобастов Г. В. Моделирование протаивания многолетнемерзлых пород при наличии теплоизоляционного слоя // Физико-химическая гидродинамика. Межвузовский научный сборник. Уфа: РИЦ БашГУ. 2012. С. 129-138.

4. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975. 227 с.

Поступила в редакцию 08.12.2014 г.

SIMULATION OF THAW FROZEN GROUND UNDER THE INSULATION LAYERS

© I. L. Khabibullin, G A. Zakirova*

Bashkir State University 32 Zaki Validi St.,450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 43.

*Email: [email protected]

We consider the modeling of the thawing of frozen soil, located under the insulation layers. Implementation of the proposed model allows you to find the depth of thawing of frozen soil during the warm period of the year.This value is determined depending on the type, thickness and insulating properties of the layers, the ice content of soil and the surface temperature of permafrost.This problem arises in the implementation of the system geocryological forecast in permafrost. This forecast is required for events ge-otechnical monitoring during construction and operation of a variety of objects in the permafrost. Thawing of frozen soil is considered in the framework of the Stefan problem. In this case, the temperature distribution in the soil and the law of motion of the front is determined by the method of thawing L. S. Leibenson. To find the law of motion of the front thawing obtained the nonlinear first order differential equation, analytical solution of this equation. When calculated from this equation is an important parameter start time of thawing frozen ground. The value of this time based on the availability of heat-insulating layers is determined by the integral heat balance.

Keywords: permafrost, frozen ground, thermal conductivity, thawing, insulation, integral thermal balance, Stefan problem, front thawing.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Garagulya G. S., Ershov E. D. Osnovy geokriologii. Dinamicheskaya geokriologiya [Basics of Geocryology. Dynamic Geocryology].

Ch. 4. Moscow: Izd-vo MGU, 2001.

2. Khabibullin I. L., Soldatkin M. V. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2012. Vol. 17. No. 2. Pp. 843-846.

3. Khabibullin I. L., Lobastov G. V. Mezhvuzovskii nauchnyi sbornik. Ufa: RITs BashGU. 2012. Pp. 129-138.

4. Kozdoba L. A. Metody resheniya nelineinykh zadach teploprovodnosti [Methods of Solution of Nonlinear Heat Conduction Problems].

Moscow: Nauka, 1975.

Received 08.12.2014.