Моделирование обтекания преград в потоке со свободной границей Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ В АЭРОГИДРОДИНАМИКЕ |

УДК 551.465

И. Ю. В л а д и м и р о в, Н. Н. К о р ч а г и н, А. С. С а в и н

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ПРЕГРАД В ПОТОКЕ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Рассматривается плоская задача об определении формы тела, моделируемого точечной особенностью (источником или диполем) в потоке под твердой крышкой и свободной границей. Установлен характер влияния основных безразмерных параметров задачи на форму разветвляющейся линии тока (сепаратрисы). Проведено сравнение формы тела, моделируемого точечной особенностью, при обтекании последней у стенки и под свободной поверхностью. Получены критерии возможности замены свободной поверхности твердой крышкой, а также свободной поверхности и твердой крышки безграничным потоком. Для случая обтекания источника найдены уравнения, описывающие асимптотическое поведение сепаратрисы далеко вниз по потоку.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: точечная особенность, источник, диполь, твердая крышка, свободная поверхность, безграничный поток, моделируемое особенностью тело, сепаратриса.

Введение. Постановка задачи обтекания твердого тела потоком жидкости включает в себя задание граничных условий на поверхности тела [1-3]. Даже в предположении об идеальности жидкости и потенциальности обтекающего тело потока нахождение поля его скорости представляет собой весьма сложную задачу. Существенно проще решается задача обтекания системы точечных гидродинамических особенностей (источников, стоков, диполей и т. п.), поскольку в этом случае нет необходимости удовлетворять наперед заданным граничным условиям. На линиях (поверхностях) тока, возникающих при обтекании такой системы, условия непротекания удовлетворяются автоматически. Это обстоятельство используется при решении задач обтекания тел или непроницаемых границ, моделируемых специально подобранными системами гидродинамических особенностей.

При таком подходе к задачам обтекания тел линии (поверхности) тока отождествляются с непроницаемыми границами. Например, при стационарном обтекании точечного источника равномерным безграничным потоком возникает линия (поверхность) тока, представляющая собой границу затупленного тела бесконечной длины. Поэтому можно сказать, что обтекание точечного источника гидродинамичес-

ки эквивалентно обтеканию такого тела. В другом случае источник и сток, расположенные друг за другом вдоль по потоку, моделируют тело овоидной формы. Диполь в безграничном плоском потоке порождает охватывающую его линию тока в форме окружности, поэтому он моделирует поперечное обтекание цилиндра. Обтекание диполя безграничным пространственным потоком эквивалентно обтеканию шара. Перечисленные гидродинамические особенности часто используются при решении модельных задач, в которых точное воспроизведение формы помещенного в поток тела не имеет решающего значения.

Подобный метод в значительной мере относится к задаче о генерации поверхностных волн движущимся в жидкости телом. Замена тела некоторым набором гидродинамических особенностей существенно упрощает решение этой задачи. Так, известно решение задачи о цилиндре, движущемся под свободной поверхностью жидкости [2]. В предположении о малости радиуса цилиндра по сравнению с глубиной его погружения замена цилиндра диполем позволила найти поверхностную волну и волновое сопротивление цилиндра. Циркуляционное обтекание кругового цилиндра рассмотрено в работе [4], где показано, что при достаточно большой глубине погружения цилиндра его можно приближенно заменить точечным вихрем. Методу замены тела, движущегося под свободной поверхностью жидкости, системой гидродинамических особенностей и изучению обтекания таких особенностей потоком со свободной границей посвящены работы [5-11]. Различные уточнения, связанные с учетом нелинейности граничных условий на поверхности жидкости, содержатся в работах [12-18].

Естественно возникает вопрос о том как влияет наличие границ потока на картину линий тока, возникающих при обтекании заданных гидродинамических особенностей. Например, можно ли считать диполь в плоском потоке со свободной границей хорошей моделью кругового цилиндра? Из физических соображений очевидно, что чем глубже находится диполь, тем точнее он моделирует цилиндр. По мере приближения диполя к свободной поверхности потока охватывающая его линия тока будет искажаться все значительнее и все менее точно соответствовать контуру поперечного сечения кругового цилиндра. Поэтому при рассмотрении ограниченных потоков весьма желательно знать, какое именно тело моделирует заданная система гидродинамических особенностей. В настоящей работе исследуются линии тока, возникающие при обтекании источника и диполя плоским равномерным потоком под твердой крышкой и со свободной границей.

