Моделирование каталитической активности поверхности Al2O3 на основе первых принципов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 544.47, 541.12, 533.6.011.5, 532.526, 541.12

МОДЕЛИРОВАНИЕ КАТАЛИТИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ПОВЕРХНОСТИ Al2O3

НА ОСНОВЕ ПЕРВЫХ ПРИНЦИПОВ

А. А. Бучаченко1, В. Л. Ковалев2, А. А. Крупнов3

По данным квантово-химических расчетов энергий взаимодействия кластеров, моделирующих поверхность а-А^Оз, с атомарным и молекулярным кислородом определены коэффициенты скоростей адсорбции, десорбции, ударной и ассоциативной гетерогенной рекомбинации атомарного кислорода при температурах 500-2000 К. С использованием этих коэффициентов вычислены вероятности гетерогенной рекомбинации и тепловые потоки к поверхности в условиях, близких к условиям экспериментальной установки MESOX.

Ключевые слова: теплозащитные покрытия, каталитическая активность, гетерогенная рекомбинация, атомарный кислород.

The adsorption, desorption, impact, and associative heterogeneous recombination rate coefficients of atomic oxygen on the а-А^Оз surface are determined in the 500-2000 K temperature range from the first-principle calculations on the interaction of oxygen atom and molecule with alumina clusters. These coefficients are used to calculate recombination coefficients and heat fluxes to the surface under the conditions similar to those of the MESOX test facility.

Key words: thermal protection coating, catalytic activity, heterogeneous recombination, atomic oxygen.

1. Введение. Гетерогенные процессы вносят важный вклад в тепловой баланс поверхностей многоразовых космических аппаратов при их входе в атмосферу [1]. Знание механизмов этих процессов и их кинетических характеристик необходимо для направленного конструирования современных теплозащитных систем, в частности для перспективных гиперзвуковых многоразовых летательных аппаратов, нуждающихся в тепловой защите при температурах поверхности около 2000 K, и для космических аппаратов и зондов, предназначенных для спуска в атмосферу Марса с последующим возвращением на Землю.

Основной химический вклад в теплопередачу при гиперзвуковом входе аппарата в атмосферу обусловлен гетерогенными каталитическими реакциями с участием образующихся в ударной волне высокоэнергетических частиц — атомов, радикалов, ионов [1, 2]. В земной атмосфере уже при относительно низких скоростях полета главную роль играют продукты диссоциации молекулярного кислорода, в атмосфере Марса — продукты диссоциации CO2. На планирующих траекториях входа, когда реакции в газовой фазе заморожены, рекомбинация, сопровождающаяся выделением значительной энергии, проходит на поверхности, что делает каталитическую активность покрытия одной из важнейших характеристик эффективности теплозащиты.

При решении многомасштабной задачи моделирования полета аппарата в атмосферах планет химическую составляющую, как правило, стремятся описать с помощью простых кинетических схем — классических механизмов гетерогенного катализа по Или-Райдилу (ИР) и Ленгмюру-Хиншельвуду (ЛХ) [1, 2]. При этом главную проблему для моделирования составляют скудость и неоднозначность экспериментальных данных. Летные эксперименты, проведенные на аппаратах "Спейс Шаттл", "Буран", "Бор" и др. (см. обзор в монографии [1]), дают информацию лишь об ограниченном наборе материалов — борсиликатном стекле (упрощенно SiO2), черной шпинели (MgAl2O3), силиконизированном углероде (SiC). Специально созданные лабораторные установки не воспроизводят все условия летных режимов и часто содержат неопределенность в составе газовой смеси, связанную с наличием возбужденных молекул и продуктов их распада, а in situ изучение поверхности и адсорбционного слоя невозможно из-за короткого времени жизни реакционноспособных частиц при высоких температурах.

1 Бучаченко Алексей Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зам. декана хим. ф-та МГУ, e-mail: [email protected]. msu. su.

2 Ковалев Валерий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф., зам. декана мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: valerykovalev@yandex. ru.

3 Крупнов Александр Александрович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].

В этой ситуации при использовании традиционного эмпирического подхода, в котором коэффициенты скоростей элементарных стадий классических кинетических механизмов подгоняются под результаты летного или наземного измерения тепловых потоков и других макроскопических характеристик, возникают значительные затруднения. Неудивительно, что подавляющее большинство таких исследований выполняется для практически испытанных покрытий на основе SiO2 (см., например, работы [3, 4] и детальный обзор в монографии [1]). Однако даже для этого хорошо изученного материала эмпирический подход оказывается неоднозначным из-за многопараметрического характера задачи [5].

