CC BY
82
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 621.396.6.001:004.4.
А. Н. Литвинов, О. Ш. Хади, Н. К. Юрков
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ ПРИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ И ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ7
Аннотация.
Актуальность и цели. Математическое моделирование напряженно-деформационного состояния слоистых структур радиоэлектронных средств является весьма актуальной проблемой, которая позволяет на ранних этапах проектирования выявить наиболее нагруженные конструктивные элементы радиоэлектронных средств при технологических и экспериментальных воздействиях. Целью работы является повышение надежности и обеспечение тактико-технических характеристик изделий конструкторско-технологическими способами.
Материалы и методы. Предложена классификация моделей, описывающих напряженно-деформированное состояние слоистых структур. Моделирование состояния слоев структуры выполнено численными методами с использованием разработанного пакета прикладных программ.
Результаты. Разработан комплекс моделирующих программ и выполнен численный анализ распределения термомеханических напряжений по поверхности многослойной платы микросборки при тепловом воздействии. Определены зоны оптимального размещения тензорезистивных элементов на поверхности платы.
Выводы. Проведенные численные исследования показали, что для обеспечения стабильности метрологических характеристик слоистых плат необходим обязательный контроль толщины клеевого шва, применение более мягких клеев и выбор оптимальных геометрических размеров плат для обеспечения более равномерного распределения термомеханических напряжений в зонах расположения тензорезистивных элементов.
Ключевые слова: напряженно-деформационное состояние, тепловое воздействие, слоистая структура, плата, радиоэлектронные системы.
A. N. Litvinov, O. Sh. Khadi, N. K. Yurkov
MODE OF DEFORMATION MODELING IN LAYERED STRUCTURES OF RADIO-ELECTRONIC MEANS AT TECHNOLOGICAL AND OPERATIONAL IMPACTS
Abstract.
Background. Mathematical modeling of the mode of deformation of the layered structures of radio-electronic means (REM) is a very important problem, which allows to identify at early design stages the most stressed structural elements of REM
7 Статья подготовлена в рамках реализации НИР «Создание методологических основ обнаружения и локализации латентных технологических дефектов бортовой радиоаппаратуры космических аппаратов методами неразрушающего контроля и диагностики на этапах производства» (ГК № 14.514.11.4078 от 10.03.2013) в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технического комплекса России на 20072013 годы».
146
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
at technological and experimental impacts. The aim of the work is to increase the reliability and maintenance of tactical and technical characteristics of the product design and technological methods.
Materials and methods. The authors suggested a classification of the models describing the mode of deformation of the layered structures. Modeling of the structure of the layers was performed numerically using the developed software package.
Results. The researchers developed a complex of simulation programs and carried out a numerical analysis of the distribution of thermomechanical stress on the surface of the multilayer board with micro-thermal exposure. The authors determined the zones of optimal placement of tensoresistive elements on the surface of the board.
Conclusions. The numerical studies have shown that to ensure the stability of the metrological characteristics of laminated boards it is required to permanently control thickness of the adhesive joint, use a soft adhesives and select the optimal geometric dimensions of boards to ensure a more even distribution of thermomechanical stresses in the areas with tensoresistive elements.
Key words: mode of deformation, thermal influence, layered structure, board, electronic systems.
Введение
Одной из важнейших задач развития научных основ конструирования и технологии изготовления блоков и изделий современных радиоэлектронных средств (РЭС) является создание адекватных прикладных моделей, описывающих поведение конструкций и их отдельных элементов в процессе производства и эксплуатации [1].
Системный анализ конструкций РЭС показывает, что большинство изделий, блоков и их элементов являются гетерогенными структурами, подверженными внешним воздействиям. За счет изменения их напряженно-деформированного состояния (НДС) происходит изменение основных электропараметров РЭС, ухудшение метрологических характеристик, снижение их надежности, а в ряде случаев их частичный или полный отказ в результате разрушения отдельных элементов. При этом основными являются динамические и температурные воздействия, возникающие в ходе выполнения различных технологических операций в производстве, при испытаниях и в процессе эксплуатации изделий в широком диапазоне тепловых и вибрационных нагрузок [2, 3].
Анализ технологических процессов показывает, что существующие модели не в полной мере учитывают явления и процессы, происходящие в гетерогенных структурах изделий, и нуждаются в уточнении и совершенствовании.
