Моделирование оптимального инвестиционного портфеля ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2006 р. Вип.№16

УДК 519.7.658.589

Бессонова С.И.*

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

ЦЕННЫХ БУМАГ

Рассмотрен один из методов моделирования оптимального портфеля ценных бумаг небанковской финансовой организации, входящей в структуру промышленного предприятия.

Реальный сектор экономики нуждается в долгосрочном кредитовании, поэтому необходимо привлечение инвестиций при помощи механизма фондового рынка. Основными субъектами в привлечении финансовых ресурсов для долгосрочного инвестирования и экономического роста являются промышленные предприятия во взаимодействии с небанковскими финансовыми организациями. Оказать положительное влияние на привлечение дополнительных средств помогут такие небанковские посредники, как: негосударственный пенсионный фонд, лизинговая компания и страховая компания по страхованию жизни.

Пенсионные активы, накапливаемые в пенсионном фонде, страховые взносы, накапливаемые в страховой компании, должны в большей своей мере использоваться для целей инвестиционной деятельности. Поэтому, накапливая определенную сумму средств и желая приобрести на них ценные бумаги на определенный период времени, инвестор сталкивается с проблемой выбора инвестиционного портфеля.

Инвестиционный портфель должен включать в себя совокупность ценных бумаг, принадлежащие предприятию, различного срока погашения с неодинаковой доходностью и ликвидностью. Предполагается, что для оптимального инвестиционного портфеля, необходимо разработать инвестиционную программу, которая позволит предприятию при имеющихся в распоряжении свободных денежных средств получить ожидаемый доход при минимальном риске. В финансовых кругах хорошо известно и неоднократно подтверждалось практикой, что инвестирование средств, связано с большим риском. Самым рискованным портфелем, являетсясоставляют только привилегированные.

Целью исследования является моделирование оптимального инвестиционного портфеля ценных бумаг небанковской финансовой организации, интегрированной в структуру промышленного предприятия.

Моделированию, оптимизации портфелей ценных бумаг, повышению их доходности, диверсификации, посвящены многие работы специалистов в этой области [1-10].

Исследования позволяют сделать вывод, о том, что существует единое правило формирования портфеля, которому следуют все без исключения инвесторы, независимо от индивидуальных предпочтений, стремятся сформировать эффективный портфель - такой, который бы обеспечил минимальную степень риска для выбранного уровня дохода, либо максимальный ожидаемый доход при заданной степени риска. Поэтому задача выбора эффективного портфеля носит название модели Марковица.

Данная модель формулируется следующим образом: необходимо найти такие пропорции распределения средств между доступными активами хь х2,...,х3, где (х,-доля средств, инвестируемых в i-й актив), чтобы доходность портфеля Dp при заданном уровне риска G р , была бы максимальной. Математически модель можно записать следующим образом:

п

max { Dp} = max {У Di * xi} хьх2, xnxb x2, xn (1)

¿=1

Трудность в реализации модели Марковица заключается в подготовке исходной информации, поскольку для включения в портфель рассматриваются п финансовых активов, а для того чтобы рассчитать стандартное отклонение портфеля, необходимо оценить п показателей стандартного отклонения доходности и (п2 -п)/2 показателей ковариации доходности некоторых отдельных пакетов ценных бумаг [11].

ПГТУ,ст.преподаватель

Наиболее сложной процедурой в ходе реализации модели Марковича является накопление вычислений, необходимых для оценки того, как курсы разных акций или облигаций меняются по отношению к курсам других акций или облигаций. Математический анализ модели.

Задачи линейного программирования это, как правило, задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов. В данном случае ограничения составляют: законодательно установленные виды финансовых инструментов и наличие лимита инвестирования, т.е. их максимальная величина.

Эти задачи решаются с помощью симплекс метода. Для использования этого метода математическая модель должна быть записана в канонической форме, т.е. с использованием знаков суммирования.

Стандартная модель линейного программирования имеет вид:

Z(f)= tcx ^max (2)

¡=1

При ограничениях ^Aijxj = Ъ. ; х, > 0; Ь, > 0: i = \.т :j = , „

, J-1

a,, .b [. с, - заданные постоянные величины.

Таким образом:

Cj - доходность на единицу финансового инструмента; В; -максимальная величина i-ro ресурса;

ajj - количество ресурса i;

—>

вектор х = (xj, х2,.. хп ) допустимое решение или план.

—>

В нашем случае вектор х содержит восемь переменных (хь х2 ,х3, Х4, х5, х6, х7, х8), а именно, количество финансовых инструментов, которые разрешено использовать в составе инвестиционного портфеля пенсионного корпоративного фонда.