Особенность в потоке у стенки. Пусть стационарный плоский поток идеальной несжимаемой однородной жидкости, ограниченный горизонтальной твердой стенкой, обтекает точечную особенность (источник или диполь), расположенную под этой стенкой. Введем оси

координат: ось X направим вдоль стенки, а ось У — вертикально вверх против вектора силы тяжести. Вначале рассмотрим задачу об обтекании плоского тела, моделируемого источником. Пусть поток со скоростью с, направленной вдоль оси X, набегает на источник мощности Q, находящийся в точке 2 = -¡Н (где 2 = X + ¡У, Н — расстояние от стенки до источника). Будем считать течение потенциальным. Пусть W(2) = Ф(Х,У) + ¡Т(Х,У) — его комплексный потенциал, Ф (Х,У) — потенциал, Т(Х,У) — функция тока (Ф (Х,У) и Т(Х,У) являются сопряженными гармоническими функциями), а и и V — компоненты вектора скорости в произвольной точке потока. Тогда комплексный потенциал W(Z) являющийся аналитической функцией в нижней полуплоскости, за исключением точки 2=-¡И, должен удовлетворять следующим граничным условиям [19, 20]: условию непротекания на стенке

V ■

0 при Y = 0 или Im ((W) = 0 при Y = 0;

(1)

условию однородности течения вдали от источника вверх по потоку

dW dZ

-» c пр и X ^ Y < 0,

а также условию

Q

W ~ 2П ln(Z + iH) при Z ^-iH,

(2) (3)

указывающему на местоположение источника.

Введем безразмерные переменные по формулам:

Х У 2 Q W Ф Т

х = —, у = —, ^ = —, q = w =-, (р =-=-. (4)

Н И И сН сН сН сН У '

В этих переменных математическая постановка исходной задачи об определении аналитической функции w, удовлетворяющей условиям (1-3), имеет вид

Дw(г) = 0 п р и 1т г < 0, г Ф -¡,

Im

dw Kdzj

= 0 пр и y = 0,

dw

--> 1 пр и х ^ y < 0,

dz

w(z) ~ 2П ln(z + i) при z ^-i.

(5)

Данная задача решается методом отражений: в точке г = ¡, симметричной исходному источнику относительно действительной оси, помещается еще один источник мощности q, а функция w ищется как сумма комплексных потенциалов этих источников и однородного потока [20]. Таким образом, функция

w = -П [ln(z + i) + ln(z - i)] + z

(6)

представляет собой искомый комплексный потенциал обтекания источника вблизи твердой крышки. В дальнейшем рассматриваются регулярные ветви логарифмов из (6): для 1п(г + г) выбирается ветвь в плоскости г с разрезом вдоль луча [-г; - г), принимающая действительные значения на верхнем берегу разреза, а для 1п(г - г) — ветвь в плоскости г с разрезом по лучу [г; + г), также принимающая на верхнем берегу разреза действительные значения. С учетом сказанного выше, для функции тока г(х,у) получаем из (6) следующую формулу:

W(х, У) = тт [arg(х + i(y +1)) + arg(x + i(y -1))] + y, (7)

где 0 < arg(x + i(y +1)) < 2n, 0 < arg(x + i(y -1)) < 2п . Линии тока определяются соотношением yf(x,y) = const. Далее мы будем интересоваться разветвляющимися линиями тока, проходящими через крити-

dw

ческую точку z0, которая находится из условия

dz

0. Из (6) имеем

для z0 квадратное уравнение: z2 + — z0 +1 = 0, дискриминант которого

п

D =

г л2 fqл

4. Разветвляющаяся линия тока, охватывающая источник,

существует лишь при Б < 0, т. е. при q < 2п (в противном случае критическая точка г0 расположена на действительной оси и источник моделирует выступ на крышке). Решая полученное квадратное уравнение при условии q < 2п, находим г0 = х0 + гу0 (у0 < 0):

q

z" = -2П ~Ч1

f Л 2 q

v2n

. Далее, по формуле (7) вычисляем значение

функции тока в критической точке:

+

2п

W0 = w( x0' У0) = q 1 -

arctg

1 + .

