Моделирование прохождения ИК-излучения через алмазную дифракционную линзу с субволновыми технологическими погрешностями микрорельефа Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ИК-ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ АЛМАЗНУЮ ДИФРАКЦИОННУЮ ЛИНЗУ С СУБВОЛНОВЫМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПОГРЕШНОСТЯМИ МИКРОРЕЛЬЕФА

Д.Л. Головашкин1, М. Дюпарре2, В. С. Павелъев1, В.А. Сойфер1 I - Институт систем обработки изображений РАН,

■ Институт прикладной оптики Фридрих-Шиллер Университета (г. Йена, Германия)

E-mail: [email protected]

Введение

Использование в промышленности мощных СО2-лазеров (Х=10,6 мкм) обуславливает интерес к алмазным дифракционным элементам, предназначенным для фокусировки лазерного излучения в области различной конфигурации. В частности, в [1-3] исследовались дифракционные оптические элементы (ДОЭ) - фокусаторы и линзы, изготовленные прямым лазерным травлением поверхности алмазной пленки (п=2,4) путем селективной абляции с помощью эксимерного УФ-лазера.

Данный метод не позволяет формировать идеальный ступенчатый профиль дифракционного микрорельефа в силу особенностей технологии, что влечет за собой отклонения в работе ДОЭ от расчетных характеристик. Систематические локальные искажения микрорельефа ("бортики") возникают на границах элементарных областей травления [3] - областей, каждая из которых соответствует одному отсчету фазовой функции (рис. 1а, б).

на стыке двух элементарных областей:

а) с одинаковыми глубинами травления;

Ь) с разными глубинами травления.

Информация о характерных размерах искаже-ний-погрешностях была получена методами микроскопии. Субволновый характер погрешностей не позволяет использовать скалярное приближение для анализа их влияния. Изучение влияния субволновых погрешностей методом численного моделирования с

помощью разностной схемы для уравнений Максвелла является предметом рассмотрения предложенной работы. В качестве модельного примера выбиралась четырехуровневая цилиндрическая дифракционная линза.

Постановка вычислительных экспериментов Для моделирования распространения Я-волны через цилиндрическую дифракционную микролинзу предлагается явная разностная схема, аналогичная [4]:

Ц0Ц

Ц0Ц

Ип+1 - Hn En - En

У jk yjk xjk xj,k-1 .

ht hz

Hn+1 - Hn En - En

zj Jk zj Jk xj,k xj-1k .

ht h У

En+1 - En Hzn+1 - H zn+1

xjk xj,k zj+1,k zj k

Ип+1 - И'

у^,к+1 у],к

К '

Проекции компонент электромагнитного поля оси декартовой системы координат

г n+1

на

En

xjk

Hn .

yj k

Hn

zj,k

определены на сетке Qh={(y, zk, 0<z<L,

4)е О}, в области 0={0<у<ьу, 0<г<Ь2, 0<<Т} (рис. 2). Набор индексов], к, п задает узлы сетки Ок, причем 1</'<Лу 1<к<М2, 1<<ЫЬ где целочисленные положительные константы Ыу, определяют

общее число узлов. Шаги сетки ку=Ьу/Ыу, к2=Ь2/Ы2, к=Т/Ы. Относительная электрическая и магнитная проницаемости являются функциями координат: ъ=ъ(у,2к)> Н=Н-(у>2к). Предложенная схема аппроксимирует уравнения Максвелла с первым порядком по пространству и времени, будучи устойчивой при условии к<е1 [(ку)-2+(кх)-2]-1/2.

-D

ft

X Z

vY

Рис.2. Область Q

Ь0Ь

h

h

Особое внимание при записи схемы уделялось постановке граничных условий. Область моделирования (А) с трех сторон ограничивалась совершенно поглощающим слоем [5] (В, С, В), необходимым для имитации вакуума вокруг области А. Основная идея метода совершенно поглощающего слоя состоит в введении в уравнения Максвелла наряду с электрической проводимостью среды (су, с() фиктивной магнитной проводимости (с у, с () таким образом, чтобы импеданс среды соответствовал импедансу вакуума с/е0=с /цо.

Тогда в области В схема запишется как:

нп+=“р(-сул /цо к„ +

с( ку

(к у

х | Е + Е - Еп

хУ.к х(,,к

ип+1 - ип

у.,к у.,к

- Еп

хУ.-\,к х(,-\,к

Ц оЦ-

Еп+1 - Еп

К

ИП+1 - ип+1

ХУ.к хУ.1,к У.,к+1 у.,к

ЕХП+1к = ехр(-Су.к/ео Е+ + 1 - ер,?(-ау к, / е

суку

у/н'Ь0П( -Ип+ )

V 7+1,к 21 ,к !

В области С схема принимает вид:

и (= ехр(-с*кк-/ Ц) к,к, -

1 -ехр(-а*1к, /Ц)1

Ц оЦ-

ч

* 1 с ( к(

(к (

ху,,к х(,,к Ху,,к-\

Ип+1 - ип

(7,к (7,к

7,к-1

ху,,к х(,,к) I ху,-1,к хг,-1,к

ку

(-с((к,/еоК (1 -^{-<5(к, /ео1

Е”+1 = ехр|

ху.,к

п+1

ху

с (кк( Еп+1 - Еп

8о8-

ИП+1 - и п+1

у,,к+1 у,,к

ип+1 - ип+1

(.+1,к (.,к

к,

ку

(1)

(2)

(3)

(4)

,у

И в области В схема состоит из уравнений (1); (2); (3); (4).

