Моделирование инвестиционных стратегий, соответствующих различным инвестиционным стратегиям Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ РАЗЛИЧНЫМ ИНВЕСТИЦИОННЫМ

СТРАТЕГИЯМ

Малютина Т. Д.

к.э.н., Доцент кафедры менеджмента и финансов НОУ ВПО "Институт управления" Волгоградский филиал

Статья посвящена вопросам принятия инвестиционных решений инвесторов, испытывающих существенное воздействие возможного преимущества первого хода, т.е. инвестирования первым. Проведенный анализ показывает, что при наличии двух инвесторов и возможности получения преимущества первым инвестором по сравнению с остальными инвесторами указанный эффект существенно меняется в зависимости от типа возникающего равновесия. Доказано, что существуют два типа равновесия. Равновесие в доминантных стратегиях соответствует ситуации, когда одна из фирм инвестирует первой (фирма-лидер), а другая второй (фирма-последователь). Определены необходимые и достаточные условия реализации каждого типа равновесия.

Ключевые слова: инвестиционное решение, инвестирование,

инвестиционный проект, доминантная стратегия, типы равновесия, инвестиционная стратегия.

Стандартным подходом, используемым для решения динамических игр, является метод обратной индукции по времени. Фирма-последователь получает прибыль по проекту (1 + 8Р )в{ за вычетом инвестиционных затрат (— К). Стоимость опциона инвестирования фирмы-последователя Е(в)

включает две составляющие, соответствующие различным интервалам изменения в: одна из них определяет стоимость опциона инвестирования

фирмы-последователя до, а другая после инвестирования. Обозначим функции стоимости проекта фирмы-последователя до и после инвестирования, соответственно, через Е0 и Е]. До момента инвестирования фирма-последователь имеет опцион инвестирования, однако не получает дохода. В этой области (областью наблюдения за ожидаемой прибылью) в любой малый временной интервал dt с момента времени t фирма-последователь получает прирост или убыток капитала dF0 [1]. Уравнение Беллмана для стоимости опциона инвестирования поэтому имеет вид:

Ео = ехр(—^) Ег [ Ео + dFo]. (1)

Используя лемму Ито и уравнении для геометрического броуновского движения (1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

2 а2в2 Ев) + ^вЕ'(в) — гЕо(в) = 0. (2)

Из уравнения (2) видно, что если в когда-либо принимает значение в = 0, оно остается нулевым всегда. Следовательно, опцион инвестирования не имеет стоимости при в = 0, и должно удовлетворять граничному условию Е0 = 0. Решение дифференциального уравнения (2) при таком граничном условии имеет вид

Е = ьв,

где ЪР - положительная постоянная, и 3 > 1 - положительный корень квадратного уравнения

1 2

— а г (г — 1) + м — г = 0,

т.е.

м

+ .

+ ■

2г

> 1.

а

Рассмотрим теперь стоимость опциона инвестирования фирмы-последователя в «области остановки», в которой величина в такова, что

оптимально немедленное инвестирование. Поскольку инвестиции предполагаются невозвратными, стоимость опциона инвестирования фирмы-последователя в «области остановки» определяется только ожидаемой стоимостью без опционных составляющих. Существуют две возможности. В первом случае фирма-последователь инвестирует сразу после фирмы-лидера. Если значение переменной состояния в момент t составляет в{, функция стоимости фирмы-последователя в этом случае имеет вид:

Во второй ситуации фирма-последователь инвестирует в тот же самый момент, что и фирма-лидер. В этом случае функция стоимости фирмы-последователя определяется следующим образом

Граница между областью наблюдения за ожидаемой прибылью и

продолжение откладывания инвестирования оптимально при в < вЕ, и немедленное инвестирование оптимально при в > вЕ [2]. Оптимальное время остановки ТЕ тогда определяется как первый момент, когда стохастический процесс в входит в интервал [вЕ, да) снизу.

