CC BY
73
Моделирование механического поведения материалов с учетом трехмерной внутренней структуры
В.А. Романова, P.P. Балохонов, Н.И. Карпенко
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе изложен подход к моделированию нагружения материалов в трехмерной постановке с явным учетом внутренней структуры. Для введения в расчеты структуры мезоскопического масштаба (зерна, включения и др.) предложена процедура генерации структур поликристаллического и композиционного типов, сходных с экспериментальными по количественным и качественным характеристикам. Предложенный подход проиллюстрирован на примере расчета растяжения поликристаллического алюминиевого образца. Приведен краткий анализ и выводы относительно особенностей напряженно-деформированного состояния, реализующегося в трехмерной структуре на мезо- и макроуровнях.
1. Введение
С точки зрения современной механики и физики твердого тела [1-6] неоднородная структура деформируемого материала существенно влияет на механизмы пластической деформации на разных масштабных уровнях. Экспериментальные и теоретические исследования [1-10] свидетельствуют о ключевой роли внутренней структуры в процессах образования концентраторов напряжений, локализации пластической деформации и релаксационных процессах в деформируемом материале.
Информация о поведении материалов при различных условиях нагружения является существенно важной для оценки надежности и работоспособности конструкций, а также для создания новых материалов и технологий. Вместе с тем, большинство экспериментальных методик [3-9] сводятся к исследованиям in situ поверхности образцов в процессе деформирования или внутренней структуры после снятия нагрузки. Такие методики позволяют получать лишь косвенные данные о механизмах деформации и эволюции структуры внутри материала в условиях активного нагружения. В связи с этим, в дополнение к экспериментам важным инструментом исследования поведения материалов под нагрузкой является компьютерное моделирование.
В ряде работ [1, 5-8, 10, 11], посвященных моделированию поведения структурно-неоднородных материалов при различных условиях нагружения, внутренняя структура вводилась в расчетную область в явном виде.
Основная идея заключалась во введении неоднородности путем задания соответствующих физико-механических свойств в точках дискретизированной расчетной области, принадлежащих различным структурным элементам. Геометрические параметры дискретизации расчетной области определяются методом расчета поведения данной структуры под нагрузкой, а выбор метода, в свою очередь, зависит от поставленной механической задачи, свойств материала и др. Например, для расчета хрупких материалов и сыпучих сред успешно применяется метод клеточных автоматов [1, 5, 6, 12], тогда как для расчета упругопластического поведения широко используются сеточные методы, такие как метод конечных элементов [5-8, 13], вариационные [1, 7, 14] и конечно-разностные [1, 5-7, 10, 11] методы.
За исключением случаев простой геометрии структурных элементов (например, сферические включения), расчеты с явным введением в рассмотрение внутренней структуры проводились в двумерной постановке. Это обусловлено несколькими факторами, включая усложнение механической задачи, существенное повышение требований к характеристикам мощности и быстродействия вычислительной техники, а также проблемой введения в расчеты трехмерной структуры.
В настоящее время благодаря интенсивному развитию вычислительной техники проблема недостаточной мощности компьютеров успешно решена, что сделало возможным распространить подход явного учета внут-
© Романова В.А., Балохонов P.P., Карпенко Н.И., 2004
ренней структуры на случай трехмерного моделирования.
Очевидно, что в трехмерном случае не представляется возможным ввести в расчеты реальную структуру материала, так как это предполагает наличие информации о структурном строении не только поверхности, но и каждого слоя образца. В связи с этим в настоящей работе предлагается процедура генерации «искусственных» трехмерных структур, близких по строению к экспериментальным. Приведены примеры генерации структур поликристаллического и металлокерамичес-кого типов. Полученные структуры анализируются и сравниваются со структурами, полученными другими расчетными методами и с экспериментальными данными. Изложенный подход иллюстрируется на примере расчета упругопластического поведения поликристаллического материала на начальной стадии растяжения.
