Моделирование механизма выбора оптимальных параметров инвестиционного проекта Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА.

© 2005 А.В. Барвинок, Г.М. Гришанов, О.В. Прохорова Самарский государственный аэрокосмический университет

Сформирована дискретная модель механизма принятия оптимальных решений по выбору параметров инвестиционного проекта с учетом платежеспособности заемщика.

На практике типичной является на срок Т с процентной ставкой а, а

ситуация, когда инвестиционные про- V(t) = f(t), t = 1, ..., Т - периодические

екты осуществляются с привлечением выплаты заемщика, включающие в

банковского кредита, погашаемого себя часть погашаемого долга R(t), t =

обычно в рассрочку. В связи с этим 1, ..., Т и сумму выплачиваемых за пе-

при обосновании условий предостав- риод t процентов I(t), t = 1, ..., Т. Та-

ления инвестиций необходимо сба- ким образом, взятый заемщиком кре-

лансировать денежные потоки между дит возвращается по частям за Т раз

заемщиком и инвестором. Сформи- платежами величиной руем балансовые модели финансовых При найденном потоке платежей

потоков и на этой основе сформули- V (t) выплаты на погашение основного

руем задачу принятия решений по вы- долга R(t) определяются из уравне-

бору параметров инвестиционного ния (1)

проекта. При моделировании задач R(t) = V(t) - I(t), t = 1, ..., Т, (2)

принятия решений будем считать за- R(1)=V(1) - ya.

данной процентную ставку, а про- Обозначим через D(t) невыпла-

центы начисляются на непогашенную ченную часть долга на начало t-го

часть долга. Задание процентной став- года, тогда проценты, выплачиваемые

ки на весь срок кредитования, яв- за t-й период, равны ляется типичной ситуацией в практике I(t) = D(t-1)a, t = 1, ..., Т, I(1) = долгосрочного кредитования. ya D(0) = y (3)

Пусть y - кредит (объем инвестиций), выданный заемщику инвестором

где D(t) - невыплаченная часть долга на начало ^го периода, определяемого из следующего уравнения: D(t) = D(t-1) - R(t), t = 1, ..., Т, D(1) = у^( 1), D(T) = D(T-1 )-R(T) = 0 (4)

Равенство D(T) = 0 в этом уравнении означает, что долг за срок Т должен полностью погашаться.

Система уравнений (1.4) взаимосвязана и позволяет в совокупности определить в любой момент времени сумму на погашение основного долга, выплату процентов, размер невыплаченного долга, характеризующих состояние кредитного процесса в каждом периоде.

Балансовое уравнение, характеризующее равенство обязательств между инвестором и заемщиком и являющееся основным ограничением при выборе траектории изменения периодических выплат, имеет следующий вид:

у = I V(t)/ (1 + а)\ (5)

i= 1

Последовательность выплат должна быть выбрана такой, чтобы в соответствии с (5) полностью за срок Т погасить кредит, а с другой стороны, величина выплат в каждый пе-

риод не превышала финансовые возможности заемщика [1,2].

Сложность решения такой задачи заключается в том, что величины периодических выплат V(t) для каждого периода свободно выбираются из допустимой области при обязательном выполнении условия (5). Обеспечить выполнение сбалансированности обязательств (5) можно разными способами, поскольку это условие представляет собой уравнение с Т неизвестными.

Для обоснования принимаемых решений по выбору платежного потока сформируем модель целевой функции и модель ограничений на параметры финансовых потоков.

В общем случае задача управления долгосрочным инвестиционным проектом состоит в том, чтобы при заданной динамике изменения совокупного дохода заемщика и структуры его обязательств выбрать такие параметры финансовых потоков, как объем, срок, процентная ставка кредита, и такую динамику изменения потока платежей, чтобы обеспечить погашение кредита и получить оптимальное значение целевой функции от его реализации.

Целевой функцией инвестора или заемщика в решении сформулированной задачи может служить величина процентного дохода, получаемого инвестором, или величина расхода на выплату процентов заемщиком за весь срок кредита. Отметим, что процентный доход, получаемый инвестором, и расход на выплату процентов заемщиком отражают их экономические интересы, которые являются прямо противоположными, т.е. то, что получает инвестор, ровно столько же вынужден отдавать заемщик. В связи с этим стратегии, выбираемые инвестором и заемщиком при реализации долгосрочного кредита, будут противоположными.

