CC BY
26
УДК 519.62
Р. Р. Шангареев (асп.), Д. В. Берзина (асп.), С. А. Мустафина (д.ф.-м.н., проф., зав. каф.)
Моделирование и теоретическая оптимизация процесса дегидратации изоамилового спирта с учетом дезактивации катализатора
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, кафедра математического моделирования 453103, г. Стерлитамак, ул. Ленина пр., 37; тел./факс +7 (347) 343 50 02, e-mail: [email protected], [email protected]
R. R. Shangareev, D. V. Berzina, S. A. Mustafina
Modelling and theoretical optimization of the process of dehydration of isoamyl spirit taking into account catalyst deactivation
Sterlitamak Branch of Bashkir State University, 37, Lenin Ave, 453103, Sterlitamak, Russia; ph./fax +7(347) 343 50 02, e-mail: [email protected], [email protected]
Построена математическая модель и решена задача оптимального управления для процесса дегидратации изоамилового спирта с изменяющейся активностью катализатора. Разработаны алгоритмы решения краевой задачи принципа максимума Понтрягина, основанные на методах последовательных приближений и вариаций в пространстве управления. Приведена сравнительная характеристика алгоритмов на примере процесса дегидратации изоамилового спирта. Показано, что необходимым условием различения механизмов дезактивации является проведение кинетического эксперимента при достаточно больших степенях превращения.
Ключевые слова: дегидратация спирта; дезактивация катализатора; краевая задача; оптимальное управление; принцип максимума Понт-рягина.
The mathematical model is constructed and the optimal control problem is solved for the process of dehydration of isoamyl alcohol with the changing catalyst activity. Algorithms based on successive approximations and variations of control space are developed to fix the boundary value problem of the Pontryagin's principle of maximum. There is a comparative characteristic of algorithms through the example of the process of dehydration of isoamyl alcohol. It is proved that the kinetic experiment at sufficiently great fractional conversions is a necessary condition to differentiate deactivation mechanisms.
Key words: boundary value problem; catalyst deactivation; dehydration of alcohol; optimal control; the Pontryagin's principle of maximum.
Дегидратация спиртов является одним из основных методов синтеза алкенов. Катализатор в этом случае играет важную роль, так как выбор наилучшего катализатора существенно повышает скорость разложения.
Скорость реакции химического процесса в общем случае зависит от состава реакционной смеси с учетом изменения свойств катализатора в виде произведения двух членов. Первый определяется стехиометрией образования активного комплекса, второй — влиянием состава реакционной смеси на свойства катализатора 1.
В случае дегидратации спирта влияние химического превращения и изменения катализатора также разделяется, но в виде двух слагаемых:
da1 c1 • a1
dt = 1 + c2 • a1
da2 c1 • a2
dt = 1 + c2 • a:
da3 c1 • a3
dt = 1 + c2 • a3
1 + c2 • a2
1 + c2 • a2
(1)
c6 • a3 • ln a3
1 + c2 • a3
где а1 [г/мл] — концентрация исходного вещества при обратимой адсорбции;
а2 [г/мл]— концентрация адсорбированного исходного компонента в абсорбированный продукт при необратимой изомеризации;
а3 [г/мл] — концентрация продукта реакции при обратимой адсорбции;
Дата поступления 31.01.13
с1> с2, сэ [с 1 ] — константы соответствующих стадий реакции, вычисляемые по формулам:
С = ■
к1 ' к-3 ' к2
С =
С =
С =
(К-1 + *2)(*_3 + кз)
к1 ' 3 + к2 ) ~ К3 ' (к-1 + к2 )
(к-1 + к2)(к-3 + к3)
к4 ' к1 ' к-3
С = -
(к-1 + к2)(к-3 + к3)'
к4 ' [к1 ' к2 - к3 ' (к-1 + к2 )]
(к-1 + к2 )(к-3 + к3)
к4 ' к3 ' (к-1 + к2 )
с6 = -
(к-1 + к2)(к-3 + к3)
к4' к3' (к-1 + к2) (к-1 + к2)(к-3 + к3)'
йа1
йг
da2
йг
йа3
йг
2' а1 + а1' (1 - а1) 1 + а1 1 + а2
2'а2 +9'а2'(1 -а3)-3-а2' 1па2
1 + а2
1 + а2
(3)
2' а3 -3' а3' 1п а3
1 + а3
1 + а3
с начальными условиями
а(0) = 1, / = 1,2,3.
В качестве критерия оптимизации рассматривается выражение
3 = тах ^ - а{
а ■а)(' * 1Я '
Ограничения на й{.
