CC BY
21
УДК 519
Н. К. Нуриев, А. А. Али, Е. А. Печеный
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОНОМЕНКЛАТУРНОГО СМЕШАННОГО ПОТОКА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ
Ключевые слова: Моделирование, поток, система массового обслуживания, однономенклатурное, Одинарный фрагмент.
В статье рассмотрена процедура проведения массового тестирования студентов в высшей школе, как процесс массового обслуживания со смешанным типом потока. Подробно описаны особенности этого потока. Показано, что смешанные потоки подобного вида с течением времени утрачивают групповую составляющую, превращаясь в ординарный поток с функцией плотности вероятности специального вида. Дана оценка скорости сходимости смешанного потока к ординарному. Рассчитаны доли группового и ординарного фрагментов потока, а так же математическое ожидание времени пребывания испытуемых в процессе тестирования.
Keywords: Modeling, flow, queuing system, monomial multinomenclature, Single fragment.
In this article, the procedures for conducting bulk testing of students in High school are considered as a process of queue system with mixed flow type. Features of this flow are described in details. It has been demonstrated that mixed flows of similar kind lose their group component over time, becoming as ordinary flow with special type probability density function. The convergence speed of mixed flow in ordinary fragments is assessed. Shares of group and ordinary fragments are calculated. Mathematical expectations of subjects dwell time on the test are also calculated.
В работах [1-2] были рассмотрены некоторые аспекты использования информационных технологий в организации учебного процесса в высшей школе и предложено математическое описание происходящих при этом явлений, в основе которого лежит аппарат теории массового обслуживания. Их отличительной особенностью(в частности процедуры компьютерного тестирования) является наличие жестких ограничений на время выполнения тестовых заданий, что, естественно, должно учитываться при построении математических моделей. Подобные структуры с лимитированным временем обслуживания отнюдь не уникальны. В [3] отмечено, что аналогичными чертами обладают задачи торговли товарами с ограниченным сроком хранения, задачи перехвата воздушных целей в заданной области пространства и ряд других. Разумеется, кроме общих, все перечисленные задачи обладают индивидуальными признаками.
В данной работе мы остановимся на характерных особенностях и математическом описании од-нономенклатурного потока, возникающего при реализации процедуры компьютерного тестирования.
Рассмотрим варианты организации массового тестирования в условиях однономенклатурного потока, когда пакеты заданий равного количественного состава формируются из одной базы и лимит времени, предусмотренный для их выполнения, одинаков. Пусть в аудитории, где проходит тестирование, имеется п рабочих терминалов, а предельное время, отведенное для выполнения заданий, равно Т. Если процесс тестирования организован в чисто групповом режиме, то есть, когда каждая группа приступает к тестированию одновременно в полном составе в момент регенерации системы, то администрирование сводится к составлению расписания прибытия групп в моменты кратные Т, и назначению санитарных перерывов по мере необходимости. Такой подход используется достаточно часто, однако его вряд ли можно признать рациональным, поскольку при этом часть оборудования на какое-то
время выводится из фазы обслуживания, а общая продолжительность тестовых испытаний оказывается неприемлемо большой.
Более перспективным вариантом организации тестирования является режим смешанного потока. В этом случае каждый освободившийся терминал немедленно оккупируется новым пользователем из следующей группы, как это проходит в системах массового обслуживания с ординарным потоком. Те же испытуемые, которые остаются в системе до окончания лимита времени, принудительно отключаются от обслуживания в момент времени кратный Т в составе группы, а новая группа пользователей занимает их места. Коэффициент использования оборудования стремится к единице, совокупное время тестирования заметно уменьшается. Однако математическое моделирование смешанных потоков наталкивается на ряд трудностей принципиального характера. Остановимся на них подробнее и укажем возможные пути их преодоления.
Значительный практический опыт, накопленный авторами, позволяет утверждать, что в ординарной области рассматриваемого потока нет оснований отказываться от гипотезы экспоненциальной зависимости количества испытуемых прошедших тестирование от длительности пребывания в системе. Вид этой зависимости представлен на рис.1, где ^ - время, в течение которого комплекс тестовых заданий может выполнить эксперт.