2. Процедура генерации трехмерных структур
В двумерном случае процедура введения в расчеты реальной структуры не представляет сложности. Для этого металлографическое изображение реальной структуры вводится в компьютер в виде графического файла, который затем редактируется с помощью стандартных графических редакторов, с тем чтобы выделить значимые элементы структуры и убрать мелкие оттенки. Полученная карта образца дискретизируется с заданной степенью подробности, и каждому элементу структуры, состоящему из совокупности дискретных элементов одного цвета, ставятся в соответствие определенные физико-механические свойства. Версии вышеописанной процедуры у разных авторов могут отличаться, но в большинстве случаев суть алгоритма не меняется.
Очевидно, что в трехмерном случае процедура явного учета неоднородностей предполагает наличие информации о структурном строении каждого слоя образца, что в принципе является труднодостижимым. В экспериментальной практике существуют методы сканирования образцов [6], позволяющие получить серию послойных изображений структур. Однако эти методы сложны, дорогостоящи и требуют не менее сложной процедуры обработки данных. В настоящей работе предлагается алгоритм генерации «искусственных» трехмерных структур, близких к реальным по геометрическим характеристикам.
Задача генерации трехмерной структуры, заполняющей конечный объем элементами определенной формы без зазоров и пересечения, является актуальной проблемой современной вычислительной механики и физики твердого тела. В литературе описывается целый ряд методов компьютерного моделирования неоднородных структур, включая метод Монте-Карло [15], метод отслеживания вершин [16], метод Вороного-Делоне [17], метод клеточных автоматов [18], фазово-полевые подходы [19] и др. Некоторые из этих методов используют
для генерации структур геометрические процедуры [16, 17], в то время как другие основаны на определенных физических принципах и термодинамических понятиях [18, 19]. Эти методы первоначально были применены к задаче генерации двумерных структур и имели целью описать с приемлемой точностью кинетику роста и геометрические свойства плоской текстуры. В последнее время некоторые из этих методов были успешно применены для моделирования трехмерных структур, однако в большинстве случаев трехмерная реализация была далеко нетривиальной задачей и требовала значительной оптимизации базовых алгоритмов, поскольку требования к объему оперативной памяти и времени вычисления критически возрастали с увеличением пространственной размерности.
В настоящей работе предлагается простая процедура генерации трехмерных неоднородных структур путем пошагового заполнения конечного объема структурными элементами. В данном случае не имеется ввиду имитация физического процесса (например, кристаллизации), однако для каждого конкретного материала процесс его получения, обработки и т.п. анализируется и принимается во внимание.
В общем случае процедура генерации трехмерной структуры включает следующие шаги.
2.1. Задание геометрических параметров рассматриваемого объема и
его дискретизация
На начальном этапе задаются геометрические параметры расчетной области (включая физические размеры и форму), которая будет впоследствии заполняться структурными элементами. Затем заданный объем дис-кретизируется (т.е. разбивается на конечное число дискретных элементов), и для каждой дискретной точки определяются ее физические координаты.
Поскольку конечной целью является расчет механического поведения трехмерной неоднородной структуры в условиях деформирования, выбор геометрических размеров и формы расчетной области определяется механической задачей и, в частности, условиями нагру-жения. Форма дискретных элементов определяется расчетным методом, а степень дискретизации — характерным размером структурных элементов, так чтобы на каждый структурный элемент приходилось достаточное количество дискретных точек. В общем случае, используя предлагаемую процедуру, произвольный объем может быть разбит на дискретные элементы произвольной формы и затем заполнен структурными элементами.
2.2. Задание центров зарождения и закона роста структурных элементов
Каждому дискретному элементу объема присваивается так называемый «структурный индекс» — SI (от английского «structural index»), который указывает на
принадлежность данной точки определенному элементу структуры. Первоначально все дискретные элементы имеют нулевой Sl, что подразумевает однородное строение по всему объему. Затем определенным дискретным элементам присваиваются структурные индексы, отличные от нуля. Таким образом, данные точки рассматриваются как центры зарождения новых структурных элементов.
