Моделирование оптимального входа конкурирующих фирм в рынок в стохастических условиях Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Моделирование оптимального входа конкурирующих фирм в рынок в

стохастических условиях Дата: 13/08/2010 Номер: (23) УЭкС, 3/2010

Аннотация: На основе модели стохастической дифференциальной игры,

сформулированной в рамках теории реальных опционов, построены оптимальные стратегии входа конкурирующих фирм в рынок с учетом неопределенности будущей прибыли. Вычислено ожидаемое время доминирующего положения каждой из конкурирующих фирм на рынке, а также вероятности доминирования каждой из фирм на рынке в пределах конечного временного горизонта.

Ключевые слова: дуополистическая конкуренция, дифференциальная игра,

конкуренция, оптимизация

Abstract: Optimal entry strategies of competing firms taking account of uncertain future profits are analyzed in the model of stochastic differential game. The expected time of each of competing firms being active in the market as well as the probability of each firm dominating the market within a certain time horizon are calculated.

Keywords: duopolistic competition, differential game, competition, optimization

Матвеев Роман Иванович, кандидат экономических наук, доцент Кисловодский институт экономики и права;

[email protected]

Выходные данные статьи: Матвеев Р.И. Моделирование оптимального входа

конкурирующих фирм в рынок в стохастических условиях // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2010. - № 3 (23). - № гос. рег. статьи 0421000034/0052. - Режим доступа к журн.: http://uecs.mcnip.ru.

Введение

Когда фирма имеет возможность инвестирования в условиях неопределенности и необратимости инвестиций (частичной или полной), существует возможность либо принять проект и начать его инвестирование, либо отложить принятие решения об инвестировании до получения новой информации (ценах на выпускаемую продукцию и затрачиваемые ресурсы, спросе и т.д.), т.е. существует опцион (обладающий стоимостью) откладывания проекта. Теория реальных опционов [1-4] представляется достаточно удобным и адекватным инструментом для моделирования процесса принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности. По аналогии с финансовыми опционами может быть оптимально отложить исполнение опциона (т.е. инвестирование), даже если это инвестирование выгодно осуществить в данный момент, при наличии ожидания более высокой прибыли в будущем. Однако реальные инвестиционные возможности, в отличие от финансовых инвестиций, редко

предоставляется предприятию в изоляции. Большинство инвестиционных проектов (в той или иной степени) открыты конкурирующим фирмам той же отрасли или направления бизнеса. В некоторых случаях конкурирующие фирмы имеют равные возможности осуществления одного и того же проекта или инвестирования в новый рынок. В таких случаях выбор момента инвестирования становится для фирмы ключевым стратегическим вопросом, который должен быть оптимизирован с учетом оптимальных ответных действий конкурирующих фирм.

В статье ставится цель выяснения факторов, определяющих стратегические решения вхождения в рынок (отрасль) конкурирующих фирм. Эта цель достигается путем рассмотрения оптимальных стратегий входа в рынок в стохастической игре двух фирм с бесконечным временным горизонтом. На рынке, который может «вместить» только одну доминирующую фирму, соперничающая фирма, находящаяся в «пассивном» состоянии, имеет опцион занятия ведущего положения на рынке путем необратимого инвестирования. Оптимальное решение последней фирмы должно учитывать возможность того, что в будущем фирма-соперник может вернуть себе доминирующее положение на рынке путем исполнения соответствующего опциона вхождения в рынок, если это окажется оптимальным.

Экономико-математическая модель стратегического вхождения фирмы в рынок и рыночного лидерства

Рассматривается рынок, достаточно большой только для одной фирмы (естественной

монополии) и две конкурирующие фирмы * и ^ , которые потенциально способны последовательно монополизировать этот рынок. Каждая фирма имеет свою собственную производственную технологию, и поэтому фирмы располагают различной операционной доходностью от пребывания на рынке в качестве активной

фирмы. Обозначим через ^ и & чистый поток операционной доходности, которым

располагает каждая из фирм в момент ^. Для ^ и ~-?г записываем следующие стохастические дифференциальные уравнения Ито

^'=(к-5-)^ + аг^

&

А ( \

- = к-буЯг + аА-

,(1)

где ■ !, , ! и - положительные константы. Операционная доходность

каждой фирмы неопределенна и подвержена экзогенному шуму, определяемому

! * НтЛ/ГУТТТеНИЯ !