Понимание ограниченности эмпирического подхода привело к тому, что для решения задач тепловой защиты многоразовых космических аппаратов в последние 10-15 лет все активнее привлекаются предсказательные теоретические подходы, разрабатываемые в теоретической химии и материаловедении, в первую очередь методы квантовой химии и молекулярной динамики, статистические методы теории абсолютных скоростей химических реакций (см., например, работы [6-13]). Кластерные или твердотельные (периодические) модели поверхности используются для расчета энергетических параметров, путей реакции и фрагментов потенциальной поверхности с целью последующей оценки коэффициентов статистическими методами или параметризации потенциальной поверхности в виде, удобном для проведения молекулярно-динамического моделирования. Очевидно, что именно такие подходы позволяют наиболее полно учесть особенности химического состава и структуры материала и обеспечить информацией многомасштабные модели, ориентированные на создание теплозащитных покрытий с заданными свойствами.

Настоящая работа посвящена апробации одного из вариантов неэмпирического подхода к расчетам коэффициентов скорости адсорбции, десорбции, ударной и ассоциативной рекомбинации атомарного кислорода на поверхности а-А^Оз. Перечисленные коэффициенты определяют замкнутую модель высокотемпературной рекомбинации, одновременно учитывающую механизмы ИР и ЛХ. Расчет коэффициентов скорости проводился статистическими и молекулярно-динамическими методами на основе выполненных ранее квантово-химических исследований [11, 12]. Найденные коэффициенты использованы для моделирования взаимодействия частично диссоциированного воздуха с поверхностью а-А^Оз в диффузионном слое в условиях, соответствующих экспериментам на установке MESOX [14]. В широком диапазоне температуры поверхности (500-2000 К) и давления в газовой фазе (1000-7000 Па) получены величины вероятностей гетерогенной рекомбинации и тепловые потоки, обусловленные каталитическими процессами. Проанализировано взаимное влияние двух механизмов на характеристики гетерогенной рекомбинации.

2. Расчет коэффициентов скоростей элементарных стадий.

2.1. Кластерная модель поверхности. Выращенные термически кристаллические покрытия соответствуют форме а-А^Оз (гексагональная плотная упаковка). В качестве наиболее устойчивой рассматривается поверхность, соответствующая грани (0001), терминированой А1 (расположение слоев — от поверхности в глубь материала: А1(1)-О(2)-А1(3)..., рис. 1). Структура поверхности исследовалась в основном с помощью твердотельных периодических моделей (см. обзор в работах [15, 16]). Кластерное приближение, использующее минимальную структурную единицу материала А1вО12, также оказывается вполне приемлемым и достаточно хорошо воспроизводит релаксацию реальной поверхности по отношению к структуре идеального кристалла [17].

Аналогичная кластерная модель применялась для описания поверхности и ее взаимодействия с атомарным и молекулярным кислородом в работах [11, 12]. Расчеты проводились методом теории функционала плотности с функционалом B3LYP [18, 19] и базисом 6-3Ш* [20]. В рамках этой модели адсорбция и атомарного и молекулярного кислорода происходит по атому А1(1) поверхностного слоя. Поверхность потенциальной энергии (ППЭ) адсорбции атомарного кислорода была рассчитана

а

Рис. 1. Модель поверхности а-Al2Oз(0001): вид сверху (а) и сбоку (б) на структурный элемент поверхности, полученный четырехкратным транслированием кластера Al8Ol2; темно-серым цветом выделены атомы Al(1) первого слоя, на которых происходит адсорбция

для кластера А1в012 (один из четырех "шестигранников", показанных на рис. 1, а). Она имеет единственный минимум, соответствующий химически адсорбированному атому. Кластер меньшего размера АЦОб использовался для моделирования адсорбции молекулярного кислорода, а также взаимодействия атомарного кислорода из газовой фазы с адсорбционным центром, занятым другим атомом О (дальнейшие подробности можно найти в работах [11, 12]). Данные этих расчетов, в частности не представленный ранее анализ гармонических колебательных частот кластеров в полностью оптимизированных структурах, используются здесь для оценки коэффициентов скорости адсорбции/десорбции и ударной рекомбинации.