Закон распределения центров зарождения по объему может быть задан на основе анализа экспериментальных данных. Например, для моделирования поликристаллической структуры конкретного сплава закон распределения зародышей может быть извлечен из экспериментальных данных по распределению примесей в расплаве, которые могут служить центрами кристаллизации. Для генерации композиционной структуры, закон распределения зародышей структурных элементов может быть получен на основе экспериментальных данных о распределении включений в матрице готового материала.
Таким же образом, на основе экспериментальных данных может быть определен закон, контролирующий рост структурных элементов. Еще раз подчеркнем, что в данном случае это не подразумевает математическое или имитационное моделирование реального процесса формирования внутренней структуры, основанное на физических и термодинамических формулировках, а скорее, развитие алгоритмической процедуры получения искусственной структуры на основе анализа реального материала с близкими топологическими свойствами. Очевидно, что при такой методике каждый тип структуры требует специального рассмотрения.
2.3. Заполнение объема структурными элементами
На данном этапе заданный объем заполняется структурными элементами согласно следующему алгоритму. На каждом шаге процедуры заполнения задается приращение объема структурных элементов на заданную величину. Величина приращения контролирует скорость роста структурного элемента и тем самым влияет на его конечный размер, в то время как закон роста определяет форму. Скорость и закон роста могут варьироваться для различных структурных элементов.
Далее путем перебора для всех дискретных элементов с нулевым структурным индексом проверяется условие попадания их координат в область какого-либо из структурных элементов. В случае выполнения данного условия дискретной точке присваивается отличный от нуля SI, указывающий на ее принадлежность соответствующему структурному элементу. В противном случае SI остается нулевым, и на следующем шаге условие попадания данной точки в область какого-либо структурного элемента проверяется вновь.
Данная процедура выполняется до тех пор, пока объемная доля структуры не достигнет заданного значе-
ния. В случае 100 % заполнения критерием окончания процедуры будет отсутствие точек с нулевым индексом.
3. Генерация и анализ структур поликристаллического и композиционного типов
В качестве примера рассмотрим процедуру генерации структуры поликристаллического типа. Пусть трехмерная область, подлежащая заполнению структурными элементами, представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами , Oh2 и Ок3, где точка О совпадает с началом декартовой системы координат, а Н1, Н2 и Н3 лежат на координатных осях (рис. 1). Рассматриваемый объем дискретизируется равномерной сеткой с шагом h.
В качестве начальных условий с помощью генератора случайных чисел в объеме случайным образом распределялись N2 центров зарождения со структурными индексами, принимающими значения от 1 до Npii, где Npii — количество различных элементов структуры. Очевидно, что в случае поликристаллической структуры всегда должно выполняться условие Nph < Nc, причем выполнение равенства между и Nc позволяет избежать слияния зерен, растущих от разных центров зарождения, и образования вытянутых структурных элементов.
В рассматриваемом простейшем случае для всех зерен задавался сферический закон и одинаковая скорость роста. Для многих поликристаллических структур выбор сферического закона роста зародышей является термодинамически и физически обоснованным [20].
Процедура роста структуры заключалась в следующем. На каждом шаге п для всех зерен задавалось приращение радиуса К? = КП- + drг■, г = 1, Nc. Затем путем последовательного перебора для всех ячеек с нулевым индексом проверялось условие
(Х} - Х1 )2 + - У )2 + - Zi)2 < К2, (1)
где X], У], Zj и Хг, Уг, — координатыу'-й ячейки с 31 (]) = 0 и г'-го зерна соответственно. В случае выполнения условия (1) у'-я ячейка присоединяется к г'-му зерну, то есть Б1 (]) = Б1 (г). Критерием окончания процедуры заполнения являлось отсутствие в рассматриваемой области ячеек с нулевым структурным индексом. Далее к полученной структуре применялась специальная процедура сглаживания граней, результат выполнения которой проиллюстрирован на рис. 2.
