CC BY
27
УДК 65:622.271 А.М. Валуев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГОРНЫХ РАБОТ НА КАРЬЕРАХ: ИНЖЕНЕРНЫЙ И АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПОДХОД
Семинар № 14
Имеются две способа применения математического моделирования пространственного распределения горных работ: при решении задач предпроектного обоснования, проектирования и календарного планирования горных работ (границ открытой разработки, направления, этапных и календарных контуров карьера): 1) с помощью оптимизационных методов и 2) в интерактивном режиме графического диалога. Соответственно в первом случае требуется иметь математическую модель (желательно — сравнительно простую по форме) для выполнения вычислений над ней, во втором достаточно формального описания отдельных элементов геометрической конфигурации и методов проверки их взаимного соответствия в произвольной форме, в т.ч. на основе визуального контроля. По мере возрастания сложности задач, включающих в себя ограничения на диапазоны значений содержания компонентов в руде или соотношения между несколькими ее типами, построение рациональных вариантов в интерактивном режиме становится затруднительным, потребность в применении оптимизационных методов становится настоятельной.
Сложность моделирования определяется также и тем, что при рассмотрении карьера со стороны его геометрической формы, связанной с определенной технологией горных
работ, мы можем выделить объекты с разным сроком существования: забои, форма которых меняется непрерывно и существенно изменяется в течение нескольких часов; развалы взорванной породы, срок существования которых измеряется неделями; откосы уступов в рабочей зоне; временные съезды, подъездные пути в рабочей зоне, характерное время изменения которых составляет порядка месяца; наконец, нерабочий борт карьера, капитальные траншеи, не изменяющиеся (в отдельных частях) в течение значительной части срока существования карьера. Высокодинамичные элементы по существу случайны по отношению к тем, изменение которых соответствует выбранному временному масштабу, и могут быть учтены в модели только в усредненном виде.
Несмотря на определенное разнообразие известных из литературы моделей [1, 2] геометрии карьера все они представляются проявлениями инженерного подхода, имеющего целью сконструировать правдоподобный геометрический объект, представляющий выработанное пространство (ВП) карьера с целью использования его в расчетах вместо оригинала (как правило, реально не существующего на момент выполнения расчетов). При этом упускаются из вида три задачи: 1) оценки погрешности при представлении существующих положений горных работ
(ПГР); 2) оценки погрешности реализации реального ПГР по модельному, если она есть (а других случаев мы не знаем) и, наконец, 3) описание набора вариантов развития горных работ, которое может быть представлено с помощью модели. Последняя задача самая сложная, т.к. в реальности возможны несколько направлений углубления горных работ, использование наклонных площадок вместо горизонтальных, в т.ч. для одновременного выполнения горных работ и транспортной связи с нижележащими участками; перечисленные ситуации практически не охвачены моделированием.
Важнейшим условием практического использования цифровой модели является ее конечномерность, тогда как ВП в реальности конечномерным объектом не является. В других областях выработаны [3] подходы к конечномерной аппроксимации геометрических объектов, в т.ч. конструируемых путем вычислений. Распространенными мерами оценки служат расстояние по Хаусдорфу между объектом и его аппроксимацией (применима к линиям, поверхностям, объемным телам) и мера (площадь, расстояние) симметрической разности объекта и его аппроксимации (применима к фигурам на плоскости или заданной поверхности и к пространственным телам). В рассматриваемой нами области модель имеет две характеристики — максимальную погрешность представления существующего ПГР (или его элементов) модельным и максимальную погрешность восстановления технологически реализуемого ПГР (или его элементов) по модельному; эти величины зависят как от геометрических характеристик залежи и параметров системы разработки, так и от параметров, определяющих размерность модели.
В работах автора [4-7] исследование существующих моделей и обоснование новых производилось на основе использования расстояния по Хаусдорфу. Поскольку невозможно представить всевозможные ПГР, отвечающие определенной технологии, на основе лишь обобщения эмпирических данных (маркшейдерской фиксации существующих ПГР), в основу сопоставления ложится идеальная бесконечномерная модель, передающая свойства технологически возможного ПГР, хотя было бы еще более правильно учесть в обобщенном виде также допустимые отклонения реальных ПГР от проектных, полностью соответствующих технологическим предписаниям.
На определенной степени детализации (представление карьера с углу-бочной системой разработки без системы вскрывающих выработок) совокупность линий бровок уступов (в горизонтальной проекции при заданных высотных отметках) выражается следующей системой соотношений
V, йУ .