Объединяя решение для области наблюдения за ожидаемой прибылью и области остановки, получаем, что функция стоимости фирмы-последователя определяется следующим образом

Е1(в ) = Е I еХР[ — Г(т — t)](1 + )в^Т — К ,

так что

(3)

областью остановки определяется триггер-точкой вЕ, такой, что

ьРвР, в < вР

Р (в) = 1л ^ (5)

( + 6р )в — К, в > вР

г — м

при условии, что фирма-лидер инвестирует в некоторый момент в' < вр , где Р определяется следующим образом

Р =1 — 4 + Л

2 а2 ]

1 М I2 2г

-----------2 +-----------2 ^ 1.

2 а ) а2

Значение вР представляет собой оптимальную точку инвестирования фирмы-последователя. Критическое значение в, вР должно удовлетворять условиям непрерывности и «гладкого склеивания» (непрерывной дифференцируемости). Указанные условия имеют вид

вР =----------—----(г — М), (6)

Р (Р —1)(1 + ^)' ^ ^

Ьр =

(1 + 8Р )вр—(Р—1) Р(г — М)

Уравнение (6) для порога инвестирования фирмы-последователя можно интерпретировать как эффективные инвестиционные затраты, скорректированные с учетом неопределенности.

Для фирмы, инвестирующей первой, существуют две возможности. Первая состоит в том, что эта фирма инвестирует при в < вР, т.е. в некоторый момент t < ТР [3]. В этом случае имеются две компоненты функции стоимости фирмы, соответствующие различным интервалам в . Первая компонента, L1, возникает после того, как фирма-лидер инвестировала, однако до инвестирования фирмы-последователя. Вторая компонента L2 возникает после инвестирования фирмы-последователя.

Вторая компонента эквивалентна функции стоимости фирмы-последователя, определенной выше. Первая компонента выводится ниже.

После того, как фирма-лидер инвестировала, ее прибыль определяется ожидаемой стоимостью инвестиционного проекта. Эта прибыль, однако, испытывает воздействие инвестирования фирмы-последователя в более поздний момент времени вР [4]. С учетом последующего инвестирования фирмы-последователя пост-инновационная прибыль фирмы-лидера определяется следующим образом

| ехр[-г(т - ґ)]0^т + | ехр[-г(т - ґ)](1 + 81 )0^т - К

Те

(7)

После преобразования получаем

в в ^}вР вг 1 пд

—,------К + ——= —,--------К + Ьвд .

г - {Л вр г - {Л г - {Л

Первая составляющая функции стоимости Ь1 определяет ожидаемую

стоимость инвестирования до того, как инвестирует фирма-последователь, тогда как вторая составляющая имеет характер опциона и отражает стоимость для фирмы-лидера будущего инвестирования фирмы-последователя [5].

Вторая возможность для фирмы, инвестирующей первой, состоит в том, что она инвестирует при некотором значении в > вР, т.е. при , > Тр. В этом случае пост-инновационная прибыль фирмы-лидера определяется следующим образом

Ь2 (в ) = Е, ']ехр[-г(т - ,)](1 + )втёт - К = <1+^. (8)

lt ] г - Л

Объединяя решение для области наблюдения за ожидаемой прибылью и области остановки, получаем, что функция стоимости Ь(в) фирмы-лидера определяется следующим образом:

т=

в

-----К + Ъьвд, ве [0, вР)

г - л

(9)

(1 + ^ )в

- К, в > вР

г - л

при условии, что фирма-последователь инвестирует при вр . Составляющая

Ъ1вд представляет собой эффект опциона инвестирования, связанный с ожиданием возможного инвестирования фирмы-последователя. Анализ показывает, что

ъь = -1-р— < о,

г - л

т.е. инвестирование фирмы-последователя (как и следовало ожидать) снижает стоимость опциона инвестирования фирмы-лидера.

Следующее Утверждение описывает свойства равновесия в доминантных стратегиях.