1. Модели для исследования процессов в слоистых структурах
В обобщенном виде модели гетерогенных структур можно разделить на три укрупненных класса: многослойные структуры, композиты, структуры с приведенными характеристиками.
Многослойные структуры. Модели этого типа основаны на механике многослойных сред. По нашему мнению, наиболее общей следует считать классификацию многослойных структур, основанную на энергетической оценке НДС слоев, предложенную академиком В. В. Болотиным [4], в соот-
Engineering sciences. Machine science and building
147
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ветствии с которой введены понятия жесткого, мягкого и трансверсальномягкого слоев. При расчете многослойных оболочек эта модель позволяет учитывать изменение метрики при переходе от слоя к слою, что дает математическое описание НДС каждого слоя с учетом его кривизны и места расположения [5].
Композиты классифицируются по структуре: слоистые, волокнистые, наполненные и т.п. В тех случаях, когда они являются слоистыми, часть слоев может быть анизотропными. В этом случае, если выполнить переход от анизотропных слоев к изотропным с приведенными характеристиками, можно использовать классификацию слоев В. В. Болотина и строить модели по принципу многослойной структуры. В остальных случаях для анализа НДС таких конструктивных элементов в зависимости от структуры композита используются математические модели, изложенные в [6, 7].
Структуры с приведенными характеристиками. Первые работы в этом направлении принадлежат Фойхту и Рейссу и позволяют получить для приведенных модулей упругости оценки сверху и снизу соответственно.
Различные модели и критерии для определения приведенных характеристик слоистых и композиционных структур приведены в работах [8, 9], где осреднение производится в сочетании с принятием дополнительных гипотез о полях напряжений, деформаций и перемещений, а также учетом конструктивных особенностей рассматриваемой неоднородной структуры. В работе [10] предложена математическая модель, обеспечивающая одинаковую жесткость исходной конструкции и модели с приведенными характеристиками. Предложенная модель может применяться как ко всей слоистой конструкции, так и к ее части [5].
Модели, основанные на определении приведенных характеристик для эквивалентной упругой или вязкоупругой диссипативной системы, являются весьма перспективными для моделирования НДС в сложных неоднородных структурах. Их существенной особенностью является то, что в ряде случаев оказывается возможным получение аналитических решений для систем, подверженных внешним воздействиям. Выбор конкретной математической модели определяется свойствами исследуемой конструкции или ее элемента и требуемой точностью исследования НДС. Применение математических моделей, алгоритмов расчета и комплекса моделирующих программ позволяет на ранних этапах проектирования обеспечивать требуемый уровень надежности изделий, содержащих многослойные структуры, научно обоснованно разрабатывать режимы технологических процессов их изготовления, а также анализировать возможные виды отказов изделий.
2. Алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния слоистой платы при тепловом воздействии
Рассмотрим плоскую плату микросхемы частного применения. В качестве расчетной схемы для платы принимаем пятислойную прямоугольную пластину размером 2Lx х 2Ly (рис. 1), что соответствует структуре печатной платы. Физико-механические характеристики слоев характеризуются параметрами: Efr - модуль упругости; Vk - коэффициент Пуассона; - темпе-
ратурный коэффициент линейного расширения (ТКЛР) Tk - температура;
148
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
hfc - толщина k-го слоя; k - номер слоя (к = 1, 2, 5). Пластина отнесена
к системе координат x, y, z, расположенной в ее центре.
Рис. 1. Конструкция микросхемы (а) и расчетная схема (б):
1 - основание; 2 - клеевой шов; 3 - подложка; 4 - резистивный слой;
5 - защитный слой; 6 - контакты
При воздействии температурного поля происходят растяжение-сжатие и изгиб слоев рассматриваемой структуры. В соответствии с классификацией основание 1 и слои 3, 4 и 5 следует считать «жесткими» слоями, деформация которых подчиняется гипотезам Кирхгофа - Лява. Так как слои 4 и 5 являются достаточно тонкими, то эти гипотезы применимы для трехслойного пакета из слоев 3-4-5. Клеевой шов считается «мягким», т.е. основной деформацией шва является сдвиг. Заменим трехслойную пластину эквивалентной ей в смысле жесткости однослойной пластиной с приведенными характеристиками E , v , а . Для определения приведенных характеристик используем модель, основанную на том, что жесткость слоя с приведенными характеристиками равна жесткости слоистого пакета [10]. В качестве элемента приведения принимаем подложку. В этом случае применительно к рассматриваемой модели приведенный модуль и коэффициент Пуассона будут определяться выражениями:
Engineering sciences. Machine science and building
149
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
E = E
1 -V 1 -v2
в; v = v3 + h4v4 + h5v5 .