Для вычисления коэффициента скорости ассоциативной рекомбинации необходимо знать коэффициент поверхностной диффузии атомарного кислорода. Поскольку прямой квантово-химический расчет нескольких структурных единиц поверхности затруднителен, расширение кластерной модели проводилось полуэмпирически. Четыре кластера А1вО12 соединялись в "ромб", показанный на рис. 1, а, и ППЭ движения атома кислорода аппроксимировалась суммой четырех ППЭ его взаимодействия с каждым кластером и потенциалов Леннарда-Джонса его взаимодействия с атомами кислорода О(2) второго слоя [21]. Последняя модификация введена с целью компенсации недостатка неэмпирических данных при малых отклонениях вектора О-А1(1) от плоскости поверхности [11, 12]. На этой ППЭ был оптимизирован путь реакции, соединяющий два ближайших атома А1(1), и найдены параметры переходного состояния (в силу симметрии поверхности существуют два эквивалентных пути).

Используемая здесь декартова система координат имеет начало отсчета, связанное с одним из атомов А1(1), и оси х и у, лежащие в плоскости, содержащей атомы А1(1).

2.2. Хемосорбция. Адсорбционное равновесие описывается уравнением

О + (О—В), (1)

где (В), (О-В) — символы свободных мест адсорбции и адсорбированных атомов кислорода; ка, к^ — коэффициенты скоростей адсорбции и десорбции. Коэффициент скорости адсорбции выражается формулой

_ 50 (Г) (кВТ\ я0 \2жтп)

1/2

где во — коэффициент прилипания, В0 — поверхностная плотность возможных мест адсорбции, кв — константа Больцмана, т — масса атома кислорода, Т — температура газа. Параметр В0 вычислялся из геометрических соображений (обратно пропорционален площади ячейки поверхности с единственным адсорбционным центром).

Коэффициент прилипания оценивался статистически в предположении прямой неактивированной адсорбции [22] как отношение статистической суммы поверхностных колебаний адсорбционного комплекса к статистической сумме двумерного поступательного движения свободного атома на масштабе ячейки:

ху

МТ) = £зг.

Здесь

96 96

9о9о = ткът ) ,

_ ( Гшзх + Гшзу + Пиз2\ ^ ( Пшхух + ПшуУу\

Яа е Р V 2квТ квТ )' ^

4 / 4 /

где иа — три колебательные частоты адсорбированного на кластере атома кислорода, выделенные на основании анализа форм нормальных колебаний; Н — постоянная Планка; К — приведенная постоянная Планка. Первый множитель учитывает энергию нулевых колебаний, а во втором суммирование ведется по всем состояниям, энергия которых не превышает энергию адсорбции еао в расчете на одну молекулу.

В предположении локального равновесия между поверхностью и газовой фазой коэффициент скорости десорбции к^ выражается через константу равновесия процесса (1) следующим образом:

&-ЛГЛ ка ( £аб\ 9а(Т) АТ

где да, фз и до — полные статистические суммы адсорбционного комплекса, поверхности и свободного атома кислорода соответственно, Да — число Авогадро, V — объем. С учетом периодической структуры поверхности и явных выражений для трансляционных статистических сумм атома [23]

~1/2 да(Т) МА

где яо' — электронная статистическая сумма атома, рассчитываемая в нерелятивистском приближении 28+1Ь" (Б

и Ь — значения электронных спинового и орбитального угловых моментов) по справочным данным [24] с учетом статистического веса (2Б+1)(2Ь+1). Отношение статистических сумм да/д8 оценивалось отношением сумм двух кластеров А1вО12 и А^О^-О [11, 12]. В них существенны колебательные компоненты, которые оценивались прямым суммированием по формуле, аналогичной (2), но с учетом частот всех 57 и 54 нормальных колебаний, и ограничением по состояниям, лежащим ниже предела десорбции еао. Для кластера А1вО12-О учитывался статистический вес триплетного состояния, равный 3.

2.3. Ударная рекомбинация. Рекомбинация по механизму ИР (ударная рекомбинация) выражается уравнением

О + (О-Э) О2 + (Э). (3)

Коэффициент ее скорости был получен ранее с использованием энергии активации, рассчитанной в рамках кластерной модели, и вероятностного фактора, оцененного по данным молекулярно-динамического моделирования [11, 12].

