CC BY
273
Известия ТИНРО
2007 Том 149
ПРОМРЫБОЛОВСТВО
УДК 573.22.087.1:001.57:639.2.081.16
В.И. Габрюк, А.В. Бобиков (Дальрыбвтуз, г. Владивосток)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОВУШЕК ДЛЯ ЛОВА КРАБОВ, КРЕВЕТОК И ТРУБАЧЕЙ
Приведены технические характеристики конических ловушек для лова крабов, креветок и трубачей и их математические модели. Даны как дискретные, так и континуальные модели сетных оболочек этих ловушек. Разработаны математические модели и специальные прикладные программы, позволяющие аналитически находить оптимальные параметры конических ловушек.
Gabruk V.I., Bobikov A.V. Traps modelling for catch of crabs, shrimps and trumpeters // Izv. TINRO. — 2007. — Vol. 149. — P. 379-393.
Technical parameters are reviewed of conical traps widely used for catching the crabs, shrimps and trumpeters. Both discrete and continual mathematical models of the traps netting covers are considered. Special application programs are developed to find analytically optimal parameters of the conical traps.
Вопросами моделирования ловушек для лова гидробионтов ранее занимались Ф.И. Баранов (1960), В.И. Габрюк и Ф.А. Юн (2001); В.И. Габрюк с соавторами (2005), также они освещены в работах В.Я. Иовенко (1990) и Ю.П. Смирнова с соавторами (1990).
К ловушкам относятся устройства, вход в которые гидробионтам облегчен, а выход затруднен.
Применяются два типа ловушек: с открытой сверху камерой и закрытые. Примером открытых сверху ловушек являются ставные невода.
Настоящая статья посвящена исследованию закрытых ловушек, используемых для лова крабов, креветок и трубачей. Камеры этих ловушек представляют собой усеченные круговые конусы, усеченные пирамиды, цилиндры, параллелепипеды и т.п. Наибольшее применение на промысле получили конические ловушки (рис. 1). Конструктивно они выполняются в виде жесткого или складывающегося каркаса, покрытого снаружи сетью (делью).
Рис. 1. Конические ловушки для лова: а — крабов; б — трубача; в — креветок Fig. 1. Conical traps for fishing: а — crabs; б — trumpeters; в — shrimps
При массовом использовании предпочтение отдается наиболее простым по устройству и эксплуатации ловушкам в форме усеченных круговых конусов. Коническая ловушка состоит из следующих основных частей: каркаса; сетной части, покрывающей каркас; входного устройства; устройства для размещения приманки; остропки.
Каркас (рис. 2) обеспечивает заданную форму ловушки.
Рис. 2. Основные элементы креветочных ловушек: а — каркас (1 — нижнее кольцо,
2 — промежуточное кольцо,
3 — верхнее кольцо, 4 — продольные связи); б — основная сетная пластина для покрытия каркаса ловушки; в — сетная пластина горловины. Здесь и далее буквенные обозначения смотри в тексте
Fig. 2. Leading particulars shrimp traps: а — a former (1 — bottom ring, 2 — intermediate ring, 3 — upper ring, 4 — longitudinals); б — the basic netting for cover of a former of a trap; в — netting of a funnel (inlet). Hereinafter letter designations look in the
Сеть, покрывающая каркас ловушки, создает замкнутое пространство, в котором аккумулируется улов.
Входное устройство (горловина) служит для захода гидробионтов в ловушку. У трубачовых и крабовых ловушек оно располагается сверху, у креветочных — сбоку (рис. 3).
Рис. 3. Входные устройства ловушек: а — тру-бачовой; б — крабовой; в — креветочной
Fig. 3. Entrance devices of traps: а — for the trumpeters; б — for the crabs; в — for the shrimps
J) 150
j 1 I \
ф87С
У трубачовых ловушек входным устройством является круглое отверстие диаметром 150 мм.
У крабовых ловушек горловина выполняется в виде усеченного кругового конуса из полипропиленовой пленки толщиной 1-3 мм, который крепится к кольцу горловины.
У креветочных ловушек устройства входа выполняются сбоку в виде сетных оболочек, заканчивающихся металлическими кольцами диаметром 100 мм, окрашенными в зеленый цвет.
Остропка ловушки — это система канатов, включающая в себя поводец ловушки, уздечки, гайтян. Поводец ловушки служит для крепления ловушки к хребтине. Он обычно заканчивается калиброванным кольцом с прорезью.
Улов одной ловушки мал. При суточном застое ловушки он составляет 3-5 крабов (5-15 кг); 50-70 креветок; 2-5 кг трубача. Для обеспечения больших
уловов используется множество ловушек, которые крепятся к канату, называемому хребтиной, образуя ловушечный порядок (рис. 4).