На рис. 3, а представлены структуры поликристаллического типа, полученные с помощью описанной процедуры для различных начальных условий (см. табл. 1). Несмотря на то, что все зерна росли с одинаковой скоростью в соответствии со сферическим законом, форма и размеры отдельных кристаллитов заметно отличаются между собой. Главным образом это является результа-
¿Generation of internal structure
step, cm
x, [öö5i
X3 |0.001
rinternal structure-
С homogeneous (* heterogeneous
Number of
nucleating centers f^O Number of different phase |300
Increment of radius, cm 10.0001
Fill degree, % [lOQ ^ ] Generate |
density, g/cm^ |2-7 shear module, MBar 10.277
sound speed, cm/rncs j 0,634
yield point, MBar |0.003 state equation
K,MBar 10.728
A, M bar j 0.765
B, Mbar j 1 659
C, Mbar j0.428
Assign to j phase I M Я|
Scale □ □ T| Cross-section parallel to ^ X1X3 fj-
с x2x3 1
с Х2ХЛ save as ASCII... |
"3
—Rotation relative to
-180_0
Л
XjET xi ИГ
Load... | Apply... I
Рис. 1. Фрагмент программы генерации трехмерной структуры
том неоднородного распределения центров зарождения по объему.
Для полученных структур был проведен статистический анализ, результаты которого сравнивались с результатами аналогичного анализа, проведенного в работе [19], и с экспериментальными данными [21]. На рис. 4 приведены средние по всем структурам полигоны частот относительных объемов зерен и количества граней, приходящихся на зерно. Зерна приповерхностной области, частично оказавшиеся за пределами рассматриваемого объема, исключались из анализа.
Результаты статистического анализа сгенерированных поликристаллических структур показали, что полученные распределения характеризуются несимметричностью и напоминают распределение Фишера. Для кривой распределения количества граней, приходящихся на зерно, это нарушение симметрии объясняется тем, что минимальное число плоскостей, ограничивающих конечный объем, равно четырем (тетраэдр), тогда как максимальное теоретически возможное количество граней совпадает с количеством поверхностных ячеек зерна. Отчасти этой же причиной обусловлено несимметричное распределение объемов зерен, т.к. площадь поверхности и ограниченный ею объем взаимосвязаны. Дисперсия величин относительно среднего значения в обоих случаях является результатом случайного распре-
деления центров зарождения по объему. Очевидно, что при определенном регулярном распределении «зародышей» все зерна будут иметь одинаковый объем и форму. Результаты проведенного анализа достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными [21] и результатами моделирования [19].
Проиллюстрируем далее применение разработанной процедуры к моделированию двухфазных структур композиционного типа (рис. 3, б, табл. 2). Во всех случаях, представленных на рис. 3, б, координаты центров включений определялись посредством генерации случайных
Рис. 2. Иллюстрация выполнения процедуры сглаживания границ в двумерной проекции
Параметры генерации структур поликристаллического типа (рис. 3, а)
Таблица 1
№ структуры 1 2 3 4 5
Размер сетки 100 х 50 х 50 100 х 100 х 100 100 х 100 х 100 200 х 50 х 80 60 х 60 х 60
Количество центров зарождения 100 300 300 50 216
Количество типов зерен 42 95 92 16 43
чисел. В общем случае рост включений подчинялся эллиптическому закону, причем скорость роста полуосей в разных плоскостях и их ориентация в объеме варьировались случайным образом для различных включений. Рост включений прекращался, как только объем второй фазы достигал заданной объемной доли.