Z =ai xi +а2 х2 +а3 х3 + а4 Х4 +а5х5 +а6 х6 +а7 х7 +а8 х8 = —» max (3)

где Z - max - задача линейного программирования; ап - доходность определенного вида финансового инструмента; хп - определенный финансовый инструмент.

Согласно законодательного ограничения инвестиционной деятельности с пенсионными активами негосударственного пенсионного фонда, формулируем следующее условия, при котором:

xi - это акции, в инвестиционном портфеле их может быть не более 40 %, х2 - ценные бумаги иностранных эмитентов, в инвестиционном портфеле их может быть не более 20 %,

х3 -банковские металлы, лимит инвестирования не более 10 %,

Х4 - облигации предприятий резидентов Украины, лимит инвестирования не более 40 %, х5 -ипотечные ценные бумаги, определенные Законодательством Украины, не более 40 %, х6 -депозитные в банках лимит инвестирования не более 40 %,

х7- ценные бумаги - доходы, которых гарантированы Кабинетом Министров Украины, в инвестиционном портфеле их часть может составлять не более 50 % общей стоимости пенсионных активов,

х8 -ценные бумаги местных займов, не более 20 %.

Доходность различных ценных бумаг можно оценить основываясь на некоторые предположения, а затем инвестировать средства в ценные бумаги с наибольшей ожидаемой доходностью (а), таким образом, мы систематизируем исходную информацию на основании

ограничений и предполагаемой доходности, записываем в следующем виде:

X! < 0,4 а1 = 0,4

х2 < 0,2 а2 = 0,08

х3 < 0,1 а3 = 0,1

х4<0,4 а4 = 0,12

х5 < 0,4 а5 = 0,09

х6 < 0.4 а6 = 0,1

х7 < 0,5 а7 = 0,05

х8 < 0,2 а8 = 0,05

X! -Fx2 +Х3 +Х4+ х5 +х6 +х7 +х8 = 1 (4)

Применяя симплекс метод, мы вначале получаем допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но не обязательно оптимальный. Оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов. Нахождение начального опорного решения и переход к следующему опорному решению осуществляется методом Жор дана - Гаусса для системы линейных уравнений [11-13].

Приведем задачу к каноническому виду,. Для этого в левую часть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ограничений - неравенств типа « < » вводим дополнительные переменные х9, хю, хц, хи, xi3, хм, Xi5, xi6 с коэффициентом «+1». В целевую функцию эти переменные входят с коэффициентом «О». Получаем следующую задачу:

Z = 0.4xi +0.08x2 + 0.1 х3+ 0.12x4+0.09 х5 + 0.1х6+0.05х7 + 0.05х8 + 0х9 + 0 х10 + 0 х„ + 0 Xi2+ 0 xi3 + 0 хм + 0 xi5 +0 xi6 —> max

Г

Xl ■

-х9

х2

■Хю

Хз

■Хц

Х4

-Х12

<

Х5

■хв

Х6

"Хм

х7+

Xl5

Х8Н

X! +Х2 +Х3 +Х4+ Х5 +Х6 +Х7 +Х8

= 0,4 =0,2 = 0,1 = 0,4 = 0,4 = 0.4 = 0,5 Xi6 = 0,2 = 1

Однако получили только 8 единичных векторов, а ограничений 9, те. Задача не имеет начального опорного решения с базисом из единичных векторов. Для решения необходимо составить расширенную задачу. Поэтому необходимо ввести искусственную переменную. Это неотрицательная переменная, которая вводится в ограничение - равенство для получения начального опорного решения с базисом из единичных векторов с коэффициентом «+1» и в целевую функцию с коэффициентом «-М». Итого расширенная задача примет вид:

Z= 0,4-х, +0,08-х. +0,1- х,+ 0,12-х.

0,09- х5 +0,1-х6 +0,05-х7

+ 0х„ + 0х,„ + 0 • х,, +0-

о-

о

0-х15 +0-

f

Xl ■

■х9

х2

■Хю

Хз

■Хц

Х4

-Xi2

Х5

■Хв

Х6

"Хм

х7+ х8 +

V Xl +х2 +х3 +х4+ х5 +х6 +х7 +х8

х16-М-х17 -= 0,4 =0,2 = 0,1 = 0,4 = 0,4 = 0.4 = 0,5 Xi6 = 0,2 +xi7 =1

0,05-х,,

max

Xl5

После составления симплекс - таблицы, проверим опорный план на оптимальность. При этом оценки для удобства записываем в две строки: в первую слагаемые не зависящие от М, а во вторую, слагаемые зависящие от М. опорное решение задачи линейного программирования на максимум является оптимальным, если для любого вектора условий оценка разложений по базису опорного решения неотрицательная, т.е >0.