1 )2

q / 2п

Г \2 q

v2nz

+

arctg

л/Mij)

q / 2п

Таким образом, имеем уравнение разветвляющейся линии тока (сепаратрисы):

q

— [arg(х +i(y +1)) + arg(х +i(y -1))] + y = ^. 2ж

(8)

Задача об обтекании точечного диполя с моментом М решается аналогично (5), поэтому приведем лишь окончательные формулы без дополнительных пояснений. Комплексный потенциал рассматриваемого течения w(г), функция тока щ(х,у) и комплексно-сопряженная

скорость записываются следующим образом:

m

w(z * = 2П

1 1 -+-

m

¥( X y) = - —

2Ж

z + 1 z -1

y -1

+

+ z, y+1

х2 + (y -1)2 X2 + (y +1)2

dw = m z2 -1 dz ~ n (z2 +1)2

+ y,

+1.

Здесь т = ~М^, а остальные безразмерные переменные определены в (4). Критическая точка г0 = х0 + ¡у0 ищется как корень уравнения

dw dz

0 , или

ms

z4 + (2—) z2 +

п

m — +1 ж

= 0,

удовлетворяющий условиям х0 < 0, y0 < 0:

z0 =■

fm ^

--2

ж

J„ m 8 — ж

m

1Л

а искомая разветвляющаяся линия тока определяется из соотношения

m 2ж

y-1

■ + ■

y +1

х + (y -1)2 х2 + (y +1)2

+ y = W( X0. y0).

Отметим, что сепаратриса целиком лежит ниже стенки (и не совпадает с ней) лишь при т < 8 п (в противном случае диполь моделирует выступ на стенке).

Особенность в потоке со свободной поверхностью. Рассмотрим теперь в линейной постановке плоскую задачу о нахождении разветвляющейся линии тока при установившемся обтекании точечного источника потоком однородной жидкости со свободной границей (т. е. об определении формы тела, моделируемого точечным источником). Геометрию задачи и обозначения сохраним теми же, что и в предыдущем случае: поток со скоростью с, направленной вдоль положительной оси X, набегает на источник мощности Q, расположенный на глубине Н (в точке 2 = -Н). Отметим, что на этот раз ось X совпадает с невозмущенной свободной границей жидкости.

Комплексный потенциал рассматриваемого течения представим в виде

Ж ( 2 ) = Ж1( г ) + с2 = Ф (X, У ) + /Т( X, У ) = = Ф1( X, У ) + (X, У ) + с( X + гУ ).

Обозначим через Z(X) форму свободной поверхности, а через и и V, как и ранее, — компоненты вектора скорости в произвольной точке потока:

(9)

дФ дФ дФ дФ

U = U(X, Y ) = ^ = ^ + с, V = V(X, Y) = — = д-Ф1. (10) J дХ дХ V ' дY дY

Предполагая, что возмущения скорости течения и свободной границы затухают вверх по потоку, приходим к следующим граничным условиям:

ёЖ

dZ

^c пр и X — (Y < 0) и С (X) — 0 пр и X —(11)

Поскольку свободная поверхность жидкости является линией тока, вдоль нее справедлив интеграл Бернулли (динамическое условие на свободной границе), который с учетом (10) и (11) записывается в виде

эф1 IX

+

эф1 "aF

+ 2c-

дФ

дX

1 + c2

+ + gC( X) = 1 c2 + p, P 2 p

где р — плотность жидкости; ра — давление вдоль поверхности раздела «газ — жидкость» (атмосферное давление). Пренебрегая в этом

ЭФ, дФ,

соотношении квадратами малых величин

и •,

ЭX и дY

приходим к сле-

дующему краевому условию:

С( X) =

c дФ;

g IX

Y =С( X )

Считая последнее условие выполненным не на свободной повер хности У = ) (форма которой неизвестна заранее и подлежит опре делению), а на прямой У = 0, окончательно имеем [21]

а х) = с дф

g dX

(12)

Y =0

Совершаемая в результате этого ошибка имеет более высокий порядок малости, чем правая часть в (12). Действительно, по формуле Тейлора находим

ЭФ,

дХ

ЭФ,

Y =Z( X )

ЭХ

+ ■

Э 2Ф,

dY ЭХ

Z( X) +... =

ЭФ

ЭХ

f ЭФ, Л

+ o 1

Y =0 ЭX V Y =0 У

Положим далее Т (Х,У) = 0 вдоль свободной границы. Отсюда с учетом (9) имеем

Yi( X, Y )|

Y =Z( X)

= —<( X ).