В свою очередь области В, С и В граничат с электрической стенкой, которой соответствуют условия первого рода (для тангенциальной проекции электрического и нормальной проекции магнитного поля) и условия второго рода (для нормальной проекции электрического и тангенциальной проекции магнитного поля).

Прямой (=Ь( (главной оптической оси линзы) соответствует магнитная стенка, задающая условия первого рода для и( и условия второго рода для Ех и иу. Такое представление граничных условий позволяет рассматривать половину дифракционной линзы, учитывая ее симметричность относительно главной оптической оси.

На прямой (=о задаются условия первого рода, соответствующие распространяющейся в линзе электромагнитной волне.

Были поставлены три серии вычислительных экспериментов, в которых исследовалась четырехуровневая дифракционная линза с фокусным расстоянием 7=4,5 мм и апертурой Ьух 2=1 мм. Каждой серии экспериментов соответствовала линза с линейным размером элементарной области травления 5=3о мкм, 5=4о мкм и 5=бо мкм. Протяженность области О по координате 2 и время постановки эксперимента выбирались так, чтобы отразившаяся от дифракционного рельефа волна не успела дойти до прямой у=о, а через линзу прошел цуг длиной не менее 5Х. Тогда Ь(=Ю6 мкм и Т=7,12813х1о-13 с. Предполагалось, что линза освещается нормально падающим гауссовым пучком с радиусом перетяжки ^=3оХ.

Рис. 3. Распределения интенсивности I = £

в плоскости за линзой при &'=60 мкм а) без локальных искажений микрорельефа,

Ь) с искажениями.

Целью первого эксперимента каждой серии было получение распределения комплексной амплитуды волны Е [6] в плоскости за линзой без ло-

+

X

к

о

к

кальных искажений микрорельефа, второго эксперимента - с искажениями (рис. 3).

Осцилляции интенсивности на рис. 3а вызваны ступенчатым характером расчетного микрорельефа. Локальные технологические искажения микрорельефа приводят к увеличению частоты осцилляций (рис. 3Ь). Впоследствии с помощью интеграла Кирхгофа [7] рассчитывались распределения интенсивности в фокальных плоскостях линз (рис. 4).

a) -0,53 -0,43 -0,33 -0,23 -0,13 -0,03

b) -0,53 -0,43 -0,33 -0,23 -0,13 -0,03

Рис. 4. Распределения интенсивности I • I2

I = \Е\ в фокальной плоскости для линз с линейным

размером элементарной области травления а) і'=30 мкм, Ь) 8=40 мкм, с) і'=60 мкм. Черная кривая соответствует линзе без искажений, пунктирная - с искажениями.

Анализ результатов Условимся под эффективностью линзы с локальными искажениями микрорельефа £ понимать отношение энергии, попавшей в центральный максимум в фокальной плоскости такой линзы, к энергии, попавшей в центральный максимум в фокальной плоскости линзы без искажений.

Как видно из анализа (рис. 4), эффективность линзы с локальными искажениями микрорельефа возрастает при увеличении линейного размера элементарной области травления s. Так, если для линзы с 5=30 мкм £=0,78, то для линзы с 5=40 мкм -£=0,81, а для линзы с 5=60 мкм - £=0,91. Это связано с уменьшением доли непроработанных областей в общей площади линзы. Отметим, однако, что увеличение размера элементарной области травления ведет к снижению точности аппроксимации расчетной непрерывной фазовой функции линзы ее дискретным аналогом [8].

Литература:

1. Кононенко В.В., Конов В.И., Пименов С.М., Прохоров А.М., Павельев В.С., Сойфер В.А. Алмазная дифракционная оптика для мощных С02-лазеров // Квантовая электроника. 1999. Т. 26, С. 9-10.

2. V.V. Kononenko, V.I. Konov, S.M. Pimenov,

A.M. Prokhorov, V.S. Pavelyev, V.A. Soifer CVD diamond transmissive diffractive optics for C02 lasers // New Diamond Films and Frontier Carbon Technology, Japan. V. 10, № 2. 2000 (accepted for publication).

3. V.S. Pavelyev, V.A. Soifer, V.V. Kononenko, V.I. Konov, S.M. Pimenov, A.M. Prokhorov, B. Luedge, M. Duparre Diamond focusators for far IR lasers // МЦНТИ. Компьютерная оптика. № 20. С. 71-75, 2000.

4. Hiroyuki Ichikawa, Electromagnetic analysis of diffraction gratings by the finite-difference time-domain method // J. Opt. Soc. Am. 1998. V. 15, № 1. P. 152-157.

5. Jean-Pierre Berenger, A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of computational physics. 1994. № 114. P 185-200.

6. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн // М., Наука. 1989. 540 с.

7. Борн М., Вольф Э. Основы оптики // Пер. с англ. М., Наука. 1973. 720 с.

8. Методы компьютерной оптики // Под ред.

B.А. Сойфера. М., Физматлит, 2000. 688с.