Достигнув оптимального значения, при котором можно сделать вывод, что оптимальный портфель корпоративного пенсионного фонда, при определенных условиях доходности ценных бумаг и определенном законодательном ограничении в составе, должен иметь следующий состав: 40 % в акциях украинских эмитентов; 40 % в облигациях предприятий резидентов Украины; 10% - должно хранится на депозитных счетах в банках; 10 %- в банковских металлах.

Важнейшую роль в управлении инвестициями играет теория оптимального портфеля, связанная с проблемой выбора эффективного портфеля, максимизирующего ожидаемую

доходность, при некотором уровне риска, который бы удовлетворял инвестора. Поэтому необходимо состав оптимального инвестиционного портфеля проверить на рисковость.

Наиболее рисковыми из нашего состава портфеля являются акции, поэтому именно этот вид финансового инструмента представляет интерес для рассмотрения. Законодательно предусматривается, что ценных бумаг одного эмитента не должно быть более 5 % в составе диверсифицированного портфеля. Поэтому предполагаем, что разнообразие эмитентов будет равным 10.

Математическая модель нахождения оптимального портфеля будет иметь вид [14]:

п п

(5)

i=1 j=i

VF=lSUvXiXi ^ 111111 2>л =

7=1

(6)

Найти х ■ - доли вложения в различные ценные бумаги при условии, что обеспечивается заданное значение тр - математическое ожидание эффективности и минимизируется вариация (дисперсия) портфеля Vp

Рассматриваем случай рисковых бумаг. Рассматривают 2 случая х. > 0 и х , произвольного знака. Если х - < 0, то это означает, что бумаги j -того вида рекомендуется взять в долг под случайную ставку R . для формирования необходимого портфеля.

(Говорят в таком случае, что инвестор готов участвовать в операциях типа коротких продаж (short sale). Подобное заимствование сводится к тому, что инвестор продает акции, которых у него нет и которые он обещает поставить на оговоренную дату.) Решение (в случае допустимости коротких продаж)

» _ ! тр (ТГ12-mYl)+mYn -Пг

X — V :

Y -YY

12 'Г2

(7)

/ =

( ' щ 1Т

1 т2

т = т m

т v п)

= (щ

Yl = ГV-1! ; Г2 = mTV-lm ; Yu = fV^m

Ниже приведены вероятностные характеристики десяти видов акций украинских эмитентов, полученные путем обработки временных рядов (математического ожидания и ковариации).

В данной работе рассматривали акции следующих предприятий: Енакиевский металлургический комбинат; концерн Галнафтогаз; Черкасский завод «Азот»; Донецкий металлургический завод; ММК «им. Ильича»; ММК «Азовсталь»; Алчевский коксохимзавод; Харцизский нефтеперерабатывающий комбинат; Авдеевский коксохимзавод; концерн «Азовмаш».

Матрица ковариаций равна

V:=

(120.7 13.3 49.8 35.2 31.6 47.1 22.9 28.5 23.9

13.3 126.5 5.7 14.8 1.1 41.9 14.4 15.1 5.6 26.8

49.8 5.7 152.3 29 73.4 56.9 47.3 -10.8 7.4 14.4 35.2 14.8 29 139.9 38.1 13.8 20.7 38.4 30.1 11.9 31.6 1.1 73.4 38.1 116.2 28.9 30.5 17.5 12.6 6.2 47.1 41.9 56.9 13.8 28.9 137.9 51.1 22.5 21.0 44.4

22.9 14.4 47.3 20.7 30.5 51.1 115.5 13.5 27.6 35.7 28.5 15.1 -10.8 38.4 17.5 22.5 13.5 181.5 34.1 26.3 23.9 5.6 7.4 30.1 12.6 21.0 27.6 34.1 139.1 38.

ч 26.5 26.8 14.4 11.9 6.2 44.4 35.7 26.3 38.8 139.27

Находим оптимальную структуру инвестиционного портфеля по формуле:

\ ( 0.5 > f л

0.1 1

0.5 1

0.2 1

0.2 1

m := 1:=

0.8 1

0.4 1

0.5 1

0.3 1

) ,0.5 , ч 17

Y1 = 0,029 Y2 =0,00664

Yn = 0,00888, при подстановке в формулу 3.11 получим вектор х*

0,131 0,096 0,069 » 0,085

Х ~ 0,089 0,097 0,119 0,107 ч0,113,

Если общая доля акций с учетом законодательных ограничений в инвестиционном портфеле должна быть 40 %, то получим следующую структуру акций (в %):

( 4,193") 5,225 3,829 2,367

, 3,409

х =

3,544 3,878 4,777 4,265 ч4,513,

Таким образом, оптимальный инвестиционный портфель должен иметь следующий состав:

40 % в акциях украинских эмитентов;

40 % в облигациях предприятий резидентов Украины;

10 % - должно хранится на депозитных счетах в банках;

10 %- в банковских металлах.