При моделировании структуры по экспериментальным данным по известным размерам и объемному со-
держанию включений определяется количество центров включений в заданном объеме. Так, например, структура 3 на рис. 3, б была получена из анализа экспериментальных данных [8] для металлокерамического композита, представляющего собой поликристаллическую матрицу из дисперсно-упрочненного сплава А16061, содержащую 10 % включений А1203. Твердые частицы А1203 формовались посредством экструзии, чем объяс-
Рис. 3. Примеры генерации поликристаллических (а) и двухфазных (б) структур. Параметры генерации приведены в таблицах 1 и 2
0.8 1.2 1.6 2.0 Нормированный объем зерен
10 20 30 Количество граней на зерно
Рис. 4. Полигоны частот объема зерен (а) и количество граней, приходящихся на зерно (б), сгенерированных поликристаллических структур (кривая 1) в сравнении с данными моделирования работы [19] (кривая 2) и экспериментальными данными [21]
няется их сложная форма. Экструдированный порошок вводился в кристаллизующийся расплав А16061, причем объемная доля включений составляла 10 % от конечного объема. Генерация искусственной структуры была выполнена с учетом этих особенностей реального композита. Одновременно осуществлялся рост кристаллитов матрицы по сферическому закону и включений по закону эллипса с преимущественным ростом в одном из направлений, причем допускалось слияние частиц второй фазы. Вся процедура в целом обеспечила структуру, совпадающую с реальной по количественным характеристикам обеих фаз (объемное содержание и размеры) и близкую по геометрическим характеристикам (форма структурных элементов).
4. Иллюстрация метода на примере моделирования нагружения поликристаллической структуры
Одной из основных целей излагаемого подхода является исследование физико-механических процессов на поверхности и в объеме структурно-неоднородного материала методами компьютерного моделирования. В качестве примера приведем расчет напряженно-деформированного состояния структуры поликристаллического типа в условиях динамического растяжения.
Так как процесс пластической деформации предполагает сохранение сплошности среды на мезо- и макро-
уровне, для описания упругопластического поведения сред со структурой применялся математический аппарат механики сплошных сред. Между соседними структурными элементами предполагалось наличие постоянного механического контакта.
Математическая постановка трехмерной задачи, описывающая упругопластическое поведение сплошной среды, подробно дана в [22]. Определяющие соотношения задавались уравнениями Прандтля-Рейсса для идеальной упругопластической среды. Переход среды из упругого состояния в пластическое определялся критерием текучести Мизеса.
Система уравнений решалась методом конечных разностей на сетке 80 х 80 х 80 с кубическими ячейками с использованием разностной схемы типа Неймана-Рихтмайера, применимой для среды с внутренними границами [23]. Не останавливаясь подробно на особенностях разностной аппроксимации, отметим только, что координаты и скорости вычислялись в узлах, а компоненты тензоров напряжений и деформаций, давление и плотности — в ячейках. Начальный шаг 5 мкм выбирался из соображений корректности расчета так, чтобы на каждое зерно приходилось достаточное количество ячеек.
Расчет проводился для дисперсно-упрочненного алюминиевого сплава А16061-Т6 с поликристаллической структурой (см. рис. 1). Благодаря дисперсному уп-
Таблица 2
Параметры генерации структур композиционного типа (рис. 3, б)
№ структуры 1 2 3 4 5 6
Размер сетки 100 х 50 х 50 50 х 50 х 100 100 х 100 х 100 50 х 50 х 100 150 х 40 х 40 150 х 40 х 40
Объемная доля включений, % 70.1 10.3 14.25 13.1 20.0 31.4
Таблица 3
Константы материала
р 0, г/см3
2.7
ц, ГПа
27.7
K, ГПа
1.33
(Y>), ГПа
0.346
рочнению этот сплав обладает достаточно высоким пределом текучести и характеризуется ярко выраженной площадкой текучести [24]. Пределы текучести разных зерен отличались от средней величины в пределах 15% (более светлые зерна соответствовали более высокому пределу текучести (рис. 1)):
Y0 = Yo)
i + 0.15 (Nph - 2i)
N
ph
(2)
где — средний предел текучести; — количество разных типов зерен; / изменяется от 1 до ЫрЪ. Константы материала приведены в таблице 3.