Рис. 4. Порядок крабовых ловушек: 1 — ловушка; 2 — уздечки; 3 — поводец ловушки; 4 — калиброванные кольца; 5 — поводец хребтины; 6 — хребтина; 7 — якорный линь; 8 — якорный трос; 9 — якорь; 10 — буйреп; 11 — буй; 12 — буй-веха;
13 — кухтыль; 14 — радиобуй
Fig. 4. The order (gang) of crab traps: 1 — trap; 2 — bridles; 3 — bridle of trap; 4 — calibrated rings; 5 — bridle of mainline; 6 — mainline; 7 — line anchorage; 8 — rope anchorage; 9 — anchor; 10 — mooring line; 11 — buoy; 12 — buoy-mark; 13 — float;
14 — radio-buoy
Моделирование конических ловушек с жестким каркасом
В промысловой практике используются три типа закрытых ловушек: с жестким каркасом, с шарнирным каркасом (складные) и без продольных связей.
Первый тип — ловушки, каркас которых состоит из поперечных и продольных связей, изготовляемых, как правило, из стальных прутков диаметром 8-12 мм. Поперечные связи имеют форму окружности или прямоугольника; продольные выполняются в виде отрезков прямых или дуг окружностей. При жестком соединении продольных и поперечных связей (сварка, специальный зажим) получается жесткий каркас. Различные формы жестких каркасов показаны на рис. 5.
а б в
Рис. 5. Жесткие каркасы ловушек: а — для краба; б — для креветки; в — для трубача
Fig. 5. Rigid frames of traps: а — for the crab; б — for the shrimp; в — for the trumpeter
Второй тип — ловушки с шарнирным (подвижным) соединением поперечных и продольных связей, их называют ловушками со складным каркасом. Каркас складной ловушки для лова трески показан на рис. 6.
Рис. 6. Каркас складной ловушки для лова трески Fig. 6. A frame of a collapsible trap for fishing a cod
Третий тип — ловушки без продольных связей, представляющие собой набор поперечных связей (как правило, колец одинакового или разных диаметров), соединенных покрывающей их делью (рис. 7).
Рис. 7. Ловушка без продольных связей для лова креветки конструкции А.Е. Тимошка: 1 — поплавок; 2 — металлические кольца; 3 — гайтян; 4 — сетная часть ловушки; 5 — входные отверстия; 6 — кольца из нити; 7 — приманка; 8 — поводец
Fig. 7. Trap without longitudinals for fishing the shrimp A.E. Timoshka's constructions: 1 — float; 2 — metal rings; 3 — cod-end rope; 4 — netting of a trap; 5 — funnels; 6 — rings from a thread; 7 — bait; 8 — bridle
Моделирование сетной части конических ловушек с жестким каркасом
Как правило, для покрытия каркасов конических ловушек используются прямоугольные сетные пластины (рис. 8).
Эту пластину разбивают на три части: 1-я часть идет на покрытие низа, 2-я — на покрытие бока, 3-я — на покрытие верха ловушки.
1Al=Sin£,4 Кольцо
1 eq jfi.l
R Q Э4
/У 1 SZF2&3 Верхнее кольцо ?
: S3 г К ttl lil=Sinfl2Промежуточное кольцо Л £ о
> -г Q
-о oq К ХЛ / ~~ Л' Z/7 £ 1 Нижнее кольцо
SS -С £ О is
Ы1 —S1У1 £о Гайтян w;
/v. Ill
Рис. 8. Характеристики сетной пластины, идущей на покрытие каркаса ловушки
Fig. 8. Characteristics a net plate, going on cover of a frame of a trap
Для определения габаритных размеров прямоугольной сетной пластины, необходимой для покрытия каркаса конической ловушки, рассмотрим развертки на плоскости 1-, 2- и 3-й частей сетной оболочки ловушки.
Развертки на плоскость 1- и 3-й частей сетной оболочки, покрывающей низ и верх каркаса ловушки, представляют собой круговые кольца (рис. 9, а). Развертка на плоскость 2-й части сетной оболочки, покрывающей бок конической ловушки, представляет собой часть кругового кольца (криволинейную трапецию) (рис. 9, б).
Рис. 9. Развертка на плоскость сетной части ловушки: а — идущей на покрытие низа и верха; б — идущей на покрытие бока
Fig. 9. Development on a plane net parts of a trap: а — going on cover of a bottom and top; б — going on cover of a side
На рис. 9 используются обозначения: 2vn — угол между боковыми кромками развертки; 28 — центральный угол, охватывающий один ряд ячей. (Причем 281,281,28ъ — центральные углы, охватывающие один ряд ячей соответственно низа, бока и верха ловушки.)