Кривая зависимости на участке от 0 до Т иллюстрирует очевидный и интуитивно понятный факт, что вряд ли кто-либо из испытуемых сумеет ответить на вопросы теста быстрее чем эксперт.
Однако, начиная с отрезка Т ,2Т ]картина будет существенно меняться, поскольку пользователи, подключенные к обслуживанию на участке [0 ,Т ], могут завершить тестирование в самом начале следующего участка и дать возможность войти в систему студентам третьей группы, и т.д.
д(0 = М(1 + —•( 1 - — а Ь
Рис. 1 - Зависимость количества заявок, находящихся под обслуживанием от времени
Принципиально важным здесь является то обстоятельство, что кривые рис. 1 не могут быть интерпретированы как функции плотности вероятности времени пребывания пользователей в процессе тестирования, поскольку ими не учитывается групповая составляющая потока. По-видимому на современном уровне развития аппарата теории массового обслуживания функцию плотности вероятности или функцию распределения для смешанного потока как единого целого построить практически невозможно. Поэтому единственным инструментом исследования таких процессов остается имитационное моделирование.
Характерной особенностью смешанного потока рассматриваемого типа в рамках описанной организационной структуры является его стягивание к обычному ординарному потоку. Иначе говоря, с течением времени наблюдается тенденция к уменьшению доли групповой составляющей вплоть до полного ее исчезновения. Действительно: пусть доля студентов принудительно отключенных от обслуживания в первой группе испытуемых и покинувших систему в момент времени T равна у Заметим, что пользователи, приступившие к тестированию во внутренних точках интервала [ е, Т ] покинут систему так же во внутренних точках интервала [Т ,2 Т ] даже при условии полного исчерпания своего лимита времени в режиме ординарного потока. Отсюда следует, что единственным источником группового фрагмента будут пользователи в количестве уп, приступившие к тестированию в момент времени Т. Если принять вполне правдоподобную гипотезу о приблизительно одинаковой в среднем подготовленности студентов тестируемых групп, то можно утверждать, что в момент времени 2Т доля студентов исчерпавших свой ресурс пребывания из числа приступивших к тестированию в момент Ттак же будет равна у, а число испытуемых, принудительно завершивших тестирование, составит пуУ . Таким образом, сокращение доли групповой составляющей смешанного потока будет происходить в темпе геометрической прогрессии, знаменатель которой равен у.
Функция плотности вероятности ординарного потока, получившегося после устранения последнего группового фрагмента будет иметь вид
где Ь - а = Т - —е , выбор которого обоснован в [4]. График этой функции представлен на рис. 2.
Рис. 2 - Функция плотности вероятности ординарного потока
Остановимся теперь на обосновании выбора параметра у Этот вопрос имеет важное значение для задачи рационального администрирования, поскольку именно величина у определяет скорость сходимости исходного смешанного потока к ординарному. Введем в рассмотрение переменную г = Т - — , которая имеет смысл «обратного времени», то есть времени, остающегося до момента Т, где производится полное освобождение системы от пользователей первой группы и формируется групповая составляющая потока. Эта переменная есть линейное преобразование переменной / и так же как она обладает экспоненциальным законом распределения.
При этом точка /= Тотображается на оси г в точку г = 0 , а точка — = —е в точку г = Т - —е .
Функция плотности вероятности переменной т имеет вид
|Ле~л при г>0 г) = \
[ 0 при г< 0 где X - интенсивность потока обслуживания. График ее представлен на рис.3.