-ж=С08^’ -ж=81П^’
йх[
йъ
■к,
йъ ' Х1(5) = Х (°)> У(5) = У (°)> Р/( 5) = Р/(°)> |к, |< Я-1 ,
1 I. 1 Ш1П’
р( х (5) у(ъ); Х1 (ъ'Х у И) > я,
5,5'е[°, Б1 ],|5 -5'|>^Яшт,
р( Х1 (5Х у I(ъ); Х1 у+1(5,)) > й,5 е[°, 81 ],
5 ' е[°, Б1+1], I = 1,..., Ь-1,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
выражающих ограничения на минимальный радиус кривизны Ятп карьерных путей, минимальное расстояние между соседними бровками, складывающееся из минимальной ширины рабочей площадки и горизонтальной проекции откоса уступа Л^двтах и на минимальное расстояние между противоположными бортами — ширину разрезной траншеи д. Данная модель соответствует представленному рисунку.
Более точно было бы представлять в модели отдельно трассы уступных путей, подчиняющиеся сформулированному ограничению на кривизну, и собственно бровки, ограничения, на форму которых менее жесткие (максимальная кривизна определяется радиусом черпания), а возможно, и выделять на площадках уступов участки буровых работ, экскавации развала и те, где таких работ нет; но выделение последних в модели имеет смысл только при рассмотрении этапов порядка месяца в силу отмеченной динамики буровзрывных и выемочнопогрузочных работ.
При аппроксимации модели типа (1)-(5) не подходят общераспространенные методы, не гарантирующие соблюдения соотношения (3). Иссле-
Проектное положение горных работ без вскрывающих выработок
дование аппроксимацион-ных свойств моделей на основе системы (1)-(5) основано на свойстве гладкой кривой ограниченной кривизны, формулируемой в виде следующего утверждения.
Утверждение 1. Пусть Б — дуга кривой, удовлетворяющей соотношениям
йх
= СОБф,
йу
' = Б1Пф .
ж=к'(6)
| к |< Я 1-, з <
1 1 Ш1П ’
:[0,^], (7)
1.) -ф')|<п/2, з, з ' є [0, ЭД. (8)
Пусть расстояние между ее начальной Ао(х(0)), у(0)) и конечной Аі(х(5і)),у(5і)) точками меньше 2Ятіп. Через точки А0 и А1 можно провести две окружности радиуса Ятіп, меньшие дуги которых между А0 и А1 (Б1 и Б2) служат границами замкнутой области (луночки) О. Тогда БєО.
Для доказательства отметим, что уравнения (6) инвариантны относительно произвольного ортогонального преобразования системы координат (X = хсоза + узіпа + х0,
У = -хзіпа + усоза + у0) при соответствующем преобразовании угла ф '=ф-а. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда х(0) = -Ь, у(0) = у^) = 0, х(51) = Ь. Более того, в силу симметрии относительно оси ординат максимум Бтах расстояния от дуги до хорды достигается при хтах = =х(5тах) = 0. Величина Бтах и соответствующая ей дуга находятся из задачи максимизировать у^) при условии 51<тсЯтіп/2, гарантирующем соблю-
дение (8), на кривой, удовлетворяющей (6), (7) и начальным и граничным условиям
x(0) = 0, y(0) = 0, x(Si) = L, фЭЦ) = 0.
Данная задача представляет собой задачу оптимального управления, удовлетворяющую условиям теоремы 3 монографии [8, с. 59]. Составим гамильтониан Hpx, py, Pp, x, y, ф)= px cosp + py sinp + ppk. В силу принципа максимума на оптимальном управлении имеем k(s)=^minsign pp(s). В силу условий трансверсальности py(Si)=0 и сопряженных уравнений имеем
Px(s) = px(Si), pjs) = py(Si), dPp
ds
D1 на К>Кт„. Тогда гладко продолжим дугу Л0Л кривой K дугой окружности К с центром в центре D1. Полученная кривая, удовлетворяющая (6)-(8), уклоняется от Л0Л на ККтп + +Dmax>Dmax, что невозможно.