Углы раскрытия ячей по ширине пластины £. уменьшаются от ячеи к ячее
на 28, т.е. выполняется соотношение = £ — 28.
_ i+í i
Угол 8 определяется по формулам:
для верха и низа 281 = 283 = 2п / nL, для бока 282 = 2vn / nL. Определим угол 2vn . На рис. 9 (б) видно, что:
[nDHK = 2Vn(r + L), kDbk = 2VnT] ^ 2Vn = 2n(DHK — DBK)/2L = 2nsina,
где ОС — угол между образующей и осью конической ловушки; L — длина образующей конуса (см. рис. 2). Таким образом:
282 = 2vn / nL = 2п sin а2 / nL.
Если учесть, что круг можно рассматривать как конус с углом при вершине 2а = 180°, то для низа и верха ловушки имеем (Хг =a3 = 900 =П/2. Поэтому можно записать общую формулу для определения угла 28.:
28.. = 2п sin а.. / nL, i = 1,2,3. (1)
Если обозначить углы раскрытия ячей по нижней и верхней кромкам i-той части сетной пластины через £н. и £1k, а число ячей по ширине этой пластины через nBi, то между ними существует связь £ =£" — nBi • 28..
Отсюда находим число ячей по ширине i-той части сетной пластины:
nBi= (£ — £ )/28i = (£ — £)nL /(2п sin ai), i = 1,2,3. (2)
Если а2 = 0, то боковая поверхность ловушки является круговым цилиндром, в этом случае £HK =£BK, 82 = 0 и число ячей по ширине второй части сетной пластины определяется по формуле:
nB 2 = H /(2a cos £HK),
где H — высота ловушки.
Из формулы (2) следует, что для определения числа ячей по ширине i-той части сетной пластины необходимо знать четыре величины: ai, nL, £ .
Угол a¿: для верха и низа ах = а3 = п /2, для бока sin а2 = (DHK - DBK) /(2L), где DHK, DBK — диаметры верхнего и нижнего колец ловушки; L — длина образующей конуса ловушки (см. рис. 2).
Число ячей по длине NL определяется из соотношения:
nL = nDHK/(2a -Углы раскрытия ячей определяются по формуле:
£. = arcs/n[nD./(2a - nL)]. Число ячей по ширине /-той части сетной пластины можно определять по формуле Ф.И. Баранова (1960):
nBi = (е; - е* )b /(sin е; - sin е* )2a, (3)
где a — шаг ячеи дели; b" — ширина в посадке /-той части сетной пластины:
bn = (Dhk -Dr)/2; b¡ = L; Ц = (DBK -DKr)/2, где DUK, DBK, DKr — диаметры нижнего, верхнего колец каркаса и кольца горловины; Dr — диаметр отверстия, образованного гайтяном после его стягивания; L — длина образующей конуса ловушки.
Для определения числа ячей по ширине пластины иногда пользуются формулой:
nB. = 2 Bп /(cose " + cose * )2a, i = 1,2,3,
(4)
дающей удовлетворительные результаты только при < 0,8.
Моделирование горловин крабовых ловушек. Горловина крабовой ловушки, как правило, выполняется в виде усеченной конической оболочки из пластика (полипропилен, полиэтилен, полиамид). Характеристики горловины представлены на рис. 10.
Рис. 10. Горловина крабовой ловушки (а) и ее развертка (б) Fig. 10. A funnel of a crab trap (a) and its development (б)
Между характеристиками горловины существуют следующие связи: - г/ ) = 2ур1р = п(др - Яр) ^ = п(Др - Яр )/21р =кътаЕ; (5)
^^ = 0,5^(Яр - Яр); ^ = SFtF; M = рРУР; QP = kFwMPg.
Моделирование уздечек крабовых ловушек. Уздечки служат для связи поводца ловушки с ее каркасом. У крабовых ловушек, как правило, используется три уздечки, две из которых крепятся к верхнему кольцу в местах соединения продольных связей с верхним кольцом, а третья — к нижнему кольцу в точке соединения с ним продольной связи. Причем длины уздечек выбираются таким образом, чтобы в подвешенном за поводец состоянии ось симметрии ловушки образовывала угол в = 40-450 с вертикалью (рис. 11).
В этом случае ловушка при погружении ложится вертикально на грунт, а при подъеме не волочится по нему и не переворачивается. У креветочных ловушек с жестким каркасом поводец ловушки крепится непосредственно к верхнему кольцу ловушки.