Процентный доход определим как разность между суммой по периодам всех членов платежного потока и объема кредита из уравнения

I Х=1 V(t)- у. (6)

г = 1

Эта разность представляет собой величину расхода на выплату заемщиком процентов и, одновременно, полученного инвестором дохода при реализации долгосрочного кредита. Поэтому заемщик стремится к мини-

муму этой величины, а инвестор - к максимуму.

Поскольку проценты за каждый период начисляются в зависимости от размера невозвращенной части долга, а сумма начисленных процентов по всем периодам представляет собой величину процентного дохода, то с учетом рекуррентных уравнений (1 - 4) определим процентный доход из следующего соотношения:

IВД = 1 D(t- 1)а, 1(1) =

г = 1 г = 1

уа, Б(0) = у. (7)

Процентный доход, как следует из (7), зависит от объема, срока, процентной ставки и траектории изменения невыплаченной части долга В(г), которая в свою очередь определяется траекторией изменения периодических выплат заемщиком V(t).

В связи с этим возникает необходимость в определении такой траектории изменения периодических платежей заемщиком, которая обеспечивает максимальную величину суммы выплачиваемых процентов за срок кредита. Для определения траектории изменения потока периодических платежей необходимо выбрать срок по-

гашения кредита и уровень процентной ставки.

Сформируем ограничения на такие управляющие параметры инвестиционного проекта как размер периодических выплат V(t), t = 1, ..., Т; срок Т и объем кредита у. Параметры платежного потока V(t) определяются в соответствии с балансовым уравнением (5).

При установленном объеме кредита у и его сроке Т достичь сбалансированности между дисконтированной суммой платежного потока V(t) и величиной кредита можно выбором различий динамики изменения платежного потока. При этом выбранной динамике платежного потока соответствует определенное значение операционного дохода.

Для обеспечения возвратности кредита необходимо, чтобы выплаты заемщика в каждом периоде не превышали его финансовых возможностей и удовлетворяли следующему неравенству:

0 £ V© £ уД(0, t = 1, ..., Т , (8) где Д(t) - доход заемщика в ^й период, учитывающий структуру его обязательств; у - коэффициент, харак-

теризующий долю дохода, направляемую на выплаты по кредиту.

Выполнение неравенства (8) позволяет обеспечить возвратность кредита и снизить кредитный риск при реализации долгосрочного кредита.

Объем кредита должен удовлетворять следующему неравенству:

У < КЦ, (9)

где К - коэффициент кредитной задолженности, характеризующий долю покупаемой собственности, взятой заемщиком в кредит;

Ц - стоимость приобретаемого имущества заемщиком.

Срок долгосрочного кредита, как правило, выбирается не более максимально возможного, установленного инвестором. Кроме того, балансовое соотношение (5) позволяет находить неизвестные параметры инвестиционного проекта по известным. Так, если платежные потоки, объем кредита и процентная ставка выбраны, то равенство (5) позволяет определить срок кредита Т, обеспечивающий погашение кредита. Таким образом, срок кредита должен удовлетворять неравенству

Т < min (TS, Tmax), (10)

где Т8 - срок кредита, определяемый Исходными будут следующие пара-

из балансового уравнения (5); метры: уровень процентной ставки а;

Ттах - максимально возможный срок, доход, получаемый заемщиком в каж-

установленный инвестором. дом периоде Д(^, t=1, Т; коэффициент

В совокупности уравнение (5) и у; условия (правила) погашения креди-

неравенства (8 - 10) образуют допус- та и выплаты процентов.

тимое множество принимаемых реше- В результате решения задачи (11),

ний по выбору объема, срока кредита при заданных исходных данных, оп-

и платежного потока. Эта совокуп- ределяются следующие значения не-

ность соотношений является моделью известных параметров: объем у и срок

ограничений с учетом платежеспособ- Т кредита; величина выплат в каждом

ности заемщика. периоде V(t), t = 1, ..., Т; проценты по

С учетом (1.4), (7.10) матема- кредиту I(t), t=1, ..., Т; сумма остаточ-

тическая модель задачи выбора меха- ной задолженности D(t), t = 1, ..., Т,

низма управления долгосрочным ин- характеризующие состояние инвести-

вестиционным проектом с позиции ционного проекта в каждом периоде.

интересов инвестора представим в В зависимости от того, инвестору

следующем виде: или заемщику принадлежит право вы-

I£ = T I(t) = T D(t - 1)a ® max(min) ( бора условий погашения кредита> за-

t =1 t =1 дача (11) решается или на максимум,

или на минимум.