Перенося это условие со свободной поверхности на ось абсцисс (что допустимо в рамках линейной теории), получаем кинематическое граничное условие

С( X) = 1 х, 0). (13)

с

Исключим из соотношений (12) и (13) £(Х). С учетом того, что

, Т = 1т Щ = !т[Ж - с1 ], получим

ЭФ. = Im Г. dW1 = Im f dW Л

1 i 1 i --c

ЭX dZ ldZ J

Im

idW - iL W

dZ c2

= c, Y = 0.

(14)

Кроме того, для должна быть выполнена асимптотическая

оценка (3), означающая, что в точке Z = -¡И расположен источник мощности Q. В безразмерных переменных (4) исходная задача об отыскании комплексного потенциала Ж( Z), удовлетворяющего условиям (11), (14), (3), имеет вид

Дw(z) = 0 пр и 1т г < 0, г Ф -¡,

Im

.dw

i--Ew

dz

1 пр и y = 0,

dw

--> 1 пр и х — —<», y < 0,

dz

Im w — 0 п р и х — —<», y = 0, q

w(z) —— ln(z + i) п р и z —^ —i. 2n

(15)

Здесь E ■

gH _ 1

F — число Фруда по глубине источника.

с Е2

Задача (15) решена в [1]. Найденная в [1] формула для ы(£) в обозначениях настоящей работы записывается следующим образом:

w(z) = q[ln(z + i) + ln(z -i)] - qe-Ez f —dt + z. 2п п J t-i

а f e'Et

q -iEz г e

(16)

Здесь интегрирование осуществляется по любому пути, лежащему в полуплоскости 1т г < 0, а ветви логарифмов выбраны теми же, что и в (6). Дифференцируя (16) по 2, находим комплексно-сопряженную скорость и - 1у:

^ ' + гКв-Е Г И,

г2 +1 -1 г - г

— = u - iv = — dz п

dt

+1,

а выделяя в (16) мнимую часть, получаем выражение для функции тока

¥(х,у):

W(x, y) = — [arg(x + i(y +1)) + arg(x + i(y -1))] + 2п

+y - а Im п

z JEt

dt

(17)

где, как и ранее, arg(x + i(y +1)) e [0; 2п), arg(x + i(y -1)) e [0;2п).

tt dw

Далее, из уравнения —

dz

= 0 определяется критическая точка

г0 = х0 + гу0, лежащая в нижней полуплоскости. Наконец, приравнивая функцию тока ¥(х,у) ее значению в точке г0, получаем искомое неявное соотношение для разветвляющейся линии тока:

JL

2п

[arg( x + i( y +1)) + arg( x + i( y -1))] +

+y - а Im п

z e'Et -iEz Г 4

f-dt

J t - i

(18)

где ¥0 = ¥(х0,У0).

Рассмотрим теперь вопрос о нахождении асимптотического положения сепаратрисы при больших положительных х. Для этого сначала

x+y e'Et

с e

вычислим асимптотику интеграла J = I -dt (18), с точностью до

J t - i

e

O

i i л

VX7

. Выбрав в качестве пути интегрирования ломаную линию,

состоящую из луча ; х ] и вертикального отрезка

х eiEt

Г e

[х; х + iy], представим J в виде суммы J + J2, где J1 = I -

J t — i

dt,

х+1У e^Et

г e

J2 = I -- dt. В свою очередь интеграл Jx запишем в следующем виде:

J t — i

eiEt

eiEt

г е г е

31 = I - 33 = I -ёг - I -ёг. Для вычисления I введем вспомога-

1 3 - г - г * г - г

X

тельный контур ГК, составленный из отрезка [—К ;К] и полуокружности

Ег

с е

СК (\г\ = К, 0 < аг§ г < п). В силу леммы Жордана I -ёг ^ 0, поэтому

• г - г

I = lim [ ——dt. Так как подынтегральная функция - имеет

t — i t — i

1 R

в верхней полуплоскости единственную особую точку (а именно

полюс первого порядка в точке z = i), то по теореме о вычетах

eiEt eiEt —

I -dt = 2nires-= 2nie E. Следовательно, I = 2nie~E. Далее, с по-

J t — i z=i t — i

z=i t — i

мощью интегрирования по частям приходим к следующему соотношению для 33:

1

J3 = J J t — i

d

i e

f

iE

v

f

iE (t — i)

+

E х — i

■ + O

1

(х — i )2

ie

х

JE,х

~ e

|-- dt

J iE(t — i)2

/ i л

E х

■ + O

х2

JE%

откуда находим Jj = I — J3 = 2nie E — — ---+ O

E х

Перейдем теперь к оценке интеграла J2. Имеем

х+1У AEt y JEx — En Шх y - En

С e , f e e ' . , .e re' ,

J = -dt = -idn = i- -rdn.

