CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 1, С. 24-29
УДК 532.543
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ БУРНОГО ПОТОКА ПРИ ОБТЕКАНИИ ВЫПУКЛОГО УГЛА
В. Н. Коханенко, В. Г. Фетисов, М. Ф. Мицик
В статье приведен метод расчета параметров двухмерного бурного планового потока, возникающего при обтекании выпуклого тупого угла. Основными допущениями являются условия равномерного течения потока в верхнем и нижним бьефах.
Ключевые слова: бурный равномерный поток, простая центрированная волна, метод характеристик, число Фруда.
Настоящая работа является продолжением исследования решения плановых задач гидравлики по определению основных параметров двухмерных бурных потоков. В отличие от физической плоскости течения, в которой базовая система уравнений движения существенно нелинейная и для которой в настоящее время аналитические решения плановых задач не известны, в плоскости годографа скорости получена линейная система уравнений, на основе которой строится широкий класс решений двухмерных плановых задач.
Задача обтекания бурным равномерным потоком выпуклого тупого угла рассматривалась в [1] непосредственно в физической плоскости течения потока. Двухмерная плановая задача об обтекании выпуклого угла решалась в [1] аналитически в предположении, что после обтекания потоком тупого угла вдоль границы течения поток также является равномерным.
Для развития метода расчета параметров бурного потока с применением плоскости годографа скорости в работе [2] этим методом была решена задача о радиальном растекании бурного потока с последующим переходом в физическую плоскость. Также была предложена методика решения ряда задач по плановому растеканию бурных потоков и была обоснована правомерность использования плоскости годографа скорости.
Целью настоящей работы также является применение плоскости годографа скорости для определения параметров бурного потока при обтекании выпуклого угла и сопоставление полученных результатов расчета с результатами в [1].
Пусть бурный равномерный поток движется вдоль прямой стенки В А в точке А граница плана течения терпит излом, в этой точке стенка развернута на угол — £о (рис. 1). Пусть поток, огибая угловую точку А, движется вдоль стенки АО, которая также является прямой.
© 2014 Коханенко В. Н., Фетисов В. Г., Мицик М. Ф.
Г
В
Ш
м/ ж . /
* Произвольная характеристика
Ж
первого семеиствав
Рис. 1. Образование простой центрированной волны в окрестности выпуклого угла.
Считаем достоверным условием, что стенка АС является линией тока и поток вдоль стенки АС является равномерным.
Как покачано в [1], границей между равномерным и неравномерным потоком всегда служит прямолинейная характеристика, тогда к области равномерного течения, которой в плоскости годографа соответствует одна точка, примыкает простая волна, т. е. простые волны служат переходной формой от равномерного потока к неравномерному. Таким образом, два равномерных потока разделены простой волной. Определим границы этих потоков. Обозначим числа Фруда для каждого из равномерных потоков / и II соответственно и пусть при этом > Согласно [1], границами этих потоков являются прямые АМ и АЖ, которые являются характеристиками первого семейства с соответствующими волновыми углами (рис. 1):
1 1
«1 = агсвш —«2 = агсвш — (1)
V у
Вдоль характеристики второго семейства, пересекающей характеристики, выходящие А
е — | \Z3arctg/V + агсвш —| = — 2т/, (2)
или в виде, предложенном в [3]
е - _ ^ + агсат I = ~211 (3)
где г = -Щ2, т = квадрат скоростного коэффициента потока; £ угол, опреде-
ляющий направление вектора скоростей частиц потока; Н — постоянная, определяемая
V2
из формулы Бернулли // \ = + /11 по параметрам У\, ¡1\ для потока I; г/ постоянная величина вдоль характеристики.
Так как в потоке I выполняется £ = 0 ^ = то
Поскольку угол е в задаче обтекания выпуклого угла изменяется от нуля до е = —е0, т. е. всегда отрицателен, то уравнение (2) с учетом (4) примет вид:
где е* = |е|.
Максимальный угол поворота при безотрывном обтекании стенки с изломом при заданной кинетичности F\ первого потока определяется из условия F2 = го, h2 =0,
2 \ ь V 3 y/F[/
Предельный угол поворота бурного потока достигается в (9), если положить поток I критическим, т. е. Fi = 1. В таком случае
£тах= (л/3 - l) ^ « 1,15rad « 65,88°. (7)
Эти расчеты согласуются с результатами в [1].
Из (5) также следует, что для безотрывного обтекания потоком выпуклого тупого угла должно выполняться условие:
ео = f (F2) - f (Fi), (8)
где f(F) = л/3 arctg \J+ arcsin
Зная, что в центрированной волне параметры потока связаны условием (2) с использованием (4), можно задавать F G [Fi; F2], определяя соответствующий угол е вдоль характеристики первого семейства, т. е. на произвольной прямой AM * (рис. 1).
Угол 9 для характеристики первого семейства, отсчитываемый от оси OY (рис. 1) определяется по формуле
п
в = --а + £*. (9)
Определив 9 и F, можно определить и параметры потока вдоль прямой 9 = const:
h = Н\{1 —т), V = т1/2лДдЩ, (10)
где hi, Vi — глубина и скорость равномерного потока I.