Рис. 11. К определению характеристик уздечек крабовой ловушки: а — поводец ловушки пересекает верхнее основание; б — поводец проходит через кромку верхнего основания; в — поводец не пересекает верхнее основание; 1 — поводец ловушки; 2 — первая и вторая уздечки; 3 — третья уздечка; 4 — ловушка
Fig. 11. To definition of characteristics of bridles of a crab trap: а — bridle of a trap are crossed with the upper basis; б — bridle passes (takes place) through a deck edge of the upper basis; в — bridle does not cross the upper basis; 1 — bridle of a trap; 2 — first and second bridles; 3 — third bridle; 4 — trap
При моделировании уздечек используются следующие характеристики:
l1, l2, l3 — длина первой, второй и третьей уздечек;
dx, d2, d3 — диаметр канатов первой, второй и третьей уздечек;
TX,T2,T3 — натяжение первой, второй и третьей уздечек;
Д, A2, D — точки крепления уздечек к каркасу ловушки;
В — точка крепления поводца ловушки с уздечками;
CBK, CHK, CnK, Cпс — центры тяжести верхнего, нижнего, промежуточного колец и продольных связей;
CFr, CN, CF — центры тяжести каркаса, сетной оболочки ловушки, горловины;
— центр системы сил веса в воде ловушки (центр тяжести ловушки в воде); Qz ' Qz ' QF' Qz — вес в воде каркаса, сетной оболочки, горловины и ловушки (Trap — ловушка);
а — угол между образующей ловушки и ее осью; в — угол между осью ловушки и вертикалью;
вк — угол между осью ловушки и вертикалью, когда она подвешена за верхнее кольцо (рис. 11, б);
H, L, hC — высота ловушки, длина ее образующей, расстояние от точки Cq до нижнего основания (рис. 12).
Для определения длины уздечек необходимо знать положение точки Cq — центра системы параллельных сил веса в воде всех элементов ловушки, т.е. центра тяжести в воде ловушки. Из теоремы Вариньона о моменте равнодействующей следует:
hc = QhF + QNhN + QFhF) / QTZ, (6)
где ,Qz ,Qz ,Qz — вес в воде каркаса, дели, горловины и ловушки; Нсг, Нс , Нс, Нс — расстояния от нижнего основания ловушки до центров тяжести каркаса, сетной оболочки, горловины и центра тяжести в воде ловушки (рис. 12, а).
Рис. 12. Силы, действующие на крабовую ловушку (а) и ее каркас (б): 1 — нижнее кольцо; 2 — промежуточное кольцо; 3 — верхнее кольцо; 4 — продольная связь; 5 — горловина; 6 — сетная часть ловушки
Fig. 12. The forces acting a crab trap (a) and its former (б): 1 — bottom ring; 2 — intermediate ring; 3 — upper ring; 4 — longitudinal; 5 — manhole; 6 — a net part of a trap
Вес ловушки в воде QTZ = QF + QN + Ql •
Так как массы сетной оболочки и горловины в воде не превышает соответственно 2 и 1 % вес каркаса, то в первом приближении им можно пренебречь и полагать, что центр тяжести в воде ловушки CQ совпадает с центром тяжести каркаса CFr. Положение центра тяжести каркаса (рис. 12, б) определяется по формуле:
hFr = (0,5H • Mпс + H • MBK + H! • MnK ) /MFr, (7)
где M пс, M BK, M nK, M Fr — массы соответственно продольных связей, верхнего и промежуточного колец и каркаса ловушки; H — расстояние от промежуточного до нижнего кольца; H — высота ловушки.
Определение длины уздечек крабовых ловушек. При определении длины уздечек возможны три варианта вычислений.
Вариант первый. В этом варианте угол между плоскостью нижнего основания подвешенной за поводец ловушки и горизонтом ß равен углу наклона ловушки при подвешивании за один поводец без использования уздечек ßK, т.е. ß = ßK. При этом точка B0 пересечения линии поводца ловушки с плоскостью верхнего основания находится на окружности верхнего кольца ловушки (см. рис. 11, б). Угол ßK определяется из уравнения:
tgßK = 0,5Dbk /(H - he ),
где DBK — диаметр верхнего кольца ловушки; H, hC — высота ловушки и расстояние от центра тяжести ловушки в воде до ее нижнего основания. Минимальные длины первой и второй уздечек:
l2min = irn = 0,5DBK д/2(1 - cos S),
где S — центральный угол между точками крепления к верхнему кольцу двух соседних продольных связей.
Если используется шесть продольных связей, то S = 360 / 6 = 600. Минимальная длина третьей уздечки l3mm = L, где L — длина продольной связи (образующей ловушки).