2 J t — i { х + i(n — 1) х J„ 1 + i П1■

R

R

Разлагая подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степеням . п -1

нетрудно получить искомую оценку для J2:

x

iEx y

J 2 = i'

| e"En dn + O

,x 2y

■Ey\ iEx

ijy-£E ) e

E

+ O

vx 2

-E ie~Ey elEx

Следовательно, J = Jx + J2 = 2nie----+ O

E x

i i л

x2

и

а Im J = -2qeE(y-1) cos Ex + + O

nEx

п

i i л

V* 2,

(19)

Найдем далее асимптотику первого слагаемого в левой части уравнения (17) для функции тока ¥(х,у). Для точек, лежащих на верхней ветви сепаратрисы, имеем

^ [arg( x + i( y +1)) + arg( x + i( y -1))]: 2п

2п

y +1 y -1

2п + arctg £-+ arctg --

x x

q+qy+o

п x

С i Л

(20)

Аналогично на нижней ветви сепаратрисы

JL

2п

[arg( x + i( y +1)) + arg( x + i (y -1))]

q 2п

y +1 y -1

4п + arctg-+ arctg-

xx

:2q + qy + O

п x

i i Л

v^/

(21)

Подставляя (19), (20), (21) в (18) и пренебрегая членами высшего,

чем O

Vxy

порядка малости, получаем искомые уравнения, определя-

ющие асимптотическое поведение соответственно верхней и нижней ветвей сепаратрисы при х ^

y + —

E

1 ^ 1 _

--2qeE(y 1)1 cos Ex + y = t^0,

x

v /

„С л \

(22)

а+■

п

y +

E

1

- 2qeE(y 1)1 cos Ex + y = t^0.

Вычислим еще амплитуду волны на верхней ветви сепаратрисы.

Отбрасывая в левой части (22) слагаемое порядка О это соотношение в виде

cos Бх

У — ¥0 2 qe

E (y—1) *

, перепишем

(23)

Рассматривая последнее уравнение как неявное задание зависимости у от х, нетрудно определить у1 и у2, т. е. асимптотическое положение верхней и нижней границ верхней ветви сепаратрисы. Действительно, правая часть в (23) монотонно возрастает при отрицательных у, поэтому у1 определяется как корень уравнения

y — ¥0

2 qe

E ( y—1)

= 1,

а y2 является отрицательным корнем уравнения

y-¥q

2 qeE ( у-1)

-1,

откуда

a = У2 - У1).

(24)

Отметим еще, что асимптотика верхней ветви сепаратрисы в задаче об обтекании источника вблизи твердой стенки записывается в виде

откуда следует, что на этой ветви

q

У —— 2п

arctg

1 + ,

1 -(П2

q / 2п

arctg

1 -(¿г

q / 2п

q2

2п

v J

(25)

при х —

Решение задачи об определении формы тела, обтекание которого потоком со свободной поверхностью моделируется диполем, выглядит следующим образом [1]:

w( Z ) =

m 2п

1

dw _ m dz п

2iz

+

W( x У ):

m 2п

У -1

1 imE

+-

- i _ п

iE + E 2e

z - i

y +1 1

-iEz

z em

f-dt

J t - i

+1,

x2 + (y -1)2 x2 + (y +1)2

mE „

+-Re

п

JEt

-iEz

dt

t - i

+ У

— соответственно комплексный потенциал, комплексно-сопряженная скорость и функция тока. Искомая разветвляющаяся линия тока, охватывающая рассматриваемый диполь, задается соотношением

m 2п

y-1

У+1

x2+(y-1)2 x2+(y+1)2

mE

п

Re

i e^dt

+ y _W(x0'y0)'

, . dw

где z0 = x0 + iy0 — корень уравнения —

dz

0 такой, что x0 < 0, y0 < 0.