приращениями стандартных броуновских движений . Возмущения ' ! и

•' могут быть либо специфическими для фирмы (например, совершенствование предпринимательских способностей или инновации в производственной технологии фирмы, сокращающие издержки производства) или воздействовать на всю отрасль (например, неожиданный сдвиг рыночного спроса или изменение предпочтений потребителей). Для учета возможности воздействия общеотраслевых и специфических для фирмы экономических факторов на прибыль конкурирующих фирм предположим,

_ <Х2А2; = р<И

что соответствующие броуновские движения коррелированы, т.е. ■> .

где

Р - коэффициент корреляции. Предполагается, что если фирмы •' или находятся в «пассивном» состоянии, то они могут войти на рынок ценой постоянных

к, к<

инвестиционных затрат 1 и соответственно.

Инвестиции, необходимые для вхождения фирмы в рынок ' ! ■> , предполагаются

единовременными и невозвратными. Это означает, что все инвестиции делаются одномоментно и после этого они уже не могут быть изъяты из проекта и использованы для других целей. Важной особенностью рассматриваемой модели является предположение о том, что в каждый момент времени каждая из конкурирующих фирм имеет возможность либо принять решение о «захвате рынка» и начать инвестирование, либо отложить принятие решения об инвестировании до получения новой информации. Стратегия исполнения опциона фирмой определяет оптимальный момент инвестирования, который трактуется как оптимальный момент остановки процесса наблюдения за приведенной прибылью. Осложняющим фактором рассматриваемой проблемы является то, что исполнительная стратегия каждой из фирм должна учитывать, что ее соперник может также заявить права на рынок путем исполнения своего опциона входа.

Следуя [4,5], предположим, что существует фиктивный центральный планирующий орган, который в любой момент времени может мгновенно делегировать доминирование на рынке наиболее прибыльной из двух фирм. Очевидно,

центральный планирующий орган выберет фирму * (фирму ) в качестве активной

на рынке, если значения высоки (низки) и/или значения -1 низки (высоки). Всякий раз, когда планирующий орган решает сменить доминирующую на рынке

фирму, возникают издержки «переключения» 1 ИЛИ -I в

зависимости от направления «переключения». Центральный планирующий орган максимизирует свою ожидаемую текущую прибыль, получаемую от рынка за вычетом издержек переключения. Устанавливая правила оптимального переключения ведущей позиции на рынке между конкурирующими фирмами, центральный планирующий орган определяет стратегии конкурирующих фирм. Задача оптимизации для планирующего органа представляет собой задачу стохастического динамического программирования, и ее решение получено методами теории реальных опционов.

Без потери общности можно предположить, что фирма ^ в данный момент занимает

ведущую позицию на рынке и определить ^ ! ’ ^ как опцион планирующего

органа приостановить деятельность фирмы ^ в качестве ведущей и активизировать на

рынке фирму * . В пространстве состояний 3 ^ ! ’ 3 фирма ^ активна}

планирующий орган должен обладать активом возможности переключения доминирующей фирмы. Доход по этому активу включает: (а) ожидаемый доход от

прироста капитала ^ ^ ’ ])!)/ ПрИ изменении стоимости опциона

FiJsitSi) £. Я, _ 5,

\ I ^ / чятшсимпсти от ! и * и (т пптпк ■>

в зависимости от > и -! и (б) поток операционной прибыли

фирмы -1 , занимающей в настоящий момент времени ведущую позицию на рынке. Полный доход должен быть равен нормальному (требуемому) доходу, т.е.

, где г - безрисковая процентная ставка. Применяя лемму Ито для вычисления математического ожидания и учитывая уравнения (1), преобразуем это условие равновесия активов к следующему дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных, которому должен удовлетворять опцион

(2)

Установление границ между областями и 3 определяет оптимальную политику переключения для центрального планирующего органа. Однородность

рассматриваемой задачи позволяет свести ее к одномерной. Полагая * в

качестве относительной операционной прибыльности конкурирующих фирм, запишем

где ' * ” - функция, подлежащая определению. Подставляя эти соотношения в уравнения (2) и упрощая, получаем следующее уравнение

где

V2 = а2 - 2ро;а, + о2

. Решая уравнение (3) с соответствующим граничным

Л-»(Р)= АР* +

условием, получаем

а

где

А .