Прибыльность этого портфеля составит 0,228С,

где С - размер инвестиционных средств.

С учетом рисковости акции в инвестиционном портфеле необходимо распределять следующим образом: 4,19 % - Енакиевский металлургический комбинат; 5,22 % - концерн Галнафтогаз; 3,83 % - Черкасский завод «Азот»; 2,36 % - Донецкий металлургический завод; 3,41 % - ММК «им. Ильича»; 3,54 % - ММК «Азовсталь»; 3,88 % - Алчевский коксохимзавод; 4,78 % - Харцизский нефтеперерабатывающий комбинат; 4,26 % - Авдеевский коксохимзавод; 4,51 % - концерн «Азовмаш»; 40 % в облигациях предприятий резидентов Украины; 10 % -должно хранится на депозитных счетах в банках; 10 %- в банковских металлах.

Выводы

1. Одним из правил работы с ценными бумагами является то, что нельзя вкладывать все средства в ценные бумаги. Необходимо оставить в резерве свободные денежные средства для решения инвестиционных заданий, которые могут возникнуть и незначительную часть в драгоценных металлах. Учитывая, что за последние 30 лет, с 1975 года золото подорожало в 2,5 раза и что оно не подвержено влиянию инфляционных процессов, так как является всемирным эквивалентом, таким образом, вложение части активов в драгоценный металл являются одним из лучших средств долгосрочного сбережения.

2. Приобретая государственные ценные бумаги, пенсионные фонды и страховые компании гарантируют надежность вложения пенсионных активов и страховых взносов. Однако, учитывая, что из суммы пенсионных активов будут осуществляться оплаты: хранителю, аудиторским фирмам, администратору, вознаграждения за предоставление услуг по управлению активами пенсионного фонда, торговцам ценными бумагами то, целесообразно внести поправки к Закону «О негосударственном пенсионном страховании» и производить такие выплаты из инвестиционного дохода, а не за счет пенсионных активов. К получению

большей доходности от размещения пенсионных активов в ценные бумаги будут стремиться и профессиональные торговцы ценными бумагами.

3. Моделирование оптимального инвестиционного портфеля для пенсионного корпоративного фонда возможно с помощью линейного программирования с применением симплекс метода. Оптимальный инвестиционный портфель должен быть диверсифицирован и состоять из 40 %- акций отечественных эмитентов, 40 %- облигаций предприятий эмитентов Украины, 10 %- храниться на депозитных счетах в банках и 10 % пенсионных активов целесообразно вложить в банковские металлы. Для более рисковой части состава инвестиционного портфеля, к которой относятся акции, целесообразно периодически проверять уровень риска данных ценных бумаг.

Перечень ссылок

1. Костта H.I. Фшансове прогнозування: методи та модел1 / H.I.Kocmma, А.А.Алексеев, О.Д.Василик. - К.: Товариство «Знания», КОО, 1997. -183 с.

2. Машина H.H. Экономический риск и методы его измерения / Н.И.Машина. -Донецк: ООО «Юго-Восток. Лтд». -2004. -192 с.

3. Глазунов В.И. Финансовый анализ и оценка риска реальных инвестиций / В.Н.Глазунов. -М: Финстатинформ, 1997. -135 с.

4. Грабовый П.Г. Риски в современном бизнесе / П.Г.Грабовый, С.Н.Петров, С.И.Полтавцев. -М.: Альянс, 1994. -200 с.

5. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности / В.В.Ковалев. -М.: Финансы и статистика, 1998. -512 с.

6. Хохлов Н.В. Управление риском: Учебное пособие для вузов / Н.В.Хохлов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. -239 с.

7. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем / В.Б.Кутуков. - М.: Дело, 1998. -116 с.

8. Дубров A.M. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе / A.M.Дубров, Б.А.Лагоша, Е.Ю.Хрусталев. - М.: Финансы и статистика, 1999. -176 с.

9. Чернова Г.В. Практика управления рисками на уровне предприятия / Г.В.Чернова. -СПб.: Питер, 2000. -98 с.

10. Глухое В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В.Глухое, МДМедников, С. Б.Коробко. - СПб.: Лань, 2000. - 88 с.

11. Гриб В.В. Моделирование процесса принятия решения для выбора инвестиционного портфеля / В.В.Гриб, Ю.Г.Лысенко. - Донецк: НАЛУ НЭП, 1998. - 27 с.

12. Шапкин А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций I A.C.Шапкин. - 3-е изд. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К0», 2005.-544 с.

13. Трухаее Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности / Р.И.Трухаее. -М.: Наука, 1981. -188 с.

14. Рэдхэд К. Управление финансовыми рисками: Пер. с англ. / КРэдхэд, С.Хьюз. -М.:Инфра. -М, 1996. -228 с.

Статья поступила 01.03.2006