Обсуждение результатов. На рис. 1 приведены результаты расчета формы тела, моделируемого источником в потоке вблизи твердой стенки, для всех значений его мощности q, принадлежащих множеству {1, 0.5, 0.2, 0.1}. Для сравнения пунктиром изображены сепаратрисы в задаче об обтекании источника той же мощности безграничным потоком. С целью качественной интерпретации результатов расчетов введем параметр Б (размерный), характеризующий толщину обтекаемого тела при х ^ Ясно, что в обоих случаях значение Б может быть вычислено по формуле Б = Qlc. Обозначим также через АУ размерное асимптотическое смещение тела, моделируемого источником вблизи стенки, по сравнению с телом, моделируемым в безграничном потоке, а через АуБ — относительное смещение АУ1Б. Заметим, что для АуБ справедлива формула

. _ А7Я cH _ Ay Уо _ HD ~ y Q ~ q '

(26)

где Ау = Ау/Н. Анализируя рис. 1, можно отметить, что наличие стенки в потоке искажает форму моделируемого источником тела, делая его несимметричным относительно прямой у = -1 и смещая при х ^ вниз примерно на четверть толщины (т. е. АуБ . -114). Кроме

e

О 2 4 € 8 10

г

Рис. 1. Источник у стеики при различных значениях q (штриховая линия — источник в безграничном потоке): а — q = 1; б — q = 0,5; в — q = 0,2; г — q = 0,1

того, при уменьшении д параметр относительного смещения Дуп не стремится к нулю, как этого можно было бы ожидать. С целью математического объяснения этого эффекта заметим прежде всего, что в задаче об обтекании источника безграничным потоком на верхней ветви разветвляющейся линии тока при х ^ выполнено асимптотическое соотношение у ^ -1 + д/2. Отсюда с учетом (25) и (26) получаем

AXd = т-2п

arctg

1 +

Я!

q / 2п

arctg

1

лЙП

q / 2п

v2ny

+1 _ 1 q2

Разлагая при малых д правую часть последней формулы в ряд Тейлора по степеням д, приходим к равенству Ду^ = -1 / 4 - д / (8п2) + О(д3),

находящемуся в полном соответствии с рис. 1. Сказанное выше иллюстрирует также рис. 2, на котором изображен график зависимости величины относительного смещения Дув от мощности д.

Нетрудно также показать, что относительно сходимости при Н ^ ^ решения задачи об обтекании источника у стенки У1(Х) к соответствующему решению задачи о его обтекании безграничным потоком У2(Х) справедливы следующие два утверждения:

2

Рис. 2. Зависимость смещения AyD от мощности источника q

а) lim | Y1(X) - Y2(X) |_ 0 для vX, т. е. при любык значениях Xиме-

H ^гс

ет место поточечная сходимость;

б) для v-£ > 0 и X1, X2 е R существует такое значение H = H0, что

| Y1(X) - Y2(X) |< s при любыхXe [XvX2] и H> H0. Другими словами,

на любом конечном отрезке оси X эта сходимость носит равномерный характер. Однако, как указывалось выше, она не является равномерной на всей оси X.

Таким образом, в задаче об отыскании формы тела, обтекание которого моделируется источником у стенки, наличием последней нельзя пренебрегать (т. е. считать поток безграничным) ни при каких значениях параметра q.

Для рассмотрения результатов численных расчетов в задаче об обтекании диполя вблизи стенки введем параметр r, равный радиусу цилиндра, эквивалентного обтеканию диполя с моментом m в безграничном потоке. В [19] показано, что r _ yjm / (2п). В отличие от задачи об обтекании источника вблизи стенки в данном случае при r ^ 0 решение сходится к соответствующему решению задачи об обтекании диполя безграничным потоком. На рис. 3 сплошными линиями представлены результаты расчета формы тела, моделируемого диполем вблизи стенки при r е {0,9; 0,75; 0,5; 0,35}, пунктиром изображены контуры цилиндров радиуса r. Видно, что с убыванием r относительное искажение формы тела, отвечающего диполю, уменьшается, становясь весьма незначительным уже при r = 0,35. Таким образом, при моделировании обтекаемого у стенки тела диполем ее присутствие можно не учитывать при r < 0,35, тем самым считая поток безграничным.