Обычно длину третьей уздечки выбирают равной l3 = (1,5 — 3,0) L. Длина первой и второй уздечек определяется по формуле (рис. 11, б):
l1 = l2 =4( А0B)2 + (0,5DBK sin S)2. (8)
386
Здесь
AB = ,¡(BB0)2 + (B0A0)2 + 2(BB0)(B0A0)sinвк , BB0 = l3sin(a + P -y)/sin(a + в), B0A0 = 0,5DBK (1 - cos5),
sin у = (HC sin в + 0,5DHK cos в) /13.
Вариант второй: в<вк. В этом случае точка B0 пересечения линии по-водца ловушки с плоскостью верхнего основания находится внутри окружности верхнего кольца ловушки (см. рис. 11, а).
Минимальная длина третьей уздечки:
l3mm = (KD)cos в/sin y0 = (0,5DHK + HCtgp)cos в/sin(a + 0). (9)
Обычно длину третьей уздечки выбирают равной l3 = (1,5 - 3,0) L.
Длины первой и второй уздечек определяются по формуле (см. рис. 11, а):
li = i2 =Л1 (A0B)2 + (0,5DBK sin5)2. (10)
Здесь
AB = л\(AB0)2 + (B0B)2 + 2(A0B0)(B0B)sin в , A0B0 = 0,5DBK(1 -cos8)-(l3mm -L)sin(a + e)/cosв, B0B = l3 sin(a + в - Y)/sin(a + в) + (l3min - L) cos a/cosв.
Вариант третий: в > вк • ^ этом слУчае точка B0 пересечения линии поводца с плоскостью верхнего основания поводца находится вне окружности верхнего кольца ловушки (см. рис. 11, в). Минимальная длина первой уздечки:
l™ = лД(H - hC^в - 0,5DBK cos 8]2 + (0,5DBK sin 8)2 • (11)
Минимальная длина третьей уздечки:
l3mm =4(B0K)2 + (KD)2 - 2(B0K)(KD)sin в • (12)
Здесь
B0K = H/cosв, KD = 0,5DHK + hCtgв• Обычно длину третьей уздечки выбирают равной /3 = (1,5 - 3,0) L. Длина первой уздечки:
li =,J (BA)2 + (A Al)2 = ^ (BA0)2 + 0,5Dbk sin 8 . (13)
Здесь
l3mm,
BA0 = ^(BB0)2 + (AB0)2 + 2(BB0)(AB0)sin в ,
BB0 = l3 sin(y0 - y) / sin y0 , sin y0 = (0,5DHK + Н^в) cos в / l3m
A,B0 = 0,5DBK cos<5 + (H - hC)tgв, sin y = (0,5DHK + Н^в) cos в /13. Определение натяжений уздечек крабовых ловушек. Из равновесия узла В (см. рис. 11) следует:
271(4B/l1)cosY1 + T3cosy = 7; 2T1(A0B/ljsinft = T3sinY, (14)
где T1,T3,Tn — натяжения первой и третьей уздечек и поводца ловушки; y1 — угол между плоскостью первой и второй уздечек и вертикалью; Y — угол между вертикалью и третьей уздечкой. Из формулы следует:
Ti = TA/[2(AB)sinYi(ctgYi + ctgY)]; 7 = 2Txl(\B)smYx/(lxsinY). (15) Здесь
sin Y1 = (AB0)cosв/4112 -(0,5DBK sin5)2; (A0 B) = ,J i2 - (0,5D№sin5)2 ; sin y = (0,5D№ + H^cos в/h.
387
Наибольшее натяжение поводец испытывает при выборке, причем при выборке порядка часть ловушек находится в воздухе, а часть в воде. Для ловушки, находящейся в воздухе, натяжение поводца равно массе в воздухе ловушки с уловом, т.е.
Tn = GP + GH ,
где GP, GH — масса в воздухе ловушки и улова.
Для ловушки, находящейся в воде, натяжение поводца уравновешивает вес в воде ловушки с уловом и гидродинамическое сопротивление ловушки, т.е.
Tn = Qp + Qh + R.
Гидродинамическое сопротивление ловушки определяется по формуле:
RP = CP (0,5pV2) sp,
где Cp — коэффициент сопротивления ловушки; SP — затененная площадь ловушки.
Моделирование ловушек без продольных связей. В основе ловушек без продольных связей лежит сеть, посаженная на два кольца. Геометрию этой сети можно изучать в рамках дискретной или континуальной модели, когда сеть рассматривается как сплошная двухмерная среда (пленка).
Дискретная модель сетной оболочки вращения. Исследуем геометрию и статику сетной оболочки вращения с ромбической ячеей, когда сеть посажена на два кольца, а гидродинамические силы, действующие на нити сети, малы по сравнению с натяжением нитей. В этом случае нити между узловыми точками сети можно рассматривать как прямолинейные.
