Моделирование плоско-параллельного течения жидкости с использованием теории клеточных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 37.523.9

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ

С.П. Бобков

Ивановский государственный химико-технологический университет

Рассмотрена возможность применения теории клеточных автоматов для математического моделирования процесса плоско-параллельного течения вязкой жидкости. Приведены результаты численного эксперимента с использованием предложенных моделей.

Исследования в области использования клеточных автоматов для моделирования процессов в сплошных средах известны с конца 60-х годов двадцатого века, однако к середине 70-х интерес к этой проблеме в значительной степени уменьшился. Тем не менее, известны работы, в которых указанный подход применялся для моделирования процессов переноса. Однако, эти исследования, как правило, ставили целью использовать клеточные автоматы как универсальную вычислительную среду для решения классических уравнений математической физики [1]. В предлагаемой работе делается попытка использования клеточных автоматов для моделирования гидромеханических процессов. Но в отличие от ранее предложенных подходов здесь в качестве исходных посылок не используются дифференциальные уравнения гидродинамики, а основные расчетные зависимости базируются на фундаментальных зависимостях механики.

2&+1) = ф[г(*]

где - вектор входных сигналов в

момент времени 1|+1.

При моделировании процессов в сплошных средах принимается, что каждый элемент (автомат) связан своими входами с выходами соседних элементов. Выходной сигнал каждого элемента является тождественным его состоянию и

Клеточный автомат является дискретной динамической системой и состоит из набора пространственных элементов (клеток), функционирующих в дискретном времени. Каждый элемент клеточного автомата работает, как абстрактный автомат, то есть он имеет некоторые внутренние состояния, воспринимает входные сигналы и вырабатывает выходные. Основной особенностью клеточного автомата является то, что его поведение полностью определяется локальными взаимодействиями его элементов.

Рассматривая функционирование отдельного элемента в терминах теории конечных автоматов [2], необходимо отметить следующее. В каждый момент дискретного времени элемент находится в одном из возможных состояний г(1|). В следующий момент времени на элемент поступают входные сигналы, которые изменяют его состояние в соответствии с одношаговой функцией переходов:

,Х(*]+1)] (1),

рассматривается, как входной сигнал для автомата-соседа.

Рассмотрим возможность применения клеточно-автоматной модели для исследования двухмерного процесса течения вязкой несжимаемой жидкости под действием давления. Примем следующие допущения. Будем считать, что сущест-

вует только одна составляющая скорости - вдоль оси х, т.е. течение плоскопараллельное.

В качестве параметра состояния элементов целесообразно взять потенци-

альную фазовую переменную данного процесса - скорость.

Разобьем пространство на элементы размером Ах х Ду (рис. 1).

Рис. 1. Схема клеточно-автоматной модели вязкой жидкости

Будем считать, что каждый элемент имеет массу т, а его поведение описывается законом Ньютона для вязкой среды:

ds

Т = Ц— (2),

dt

где т - касательное напряжение; д - коэффициент динамической вязкости; s -относительная деформация; 1 - время.

Уравнение равновесия для каждого элемента будет иметь вид:

У, Е = та = Ер — Е^ (3),

где а - ускорение; Ер - сила давления; Ртр - сила вязкого трения.

В свою очередь:

Ер = АР • Ау • Ь (4),

где ДР - разность давления; И - толщина элемента.

Е^ = т- Ах • Ь. (5)

Выделим элемент жидкости с индексами й,|. В рамках дискретной модели выражение (4) для момента времени к запишется так:

Рр(к) = [Ри(к) - РІ+1іі(к)]-Ау ■ И.

(6)

Касательное напряжение, приняв используя закон (2) можно вычислить

деформацию элементов и незначительной так:

по сравнению с линейными размерами и

т(к) = -^ М

ии(к) - ии-1(к) ии+1(к) - ии(к)

Ау

Ау

или

Т(к) = - ^ (к) - 2У,^(к) + У,^1(к)^

(7)

Теперь можно переписать выражение (5):

ГТР(к)= -^1^[у-+1(к)-2уи(к) + УцСк)] . (8)

Подставим (6) и (8) в уравнение равновесия (3).