константа, подлежащая

определению, а -г - положительный корень характеристической квадратичной определяемые следующими выражениями

Явление гистерезиса в оптимальной стратегии делегирования рынка

определяются в форме двух

независящих от времени значении переменной состояния 1 : верхнего порогового

Р-

значения * и нижнего порогового значения —, так что

если активна, переключение на

1

если -г активна, переключение на ^

(4)

Значения -Р и — должны быть определены эндогенно посредством условий оптимальности, применяемых на пороговых значениях. Для интерпретации условий

(4) предположим, что фирма ^ занимает в данный момент ведущее положение на

рынке и Р = 1 (обе фирмы одинаково прибыльны). В такой ситуации планирующему органу безразлично, какая из фирм занимает ведущее положение на рынке, и он

может решить активизировать фирму * и прекратить деятельность фирмы в качестве ведущей на рынке. Однако, поскольку решение о переключении

предполагает постоянные издержки ( в рассматриваемом случае),

планирующий орган оптимально отложит это решение до тех пор, пока не будет

Р=Р >1

достигнуто условие■

г,

соответствующее ситуации, при которой цена

использования опциона " " выгоднее рыночной. Другими словами, фирма не

находит оптимальным предпринять инвестирование, пока ее доходность не станет

существенно выше доходности фирмы , так что следует ожидать, что фирма будет лидировать на рынке еще в течение некоторого периода времени. Если фирма

является активной, планирующий орган будет оптимально ждать, пока не станет достаточно меньше единицы, так чтобы стало оптимальным вкладывание капитала

К,

! -1' и делегирование ведущего положения на рынке фирме ^ . Это разделение

~ I —> /

порогов оптимальной смены ^ и есть проявление гистерезиса.

Оптимальная стратегия инвестирования определяется двумя условиями

непрерывности решения и двумя условиями гладкого склеивания решений,

применяемых на оптимальных границах 1 и

Р

(5)

Условия (5) обеспечивают непрерывность и дифференцируемость функции стоимости опциона на пороговых значениях, соответствующих оптимальности инвестирования.

Условия (5) показывают, что происходит, когда достигаются оптимальные границы. Когда значение Р становится достаточно большим (на оптимальном уровне Р,

подлежащем определению, где •' ), планирующий орган исполняет

американский опцион колл (на покупку) для активизации фирмы ^ (АР ) (занятия фирмой * доминирующего положения на рынке) путем прекращения лидерства на

рынке фирмы и на несение затрат на переключение ■' !. В результате такого

переключения планирующий орган получает фирму в качестве ведущей на рынке и опцион пут (на продажу) для реактивизации фирмы З (ВР1если условия доходности фирм изменяется в будущем. При достижении значения — (Л_ ; ) этот

к

к<

опцион пут исполняется, и стоимость фирмы ■' и затраты на переключение 1 •'

меняются на стоимость фирмы ^ и опцион колл на фирму -1’ .

Уравнения (5) представляют собой систему, которая однозначно определяет ^4, ~ , Р

и

—. Эти уравнения являются нелинейными по 2 и — и поэтому могут быть проанализированы только численно. Эта система уравнений может быть сведена к единственному уравнению, которое значительно удобнее исходной системы; это уравнение определяет оптимальную стратегию единственным параметром. Для преобразования системы уравнений (5) введем новые переменные

3 3 представляющие собой издержки, связанные с

верхним и нижним порогами переключения, где параметр -Р есть отношение

значений нижнего и верхнего порогов переключения. Определим переменную X (отношение издержек переключения). Эту переменную можно выразить в виде функции ^

(6)

Уравнение (6) определяет поведение рассматриваемой системы с гистерезисом.

п(у) у

' ЯИПЯРТГЯ монотонным и ятпягтяттттим по *

Полином / является монотонным и возрастающим по ‘ и поэтому существует единственное значение л для каждого значения ^ и наоборот. При любом выборе

значения

71

как только оптимальное значение ^ вычислено из уравнения (6), пороговые значения и константы, определяющие величину опциона переключения, могут быть вычислены из уравнений

Система уравнений (7),(8) завершает решение задачи, определяя оптимальные стратегии переключения введенного фиктивного центрального планирующего органа.

Оптимальные пороговые значения при которых планирующий орган решает

поменять ведущие фирмы на рынке (Р при переключении ~* ■' и — при

переключении * ) представляют собой оптимальные исполнительные стратегии

для двух конкурирующих фирм.

Анализ влияния постоянных инвестиционных затрат и неопределенности прибыли конкурирующих фирм на оптимальные стратегии лидерства

Анализ показывает, что в присутствии неопределенности гистерезис возникает даже при очень малых невозвратных издержках. Этот вывод иллюстрируется рис. 1, на котором показана зависимость оптимальных исполнительных порогов опциона занятия фирмой лидирующего положения на рынке от невозвратных издержек для

симметричных соперничающих фирм ^ ^]-ы = !НЧ).