Множество плоскостей, в которых лежат узлы этой оболочки, можно разбить на два подмножества (рис. 13).
Первое подмножество — это плоскости, содержащие ось симметрии сетной оболочки (на рис. 13 обозначены римскими цифрами). Второе подмножество — это плоскости, перпендикулярные к оси симметрии (на рис. 13 обозначены арабскими цифрами).
Рис. 13. Сетная оболочка вращения
Fig. 13. A net shell of revolution
На рис. 14 показан к-тый узел и силы, приложенные к нему.
Рис. 14. Силы, действующие на к-тый узел сетной оболочки
Fig. 14. The forces acting k-th unit on net shells
Основные соотношения геометрии пространственной ромбической ячей. Рассматриваются сети с ромбической ячеей, для которых внешние силы малы по
388
сравнению с натяжением нитей, поэтому нити можно рассматривать как прямолинейные. В этом случае четыре нити, выходящие из одного узла, лежат в одной плоскости (рис. 14). Каждая ячея образована линиями пересечения четырех таких плоскостей (рис. 15).
Рис. 15. Четыре плоскости, пересечением которых является пространственная ячея
Fig. 15. Four planes which crossing is dimensioned mesh
Ячея осесимметричной сети является пространственной (рис. 16),
Рис. 16. Характеристики пространственной ячеи сетной оболочки вращения
Fig. 16. Characteristics dimensioned mesh a net shell of revolution
(16)
Она описывается следующими характеристиками:
ak, ak+1 — шаг ячеи соответственно между (к — 1, k) и (k, k +1) рядами узлов; dk — диаметр нити, соединяющей узлы к - 1 и к; AC = 2xk — расстояние между двумя соседними узлами ~-того ряда; BD = 2yk — расстояние между к - 1 и к + 1 узлами; 2ek ,2ек ,fík + fik — углы между нитями ячеи; 28k, yk + ~k — углы между плоскостями треугольников ABD и CBD, BAC и DAC. Между этими величинами существует связь:
xk = ak sin ek = ak cos ftk sin 8k = ak+1 sin ek = ak+1 cos jHk sin 8k;
2 yk = aksin Pk + ak+1sin í~k = ak cos£ksin Yk + ak+1cos^ksin ~k;
EF = ak cos £k cos Yk = ak cos pk cos 8k = ak+1 cos ek cos ~k =
= ak+1cos¡~k cos8k• Из формулы (16) следует:
sin£k = ak sinek /ak+1; cospk = ak cospk /ak+1; cos ~k = ak cosYk cos£k /(ak+1 cos£k )
Если ak = ak+1 = a = const, то &k =£k, ¡5k = pk, ~k = Yk. Величину ak удобно выражать в форме произведения шага ячеи a (характерного размера) на безразмерную функцию целочисленного аргумента fk: ak = afk, k = 0, 1, 2, 3,..., причем f0 = 1. Частные случаи функции fk: fk = 1, ak = a = const (шаг ячеи постоянный);
(17)
fk = 1 ± qK, ak = a(1 ± qn), q = const (шаг ячеи изменяется по закону арифметической прогрессии).
Возможны любые иные варианты функции fk. На рис. 14 видно, что выполняется соотношение
2£k-1 + 2£k+1 + 2вк + 2~k = 2п^вк + А =п- fe-1 + екJ. (18)
Основные геометрические соотношения сетной оболочки вращения. Геометрия сети вращения описывается характеристиками (рис. 17):
R — радиус окружности, на котором находятся узлы к-того ряда; гк — расстояние между плоскостями нулевого и к-того рядов узлов; (рк — угол между плоскостью нитей к-того узла и осью оболочки; n — количество узлов в к-том ряду.
Рис. 17. Сечение сетной оболочки двумя продольными плоскостями
Fig. 17. Section a net shell two longitudinal planes
Из формул (16)—(18) следует:
sin = Rk sin(n / nk )/ ak ; sin £k = Rk sin(тт / nk )ak+1 ; sin Ç = [Rk-i cos(n / nk-i )- Rk+i cos(n / nk+i)]/ hk ; cos Ç = (Zk +i - Zk-i )/hk =
"k
= л hk - [Rk-icos (n / nk-i )- Rk+icos (п / nk+i )T / hk ;
s=i,3,5,...
= £ hs cosvs = XvhS -[Rs-icos(n/ ns-i)- Rs+icos(n/ ns+i ff, (19)
s=i,3,5,...
где hs = V < - Rh sin2 (п / n,-i) + 4a2s+i - R2+l sin2 (п / ).
По формулам (19) легко определить координаты всех узловых точек сети, если известны радиусы оболочки R
Для определения радиусов оболочки запишем очевидные соотношения:
hk = MA + AN,
MA = Л la 2
*k-i = л 'a
Rk-isin / nk-l),
ak+i - Rk+isin (п / nk+-i).
