CC BY
50
Х. А. Халаф, К. М. Алиев, Ф. А. Гарифуллин,
Ф. Р. Карибуллина, Ф. Х. Тазюков
МОДЕЛИРОВАНИЕ МГД ТЕЧЕНИЙ В ПЛОСКОМ СТУПЕНЧАТОМ СИММЕТРИЧНОМ КАНАЛЕ
Ключевые слова. Течение проводящей жидкости, Бифуркация, Критическое значение числа Рейнольдса,
Магнитное поле, Ступенчатый канал.
Целью настоящей работы является исследование течений вязких электропроводящих жидкостей в плоских симметричных ступенчатых каналах в присутствии наложенного внешнего постоянного магнитного поля. Уравнения МГД течения решаются численно методом контрольного объема (КО). Критическое значение числа Рейнольдса для первой бифуркации (переход от симметричного к несимметричному течению) равен в случае течения непроводящей жидкости в канале имеющем расширение 1:3. Показаны диаграммы течения, первичные и вторичные циркуляционные зоны. Обсуждены физические аспекты течения. В дальнейшем проведен анализ течения проводящей жидкости при воздействии поперечного магнитного поля. С ростом напряженности магнитного поля течение меняет свою структуру и при достижении некоторой величины течение становится симметричным.
Key words: Flow bifurcation, Asymmetric flow, Critical Reynolds numbers, Magnetic field, Sudden expanded Planar
Geometry.
The aim of this work is to study the symmetry-breaking flow bifurcations and its control of an electrically conducting fluid in presence of magnetic field in an expanded channel. The governing nonlinear magnetohydrodynamic equations simplified for low conducting fluids are written and solved numerically using control volume technique. The critical Reynolds number for first bifurcation (asymmetric flow) is obtained the value 48 for the 1:3 sudden expanded planar geometry in case of electrically non-conducting fluid. It is interesting to note that the flow field becomes symmetric about the channel centerline for suitable value of magnetic strength.
Введение
В последнее время особое внимание посвящено исследованиям течений непроводящих вязких жидкостей в ступенчатых симметричных, относительно осевой линии, каналах. Симметричные расширяющиеся каналы являются популярным элементом машин и аппаратов химической технологии и используются в холодильной технике, процессах экструзии, формовании изделий из полимерных материалов, процессов прядения и многих других процессах. При этом, геометрическая простота канала не приводит к предсказуемым симметричным течениям. Более того, течение характеризуется такими нелинейными эффектами, как асимметрией, вторичными циркуляционными областями и многими другими эффектами и представляют значительный интерес для исследователей для понимания физических особенностей таких течений.
В результате численных и
экспериментальных исследований[1-4,9] показано, что при значениях числа Рейнольдса ниже некоторого порогового значения поток остается симметричным. Этот симметричное течение становится
неустойчивым при достижении числом Рейнольдса критической величины и в дальнейшем реализуется пара стационарных несимметричных
циркуляционных зон, расположенных вблизи
ступеньки канала. Таким образом, имеет место явление бифуркации решения нелинейных
стационарных уравнений движения жидкости.
Следует отметить, что течение непроводящих ньютоновских жидкостей в ступенчатых каналах уже является тестовой проблемой, которой занимаются достаточно много исследователей. В настоящий момент важным являются попытки управления процессом потери симметрии потока. При течении электропроводящих жидкостей, для управления можно использовать различные электрические и магнитные поля наложенные на течение. В работах [5-6] исследовались МГ Д течения в ступенчатых каналах, содержащих местные сужения. В этих работах показано, что наложенное магнитное поле уменьшает область циркуляции вблизи ступенки. Магнитное поле, наложенное на течение электропроводящей жидкости приводит к появлению индуцированного электрического тока который, взаимодействуя с магнитным полем, генерирует массовую пондеромоторную силу (силу Лоренца). В свою очередь, пондеромоторная сила оказывает заметное влияние на структуру течения проводящей жидкости [7,8].