Нетрудно видеть, что интервал между пороговыми значениями исполнения опциона

растет с ростом постоянных инвестиционных издержек •> и •> и уменьшается

с ростом коэффициента корреляции доходности соперничающих фирм. Г оризонтальная пунктирная линия

Рис. 1. Зависимость инвестиционных порогов ‘ И — от инвестиционных затрат “ для отрицательной (пунктирная кривая) и положительной (сплошная кривая)

р 5, =5,=0,09 о = о = 0,20

корреляции г между доходностями фирм при •> ; •> .

Горизонтальная пунктирная линия соответствует одному пороговому значению при отсутствии постоянных издержек

соответствует общему пороговому значению исполнения опциона 1 при отсутствии постоянных инвестиционных издержек. В полном соответствии с интуитивными представлениями, фирмы проявляют меньшую готовность к занятию ведущего положения на рынке (гистерезис увеличивается) в присутствие более высоких

к,

инвестиционных издержек

7-»'

и

О,.,о,->0

Далее рассмотрим влияние неопределенности. При ! 7 уравнения (5)

Р = Ъ,Х

принимают вид 1 .

благодаря невозвратным инвестиционным издержкам. Нетрудно проверить, что для

Р> &,Х Р< ъ,х

Р = Ь,Х

1 —, и эффект гистерезиса возникает только

а!5о

з

имеют место неравенства

* , — ! —, т.е. зона инерции (сохранения

на рынке statusquo) расширяется с ростом неопределенности. Однако, даже для

экономически идентичных конкурирующих фирм (

: ’!= ' ’-?) влияние неопределенности на оптимальные пороги занятия фирмой

лидирующего положения на рынке не симметрично. Для любого уровня корреляции доходности двух соперничающих фирм, как показывает анализ, имеет место соотношение

с1а с1а с1а ?

т.е. верхняя пороговая граница гистерезиса более чувствительна к изменениям волатильности, чем нижняя пороговая граница.

Анализ показывает, что чем выше волатильность доходностей конкурирующих фирм,

тем больше интервал между оптимальными пороговыми значениями Р и —. Корреляция изменений доходностей конкурирующих фирм также оказывает

воздействие на оптимальные пороговые значения Р и —:

р(р)

монотонно убывает

(возрастает) по Р. Интервал гистерезиса увеличивается с ростом волатильности доходности соперничающих фирм и постоянных инвестиционных издержек и убывает с ростом коэффициента корреляции между доходностями. Ведущая фирма будет контролировать рынок только до тех пор, пока для ее соперника не окажется оптимальным в свою очередь занять лидирующее положение на рынке. Для фирмы-лидера весьма важно знать, как долго продлится ее пребывание на рынке в таком качестве, по крайней мере, в смысле математического ожидания. Кроме того, при фиксированном временном горизонте важно знать, какова вероятность того, что фирма будет занимать лидирующее положение на рынке еще в течение определенного времени ^.

Для ответа на эти вопросы предположим, что фирма -1 в данный момент является лидером на рынке, а переменная, характеризующая относительную доходность фирм

р Аб (Р,-Р)

1 , принимает значение некоторое и ' —!

7} = т^>0: >Р\

Т. Определим время остановки ■!

как время, когда * ’ первый раз достигает значения *

начиная со значения

Поскольку будущая эволюция Р неизвестна, время •' представляет собой случайную

переменную, измеряющую время, в течение которого фирма ^ будет занимать лидирующее положение на рынке. С использованием [6] кумулятивную функцию

Т-

распределения времени остановки можно записать следующим образом

Рг(з}<«)=<И

-111 ГрЛ

( Р \.ро;

Ф

-111 -ч

Г-Л

ФИ

где , переменная ^ определена в (3), а

стандартная функция нормального распределения Лапласа. В качестве меры среднего

времени пребывания фирмы в качестве лидера рынка можно было бы

рассматривать ожидаемое значение •' . Однако для случая, когда тенденция Р ^<0

отрицательна, ^ , математическое ожидание не определено [7]. Кроме того, если

волатильность меры относительной доходности Р достаточно велика, верхнее

пороговое значение Р может никогда не быть достигнуто, и математическое ожидание становится бесконечным. Чтобы преодолеть это ограничение, выберем в

качестве меры среднего времени пребывания фирмы -1 в активном состоянии

М,

медиану 3. Медиана времени пребывания фирмы ^ в качестве ведущей определяется решением следующего нелинейного уравнения