Следствие. Для произвольной промежуточной точки Л кривой с концами Л0 и Л1, удовлетворяющей (6)-(8), расстояние от Л до Л0Л1 не превышает
Кт1п(1-(1-(р(Ло, Л1)/2Кт1п)2)1/2) =
=0(р(Л0, Л1)/Rmin)2/B),
(14)
Рф О) = -Рх І Б1П(ф(5і) + (^ - 5) / Ятт )Ж =
' (9)
= ЯтіпРх (с0Б(ф(^1)) - +
+ (5і - *)/Ятіп))-
Из (9) вытекает, что в конце траектории рф(в) знакопостоянна, поэтому заключительный участок представляет собой кривую с постоянной кривизной 1/Ятіп, т.е. дугу кривой радиуса Ятіп. Легко убедиться, что при Ь<Ятіп вся кривая представляет собой дугу кривой радиуса Ятіп,
5і=і ф(5і)і Ятіп, ф(5Г5)=-5/Ятіп, и таким образом (9) справедливо для любых 5. Справедливо и условие (8). Таким образом, две кривые ограниченной кривизны, наиболее уклоняющиеся от отрезка, соединяющего их концы суть Б1 и й2 окружностей радиуса Ятіп, проходящих через концы отрезка. Следовательно, всякая другая кривая К, удовлетворяющая (7), (8), не может лежать целиком вне луночки О.
Допустив, что некоторая точка А кривой К (находящаяся по ту же сторону хорды, что и Бі), лежит вне О, получим, что она удалена от центра
угол между касательной к кривой в точке и отрезком АА1, разность между длиной дуги и отрезка и угол между А0А и АА1 не превышают соответственно
фтах=агсзіп(р(А0, Аі)/Ятіп,
р(А0, Аі)(1/сОЗфтах-1),
агсзіп (р(А0,А)/(2Ятіп)) + агсзіп(р(А,А1/
/(2Ятіп)).
Приведенные утверждения позволяют конструировать аппрокси-мационные модели, используя в качестве аппроксимирующих линий замкнутые ломаные или гладкие ку-сочно-окружностные линии, с порядком погрешности є2Ятіп как для представления существующего ПГР, так и для построения ПГР по модельным контурам. Здесь є означает максимальные допустимые в модели значения угла между смежными звеньями или отношения длины участка аппроксимирующей линии к Ятіп. Максимальная погрешность в 1 м при Ятіп = 200, что соответствует железнодорожному транспорту, по всем полученным оценкам достигается при є<0.11, т.е. при длинах звеньев до 22 м, а для погрешности в 5 м длина звена может быть увеличена до 50 м. В таком диапазоне точности (вполне удовлетворительной для про-
ектных и плановых задач) для описания бровки уступа длиной 4 км, что соответствует довольно крупному карьеру, понадобится от 80 до 180 точек.
Погрешность других типов моделей при сопоставимой размерности
1. Табакман И.Б. Принципы построения АСУ на карьерах. — Ташкент: Фан, 1977.
2. Аленичев В. М., Суханов В. И.,
Хохряков В. С. Моделирование природносырьевых технологических комплексов (горное производство) / Под ред. В. Ё.Яковлева. — Екатеринбург: УРО
РАН, 1998.
3. Каменев Г.К. Эффективные алгоритмы внутренней полиэдральной аппроксимации негладких выпуклых тел // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1999. — Т. 39. — № 3.
4. Валуев А.М. Горно-геометрическое моделирование в задачах проектирования открытых горных работ: Учеб. пособие. — М.: МГИ, 1989.
значительно выше, причем для блочных моделей уменьшение горизонтальных размеров блока ниже величины порядка Rmin не ведет к сколько-нибудь существенному уменьшению погрешности
-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5. Валуев А.М. Об аппроксимации геометрической формы карьера // Обозрение прикл. и промышл. матем. — 2004. — Т. 11. — вып. 2.
6. Валуев А.М. Горно-геометрическое моделирование открытой разработки пологих угольных залежей // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2005.
— №7.
7. Валуев А.М. Комбинированные модели борта карьера в задачах годового и среднесрочного планирования // Горный информационно-аналитический бюллетень.
— 2006. — №8 .
8. Понтрягин Ё.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Изд. 3-е. М.: Наука, 1976.
— Коротко об авторе ---------------------------------------------------------------
Валуев A.M. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ОУГП, Московский государственный горный университет.
Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 14 симпозиума «Неделя горняка-2007». Рецензент д-р техн. наук, проф. Н.И. Федунец.
--------------------------------------------- РУКОПИСИ,
ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА
1. Певзнер Л.Д., Костиков В.Г., Кузнецов М.С., Савельев А.В. Автоматическое распределение токов через параллельные управляемые приборы при помощи искусственной нейросети (613/01-08 — 31.10.07) 34 с.
2. Мутушев М.А., Бобнев Ю.Н. Утилизация шахтного метана как способ снижения выбросов парниковых газов (614/01-08 — 19.10.07) 4 с.