2.4. Ассоциативная рекомбинация. Ассоциативная рекомбинация, соответствующая механизму ЛХ:

(О-Э) + (О-Э) О2 + 2(Э), (4)

учитывает реакцию между двумя адсорбированными атомами кислорода. Считая, что энергия активации рекомбинации двух атомов с одновременной десорбцией молекулы не зависит от пути их доставки, соответствующий коэффициент скорости можно записать в виде

к1Н = 4Жа ^(Т)ехр(-еег/кв Т),

где О — коэффициент диффузии атома кислорода между соседними центрами адсорбции. Он вычислялся в рамках теории активированного комплекса (см., например, монографию [23]):

где д=(Т) — статистическая сумма переходного состояния, соответствующего максимуму на пути реакции, р — геометрическое расстояние между соседними центрами, а едо — энергия активации диффузии с учетом энергии нулевых колебаний в расчете на одну молекулу. Поскольку полуэмпирическая модель четырех кластеров, описанная выше, не учитывает релаксацию поверхности в процессе диффузии, в отношении статистических сумм не сокращаются только вклады, связанные со степенями свободы атома кислорода. В переходном состоянии к ним относятся две вещественные колебательные частоты по направлениям, ортогональным пути реакции, а в адсорбционном комплексе — три колебательные частоты иа, введенные выше. Соответствующие вклады вычислялись прямым суммированием с ограничением по энергии адсорбции.

3. Результаты расчетов каталитических свойств.

3.1. Коэффициенты скоростей элементарных стадий. Вычисление коэффициентов скоростей элементарных стадий (1), (3) и (4) проводилось по формулам предыдущего раздела. Для упрощения дальнейших расчетов и представления результатов температурные зависимости факторов, включающих статистические суммы, были аппроксимированы степенными функциями, что дает возможность выразить коэффициенты скоростей в аррениусовской форме АТа ехр(-Е/Т). Энергии активации приведены к молю атомов кислорода (Е = еЖд) и, как и температура, выражены в градусах Кельвина.

Адсорбция:

8о(Т) (квТ\1/2 3

= — [СМ /(МОЛЬ-С)],

So(T) = 3,88 ■ 10 3T1/2exp(-451/T) [безразмерная величина], S0 = 5,627 ■ 1014/Na [моль/см2].

Десорбция:

kd = ka(T )/K (T) [c-1], K(T) = 7,82838 ■ 10-3T exp(19 790/T) [см3/моль].

Ударная рекомбинация:

= ^Г (^г) 1/2 ехР("4970/Т) [см3/(моль • с)],

где R — универсальная газовая постоянная.

Ассоциативная рекомбинация:

kih = 1,1 • 10-3 exp(-19 162/T) [см2/(моль ■ с)].

3.2. Вероятности рекомбинации кислорода в условиях установки MESOX. Полученные коэффициенты были использованы для расчета вероятностей рекомбинации атомарного кислорода при взаимодействии частично диссоциированного воздуха с поверхностью a-Al2O3 в диффузионном слое, моделирующем условия экспериментальной установки MESOX [14]. Математическая постановка задачи и описание численного метода ее решения приводятся в [25], где авторами исследовалась поверхность SiO2 (в-кристобалит). В данных расчетах рассматривался воздух с 5%-м содержанием аргона. На внешней границе диффузионного слоя для всего диапазона давления (1000-7000 Па) принимались следующие условия: температура 1800 К, степень диссоциации кислорода 95%, а азот практически недиссоциирован (0,001%). Взаимодействие с поверхностью учитывалось только для атомарного кислорода. Температура поверхности менялась от 500 до 2000 К. Скорости химических процессов (1), (3) и (4), приведенные к единичной площади поверхности, определялись по формулам

Га = ka'Pod, Td = kd во, Ter = kerVoOo, ТШ = k^, (5)

где введены степень заполнения поверхности адсорбированными атомами во и доля свободных мест адсорбции в, во + в = 1. Коэффициент рекомбинации определялся как отношение потока атомов кислорода, рекомбинирующих на поверхности, к потоку атомов кислорода, падающих на нее [1]:

Yo = Jo/J •

Здесь падающий поток выражается через парциальное давление атомарного кислорода:

jo = po(2nmkßT )-1/2 -2 -1

и имеет размерность см 2 ■ с 1.

Степень заполнения eo входит в выражения для скоростей реакций и по механизму ИР, и по механизму ЛХ (5). Поэтому точно разделить вклады двух механизмов в полной модели невозможно. В целях качественной интерпретации результатов расчеты проводились также для двух механизмов отдельно с учетом адсорбционного равновесия в каждом из случаев.