Целью настоящего исследования является изучение МГД течения вязкой электропроводящей жидкости в присутствии внешнего поперечного постоянного магнитного поля в ступенчатом канале, изучение влияния магнитного поля на структуру течения, размеры и местоположение зон циркуляционных течений.
В настоящей работе двумерные нелинейные МГД уравнения, учитывающие пондеромоторную
силу (силу Лоренца) решаются численно методом контрольного объема (КО). Полученные результаты согласуются с известными данными для непроводящих жидкостей. Основным результатом работы является анализ закономерностей влияния магнитного поля на структуру течения
электропроводящих жидкостей в симметричных каналах, содержащих резкое расширение.
Математическая модель
Представленная в работе физическая задача основана на исследовании стационарного течения вязкой несжимаемой проводящей жидкости, имеющей постоянную электрическую проводимость ст, постоянную плотность р, кинематическую вязкость "Л, постоянную магнитную проницаемость ц0 в симметричном ступенчатом канале. Степень
расширения канала принята равной 1:3. Поперечное стационарное однородное магнитное поле с
магнитной индукцией B0 действует вдоль оси оу. Схема течения и форма канала показана на рис. 1.
условиях взаимодействия поперечным магнитным полем
постоянным
В движущейся со скоростью V(u.v) проводящей жидкости возникает электрический ток плотности J за счет местного электрического поля, напряженностью E и магнитного поля с магнитной индукцией B0, определяемый в соответствие с
законом Ома
J = СТ(Ё + VxBo) (1)
Пондеромоторная сила, возникающая
вследствие взаимодействия магнитного поля с
электрическим током, определяется из следующего выражения
F = JxBo. (2)
При принятых допущениях система МГД уравнений сводится к следующим управляющим уравнениям [8]
= - gradP + р^У ^ + JxB0 (3)
divV = 0 divVB = 0 divVE = 0 (4)
rotE = 0 rotB = ц 0J. (5)
Учитывая, что векторы B0 и J имеют координаты B0(0,B0,0) и J(0,0, j), а также
пренебрегая внешним электрическим полем, запишем МГД уравнения в безразмерном виде. При этом вводятся следующие масштабы переменных
x y u v P x = — ,y = — ,u = —, v =—, P = —-h h U U pU2
(6)
где h - масштаб длины, U - масштаб скорости (рис.1).
В этом случае, МГД уравнения движения относительно безразмерных переменных запишутся в виде
дu дu дP 1 ^2u д2^ Ha2
u — + v— =----------+----(—- + —-)-----------u
дx дy 3x Re дx2 дy2 Re
дv дv дP 1 .д 2v д2 v.
u---------------+ v — =-I-----(—— +----—)
дx дy дy Re дx2 дy2
дu дv
— + — = 0 . дx дy
U
(7)
(8)
(9)
Re = —- где - число Рейнольдса,
Ha = B0^а/pn -
число
Хартмана,
характеризующее относительное влияние внешнего магнитного поля.
Уравнения (7-9) записаны с учетом малости значения магнитного числа Рейнольдса, то есть
Rem = ац 0hU«1 . (10)
В этом случае уравнения электродинамики и
гидродинамики разделяются.
Граничные условия
На границах области течения поставлены следующие граничные условия. На твердых стенках канала компоненты скорости равны нулю, то есть реализуется гипотеза прилипания
u = 0 и v = 0 (11)
Во входном сечении задается постоянный профиль
осевой скорости
u = 1 и v = 0
В выходном сечении установившееся течение
— = 0 и v = 0 дx
(12)
постулировалось
Для обеспечения получения установившегося течения на выходе, длина канала Ь принималась равной 30Н.
Метод решения
Система уравнений (7-9) совместно с граничными условиями (11-13) решается численно методом контрольных объемов. Сетка наносилась на область течения. Каждая неизвестная величина связана с точками контрольного объема (КО). Сетка является фиксированной в любой момент времени. Предполагается, что стороны каждого КО связаны с координатными осями. Схематично КО представлен на рис.2.