Рис. 3 - Функция плотности распределения обратного времени
Площадь криволинейной трапеции под кривой плотности вероятности определяет вероятность попадания случайной величины в составляющий интервал. Поскольку уход студентов первой группы в режиме ординарного потока происходит только на
интервале [0, Т - — е ], величина интеграла в этих пределах может быть интерпретирована как доля ординарного потока в структуре смешанного потока обслуживания студентов первой группы. Следова-
тельно
T - te
у = 1 - J
2 e
- 2т
dt
(2)
0
Применяя формулу Ньютона-Лейбница получим
T-te
J2e~2zdt=FTT-te -F(0) = 1 - e"
WO
0
Отсюда у = e
■ 2( T - te )
Параметр ^
имеет
смысл интенсивности ординарной составляющей потока обслуживания, которая является величиной обратной по отношению к среднему (по мнению организаторов тестирования) времени пребывания пользователей в области выхода, т.е. на участке —е , Т ]. Из соображений здравого смысла, очевидно, что значение Л должно быть близким или рав-1
ным -
T - te
2 =
. и, воспользовавшись соотно-
Положим
Т - —е
шением (2) получим у = 0.368 . Это означает, что для первой группы тестируемых групповой фрагмент потока составит 36.8%, а доля заявок ординарного фрагмента будет 63.2%.
Оценим среднее время пребывания пользователей принадлежащих ординарному фрагменту потока, в зоне выхода, т.е. в полосе [0 ,Т - —е ]. Для этого найдем значение математического ожидания «об-
ратного времени» занной полосе .
T-t,
M{z) = j2e-ÄTdt = l
[0,71-t.] 0
как случайной величины в ука-
-e-2T-0
t-, к 1
2 22 22
(3)
Заметим, однако, что полученная оценка не будет совершенно точной, поскольку функция плотности вероятности /( г ) на участке [0 ,Т - —е ] (рис.3) не вполне симметрична кривой на рис.1. Возникающая при этом погрешность незначительна, поскольку
при
2 = ■
T - te 20
= — f(T - te) < 0.02. Вычислим
т [о,Г - te ] при условии Т=40мин: tв =20мин: 1
2 =
. Используя расчетное соотношение
T - t
(3) получим ^[о ,T - te 5 .3 мин . и, возвращаясь к естественной временной переменной f[te,T]= 14.7мин. Среднее время пребывания в зоне выхода по смешанному потоку в целом может быть найдено как средневзвешенное ординарной и групповой составляющей
tcm = (1 -r)\teT] + rT-te) = 16.6мин.
Литература
1. Ахметшин Д.А., Нуриев Н.К., Печеный Е.А. Математическое моделирование эффективного администрирования системы доступа в интернет. // Фундаментальные исследования. Технические науки - 2014 - №9 - С.2650-2654.
2. Нуриев Н.К., Печеный Е.А., Али А.А. Постановка задачи эффективного управления системой массового обслуживания в условиях смешанного потока.// Вестник технол. ун-та. 2015. Т.18, - №17 - С.176-179.
3. Рыжиков Ю.И., Уланов А.В. Расчет сети обслуживания с ограничением времени жизни заявок.//ХП Всероссийское совещание по проблемам управления. М., 16-19 июня 2014, - С.8620-8624.
4. Печеный Е.А., Нуриев Н.К., Али А.А. Математическая модель эффективного администрирования многоканальной СМО в системе контроля качества учебного процес-са//Фундаментальные исследования, № 10 (часть 3) 2016, С.532-536.
© Н. К. Нуриев - д.п.н., проф., зав. кафедры информатики и прикладной математики КНИТУ, [email protected] ; А. А. Али -асп. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, препод. Аденского ун-та (Йеменская Республика), [email protected]; Е. А. Печеный - к.т.н., доцент кафедры информатики и прикладной математики КНИТУ, [email protected] .
© N. K. Nuriev, Doctor of pedagogical sciences, Professor, Chair of Computer sciences and applied mathematics department, Kazan National Research Technological University, [email protected]; А. А. Ali, Ph.D. student of Computer sciences and applied mathematics department, Kazan National Research Technological University, lecturer - Aden University (Republic of Yemen), [email protected]; E. A. Pechenyi, PhD, Associate Professor, Docent of Computer sciences and applied mathematics department, Kazan National Research Technological University, [email protected].
1