На рис. 2 представлены температурные зависимости коэффициента рекомбинации кислорода (а) и теплового потока к поверхности AI2O3 за счет выделения энергии при рекомбинации (б), рассчитанные с использованием полной модели и отдельно для механизмов ИР и ЛХ. Очевидно, что сумма результатов отдельных механизмов не совпадает с полной моделью. Судить об относительной роли отдельного механизма можно лишь качественно, руководствуясь близостью его вклада к полному результату. Рисунок 2 показывает, что при температурах поверхности ниже 1000 К процесс рекомбинации

а б

500 1000 1500 Г, К 500 1000 1500 ¡Г, К

Рис. 2. Результаты расчетов при давлении 4100 Па с учетом полной модели и отдельно механизмов ИР и ЛХ: вероятность рекомбинации кислорода 70 (а); тепловой поток к поверхности за счет рекомбинации кислорода (б)

определяется механизмом Или-Райдила. Лимитирующей стадией механизма Ленгмюра-Хиншельвуда является поверхностная диффузия атомарного кислорода, скорость которой пренебрежимо мала при низкой температуре, но быстро растет при ее повышении. При температурах выше 1100 К вероятность ассоциативной рекомбинации превышает вероятность ударной. Эта качественная картина сохраняется во всем рассмотренном интервале давлений (1000-7000 Па).

На рис. 3 данные нашего расчета вероятности рекомбинации кислорода 70 сопоставлены с результатами измерений на установке МЕВОХ [14]. Разумное согласие наблюдается вплоть до температуры поверхности 1500 К, однако дальнейший рост коэффициента 70 при увеличении температуры нашей моделью не воспроизводится. Поведение, предсказываемое нашей моделью, — наличие максимума при температуре выше 1000 К — является типичным [1] и свойственно обоим механизмам гетерогенной рекомбинации. Кроме того, полученные в эксперименте [14] тепловые потоки очень велики и их невозможно воспроизвести даже в предположении идеально каталитической поверхности. Скорее всего, для адекватного описания эксперимента МЕВОХ требуется создание специальной модели, учитывающей взаимодействие продуктов диссоциации азота с поверхностью, влияние микроволнового излучения на образец и тушение на поверхности возбужденных частиц (молекул и продуктов их диссоциации), генерируемых в разряде наряду с атомарным кислородом.

4. Заключение. На основе квантово-химического исследования взаимодействия поверхности а-А12Оз (0001) с атомарным кислородом в рамках кластерной модели рассчитаны коэффициенты скоростей элементарных стадий каталитической рекомбинации по механизмам Или-Райдила и Ленгмюра-Хиншельвуда. С использованием полученных коэффициентов вычислены величины вероятности гетерогенной рекомбинации и тепловые потоки, образующиеся за счет гетерогенной рекомбинации, для диффузионного слоя около исследуемой поверхности в интервале температур поверхности 500-2000 К и давлений 1000-7000 Па. При совместном учете механизмов Или-Райдила и Ленгмюра-Хиншельвуда их строгое разделение невозможно. Уверенно можно говорить лишь об области низких температур (до 900 К), где реализуется в основном механизм ИР, и области высоких (выше 1100 К), где механизм ЛХ несколько более эффективен и обеспечивает до 70% величины вероятности рекомбинации.

Авторы признательны М.Ю. Погосбекяну и А.Н. Якунчикову за продуктивные обсуждения и помощь в работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 11-01-00280).

Рис. 3. Сравнение рассчитанной вероятности рекомбинации кислорода 70 на поверхности а-А12 0з с измеренной на установке МЕ80Х [14]

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ковалев В.Л. Гетерогенные каталитические процессы в аэротермодинамике. М.: Физматлит, 2002.

2. Ковалев В.Л., Колесников А.Ф. Экспериментальное и теоретическое моделирование гетерогенного катализа в аэротермохимии // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2005. № 5. 3-31.

3. Kurotaki T. Construction of catalytic model on SiO2-based surfaces and application to real trajectory // AIAA Paper. 2000. N 2366.

4. Deutschmann O., Riedel U., Warnatz J. Modeling of nitrogen and oxygen recombination on partial catalytic surfaces // Trans. ASME J. Heat Transfer. 1995. 117. 495-501.

5. Ковалев В.Л., Крупнов А.А. Влияние образования оксида азота в гетерогенных каталитических реакциях на тепловые потоки к поверхности многоразовых космических аппаратов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 1. 30-36.