МГД уравнения движения в обобщенной форме можно представить в следующем виде
—|л uф - Г |+—(л uф - Г -дф | = S ф
дx ( дхJ ду ( ду 1 ф
(14)
где Л- является плотностью жидкости; ф - одна из зависимых переменных; Г - коэффициент диффузии; Б ф - источниковый член.
ф
Интегрируя уравнение (14) по контрольному объему, получим следующее уравнение
(|(Л иф - гМ]dv+ ((л uф - г дф )=( s фdV.
(15)
pressure, velocities and stresses nodes
Рис. 2 - КО связанный с узловой точкой Р
Используя теорему Гаусса-Остроградского уравнение (14) может быть переписано в форме
—І^^-Г—]• П dA+
cx ( CxJ -
( / n =( S*dV
A Г дфі - ■■ ф
( Лuф-Г— • ndA
A( ду.
(16)
где А есть поверхность ограничивающая объем V, и П - внешний орт к поверхности А.
Интегрирование уравнения (16) приводит к
)e - (лuфA)w ]-
Г=Лє' . -ГwAw (£ w
^ЛифА^ -(ЛuфA)s ]-
= SфAV (17)
где каждая величина в скобках определяется на соответствующей стороне КО.
Для контроля сходимости результатов и обеспечения независимости от выбранного шага конечноразностной сетки, проведены расчеты на сгущающихся сетках. В результате этого анализа для расчетов была выбрана сетка размером 100x200 узлов.
Результаты моделирования
В настоящей работе исследовалось влияние внешнего магнитного поля на течение проводящей жидкости. Полученные результаты сравнивались с данными полученными в работе [7]. Получено хорошее согласование результатов. На рис.3 показаны линии тока при течении непроводящей (На=0) жидкости в ступенчатом канале при значении числа Рейнольдса Рв=130.
Рис. 3 - Линии тока при течении непроводящей жидкости при Кв=130
Хорошо заметно наличие асимметрии в размерах циркуляционных зон вблизи угловых областей относительной осевой линии канала, а на нижней стенке заметно наличие зоны вторичного циркуляционного течения. Влияние поперечного магнитного поля характеризуется величиной числа Хартмана. Можно видеть, что с ростом значения числа Хартмана структура течения меняется. И при достижении значения числа Хартмана величины На=2.2 вторичная циркуляционная область исчезает полностью, при этом асимметрия потока сохраняется (рис.4).
Рис. 4 - Линии тока при течении проводящей (На = 2.2 ) жидкости при Кв=130
+
Дальнейший рост значения числа Хартмана (На=3,1) приводит к тому, что восстанавливается симметричная структура потока. Это может означать то, что внешнее магнитное поле действует избирательно. Оно подавляет несимметричную моду возмущений и оказывает слабое влияние на эволюцию симметричной моды возмущений.
При дальнейшем увеличении значения числа Хартмана (На=10,0) можно наблюдать, что области с циркуляционным течением практически исчезают. Данное обстоятельство означает, что при На>10,0 внешнее поперечное магнитное поле практически полностью подавляет и симметричные возмущения, сохраняя незначительные симметричные зоны циркуляции.
Показано распределение давления, осевой скорости и тангенциального напряжения вдоль осевой линии для значения числа Рейнольдса Рв=130 и различных значениях числа Хартмана
Из анализа результатов, можно видеть, что внешнее магнитное поле действует стабилизирующим образом на течение проводящей жидкости. Осцилляции скорости и тангенциального напряжения по длине канала исчезают.