= V ak+i - =
Отсюда следует:
hk =4al - Rk2-i sin2 (п / nk-i) + Vak2+i - R
2 • 2 k+i sln
(П / nk+i ).
(20)
(21)
Z
2
Кроме того, выполняется равенство:
§1п ф = Кк-1 С0в(п / П-,) - Як = Як - Як+1 С08(п / пк-,) (22)
к МЛ АЫ
Подставляя соотношение (20) в (22), получим рекуррентное уравнение для определения радиусов сетной оболочки вращения:
( \_, С0%(к/п ,)- К Т а2 °2
Rk-iCOs(n / nk-)- R I = < - Rh sin2 (n / nk-i) , k = (23)
Rk - Rk+iCOs(n / nk+i )l ak+i - Rk2+iSin2(n / nk+iУ ' ""
Количество уравнений (23) на два меньше числа рядов узлов, лежащих в плоскостях, перпендикулярных к оси симметрии. Поэтому, чтобы из (23) найти радиусы оболочки вращения, необходимо знать радиусы двух сечений. Это могут быть радиусы нулевого и последнего рядов (R0, Rn), например сеть, натянутая на два обруча (ловушки, вентери), либо радиусы нулевого и первого рядов (R0, R). Для решения уравнений (23) также следует знать закон изменения количества узлов в рядах пк и закон изменения шага ячеи, задаваемый функцией fk.
Определив из рекуррентного уравнения (23) радиусы оболочки вращения RK, по формуле (19) установим расстояния между рядами ячей и нулевым рядом гк и углы (Pk ,£k ,£k, а из формулы (16) найдем хк и ук.
Величины Rk ,Zk Pk ,£k £k,xk, yk полностью характеризуют геометрию оболочки вращения. Зная эти величины, легко найти сопротивление воды движению сети и натяжение ее нитей:
Г = г COS £k+iCOS £k+2COS £k+3
k k+2 COS ek-i cos Ek cOsEk+i '
Если шаг ячей постоянный, т.е. ük = a = const, то выполняются соотношения: xk = a sin ek = a cos fík sin 8k, yk = a sin fík = a COS£k sin yk,
hk = a(cOSek-i + COS£k+i), Pk = (n-£k-i -£k+i)/2-
В этом случае уравнение (23) принимает вид
Rk -i COs(n/ nk-i)-Rk t = a 2 - Rk2-iSin2 (n/nk-i) (25)
Rk - Rk+iCOs(n /nk+i)
2 2 2 a - Rk+iSin (n/nk+i)
Если число ячей во всех поперечных сечениях оболочки одинаково, т.е. = nL = const, то из формулы (25) следует:
k2Rk COs(n/nL) kRCOS2(n/nL) -k3^Rk2 -kia2)
Rk+i =---,-, (26)
k3
где ki = (Rk-iCOs(n/nL)-Rk)2, k2 = a2 -Rk2-isin2(n/nL),
k3 = ki sin2(n / nL) + k2COS2(n / nL).
Знак (-) в формуле (26) берется, если Rk+i < Rk, знак (+) — в противном случае.
При ak = a = const и nk = nL = const выполняются соотношения:
Zk +i = I hk COSPk ,
k=i,3,5,..
hk =VaT-Rk-is^^/n^ + Va2 -R*+i sin2(n/nj, (27)
sin Pk = (Rk - Rk-iCOs(n / nL ))/^ a2 - Rk-i sin2(n / nL).
Соотношения (26) и (27) используются при расчетах характеристик сетей, натянутых на два кольца (вентери, ловушки без продольных связей).
391
n
k
Для нахождения радиусов всех окружностей по формулам (26) и расстояния между окружностями 0-го и k + 1 рядов ячей по формулам (27) необходимо знать радиусы двух окружностей. За такие окружности можно брать окружность нулевого ряда узлов, находящегося на первом кольце диаметром D1, и окружность первого ряда узлов. В этом случае:
R0 = D1 /2, R1 = R0cos(п /nL) + sin р1Л]a2 - R02sin2(n /nL). (28)
Варьируя угол (р1 e (-п/2;п/2), входящий в (28), можно получать различные формы ловушек.
Континуальная модель сетной оболочки вращения
Дифференциальные уравнения равновесия сетной оболочки вращения можно получить в рамках континуальной модели оболочки, т.е. рассматривая ее как пленку. Они зависят от параметризации оболочки, т.е. выбора криволинейных координат на ее поверхности.
В качестве криволинейных координат на поверхности оболочки вращения выберем длину меридиана l, отсчитываемую от начальной параллели, и угол р, отсчитываемый от начального меридиана.