I(t) = D (t - 1)а, D (t)= D(t - 1)а - R(t), Особенность решения задачи (11)

R(t) = V(t) - I(t), 0 £ V(t) £ уД(0, заключается в наличии большого ко-

t = 1, ...,Т, I(1)= ya, D(0)= y , D(1)= y- личества неизвестных переменных,

R(1), D(T) = D(T-1)-R(T) = 0, у £ КЦ, число которых зависит от срока кре-

_T t дита Т. Так, если кредит выдан на срок Т £ min (Т8, Ттах), I V(t)/1 + a )t.

t =1 Т = 5 лет, с ежемесячными платежами

Управляющими параметрами в на его погашение, то количество пе-

этой модели являются объем у, срок Т риодов равно 12Т = 60. Это означает,

кредита и выбираемая в каждом пе- что задача выбора параметров пла-

риоде сумма выплат V(tX t = Т. тежных потоков представляет собой

5

задачу как минимум с 60-ю неизвест- реализовать практически простыми

ными. методами.

На практике типичной является Оптимальное значение процент-

ситуация, когда доход заемщика Д^), ного дохода в результате решения за-

и платежный поток V(t) задаются по- дачи (11) на максимум или минимум

стоянными в течение срока кредита Т, обеспечивается кусочно-постоянной

т.е. траекторией платежного потока.

V(t) = V = const, Д(;) = Д = const. Проведем оценку эффективно-

Балансовое уравнение (5) в этой сти по величине процентного дохода

ситуации принимает вид при реализации кусочно-постоянной

у = а (Т, a) V, где а(Т, a) = траектории платежного потока. Для

T этого предположим, что доход заем-

£ 11/ (1 +a )t - коэффициент приведе- щика является постоянным за срок

ния единичного потока платежей. кредита Т и равен Д а величина по-

Количество управляющих пара- стоянных пери°дических выплат Vo не

метров при этом становится равным превышает части дохода уД, т.е. вытрем (у, Т, V). полняется неравенство

Выбор параметров из допустимой Vo<yfl,. (12)

области в совокупности с рекуррент- Пусть кусочно-постоянная траек-

ными уравнениями (1.4) позволяет тория платежного потока описывается

осуществить процесс погашения дол- следующим уравнением:

уАесл 0( t1) R (SJ) , = 1 t ■ k.-,1;

(1 3 где

D (-k )/a (T(k-1 )a, )е,с л и D ( t-1) R (<t) , t k ,.T.,,

госрочного кредита с постоянными выплатами наиболее просто.

Таким образом, задавая функцио- V ( нальный закон изменения платежного потока V(t) = f(t), где ОД - заданная функция, можно резко сократить ко- Щк -1) - невыплаченная часть долга личество неизвестных и на этой ос- на начало (к - 1)-го периода; нове задачу выбора управляющих переменных инвестиционного проекта

, , V 1 , , части дохода, которая может быть на-

а(Т - к, а) = 1 + а - коэффи-

г = к -1 (1 + а )

г к 1 правлена на погашение кредита, со-

циент приведения единичного потока _ Л „ 1Л3 шпо шз

^ ставляет уД = 0,4-273-103 = 109,2-103

к (к 1) му периоду. рубля. Для формирования кусочно-по-

Из этого уравнения следует, что ^

стоянной траектории необходимо оп-

на временном отрезке от 1 до (к -1)-го

ределить в соответствии с (13) номер

периодические выплаты постоянны и

периода, в котором происходит пере-

равны

ключение на меньшие по величине

V0 < уД, г = 1, ..., к - 1, а начиная 0

0 ' ' ' выплаты. В этом периоде остаточный

с к-го периода до конца срок Т, вы-

долг становится неположительной ве-

платы равны V(t) = Б(к - 1)/ а (Т - (к -

личиной, т.е

1),а), г = к, ..., Т. 0(к) = 0 (к - 1) - R(k) < 0. (14)

Выбор в качестве траектории ку- в этом неравенстве остаток долга

сочно-постоянной функции позволяет 0(к - 1) можно определить из уравне-

впервые периоды погасить большую ния

ния

часть долга, а оставшуюся часть долга с ^ 1) = у - R(1) § (к - 1 а) = у -

погасить более низкими величинами

((1 + ок-1 - 11

периодических выплат или в к-й пе- R(1) -:- , (15)

V /

риод досрочно погасить кредит. Реа-

где R(1) = V - уа = уД - уа - расходы

лизация такой стратегии позволяет

на погашение в первом периоде.

обеспечить погашение кредита и ми-

Расходы на погашение основного

нимизировать значение процентного

долга в к-м периоде R(k) определя-

дохода.