Выводы
Можно дать следующее физическое объяснение эффекту возникновения асимметричных течений вязких жидкостей в симметричных каналах, имеющих резкое расширение. Когда число Рейнольдса достаточно мало, течение устанавливается симметричным, а любые начальные возмущения будут подавляться посредством вязкой диссипации. С ростом значения числа Рейнольдса относительное стабилизирующее влияние вязкой диссипации уменьшается. Следовательно, существует критическое значение числа Рейнольдса, при котором еще соблюдается баланс между дестабилизирующим проникновением несимметричных возмущений вверх по потоку (конвекция несимметричных возмущений вверх по потоку), стабилизирующим эффектом вязкой диссипации и стабилизирующим влиянием основного изначально симметричного потока (конвекция симметричных возмущений вниз по потоку). При дальнейшем росте значения числа Рейнольдса () дестабилизирующие эффекты (конвекция
несимметричных возмущений вверх по потоку) становятся доминирующими и изначально симметричная форма течения становится неустойчивой. Дальнейший рост амплитуды асимметричных возмущений ограничивается конвективными и диссипативными эффектами
происходящими в потоке. Таким образом,
комбинация перечисленных эффектов и приводит к установлению устойчивой ассимметричной формы течения при значении числа Рейнольдса ().
В работе показана возможность управления формы течения проводящей жидкости путем наложения внешнего постоянного поперечного магнитного поля. Результаты моделирования показывают, что наложенное
магнитное поле обладает стабилизирующим
эффектом и подавляет возникающие в потоке возмущения. Видно, что с ростом магнитного числа Хартмана асимметрия в структуре течения исчезает, течение становится симметричным. При дальнейшем росте значения числа Хартмана, размеры циркуляционных областей, расположенных вблизи угловых точек, уменьшаются и при Ha > 10 становятся пренебрежимо малыми.
Литература
1. Durst F, Melling A and Whitelaw JH. Low Reynolds number flow over a plane symmetrical sudden expansion. Journal of Fluid Mechanics. 1974, v.64, p.111-128.
2. Fearn RM, Mullin T, Cliffe KA. Nonlinear flow phenomena in a symmetric sudden expansion. Journal of Fluid Mechanics. 1990, v.211, p.595-608.
3. Cherdron W, Durst F, Whitelaw J.H. Asymmetric flows and instabilities in symmetric ducts with sudden expansion. Journal of Fluid Mechanics. 1978, v.84, p.13-31.
4. Durst F, Pereira JC, Tropea C. The plane symmetric sudden expansion flow at low Reynolds numbers. Journal of Fluid Mechanics. 1993, v.248, p.567-581.
5. Drikakis D. Bifurcation phenomena in incompressible sudden expansion flows. Phys. Fluid. 1997, v.9, p.76-86.
6. Gad-el-Hak M, Bushnell DM. Separation control. Review Trans. ASME J. Fluids Engg. 1991, v.113, p.5-30.
7. Midya C, Layek GC, Gupta AS, Mahapatra TR. Magnetohydrodynamics viscous flow separation in a channel with constrictions. Trans. ASME J. Fluids Engg. 2003, v.125, p.952-962.
8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа, М.: Наука, 1987, 840 с.
9. Hawa T., Rusak Z. The dynamics of a laminar flow in a symmetric channel with sudden expantion, Journal of Fluid Mechanics. 2001, v.436, p.283-320.
10. Снигерев Б.А., Тазюков Ф.Х., Кутузов А.Г., Амер Аль Раваш. Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью// Вестник Казан. технол. ун-та. 2007. №1. С.86-93.
11. Мануйко Г.В., Аминова Г.А., Дьяконов Г.С., Бронская
В.В. Моделирование периодического процесса
полимеризации бутадиена на модифицированном литиевом катализаторе с учетом изменения его активности. // Вестник Казан. технол. ун-та. 2012. Т. 15, №.1. С.79-86.
© Х. А. Халаф - асп. каф. ТМиСМ КНИТУ, [email protected]; К. М. Ф. А. Гарифуллин - д-р техн. наук, проф. каф. ТКМ КНИТУ; Ф. Р. Карибуллина -д-р техн. наук, проф. каф. ТМиСМ КНИТУ, [email protected].
Алиев - асп. каф. ТМиСМ КНИТУ; ■ доц. каф. КМУ КНИТУ; Ф. Х. Тазюков -