Таким образом, параметры потока в центрированной волне полностью определены. Для построения линий тока в центрированной волне выявим основные свойства потока в этой области течения. Поскольку два равномерных потока соединены простой центрированной волной, то в данной волне характеристики первого семейства — прямые, они проходят через начало координат и имеют уравнения 9 = const, при этом вдоль прямолинейной характеристики параметры потока постоянны, следовательно, в каждой точке характеристики выполняется
= ^ = 0, ^=0. (11) от от от
Согласно [1] система уравнений движения планового потока в полярных координатах совместно с уравнением неразрывности имеет вид:
+ ~ # = -двшцсовв-дсовцЩ^ - Тг-У'Г^ + ^ + ^ = -98Ш»8Ш6 - - Т0; (12)
<Т— "Г -I — — — У отгони/ — у КЛ^^дЩ-
-§p(rurh) + -§g(ueh) =0,
где r, 0 — полярные радиус и угол жидкой частицы потока; ur, ug — радиальная и трансверсальная проекции вектора скорости; zo — отметка дна русла; у — продольный уклон русла; g — ускорение силы тяжести. В рассматриваемой задаче имеем
Tr = Te = 0, zo = const, у = 0. (13)
В силу условий (11) и (13) система (12) упрощается:
rlf =
Mlw + ur) = -9m, (14)
urh + ue^ + h^ = 0.
Третье уравнение системы (14) выражает в полярных координатах условие неразрывности движения потока П = 0, при этом справедлив интеграл Бернулли
Hi = 4pl + h_ (15)
2g
Из второго и третьего уравнений системы (14), как показано в [1], следует:
щ = л/gh. (16)
Уравнение линии тока в полярных координатах имеет вид [4]:
dr rdO ur щ
Радиальную и трансверсальную координаты вектора скорости выразим через т:
h = Н\ (1 т), щ = VgHi(l-T),
иг = л/ дН\ (Зг — 1), V = (18)
Перепишем уравнение (17) в виде
dr urde /Зг-1^ (19)
r ug V 1 — т Из уравнения (3) выразим ^31r_Jr1 ■ Для этого (3) перепишем в виде:
/ Зт — 1
е* — a = л/3 arctg л / —-- - 2rj, (20)
3(1 — т)
где е* = |е|, или
Из (21) следует
Из равенства (9) найдем dO: Обозначим выражение
Тогда из (22) и (23) следует
е* - a + 2п
V3
arctg
/ Зт - 1
3(1=7) ■
tg
е* - a + 2п 3т - 1
л/3 V 1-Г
dO = de* - da.
е* - a + 2n 7 =-777-■
(21)
(22)
(23)
(24)
dY =
de* - da
dO
или
dO = y/3dj.
Учитывая формулы (22), (24) и (25), уравнение (19) представим в форме
dr
— = 3 tg 7 dj. r
Интегрируя уравнение (26), получим:
1п — = 1п
го
3
cos3 y0
cos3 y
(25)
(26)
(27)
При этом, если начальную точку траектории выбрать на луче АМ, то 7о = а если — на луче АМ, то 70 = .
Потенцирование (27) приводит к уравнению
Г = Г О'
3
cos3 y0 cos3 7 '
(28)
Из (28) следует, что линии тока в простой центрированной волне являются подобными кривыми, расстояния между которыми при > > 1 увеличиваются вниз по течению потока.
Таким образом, поставленная в работе задача по определению параметров потока при обтекании выпуклого тупого угла решена методом использования плоскости годографа скорости. При этом результаты, полученные в работе, совпадают с результатами в [1], где был предложен аналитический метод расчета параметров потока непосредственно в физической плоскости — в плане течения потока.
Литература
1. Емцев В. Т. Двухмерные бурные потоки.—М.: Энергия, 1967.—212 с.
2. Коханенко В. Н. Двухмерные в плане бурные стационарные потоки за водопропускными сооружениями в условиях свободного растекания: Дис. ... докт. техн. наук.—М., 1997.—238 с.
3. Коханенко В. Н., Волосухин Я. В., Ширяев В. В., Коханенко Н. В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков.—Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007.—168 с.
4. Вухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. Кинематика, статика, динамика материальной точки.—М.: Наука, 1965.—468 с.
Статья поступила 31 мая 2013 г.
Коханенко Виктор Николаевич Донской государственный аграрный университет, профессор кафедры механики и оборудования процессов пищевых производств
РОССИЯ, 346493, Ростовская обл., Октябрьский район, нос. Персиановский; E-mail: [email protected] Фетисов Валерий Георгиевич
Институт сферы обслуживания и предпринимательства, филиал Донского государственного технического университета профессор кафедры математики
РОССИЯ, 346500, Ростовская обл., Шахты, ул. Шевченко, 147; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, Заведующий лабораторией прикладного нелинейного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]
Мицик Михаил Федорович
Институт сферы обслуживания и предпринимательства, филиал Донского государственного технического университета доцент кафедры математики
РОССИЯ, 346500, Ростовская обл., г. Шахты, ул. Шевченко, 147; E-mail: [email protected]
SIMULATION THE PARAMETERS OF TURBULENT FLOW WHEN DIFFRACTION OF A BLUNT ANGLE
Kochanenko V. N., Fetisov V. G., Mitsik M. F.
This article provides a method of calculation of parameters of a two-dimensional turbulent flow when occurs diffraction of the blunt angle. The main assumptions are conditions of uniform flow in the upper and lower canal ponds.
Key words: turbulent even flow, simple centered wave, method of characteristics, the Froude number.