ются при известной величине расхода

Рассмотрим числовой пример по-

в 1-м периоде из соотношения

гашения кредита с кусочно-постоян-

R(k) = R(1) (1 + а)к , R(k) =

ным платежным потоком, объемом у =

(1 + i)k - 1Л

(16)

240-103 рубля, сроком Т = 5 лет, про- ^^

V /

центной ставкой а = 15%. Пусть еже- Подставляя (16) и (15) в (14), по-

годный доход заемщика равен Д = лучим

273-103 рубля, а доля дохода на пога- (1 + а)к 1 < (28Д - уа) / (уД - уа)

шение кредита у = 0,4. Тогда величина ( 2 + а).

Из этого неравенства находим, В таблице 1 представлен план по-

что гашения кредита с кусочно-постоян-

К < 1п[(2УД - уа)/ (уД - уа)(2 + а)] + 1 ным платежным потоком.

1п(1 + а )

(17)

Подставляя в это уравнение исходные данные, получим, что номер периода, в котором следует переходить на меньшие величины, удовле-

В первой строке таблицы 1 представлен кусочно-постоянный платежный поток: первые два года ежегодные выплаты составляют 109,2-103 рубля, а с 3-го года - 36,19-103 рубля. На втором году остаток долга меньше

творяет неравенству

К < 1п[(2 - 109,2 - 36) / (109,2 - 36)2,15 +ежегодных выплат (82,62-1°3 < 1п1,15 1 09,2-103) и заемщик мог бы погасить

Полученный результат означает, кредит досрочно на 3-м году, но он

что после вт°р°г° года остаток долга принял решение не изменять срок кре-

D(2) становится меньше расхода на дита. Величина выплат после второго

погашение основного долга R(3). В года определяется в соответствии с связи с этим заемщик выплачивает ве- уравнением

личину остаточного долга D(2), если у(3) = D(2) / о(3,15) = 82,62-103 /

D(2) < уД, либо продолжает гасить 2,83 = 36,19-103 рублей. кредит меньшими постоянными выплатами, равными D(2) / а (3,15).

Конец года t 1 2 3 4 5 Итого

Выплаты по кредиту Уа)-103 109,2 109,2 36,19 36,19 36,19 т V* = £ ^(О = 326,95 1

Выплата процентов ВД -103 36 25,02 12,39 8,82 4,72 т I £ = £ 1© = 86,95 1

Выплаты на погашение долга ВД -103 73,2 84,18 23,8 27,37 31,45 т ЯЕ = £ Щ) = 240 1

Остаток долга Б^) -103 166,8 82,62 58,82 31,45 0

Таблица 1

План погашения кредита с кусочно-постоянными выплатами (у = 240-103 рублей, Т = 5 лет, а=15%, уД = 109,2-103 рублей)

Процентный доход при реализации кусочно-постоянной траектории платежного потока составляет = 86,95-103 рубля.

Таким образом, реализация кусочно-постоянной траектории с уменьшением выплат, описываемая уравнением (13) позволяет обеспечить погашение кредита в заданный срок и получить минимум расходов на выплату процентов. Такая стратегия выбора платежного потока является выгодной для заемщика, но невыгодной инвестору, поскольку он теряет часть своего дохода.

Таким образом, варьируя только траекторией платежного потока, можно, с одной стороны, адаптироваться к финансовым возможностям заемщика, а с другой стороны, существенно влиять на эффективность реализации долгосрочного кредита с позиции эко-

номических интересов как заемщика, так и инвестора.

Следует отметить, что каждая выбранная из допустимого множества траектория платежного потока имеет достоинства для одних категорий заемщиков и обладает недостатками для других. Так, если заемщик с малым доходом прогнозирует увеличение его в будущем, то для него наилучшим является кредит с возрастающими платежами и, наоборот, если заемщик прогнозирует уменьшение в будущем своего дохода.

Таким образом, выбором траектории платежного потока при заданном объеме, сроке, процентной ставе кредита можно согласовать экономические интересы между инвестором и заемщиком. При этом обеспечивается для инвестора прибыльность и возвратность кредита, а для заемщика его доступность и выгодность по величине расходов.

Список литературы.

1. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. - М.: ИНФРА-М, 1996. - 336 с.

2. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - М.:

Ae^o, 1995. - 320 c.

THE MODELLING OF THE CHOICE OF METHOD THE OPTIMAL PARAMETERS OF AN INVESTMENT PROJECT

A. V. Barvinok, G.M. Grishanov, O. V. Prokhorova

Samara State Aerospace University

We suggest the discrete model of the method for optimal decision making for choice of parameters of an investment project with taking intro account the borrower paying capacity.