Здесь коэффициент приведения вычисляется по формуле
в = 1 + E4 h43 + E5 h53 +12 ( + E4 h4 (42 + E5 h5 Z52),
(1)
(2)
- Ek (1-v3) - . _ .
где Ek =~^n\---V hk = hk H3 ; zk = zk H3 при k = 3 4, 5; H3 = h3 + h4 + h5 ;
E3 (1-vk)
Zk - координата срединной поверхности k-го слоя. Если слои 4 и 5 являются тонкими (h5 << 1, h4 << 1), то можно полагать v = v3, а E = E3P .
Аналогичная модель используется и для расчета приведенного ТКЛР [11], в соответствии с которой
а = аз/з (Ek,Vk,hk,ATk,ak,n) при k = 4, 5; n = 3, (3)
где функция приведения /з имеет вид
f3 =1 +
E4h4 E4AT4 —1) + E5h5 (E5MT5 — 1)
1 + E4 h4 + E5h5
(4)
при ak =ak/аз ; ATk =ATk/AT3 (k = 4, 5) - температура, соответствующая нормальным условиям.
При тепловых воздействиях в слоях платы возникают термомеханические нормальные напряжения G(X), a(k), k = 1, 3. В шве возникают касательные напряжения Txz, TyZ , а его свойства характеризуются модулем сдвига
G = E2/2 (1 + v 2).
Предлагаемая расчетная схема трехслойной пластины с приведенными характеристиками верхнего слоя позволяет осуществлять предельный переход, соответствующий жесткому клеевому или паяному шву при E2 .
Для прогнозирования термомеханических напряжений в плоских соединениях из разнородных материалов разработан алгоритм расчета термомеханических напряжений, а также комплекс моделирующих программ, в котором учитываются физико-механические характеристики материалов слоев, их геометрические размеры, изменение температуры по слоям, а также наличие клеевых или паяных слоев, работающих на сдвиг.
Результирующие термомеханические напряжения в жестких слоях
a(k) a(k)
°x(X), °y(S)
определяем как
a
(k)
x(X)
+ a
(k) y(u',
(5)
где ax, ay - напряжения от растяжения (сжатия); ax(u); ay(u) - напряжения от изгиба слоев в направлении осей х и у соответственно.
150
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
Из уравнений равновесия и совместности деформаций слоев нормальные напряжения для подложки определяются из системы дифференциальных уравнений:
— 2 г — 2 ф
-Xif + v^2 + X = 0, —2-Xi9 + viX^/ + X = 0.
(6)
—X2 ^ '"“т 3 —у
Здесь введены следующие обозначения: f = f (x, у) = o(J^;
ф = ф(х, у ) = с(3) - функции напряжений в подложке;
Xl = G
L
2 Ґ
h2h3
1_ h^_\_
У E3 h1 E1 )
; X2 = g
L
2
h2h3
v3 + h3_1
V\E3 hi El
X = G—— (АТ - a^AT^) - обобщенные безразмерные параметры.
h2 h3
*
Для удобства расчетов введем безразмерные координаты: x = x / Lx,
* — * *
у = у / Ly , l = Lx / Ly , где x , у - соответствующие размерные координаты. Граничные условия для системы уравнений (6) имеют следующий вид:
f = 0 при x = l; —- = 0 при x = 0;
—x
ф = 0 при у = 1; —2 = 0 при у = 0 . (7)
—у
Для решения системы уравнений (6) применим метод малого параметра в форме
m m
f (x у )=2 fi (x, у )vi, ф(x, у )=2 ф- (x, у ), (8)
i=0 i=0
где i = 0,1, 2,..., m, а (m +1) - число членов, удерживаемых в рядах (8).