6. Cacciatore M., Rutigliano M., Billing G.D. Eley-Rideal and Langmuir-Hinshelwood recombination coefficients for oxygen on silica surfaces //J. Thermophys. and Heat Transfer. 1999. 13, N 2. 195-203.

7. Rutigliano M., Pieretti A., Cacciatore M., Sanna N., Baronne V. N atoms recombination on a silica surface: a global theoretical approach // Surf. Sci. 2006. 600. 4239-4246.

8. Ковалев В.Л., Погосбекян М.Ю. Моделирование гетерогенной рекомбинации атомов на теплозащитных покрытиях космических аппаратов методами молекулярной динамики // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 4. 176-183.

9. Shiozaki S., Sakiyama Y., Takagi S., Matsumoto Y. Multiscale analysis of heterogeneous catalysis on a silica surface // AIAA Paper. 2008. N 1250.

10. Ковалев В.Л., Погосбекян М.Ю. Анализ каталитических свойств силиконизированных теплозащитных покрытий // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 2. 44-49.

11. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Погосбекян М.Ю., Суханов Л.П. Моделирование адсорбции атомов кислорода на поверхности AL2O3 методом функционала плотности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 58-62.

12. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Погосбекян М.Ю., Суханов Л.П. Анализ гетерогенной рекомбинации атомов кислорода на оксиде алюминия методами квантовой механики и классической динамики // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2010. № 2. 153-160.

13. Armenise I., Rutigliano M., Cacciatore M., Capitelli M. Hypersonic boundary layers: oxygen recombination on SiO2 starting from ab initio coefficients //J. Thermophys. and Heat Transfer. 2011. 25, N 4. 627-632.

14. Balat-Pichelin M., Bedra L., Gerasimova O., Boubert P. Recombination of atomic oxygen on a-A^O3 at high temperature under air microwave-induced plasma // Chem. Phys. 2007. 340. 217-226.

15. Hinnemann B., Carter E.A. Adsorption of Al, O, Hf, Y, Pt, and S atoms on a-Al2O3(0001) //J. Phys. Chem. C. 2007. 111, N 19. 7105-7126.

16. Gomes J.R.B., Moreira P.R. de, Reinhardt P., Wander A., Searle B.G., Harrison N.M., Illas F. The structural relaxation of the a-Al2O3(0001) — an investigation of potential errors // Chem. Phys. Lett. 2001. 341. 412-418.

17. Wittbrodt J.M., Hase W.L., Schlegel H.B. Ab initio study of the interaction of water with cluster models of the aluminum terminated (0001) a-aluminum oxide surface //J. Phys. Chem. B. 1998. 102, N 34. 6539-6548.

18. Becke A.D. Density-functional exchange-energy approximation with correct asymptotic behavior // Phys. Rev. A. 1988. 38, N 6. 3098-3100.

19. Lee C., Yang W., Parr R.G. Development of the Colle-Salvetti correlation-energy formula into a functional of the electron density // Phys. Rev. B. 1988. 37, N 2. 785-789.

20. Hariharan P.C., Pople J.A. The influence of polarization functions on molecular orbital hydrogenation energies // Theor. Chim. Acta. 1973. 28, N 3. 213-222.

21. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961.

22. Чоркендорф И., Наймантсвердрайт Х. Современный катализ и химическая кинетика. Долгопрудный: Интеллект, 2010.

23. Глесстон С., Лейдлер К., Эйринг Г. Теория абсолютных скоростей реакций. М.: ИЛ, 1948.

24. Ralchenko Yu, Kramida A.E., Reader J., NIST ASD Team (2010). NIST Atomic Spectra Database (ver. 4.0.1), [Online]. Available: http://physics.nist.gov/asd [2011, February 5]. Gaithersburg, MD: National Institute of Standards and Technology, 2011.

25. Бала-Пишлен М., Ковалев В.Л., Колесников А.Ф., Крупнов А.А. Влияние неполной аккомодации энергии гетерогенной рекомбинации на тепловые потоки к теплозащитным силиконизированным покрытиям // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2008. № 5. 181-190.

Поступила в редакцию 26.12.2011

УДК 531.391

ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ, ЗАПОЛНЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Е. Ю. Баранова1, В. Г. Вильке2

Рассматривается движение по инерции системы, состоящей из твердого тела с неподвижной точкой и вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей сферическую или эллипсоидальную полость внутри твердого тела. Главные моменты инерции системы относительно неподвижной точки близки к главным моментам инерции осесимметричного

1 Баранова Елена Юрьевна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Вильке Вла/)имир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].