т ■ а,,|(к) = [р,,|(к) - р,+і,і(к)] АУ ■И +

+^АХ ■И [уі,і+і <к*- 2уі.і(к>+у,.і-і <к)]

Можно выразить в последнем плотности на объем, а ускорение через

уравнении массу через произведение скорость:

(9)

т = рУ = р-Ах-Ау-И

(10)

а,,|(к) = ¥,і(к + '*- ¥|і(к>. (11)

5| А1

Перепишем (9) с учетом (10) и (11):

Р

уі,І(к + 1) - уі,|(к)

Р|,|(к) - Р|+і,| (к)

Ах

+ ц

М

у|,|+1(к) - 2уі,|(к) + У,ц(к) Ау2

. (12)

Уравнение (12) является локальным правилом, позволяющим на каждом шаге дискретного времени определять новое состояние (скорость) каждого элемента.

Рассмотрим процесс разгона вязкой несжимаемой жидкости между двумя

параллельными неподвижными стенками бесконечно длинной трубы (рис. 2). Расстояние между стенками примем равным И. Пусть жидкость до момента времени 1:0 находится в покое, а в момент времени 1:0 возникает постоянный градиент давления, равный р.

Рис. 2. К схеме расчета

Разобьем непрерывное модельное пространство на конечное число элементов. Функция переходов (12) для внут-

ренних элементов для данного случая запишется так:

уІ,|(к + 1) = уІ,і(к) +

|,|

А1

Р

Р

Ах

+ ц

уі,|+і(к) - 2У,,|(к) + уі,|-і(к) Ау2 ,

. (13)

Для элементов, соприкасающихся со стенками:

При і = 1:

Ч1(к + 1) = Ч1(к) +

При і = п:

А1

Р

А1

Р

уІ,п(к + 1) = уІ,п(к) + —

’ ’ р

Ах

р

+д

^І,2(к) - 2^і,2 (к)^

Ах

+ ц

Ау2

У,п-1(к) - 2УІ,п(к)

Ау2 ,

(14)

(15)

Таким образом, после дискретизации пространства нами получен взаимосвязанный массив элементов (клеток), поведение которых во времени (в данном случае дискретном) будет подчиняться законам моделируемого процесса (13) -(15).

Результаты моделирования процесса приведены на рис.3. В качестве исходных данных были взяты физические параметры воды при 200С. Расстояние между стенками принято равным 0,01 м., давление - 1 Па. Пространство было разбито на элементы размером 1x1 мм, шаг дискретного времени составлял 0,1 с.

Рис. 3. Результаты моделирования процесса разгона вязкой жидкости

Рисунок 3 иллюстрирует профили скоростей для последовательных моментов времени 0,2; 0,8; 1,4; 2,0 и 3,0 секунд.

Следует отметить, что результаты моделирования полностью соответствуют классическим представлениям о протекании данного процесса [3], однако результат получен без использования дифференциальных уравнений Навье - Стокса и уравнения неразрывности.

MODELLING OF PLANE-PARALLEL CURRENT OF THE LIQUID WITH USING OF THE CELLULAR AUTOMATA THEORY

S.P. Bobkov

The opportunity of application of the cellular automata theory for mathematical modeling of plane-parallel current of a viscous liquid is considered. Results of numerical experiment with use of the offered models are resulted.

Новые издания ученых Ивановской области Отраслевая реструктуризация региональной экономики на этапе посткризисного развития

Научное издание под редакцией: А.Н. Ильченко, А.Н, Петров и др.; ГОУВПО

Ивановский государственный химико-технологический университет, Иваново, 2007. 164 с.

В научной работе рассматривается концепция моделирования антикризисного управления отраслевой реструктуризацией региона. Предложены конкретные модели, опережающие определенные аспекты (направления) реструктуризации: миграции трудовых ресурсов, социально-экономической инфраструктуры муниципальных образований, развития градообразующих предприятий, оценки инвестиционных проектов.

По вопросам приобретения обращаться: г. Иваново, ул. Жиделева, д.3, кор. «И»- 5 ИГХТУ, 3 этаж, к. 61,65, тел. (4932) 327-220, 305-888

ЛИТЕРАТУРА

1. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов.: пер. с англ. - М.: Мир, 1991, 280 с.

2. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1978, 240 с.

3. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа. -М.: Наука, 1987, 840 с.