Утверждение 1. При равновесии в доминантных стратегиях фирма-лидер инвестирует на инвестиционном пороге вр, а фирма-последователь на пороге вР > вр . Значение вр является единственным решением уравнения

вр - вм 1 1 + $р - Р$1

(10)

вм д -1 1 + $р

в интервале (0, вь ), где

вм = К(г - Л) статический инвестиционный порог, а

а дК .

вг =------(г - л)

1 д -1

порог инвестирования единственной фирмы в условиях неопределенности.

Доказательство. Равновесная точка инвестирования фирмы-

последователя вр определяется уравнением (5). Выведем выражение для точки инвестирования фирмы-лидера [6]. Определим функцию

А (в) =

в

г - л

К

1 - д^ь + 8Е К

1 + 8

F

д -1

(11)

представляющую разность

1(в) - Е (в),

где 1(в) соответствует тому, что фирма-лидер инвестировала, а Е (в) -

тому, что фирма-лидер инвестировала, а фирма-последователь не инвестировала. Имеются три возможности, состоящие в том, что имеется (1) ни одного, (2) один и (3) несколько корней выражения (11). Используем следующие свойства функции А(в): эта функция непрерывно

дифференцируема по в,

А(0) = -К < 0,

А (в) < 0

при всех значениях в < в0, а также А(в1) > 0 и вь < вЕ. Свойство А(в1) > 0 требует доказательства. Используя определение

дК

в =--------(г - л),

д -1

получаем

К

А (в1) =

(д -1)(1 + 8е )

Поскольку 8Ь > 8е > -1, то

А(вь)> К

д81

чл д

ЧвЕ У

+ (1 + 8Е )

1

(д -1)(1 + 8е )

д8

+ (1 + 8Е )

1-

К

^ (1 + 8е )д-1 +1 - (1 + 8е )д].

д -1

Положим

ф(8Р) = д8Е (1 + 8е )д-1 +1 - (1 + 8Р)

\Р

Заметим, что 0(0) = 0. Производная

Ф'8) = д(д -18 (1+8г )д-2 равна нулю, если -1 < 8г < (=)0 . Следовательно, ф(8Г) > 0 для всех

значений 8г е (-1,0). Следовательно, А(в1) > 0 для всех 8г е (-1,0).

Следовательно, существует значение вр < вь, такое, что А(вр) = 0, и А(в) меньше (больше) нуля для значений в, меньших (больших) вр. Убедимся, что такое значение вр только одно в интервале (0, вь). Чтобы убедиться в этом, заметим, что

1 - д8ь + 8г > 0,

поскольку 8Ь < 0 и 8г >-1. Следовательно, функция А(в) вогнутая, и А в) > 0 . Следовательно, уравнение

А (в) = 0

имеет единственное решение вр в интервале (0, вь). Следовательно, в последовательном равновесии ни одна из фирм не инвестирует при в е [в0, вр). При в = вр < вь инвестирует фирма-лидер, при вг > вр

инвестирует фирма-последователь.

При равновесии в доминантных стратегиях фирма-лидер не может выбрать инвестиционный порог оптимально, как фирма-последователь. Инвестиционный порог фирмы, инвестирующей первой, определяется безразличием между выбором фирмой ролей лидера и последователя, т.е. вр при равновесии в доминантных стратегиях определяется равенством

Ь(вр ) = Г (вр ).

В этом состоит отличие от инвестиционного порога фирмы-последователя, который определяется условиями непрерывности и «гладкого склеивания» (непрерывной дифференцируемости), т.е. выбирается оптимально.

ЛИТЕРАТУРА

1. Блех Ю., Гетце У. Инвестиционные расчеты: модели и методы оценки инвестиционных проектов. Пер. с нем. - Калининград: «Янтарный сказ», 1997

2. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.

- М.: «Наука», 1970

3. Гитман Л., Джонк М. Основы инвестирования. Пер. с англ. - М.: «Дело», 1997

4. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. - М.: «Дело», 2000

5. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. - М.: «Дело», 1998

6. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - М.: «Дело», 1995