Моделирование изгибных колебаний в стержневых конструкциях РЭС Текст научной статьи по специальности «Физика»

Таньков Г.В., Затылкин А.В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЯХ РЭС

В качестве силовых элементов конструкций радиоэлектронных средств (РЭС) широко применяются стержневые конструкции в виде отдельных стержней (кронштейны, валы) и в виде более сложных устройств (рамы, каркасы). В процессе эксплуатации РЭС на подвижных носителях могут возникать вибрации стержневых конструкций, которые в случае появления резонансов могут оказывать существенное влияние на функционирование электронного средства (ЭС) в целом.

Применение методов математического моделирования дает возможность проводить исследования физических процессов, протекающих в конструкциях и их элементах, и определять на этапе проектирования их динамические характеристики, которые, в свою очередь, являются основой для прогнозирования поведения изделия в заданных условиях эксплуатации.

При этом важна не только разработка расчетных моделей, но и разработка эффективных алгоритмов исследования моделей [1].

Для решения задач исследования динамики стержневых конструкций РЭС эффективно использование численных методов, ориентированных на применение ЭВМ. При исследовании механических процессов алгоритмический вид модели можно получить из неалгоритмических описаний, то есть из дифференциальных уравнений, осуществляя формальный переход от дифференциальных уравнений к разностным.

Стержневые конструкции могут совершать различные колебания. Для определения амплитуд, механических напряжений в элементах стержневых конструкций в процессе эксплуатации рассмотрим уравнение их движения при вынужденных колебаниях. Изгибные колебания в стержне, описываются однородным уравнением:

8 4ш 8 2ш

ш1х+^ -0- (1)

где ш (х,^ - смещение точек стержня перпендикулярно упругой оси; Е - модуль Юнга; J - момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; р - плотность материала: Б - площадь поперечного сечения стержня.

Обозначая изгибную жесткость стержня как С3 — Е1 , учтём потери энергии при колебаниях в виде диссипативной силы, пропорциональной скорости деформации [2] и в правую часть добавим внешнюю силу Е(х, ^, возбуждающую колебания и приложенную в точках крепления. Тогда уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня запишется в виде:

84ш 8 14ш 8гш

С-^+^^С-1Х?+р:1^—п'л (2)

где: п - коэффициент вязкости материала.

В соответствии с методом конечных разностей заменим сплошной стержень совокупностью дискретных элементов с шагом разбиения по оси х, равным hx. Массу каждого дискретного элемента сосредоточим в его центре - узле, лежащем на оси х; силы взаимодействия между дискретными элементами заменяем упругими связями между узлами. Получим геометрическую дискретную модель стержня, состоящую из п узлов, соединенных упругими связями.

Заменив первую производную по времени в левой части (2) её разностным аналогом, и полагая, что 1Аш

Ь(о)= ----т- запишем уравнение (2) в виде:

8х4

САш), + - [С*Цш), - САш),-т ~\ — ~Р^ (3)

т 8г2

где т - шаг дискретизации по времени, а сила Е(х, ^ учитывается в начальных условиях.

Раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены (3), получим:

(1+-)Q 1CS

—-— L(m)t -—- L(m)t -pS pS

8 m ~8tr

(3)

Учитывая, что вторая производная от перемещения по времени есть ускорение а узла, запишем (3) в д2ш

виде а =—т- и, заменив вторую производную по времени разностным аналогом, получим:

дг2

-т2а = шх(і + т) -2шх(і) + шх(і -т), (4)

Преобразуем (4) к виду явного разностного уравнения:

-т2а + 2шх(і) - шх(і -т) = Шх(і + т), (5)

которое, будучи дополнено граничными и начальными условиями, образует явную разностную схему, которая в сочетании с геометрической моделью дает расчетную модель стержня, достаточно просто реализуемую на ЭВМ.

Алгоритм программной реализации расчетной модели представлен на рис.1. Блоки ввода (2,3) и вывода (11) информации позволяют пользователю работать в графическом интерфейсе. Они представлены системой окон на единой форме, что позволяет существенно упростить интерфейс и сделать его интуитивно понятным. Расчет вспомогательных параметров (4) позволяет определить оптимальный шаг по времени. Расчет модели осуществляется блоками 5-9. Процедура KRAI (6,9) проводит расчет законтурных узлов с учетом

краевых условий. В блоках 7,8 решаются уравнения для центральных узлов. С целью экономии машинной

памяти, программа использует динамические массивы.