Таким образом, l-линии — это меридианы, а р-линии — это параллели. Обозначим через Т1 и Т2 единичные векторы, касательные к меридианам и параллелям, а m = Т1 ХТ2 — единичный вектор внешней нормали к поверхности оболочки (рис. 18).
Рис. 18. Континуальная модель сетной оболочки вращения
Fig. 18. A continual model a net shell of revolution
Из равновесия криволинейного элемента поверхности (рис. 19) следует:
д ( ч дТ да, дТ2 r
— (а Тт + гах-1 + Т +а2—^ + q r = 0, (29) dl dl др др
где г — радиус параллели; о— усилия, приходящиеся на единицу длины криволинейного элемента вдоль параллели и меридиана соответственно; д — внешняя сила, приходящаяся на единицу площади поверхности оболочки.
Рис. 19. Дифференциальный элемент сетной оболочки вращения
Fig. 19. Differential element a net shell of revolution
Умножая уравнение (29) скалярно на T1, Т2, m и учитывая, что
дт дт daN daN дт2
1 N- -П1; —2 = -sin aNT1 - cosaNm = n2;
dl да dl
dl
q = qlt1 + q2T2 + q3 m,
dp
где aN — угол атаки сетной оболочки; Ti и Т2 — орты касательных меридиана и параллели, получим дифференциальные уравнения равновесия сетной оболочки вращения:
d(rOi)/ д1 -^2SinaN = qr
d(aN)/dl • rai -a2 cosaN = -q3r.
Из уравнения (30), учитывая соотношения:
daN/dl = i/Ri; cosaN/r = -i/R2,
следует уравнение Лапласа oi / Ri +о2/ R2 = -q3, где Rj, R2 — радиусы кривизны меридиана и параллели.
Если q3 = 0, то C2/oi = -R2/Ri >0, т.е. при отсутствии внешней нагрузки радиусы кривизны меридиана Rj и параллели R2 имеют разные знаки. В этом случае точки поверхности гиперболические и поверхность имеет седлообразную форму.
Учитывая соотношения Ф.И. Баранова (1960):
(7i = Tu2 /(aui )a2 = Tui /(au2 /o2 = ui /u^ = tg2e,
систему (30) запишем в форме:
tg 2e sin aNai - d(ro\)/ dl = rqi;
tg2ecosaNai -raid(aN)/dl = rq3.
Из уравнения (30) следует:
d (rai cos aN)/ dl = rqx;
d(ro\ sin aN ) dl = aitg 2e - rqr, где qx = qi cos aN - q3sin aN; qr = qi sin aN = q3 cos aN — проекции силы q соответственно на оси х и y, т.е. осевая и радиальная составляющие этой силы.
Уравнения (31) и (32) — это дифференциальные уравнения равновесия сетной оболочки вращения в проекциях на оси соответственно Ti, fh и x, r. Причем: qi = ri + pi; q3 = r3 + p3, где ri,r3 — касательная и нормальная составляющие гидродинамической силы, приходящейся на единицу площади поверхности сетной оболочки; p p3 — касательная и нормальная силы действия рыбы на оболочку;
ri3 = Cr3(0,5pV2)Sr = CH3(0,5pV2)SH ^C,r3 = CH3d/(auiu2),
где C[ ,CH — коэффициенты гидродинамических сил сети, отнесенные соответственно к ее габаритной площади Sг и площади нитей SH.
Приведенные в работе математические модели позволяют осуществлять компьютерное моделирование конических ловушек для лова крабов, креветок и трубачей и находить их оптимальные параметры.
Литература
Баранов Ф.И. Техника промышленного рыболовства. — М.: Пищепромиздат, 1960. — 696 с.
Габрюк В.И., Осипов Е.В., Чернецов В.В., Бобиков А.В. Механика конических ловушек с жестким каркасом. — Владивосток: ТИНРО-центр, 2005. — 62 с.
Габрюк В.И., Юн Ф.А. Математическое, программное и информационное обеспечение промысловика ловушечного лова гидробионтов: Учеб. пособие. — Владивосток: Дальрыбвтуз, 2001. — 111 с.
Иовенко В.Я. Промысел морепродуктов ловушками на Дальневосточном бассейне. — Владивосток: ГПО Дальрыба, 1990. — 170 с.
Смирнов Ю.П., Павлютенко А.А., Бабенко А.И., Серов Н.Н. Мастеру по добыче на судах средне- и малотоннажного флота. Альбом. — Владивосток: ОНТИ НПО Дальрыбсистемотехника, 1990. — Ч. 3. — 150 с.
Поступила в редакцию 23.01.07 г.