Подставляя решение (8) в (6) и приравнивая функции при одинаковых степенях Vi, получим (m + 1) систем уравнений относительно функций напряжений fi и ф-, которые можно обобщить в следующей форме:
—x 2
-Xifi =-X22i-i;
— 2Фі г
—г -Xi2i =-X2f-i;
—у
где
X
f(-i) =ф(-1) =----; i = 0,1,2,..., m. (9)
X2
Частные решения системы уравнений (9) ищем методом вариации произвольных постоянных, удовлетворяя условиям (7). Окончательно получим
Engineering sciences. Machine science and building
151
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где Q = ■
,%2 J_
k ch к
ft (x У ) = Cich (kx) + f* (x, y); Фі (x,У) = Dtch(кУ) + Ф* (x,У),
l
Jsh [к(u -1)]фі-і (u,y )du;
0
fi ( У )=Xk- j sh [k (u - x )] * Фі-1 (u, У )dU; Фо =
x_
X2
1 - ch (ІЄУ) ch (kl)
(10)
Dt=~rxtch!^) lsh [k (u-i)] ft-1(u,x )u;
Ф* (x у)=k jsh[k(u -у)] • ft-1 (u, x)du; fo =
x
ch(kx) ch (k)
- о X2
С учетом (10) и (8) определяются напряжения в подложке: А^,Jy3).
В результате численных расчетов установлено, что погрешность вычислений не превышает 1 % при удержании в рядах (8) трех членов ряда.
Нормальные напряжения, возникающие в основании, определяются выражениями
,а)
= -h3h Н3); =-h3h11^У3).
У
(11)
Полученные выше решения справедливы для случая, когда пластина остается плоской. В действительности она изгибается под действием распределенных изгибающих моментов М°х и Му , возникающих за счет внутренних напряжений ax , oy :
М0 = -0,5a(x3)h3 ( + h3 + 2h2); M^ = -0,5a(x3)h3 ( + h3 + 2h2). (12)
Величины изгибных напряжений определяются соотношениями:
(k) = M0XEk z, a(k) = MyEk
z; a
(u) D (1 -vk ) y(u) D (1 -vk )
(13)
где суммарная цилиндрическая жесткость D трехслойной пластины определяется с учетом того, что жесткость и толщина шва являются достаточно малыми:
D = E1h1 fo, ft = 1+ЕзйЗ3 +12(h32 + Е3Й3Z32)
12 (1-V12)
при Z3 = ( + h3 + 2h2 )/2h1.
152
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
Касательные напряжения в шве вычисляются по формулам:
Txz = h
Т yz = h3
даі3) . ЭоХ1)
dx
да
(3)
дУ
=-h
= -h
дх
да
(і)
дУ
(14)
3. Численный анализ НДС подложки
С учетом изменения параметров слоев проведен анализ изменения термомеханических напряжений на поверхности подложки, где расположены резистивные элементы. Проведенные численные исследования показали хорошую сходимость разработанного алгоритма расчета и совпадение расчетных значений термомеханических напряжений и напряжений, определенных экспериментальным путем на тестовых моделях, соответствующих реальным конструкциям микросхем [12]. При этом выявлено существенное влияние термомеханических напряжений на изменение сопротивления и дифференциальную нелинейность наборов тонкопленочных резисторов (ТПР), входящих в состав микросхем.
В качестве материала основания рассматривались пресс-материал АГ-4В, ковар 29НК, керамика ВК-99. Материал подложки - ситалл СТ50-1. Расчеты выполнены для различных значений модуля сдвига клеевого шва G при толщинах Н2 = 0,1 мм, что соответствует применению «мягких» (типа «Виксинт У2-28») и «жестких» (типа ВК-9) клеев. Некоторые результаты исследования распределения термомеханических напряжений по поверхности подложки с размерами 2Lx х2 Ly = (15 х 8) мм2 приведены на рис. 2-4 при условии, что температура всей конструкции равна 125 °С. В силу симметрии эпюры термомеханических напряжений представлены для четверти поверхности платы в безразмерных координатах х = х/Lx; y = yjLy .