Программа реализована в среде Delphi 6.0, имеющей две характерные особенности: создаваемые ею программы могут работать не только под управлением Windows, а сама она относится к классу инструментальных средств ускоренной разработки программ (Rapid Application Development) [3].

Но степень достоверности информации, полученной на дискретных моделях, должна быть подтверждена материалами исследования моделей после их разработки и построения алгоритмов [4].

В данной работе приведены результаты таких исследований для моделей стержневых конструкций, проведенных с помощью вычислительных экспериментов, в которых использованы, так называемые, тестовые задачи, то есть такие, для которых можно получить аналитическое решение.

Получив для таких задач численное решение по разработанной модели можно оценить степень точности

результата сравнением численного и аналитического решения.

В вычислительных экспериментах исследовался процесс изгибных колебаний стержня, возникающий в результате воздействия на него динамических нагрузок - вибраций. Стержень возбуждался кинематически, т.е. за счет колебаний опор Проведено решение ряда тестовых задач, для которых известны аналитические решения.

Задача 1. Рассматривалась динамика изгибных колебаний стержня с жестко закрепленными концами (рис.2). Исследуемая модель представляет собой модель стального стержня, длинной 25см и диаметром 4мм. Смещения, соответствующие действию гармонической вибрации, задавались в крайние узлы модели. Собственная форма стержня, в режиме установившихся колебаний, показана на рис.3 При внешнем гармоническом воздействии с амплитудой 2g и частотой, соответствующей резонансной, ускорение в средней точке стержня равно 3,26g. Полученная в численном решении картина процесса полностью соответствует картине нормальных колебаний сплошного стержня, т.к. в механике считается, что при резонансе форма вынужденных резонансных колебаний совпадает с собственной формой колебаний стержня[5].

Задача 2. Рассматривалась динамика изгибных колебаний стержня с шарнирно закрепленными концами (рис.4). Использовалась модель стержня и внешнее гармоническое воздействие, что и в задаче 1. При внешнем гармоническом воздействии с амплитудой 2g и частотой, соответствующей резонансной, ускорение в средней точке стержня равно 1,7 9g. Результаты численного решения, представленные на рис.5 так же соответствуют картине нормальных колебанийстержня, полученной в механике [6].

Задача 3. Рассматривалась динамика изгибных колебаний стержня с одним жестко закрепленным и другим - свободным концом (консольное закрепление, рис.6). Смещения, соответствующие действию гармонической вибрации, задавались в узлы модели, соответствующие месту жесткого закрепления стержня. Собственная форма стержня, в режиме установившихся колебаний, показана на рис.7 Это численное решение также подтверждается аналитической картиной процесса механики сплошных сред [5].

В

I

Рис. 2 - Стержень с жестко закрепленными концами

Рис. 3 - Колебания контрольных точек стержня с жестко закрепленными концам (о=204Гц)

Б

В

Рис. 4 - Стержень с шарнирно закрепленными концами мкм

60

0

-60

2

-2

22

0

-22

Рис. 5 - Колебания контрольных точек стержня с шарнирно закрепленными концами (о=91Гц).

В

Рис. 6

Консольное закрепление стержня

Рис. 7 - Колебания контрольных точек стержня с консольным закрепленнием (о=16Гц).

Проведенные исследования дискретной модели стержневой конструкции показывают, что модель качественно правильно отражает динамику физических процессов, происходящих в упругом стержне при вибро воздействиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тартаковский А.М. Математическое моделирование в конструировании РЭС: Монография Пенза: Изд-во Пенз.гос.техн.ун-та, 1995. - 112с.

2. Бабаков И.М. Теория колебаний. М - М.: Наука, 1968. - 560с.

3. Фаронов В. Система программирования Delphi. - СПб.: БХВ-Перербург, 2004. - 912с.

4. Абрайтис Л.Б. Автоматизация проектирования ЭВМ / Л.Б. Абрайтис, Р.И. Шейнаускас, В.А. Жилевичюс; Под ред. Л.Б. Абрайтиса.-М.: Сов. радио, 1978. - 272с.

А

0

В

5. Токарев М.Ф. Механические воздействия и защита РЭА: Учеб. Пособие / М.Ф. Токарев, Е.Н. Талицкий, В.А. Фролов / Под ред. В.А. Фролова. - М.: Радио и связь, 1984г. - 224с.

6. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Физматгиз, 1962. - 770с.