Обратимся теперь к вопросу о возможности замены свободной поверхности твердой стенкой. Вначале рассмотрим случай обтекания источника. В качестве параметра aD, характеризующего степень искажения моделируемого им тела по сравнению с телом, соответствующим обтеканию источника вблизи стенки, выберем отношение амплитуды волны (размерной) на верхней ветви сепаратрисы к толщине D, введенной выше. Ясно, что aD = a/q, где величина a определена ранее (формула (24)). Примем за критерий возможности замены свободной поверхности твердой стенкой выполнение условия aD < 0,01. Как показывают проведенные численные эксперименты, выполнение данного условия обеспечивается при q < 1, E > 3. Например, на рис. 4 изображена эволюция формы моделируемого источником тела при изменении величины E от 2 до 4 для случая q = 0,2 (пунктиром показано соответствующее положение тела в потоке, ограниченном твердой стенкой). Как видно, уже при E = 3 волна на сепаратрисе становится практически неразличимой. На рис. 5 приведены графики

/ -0.8 / -0.S . 1 ГЛ

-1 -0.5 \ Л \ : J 0.5 1

Рис. 3. Диполь у стенки при различных значениях г (пунктиром—диполь в безграничном потоке): а — г = 0,9; б — г = 0,75; в — г = 0,5; г — г = 0,35

г

г

Рис. 4. Источник под свободной поверхностью при различных значениях Е, q = 0,2 (пунктиром — источник у стенки): а — Е = 2; б — Е = 2,5; в — Е = 3; г — Е = 4

Рис. 5. Зависимость амплитуды волны ив от параметра Е при различных значениях q

зависимости параметра ав от величины Е при различных значениях д. Положение каждой конкретной кривой ап = ап(Е) слабо зависит от мощности источника д, и неравенство ав # 0,01 выполнено при д # 1, Е $ 3. Итак, при моделировании обтекаемого тела источником свободную поверхность можно заменить твердой стенкой, если выполнены условия д # 1 и Е $ 3. Необходимо также отметить, что в данной задаче поток со свободной поверхностью нельзя заменять безграничным ни при каких значениях д и Е.

В задаче об обтекании диполя потоком со свободной поверхностью проведенные вычисления показывают, что последнюю можно заменить твердой стенкой при выполнении условий г # 0,35, Е $ 5. Для примера на рис. 6 сплошными линиями показано изменение формы тела, соответствующего диполю с моментом т = 2пг2 в потоке со свободной поверхностью при г е {0,9; 0,75; 0,5; 0,35} и Е = 5 (пунктиром изображено положение тела, моделируемого тем же диполем в потоке с твердой стенкой). Различие между этими случаями становится несущественным при г # 0,35. Следует также отметить, что в задаче об обтекании диполя при выполнении вышеуказанных условий поток со свободной границей можно считать безграничным. На рис. 7 сплошными линиями показано то же, что и на рис. 6, а пунктиром изображены контуры цилиндров радиуса г. Следовательно, если г # 0,35 и Е $ 5, то при моделировании обтекаемого тела диполем свободную поверхность можно заменить твердой стенкой либо считать поток безграничным.

г

Рис. 6. Диполь под свободной поверхностью при различных значениях г, Е=5 (пунктиром — диполь у стенки): а — г = 0,9; б — г = 0,75; в — г = 0,5; г — г = 0,35

б

в

г

Рис. 7. Диполь под свободной поверхностью при различных значениях г, Е = 5 (пунктиром — диполь в безграничном потоке): а — г = 0,9; б — г = 0,75; в — г = 0,5; г — г = 0,35

Заключение.

1. Источник в потоке у твердой стенки моделирует полубесконечное затупленное тело, несимметричное относительно горизонта его локализации. При малых значениях мощности q далеко вниз по потоку это тело смещено вниз примерно на четверть своей толщины по сравнению с телом, соответствующим обтеканию источника безграничным потоком. При уменьшении q параметр относительного смещения Аув не стремится к нулю, поэтому в задаче об отыскании формы тела, обтекание которого моделируется источником у стенки, наличием последней нельзя пренебрегать (т. е. считать поток безграничным) ни при каких значениях параметра q.

2. Диполь с моментом т в потоке под твердой крышкой моделирует цилиндрическое тело. С убыванием параметра г = ^т / (2п) относительное искажение формы этого тела по сравнению с круговым цилиндром радиуса г, отвечающим обтеканию того же диполя безграничным потоком, уменьшается, становясь незначительным при г = 0,35. Поэтому при моделировании обтекаемого у стенки тела диполем ее присутствие можно не учитывать при г < 0,35, тем самым считая поток безграничным.

3. Источник в потоке со свободной границей моделирует несимметричное затупленное тело с гофрированной поверхностью. Отношение ап амплитуды волны на верхней части этой поверхности к толщине тела становится меньше 0,01, если q < 1 и Е > 3, поэтому при моделировании обтекаемого тела источником свободную поверхность можно заменить твердой стенкой при выполнении условий q < 1 и Е > 3. Однако поток со свободной поверхностью нельзя заменять безграничным ни при каких значениях q и Е.