Граничные условия на поверхностях образца (рис. 1) задавались в виде
Оу (*1, х2,0, 0 = Оу (*1, х2, Аз, 0 =
= Оу (XI, 0, Хз, г) = Оу (х, А2, Хз, г) = 0,
^(0, Х2, хз, г) = (3)
и1(А1, х2, хз5 г) = ^
где А1, А2 и Аз — длина, высота и толщина образца; о у — компоненты тензора напряжений; и — компоненты вектора скорости; У1еп — постоянная скорость растяжения.
Не приводя подробного анализа, отметим кратко некоторые особенности эволюции напряженно-деформированного состояния, реализующегося на поверхности и в объеме материала на различных стадиях нагружения.
На рис. 5 приведены распределения пластической деформации на поверхности образца, соответствующие различной степени удлинения. Первоначально пластическая деформация зарождается на свободных поверхностях образца и затем постепенно охватывает внутренние области. Зарождение пластической деформации в локальных областях поверхности объясняется более высокой интенсивностью напряжений на поверхности по сравнению с уровнем интенсивности напряжений в объеме. Интенсивность напряжений определяется следующим выражением:
Ое4 =Т2 ((ОП -О22 )2 + (О22 -Озз)2 +
+ (а33 - ап )3 + 6(q22 + а^ + а32i))
12
(4)
Принимая во внимание тот факт, что в динамической постановке задачи в объеме образца все компоненты тензора напряжений отличны от нуля, тогда как на свободной поверхности нормальная компонента равна ну-
0.2 0.4 0.6 0.1 Удлинение образца, %
Рис. 5. Рельеф пластической деформации на поверхности поликристаллической структуры на разных стадиях нагружения (а-д) в соответствии с макроскопической а-8-диаграммой (е)
лю по определению, из (4) следует, что в каждый момент времени уровень интенсивности напряжений на поверхности будет выше, чем в объеме материала.
Картины локализации пластической деформации, представленные на рис. 5, а-д, иллюстрируют иерархию концентраторов напряжений, «работающих» на мезо-и макроуровнях. Первоначально пластическая деформация локализуется преимущественно вдоль границ зерен, выходящих на поверхность (рис. 5, а, б). При дальнейшем нагружении на поверхности и в объеме образца образуется сетка полос сдвига (рис. 5, в, г), локализованных как вдоль границ, так и внутри зерен. На этом этапе определяющее влияние на характер локализации пластической деформации оказывает зеренная структура образца, а именно: геометрические и физико-механические характеристики зерен. С макроскопической точки зрения развитие пластической деформации на данном этапе происходит квазиравномерно, т.е. сетка полос равномерно охватывает весь образец.
При последующем нагружении наблюдается локализация пластической деформации на более крупном масштабном уровне (рис. 5, г, д). Полосы локализации пластической деформации более крупного масштаба образуются вблизи макроскопических концентраторов напряжений, которыми являются угловые точки образца. Характерно, что ориентация и форма образующихся полос полностью определяется макроскопическими параметрами (геометрией образца, граничными условиями и направлением максимальных касательных напряжений) и не зависят от концентраторов напряжений более мелкого масштаба — внутренней структуры материала. При дальнейшем нагружении развитие пластической деформации практически полностью сосредотачивается в макроскопических полосах локализации.
Послойный анализ деформационных картин в разные моменты времени и сопоставление их с кривой на-гружения (рис. 5, е) показывают, что первоначальное зарождение пластических деформаций в локальных областях поверхности слабо сказывается на отклонении макроскопической кривой нагружения от линейного поведения. Выход средних напряжений на площадку текучести соответствует стадии нагружения, при которой локализованная пластическая деформация появляется во всем объеме образца.
В рассмотренном примере проиллюстрирован модельный случай, отражающий лишь некоторые особенности развития неоднородной деформации в структурно-неоднородном образце. Однако очевидно, что введение поверхностных слоев в явном виде позволяет существенно расширить рамки модельного описания. Полученные результаты качественно согласуются с экспериментами [2-4, 25] по мезомеханике поверхностных слоев нагруженных твердых тел. Эксперименты [2-4, 25] показывают, что сдвиги в поверхностных слоях раз-
виваются по направлению максимальных касательных напряжений. Но в заданных граничных условиях, при сохранении оси нагружаемого образца, одиночное скольжение по направлению максимальных касательных напряжений сопровождается периодическим возникновением полос сброса по сопряженному направлению. Учет кристаллографических сдвигов на более низких масштабных уровнях еще более усложняет картину.