ф

-к ГрЛ

ГрЛ

Ф

Гр')

-111 ^) -щ

1

2

(9)

Из (9) следует, что медиана времени пребывания фирмы ^ в качестве ведущей на рынке увеличивается с ростом постоянных инвестиционных затрат “ . Медиана

времени пребывания фирмы в качестве ведущей на рынке убывает с ростом волатильности относительной доходности соперничающих фирм , т.е. чем большей волатильностью характеризуется доходность отрасли, тем меньше период времени, в

течение которого ведущая фирма может сохранять свое монопольное положение. После потери лидирующего положения на рынке фирме важно уметь вычислить вероятность возвращения на рынок в качестве ведущей, т.е. вероятность того, что

фирма ^ вновь займет лидирующее положение на рынке после конечного пребывания фирмы -г в качестве ведущей. Анализ показывает, что

. (10) Заключение

Итак, в работе построена математическая модель стратегического входа в рынок и рыночного лидерства в условиях, когда фирмы непосредственно конкурируют за один и тот же рынок, однако могут давать различные и неопределенные прибыли от оперативной деятельности. Выбор момента инвестирования становится стратегической управляющей переменной, которая может быть оптимизирована с учетом возможного оптимального ответа соперничающей фирмы. Решена стохастическая игра, сформулированная в рамках теории реальных опционов в предложении, что только одна фирма может быть активной на рынке (занимать доминирующее положение) в каждый момент времени, однако ее находящийся в пассивном положении соперник имеет опцион вернуть себе лидирующее положение на рынке всякий раз, когда это оптимально. Решение задачи аналитически возможно потому, что однородность постановки относительно двух переменных состояния допускает снижение ее размерности до единицы.

При отсутствия постоянных издержек входа в рынок показано, что оптимальные стратеги входа сводятся к простому критерию: инвестирование оптимально, если альтернативные издержки фирмы оставаться пассивной превосходят оперативную прибыль фирмы - соперника, т.е. доминирующее положение на рынке занимает фирма с наибольшим текущим доходом (альтернативными издержками). Установлено, что при наличии постоянных издержек входа оптимальные пороги инвестирования соперничающих фирм разделяются в пространстве двух переменных состояния, создавая интервал гистерезиса, и активность (доминирование) фирмы на рынке зависит от истории процесса. Оптимальные стратегии входа в рынок в этом случае определяются нелинейным уравнением, однозначно описывающем систему с гистерезисом.

Интервал гистерезиса порогов входа в рынок возрастает с ростом инвестиционных затрат, однако убывает с ростом корреляции между прибылями соперничающих фирм. Влияние волатильности доходности фирм, однако, двояко: с одной стороны, волатильность расширяет интервал доходности фирм, однако, двояко: с одно стороны, волатильность расширяет интервал гистерезиса, отдаляя друг от друга оптимальные времена входа соперничающих фирм. С другой стороны, чем выше волатильность доходности фирм, тем более вероятны существенные изменения доходности фирм, происходящие в более короткие промежутки времени. Показано, что в реальности доминирует второй эффект, что приводит к высокой конкуренции и более частой смене лидеров на рынках характеризующихся высокой волатильностью доходности.

Библиографический список

1. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. -Princeton University Press, 1994.

2. Аркин В.И., Сластников А.Д., Аркина C.B. Инвестирование в условиях неопределенности и задачи оптимальной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, выпуск 1. - С. 3-33.

3. Abel А.В., Dixit A.K., Eberly J.C., Pindyck R.S. Options, the value of capital, and investment // Quarterly Journal of Economics. - 1996. - V. 111, N 4. - P. 753-778.

4. Матвеев Р.И. Анализ дуополистической конкуренции с учетом волатильности доходности конкурирующих фирм и оптимальных стратегий рыночного лидерства методами теории реальных опционов // Современные научные исследования. - 2005, № 1.

5. Матвеев Р.И. Моделирование рыночного лидерства в стохастических условиях // Сборник научных трудов Всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». - Кисловодск, 2007. - Т. 1.

6. Harrison M.J. Brownian Motion and Stochastic Flow Systems. - London: Robert E. Krieger Publishing Company, 1985.

7. Musiela M., Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modeling. Berlin: Springer-Verlag, 1997.

№ гос. рег. статьи 0421000034/0052

Это статья Журнал ВАК :: Управление экономическими системами: электронный научный

журнал http ://uecs.mcnip.ru

URL этой статьи: http://uecs.mcnip.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=184