а) б)
Рис. 2. Напряжения ax(£) на верхней поверхности подложки. Материал основания - АГ-4В: а - G = 500 МПа; б - G= 50 МПа
Engineering sciences. Machine science and building
153
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а) б)
Рис. 3. Напряжение Ох(у) для материала основания: а - 29НК; б - керамика ВК-99
Рис. 4. Максимальные напряжения О х(у) на верхней поверхности подложки при у = 0 для материала основания 29НК при разных толщинах
На рис. 2 показаны распределения напряжений на верхней поверхности подложки в зависимости от жесткости клеевого шва. При уменьшении его жесткости напряжения уменьшаются, а их распределение по поверхности платы, где расположены резистивные элементы, становится более равномерным, что приводит к стабилизации электропараметров ТПР и стабилизации метрологических характеристик микросхемы в целом. На рис. 3 показано распределение напряжений по поверхности подложки в зависимости от мате-
154
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
риала основания. На рис. 4 показаны зависимости напряжений оот толщины подложки.
Как следует из анализа рис. 4, оптимальная толщина подложки, при которой в рассматриваемой конструкции термомеханические напряжения равны нулю, составляет H3 = 0,265 мм. Цифрами на графиках показаны значения безразмерной координаты x , которая изменяется от 0 до 1. Это позволяет обосновать проектные решения при разработке РЭС ответственного назначения.
Заключение
Моделирование НДС большого числа типоразмеров микросборок, содержащих многослойные платы, показало, что для обеспечения стабильных метрологических характеристик в процессе эксплуатации на технологических операциях изготовления необходим обязательный контроль толщины клеевого шва, а также применение более мягких клеевых композиций.
При конструировании толстых плат в зависимости от применяемых размеров и материалов слоев следует выбирать их оптимальные геометрические параметры, обеспечивающие минимизацию и более равномерное распределение термомеханических напряжений в зонах расположения тензоре-зистивных элементов.
Применение математического моделирования НДС сложных конструкций изделий на основе предложенных моделей позволяет на ранних этапах их проектирования за счет конструкторско-технологических решений создавать микросборки с повышенной точностью, термостабильностью и надежностью в требуемом эксплуатационном режиме внешних воздействий.
Список литературы
1. Юрков, Н. К. Технология радиоэлектронных средств : учебник / Н. К. Юрков. -Пенза : Изд-во ПТУ, 2012. - 640 с.
2. Лугин, А. Н. Экспериментальные исследования влияния термомеханических напряжений и ТКС тонкопленочных резисторов / А. Н. Лугин, А. Н. Литвинов, Н. В. Волков // Электронная промышленность. - Деп. № Р- 5512. - 2001. - С. 28.
3. Литвинов, А. Н. Тонкопленочные наборы резисторов при тепловых воздействиях / А. Н. Лугин, А. Н. Литвинов, М. М. Оземша // Петербургский журнал электроники. - 2001. - № 1. - С. 40-46.
4. Болотин, В. В. Механика многослойных конструкций / В. В. Болотин, Ю. Н. Новичков. - М. : Машиностроение, 1980. - 375 с.
5. Литвинов, А. Н. Методы расчета эффективности применения гетерогенных вибродемпфирующих покрытий для несущих конструкций сложной формы / А. Н. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 160-171.
6. Бардзокас, Д. И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры / Д. И. Бардзокас, А. И. Зобнин. - М. : Едиториал УРСС, 2003. - 376 с.
7. Сендецки, Дж. Механика композиционных материалов / Дж. Сендецки. - М. : Мир, 1978. - 567 с.
8. Фокин, А. Г. Эффективные модули упругости композита, составленные из анизотропных слоев / А. Г. Фокин, Т. Д. Шермегор // Механика полимеров. - 1975. -№ 3. - С. 408-413.
Engineering sciences. Machine science and building
155
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
9. Литвинов, А. Н. Модель для расчета эффективных характеристик слоистых структур / А. Н. Литвинов, Д. В. Артамонов // Инновации на основе информационных и коммуникационных технологий : материалы междунар. науч.-практ. конф. - М. : МИЭМ НИУ ВИРЭ, 2012. - C. 190-195.
10. Литвинов, А. Н. Моделирование напряженно-деформированного состояния многослойных гетерогенных структур / А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов // Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ-2010) : тр. междунар. конф. - Самара : Изд-во СГУ им. С. П. Королева, 2010. - С. 642-646.