4. Если г < 0,35 и Е > 5, то при моделировании обтекаемого тела диполем свободную поверхность можно заменить твердой стенкой либо считать поток безграничным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И.А., Р о з е Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1.

- Л.; М.: Гостехиздат, 1948. - 535 с.

2. Л а м б Г. Гидродинамика. - М.; Л., Гостехиздат, 1947. - 928 с.

3. М и л н-Т о м п с о н Л. М. Теоретическая гидродинамика. - М.: Мир, 1964. -655 с.

4. С р е т е н с к и й Л. Н. Движение цилиндра под поверхностью тяжелой жидкости // Тр. ЦАГИ. - М., 1938. - Вып. 346. - С. 1-27.

5. К е л д ы ш М. В. Замечания о некоторых движениях тяжелой жидкости // Келдыш М.В. Избр. тр. Механика. - М.: Наука, 1985. - С. 100-103.

6. К е л д ы ш М. В., Л а в р е н т ь е в М. А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости // Келдыш М.В. Избр. тр. Механика. - М.: Наука, 1985.

- С. 120-151.

7. Т и х о н ов А. И. Плоская задача о движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины // Изв. отд. Технич. наук АН СССР. - 1940. - № 4. -С. 57-78.

8. К и с е л е в О. М. Вихрь под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1968. - № 3. - С. 45-52.

9. К и с е л е в О. М. Источник под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1969. - № 3. - С. 87-91.

10. D e a n W. R. On the reflection of surface waves by submerged circular cylinder // Proc. Phill. Soc. - 1948. - 44. - P. 485-491.

11. U r s e l l F. Surface waves on deep water in the presence of a submerged circular cylinder // Proc. Camb. Phill. Soc. - 1950. - 46. - P. 141-158.

12. Н е к р а с о в А. И. О точечном вихре под поверхностью тяжелой жидкости в плоскопараллельном потоке // Некрасов А.И. Собр. соч. Т. 2. - М.: Физматгиз, 1962. - С. 351-370.

13. Т е р-К р и к о р о в А. М. Точное решение задачи о движении вихря под поверхностью жидкости // Изв. АН СССР Сер. Матем. - 1958. - 22, № 2. - С. 177-200.

14. Ф и л и п п о в И. Г. О движении вихря под поверхностью жидкости // ПММ. -1961. - 25, № 2. - С. 242-247.

15. Ф и л и п п о в И. Г. Решение задачи о движении вихря под поверхностью жидкости при числах Фруда, близких к единице // ПММ. - 1960. - 24, № 3.

16. В а л ь д м а н Н. А. Решение плоской задачи о движении вихря вблизи поверхности весомой жидкости методом малого параметра // Тр. Ленингр. кораб-лестр. ин-та. - Л., 1985. - Сб. «Математические модели и САПР в судостроении». - С. 18-24.

17. Г о р л о в С. И. Нелинейная задача об обтекании системы вихрей установившимся потоком весомой жидкости, ограниченным свободной поверхностью // ПМТФ. - 1999. - 40, № 6. - С. 63-68.

18. Ж и т н и к о в В. П., Ш е р ы х а л и н а Н. М., Ш е р ы х а л и н О. И. Исследование закритических режимов в нелинейной задаче о движении вихря под свободной поверхностью весомой жидкости // ПМТФ. - 2000. - 41, № 1. - С. 70-76.

19. Л о й ц я н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа. - Изд. 5-е, перераб. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

20. Г у р е в и ч М. И. Теория струй идеальной жидкости. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1979. - 536 с.

21. Л а й т х и л л Дж. Волны в жидкостях. - М.: Мир, 1981. - 600 с.

Статья поступила в редакцию 27.10.2011.

Владимиров Игорь Юрьевич, младший научный сотрудник Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН; сфера научных интересов: физика океана; автор 3 опубликованных работ.

Корчагин Николай Николаевич, главный научный сотрудник Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН; сфера научных интересов: физика океана; автор около 160 опубликованных работ.

Савин Александр Сергеевич, профессор кафедры высшей математики МГТУ им. Н.Э. Баумана; сфера научных интересов: теоретическая гидродинамика; автор около 100 опубликованных работ.