5. Заключение
В работе изложен подход к моделированию в трехмерной постановке поведения неоднородных материалов под нагрузкой с явным учетом внутренней структуры мезоскопического масштаба. Для введения в расчеты структурной неоднородности предложен достаточно простой алгоритм генерации структур в объеме, и проведен статистический анализ для структур поликристаллического типа. Изложенный подход проиллюстрирован на примере расчета растяжения поликристаллического образца методом конечных разностей.
В заключение отметим некоторые перспективные приложения данного подхода. Одной из областей применения является исследование деформационных процессов в объеме и на поверхности структурно-неоднородных материалов. Большинство экспериментальных методик исследования поведения материалов в процессе деформации сводятся к наблюдениям деформационных картин на поверхности образцов. Исследование деформации внутренней структуры осуществляется после снятия нагрузки, что позволяет получить лишь косвенные данные о механизмах деформации и эволюции структуры внутри материала в условиях активного на-гружения. В связи с этим изложенный подход к моделированию является перспективным инструментом исследования в дополнение к экспериментальным методикам.
Одним из дискуссионных вопросов современной вычислительной механики является определение границ применимости двумерной постановки задачи при моделировании поведения структурно-неоднородных материалов. Очевидно, что при введении в рассмотрение структурной неоднородности напряженно-деформированное состояние в объеме и на поверхности материала не будет точно соответствовать макроскопическим условиям плосконапряженного состояния или плоской деформации. Однозначно определить границы применимости двумерной постановки нельзя — степень несоответствия будет определяться условиями нагружения, геометрическими особенностями структуры, механическими свойствами структурных элементов и другими факторами. Ответ на поставленные вопросы в каждом конкретном случае может дать сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния, реализующегося при трехмерной постановке задачи и соответствующем двумерном приближении.
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия отечественной науке, Российского фонда фундаментальных исследований (№ 02-01-01195), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ НШ-2324.2003.1 и интеграционного проекта СО РАН № 93. Авторы выражают благодарность профессору П.В. Макарову за полезные дискуссии.
Литература
1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. — Т. 1. - 298 с. - Т. 2. - 320 с.
2. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Синергетические принципы физической
мезомеханики // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.
3. Панин В.Е. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке
физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезо-мех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 9-36.
4. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-24.
5. Role of Mesomechanics for Development of Science and Technology: Proc. of Int. Conf. «Mesomechanics'2000», Xi'an, 13-16 June, 2000. -Beijing: Tsinghua University Press, 2000. - V. 1-2. - 1163 p.
6. Proc. of Int. Conf. on New Challenges in Mesomechanics, Aalborg University, Denmark, August 26-30, 2002 / Ed. by R. Pyrz, J. Schj0dt-Thomsen, J.C. Rauhe, T. Thomsen, L.R. Jensen. - 2002. - 683 p.
7. Makarov P. V., Schmauder S., Cherepanov O.I., Smolin I.Yu., Romanova V.A., Balokhonov R.R., Saraev D.Yu., Soppa E., Kizler P., Fischer G., Hu S., Ludwig M. Simulation of elastic plastic deformation and fracture of materials at micro-, meso- and macrolevels // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2001. - V. 37. - No. 1-3. - P. 183-244.
8. Soppa E., Schmauder S., Fischer G., Thesing J., Ritter R. Influence of the microstructure on the deformation behaviour of metal-matrix composites // Comp. Mater. Sci. - 1999. - V. 16. - P. 323-332.