11. Литвинов, А . Н . Прикладная модель для расчета приведенного ТКЛР плоских гетерогенных структур / А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов, В. В. Смогунов // Математические и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. статей IV Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза : Поволжский дом знаний, 2010. - С. 213-216.
12. Данилова, Е. А. Моделирование напряженно-деформированного состояния печатных плат при тепловых воздействиях / Е. А. Данилова, А. Н. Литвинов, Н. К. Юрков // Механика и процессы управления : материалы XXXXIII Всерос. симп. - М. : РАН, 2013. - Т 1. - С. 48-58.
References
1. Yurkov N. K. Tekhnologiya radioelektronnykh sredstv: uchebnik [Technology of radio electronic devices: textbook]. Penza: Izd-vo PGU, 2012, 640 p.
2. Lugin A. N., Litvinov A. N., Volkov N. V Elektronnaya promyshlennost’ [Electronic industry]. Dep. No. R- 5512. 2001, p. 28.
3. Litvinov A. N., Lugin A. N., Ozemsha M. M. Peterburgskiy zhurnal elektroniki [Saint-Petersburg journal of electronics]. 2001, no. 1, pp. 40-46.
4. Bolotin V. V, Novichkov Yu. N. Mekhanika mnogosloynykh konstruktsiy [Mechanics of multilayered structures]. Moscow: Mashinostroenie, 1980, 375 p.
5. Litvinov A. N. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnich-eskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2009, no. 4 (12), pp. 160-171.
6. Bardzokas D. I., Zobnin A. I. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh protsessov v kompozitsionnykh materialakh periodicheskoy struktury [Mathematical modeling of physical processes in composite materials of periodic structure]. Moscow: Editorial URSS, 2003, 376 p.
7. Sendetski Dzh. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow: Mir, 1978, 567 p.
8. Fokin A. G., Shermegor T. D. Mekhanika polimerov [Mechanics of polymers]. 1975, no. 3, pp. 408-413.
9. Litvinov A. N., Artamonov D. V Innovatsii na osnove informatsionnykh i kommu-nikatsionnykh tekhnologiy: materialy mezhdunar. nauch.-prakt. konf. [Innovations on the basis of information and communication technologies: proceedings of the International scientific and practical conference]. Moscow: MIEM NIU VIRE, 2012, pp. 190195.
10. Litvinov A. N., Litvinov M. A. Perspektivnye informatsionnye tekhnologii dlya aviatsii i kosmosa (PIT-2010): tr. mezhdunarodn. konf [Prospective information technologies for aerospace sector (PIT-2010): proceedings of the International conference]. Samara: Izd-vo SGU im. S. P. Koroleva, 2010, pp. 642-646.
11. Litvinov A. N., Litvinov M. A., Smogunov V V. Matematicheskie i komp’yuternoe modelirovanie estestvennonauchnykh i sotsial’nykh problem: sb. statey IV Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf [Mathematical and computer modeling of natural scientific and social problems: collected articles of IV International scientific and technical conference]. Penza: Povolzhskiy dom znaniy, 2010, pp. 213-216.
156
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
12. Danilova E. A., Litvinov A. N., Yurkov N. K. Mekhanika iprotsessy upravleniya: mate-rialy XXXXIII Vseros. simp. [Mechanics and processes of management: proceedings of XXXXIII All-Russian symposium]. Moscow: RAN, 2013, vol. 1, pp. 48-58.
Литвинов Александр Николаевич
доктор технических наук, профессор, кафедра теоретической и прикладной механики и графики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected] Хади Одей Шакер
аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Юрков Николай Кондратьевич
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и производства радиоаппаратуры, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected].
Litvinov Aleksandr Nikolaevich Doctor of engineering science, professor, sub-department of theoretical and applied mechanics and graphics, Penza State University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
Khadi Odey Shaker Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Yurkov Nikolay Kondrat'evich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of radio equipment design and production, Penza State University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
УДК 621.396.6.001:004.4.
Литвинов, А. Н.
Моделирование напряженно-деформированного состояния слоистых структур радиоэлектронных средств при технологических и эксплуатационных воздействиях / А. Н. Литвинов, О. Ш. Хади, Н. К. Юрков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2014. - № 4 (32). - С. 146-157.
Engineering sciences. Machine science and building
157