9. Toyooka S., Widiastuti R., Zhang Q, Kato H. Dynamic observation of localized pulsation generated in the plastic deformation process by electronic speckle pattern interferometry // Jpn. Appl. Phys. - 2001. -V. 40. - P. 873-876.
10. Макаров П.В., Pоманова В.А., Балохонов P.P. Моделирование неоднородной пластической деформации с учетом зарождения локализованных пластических сдвигов на границах раздела // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 5. - С. 29-39.
11. Pоманова В.А., Балохонов P.P., Макаров П.В., Смолин И.Ю. Численное моделирование поведения структурно-неоднородной ре-
лаксирующей среды в условиях динамического нагружения // Хим. физика. - 1999. - Т. 18. - № 11. - С. 114-119.
12. Псахье С.Г., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю., Корос-телев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 2. - С. 5-15.
13. Astley R.J. Finite elements in solids and structures: an introduction. -London-New York: Chapman & Hall, 1992. - 345 p.
14. Черепанов О.И. Численное моделирование деформации материалов с учетом неустойчивой ветви а-е-диаграммы // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 1-2. - C. 5-16.
15. Anderson M.P., Srolovitz D.J., Crest G.S., Sahni P.S. Monte Carlo simulation of grain growth in textured metals // Acta Metal. - 1984. -V. 32. - P. 783-789.
16. Kawasaki K., Nagai T., Nakashima K. Vertex models for two-dimensional grain growth // Phil. Mag. B. - 1998. - V. 60. - P. 399-407.
17. Ghosh S., Nowak Z., Lee K. Quantitative characterization and modeling of composite microstructures by Voronoi cells // Acta Mater. -1997. - V. 45. - P. 2215-2237.
18. Geiger J., Roysz A., Barkyczy P. Simulation of grain coarsening in two dimensions by cellular-automaton // Acta Mater. - 2001. - V.49.-P. 623-629.
19. Krill C.E., Chen L.-Q. Computer simulation of 3-D grain growth using a phase-field model // Acta Mater. - 2002. - V. 50. - P. 30573073.
20. ЖуравлевВ.А. О макроскопической теории кристаллизации сплавов // Изв. АН СССР. Металлы. - 1975. - № 5. - С. 93-99.
21. Matsuura K., Itoh Y., Ohmi T., Ishii K. Evaluation of grain shape distribution in polycrystalline materials // Mater. Trans. JIM. - 1994. -V. 35. - No. 4. - P. 247-253.
22. Romanova V., Balokhonov R., Makarov P., Schmauder S., Soppa E. Simulation of elasto-plastic behaviour of an artificial 3D-structure under dynamic loading // Comput. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. - Nos. 34. - P. 518-528.
23. Pихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 418 c.
24. Карден А.Е., Вильямс П.Е., Кэрп P.P. Кривые деформации алюминиевого сплава 6061 при высокой и низкой скоростях растяжения // Ударные волны и явления высокоскоростной деформации металлов / Под ред. М.А. Мейерса, Л.Е. Мурра. - М.: Металлургия, 1984. - С. 51-60.
25. Панин А.В., Панин В.Е., Почивалов Ю.И., Клименов В.А., Чер-новИ.П., Валиев P.3., Казаченок М.С., Сон А.А. Особенности локализации деформации и механического поведения титана ВТ1-0 в различных структурных состояниях // Физ. мезомех. - 2002. -Т. 5. - № 4. - С. 73-84.
Simulation of the mechanical behavior of materials with regard to the 3D internal structure
V.A. Romanova, R.R. Balokhonov, and N.I. Karpenko
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The paper presents an approach to the 3D-simulation of material behavior under loading with an explicit account for the internal structure. To introduce the mesoscopic structure (grains, inclusions etc.) into the calculations, we propose the procedure to design the polycrystalline and composite structures similar to those observed experimentally in their quantitative and qualitative characteristics. The proposed approach is illustrated by the calculation for tension of a polycrystalline aluminum specimen. We present a brief analysis and conclusions as to the features of the stress-strain behavior realized in the 3D structure at the meso- and macrolevels.