0 < а < 1
Составим функцию Понтрягина для задачи (3)—(6):
н( а ,а2 а ¥1 3)=и а а , а3 + (7)
+/2(аг ,а2 ,а3) • ¥2 + /3( а а ,а3) ¥3,
где ц, ц2, ц3 определяются из сопряженной системы (8).
(2)
где к/ [с 1 ] — константы скорости химического превращения соответствующих стадий реакции.
В большинстве случаев для процесса дегидратации изоамилового спирта используются алюмосиликатные катализаторы, в этом
случае рассматриваются следующие значения 2
констант 2 с.
й¥1 = йг й¥2
1 - 2 • а,
1 + а 1 + а2
йг 1 + а2
+
6 -18 • а2 - 3 • /п(а2) 1 + а2
9 • а2 • (1 - а2) - 3 • а2 • /п(а2) (1 + а2 )2
й¥3 2 + 3 • а3 • /п(а3) 3 • /п(а3) + 3
(8)
йг
(1 + а3 )2
1 + а3
с граничными условиями
ц (0) = 0, / = 1,2,3.
Материалы и методы
(9)
■[ С-1 ]:
С1 = С5 = С6 = 2, С2 = 1 С3 = С4 = 9 .
Тогда математическая модель процесса представима в виде:
(4)
(5)
Для решения краевой задачи (3)—(9) были применены численные методы последовательных приближений и вариации в пространстве управления с уровнем разделения е = 0.05 3.
При решении задачи методом последовательного приближения за начальное приближение примем ак(г) = 0.5,\ = 1,..,3 . Следующее приближение а к+1(г) строится с помощью процедуры, включающей 3 этапа:
1. Интегрируя систему (1) при а = ак (г) с начальными условиями (4) в интервале (0,г), получаем траекторию ак (г), запоминая ее в достаточном числе точек.
2. Применяя ак (г), интегрируем систему (8) с начальными условиями (9) в обратном направлении (г, 0), находим значение переменных ¥(г) и запоминаем в достаточном числе точек.
3. Одновременно с интегрированием определяем новое ак+1(г) приближение из соотношения (7), используя в качестве а и ц, значения ак (г) и ик (г).
Решение задачи методом вариаций в пространстве управлений представляет собой итерационную процедуру, не требующую перехода основной задачи к краевой задаче принципа максимума. Общая схема решения состоит из 3-х этапов:
1. Интегрируя систему (1) при а = ак ) с начальными условиями (4) в интервале (0,?), вычисляем значение критерия 0. Запоминаем значение критерия и управления в достаточном числе точек.
2. Варьируем управление по направлению ик ±8и в точке t = t¡. Интегрируем систему (1) при и = ик ±8и с начальными условиями (2) в интервале (0, t), вычисляем значения критерия (5). Если критерий улучшился, и при этом выполняется условие (6), то запоминаем это значение критерия и управление в достаточном числе точек.
3. Переходим к следующей точке t = tм и выполняем пункт 2 со старым приближением ак . После того, как пробежим все точки tг, переходим к ак+1(0 .
Повторяем цикл до тех пор, пока не выполнится условие 8а < е = 0.05 . Если критерий не улучшился, то уменьшаем вариацию вдвое.
Результаты и их обсуждение
Результаты вычислений представлены на рис. 1—3.
a(t)
1 1 0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 -о -
Рис. 1. Концентрационные профили a (t), рассчитанные методом последовательных приближений
Рис. 2. Концентрационные профили а (), рассчитанные методом вариации пространства управлений
Рис. 3. Сравнение результатов метода последовательных приближений и метода вариаций в пространстве управлений
Как видно из полученных данных, процесс дегидратации изоамилового спирта на алюмосиликатных катализаторах характеризуется падением концентраций a1(t), a2(t), a3(t) c течением времени. Для разделения ситуаций отравления исходным веществом и отравления продуктом с уровнем 0.05 необходимо иметь данные a е[0;0.5], где i = 1,2,3. Если повысить уровень разделения е до 0.1, то уменьшится промежуток измерения ai, на которых этот уровень достигается. Таким образом, необходимым условием различия механизмов дезактивации является проведение кинетического
эксперимента при достаточно больших степенях превращения.
Наиболее быструю сходимость при заданном уровне 0.05 обеспечивает метод последовательных приближений, предельное число итераций которого составило 26. Сравнительная характеристика методов представлена на рис. 3.
Как видно из рис. 3, наиболее значимая расходимость заметна на последних итерационных шагах. Для достижения меньшей расходимости необходимо в методе вариаций пространства управлений увеличить точность.
Литература
1. Островский Н. М. Кинетика дезактивации катализаторов. Математические модели и их применение.- М.: Наука, 2001.- 334 с.
2. Шангареев Р. Р., Давлетшин Р. С., Мустафи-на С. А. // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2010. — Т.17, №5.- С.787.
3. Шангареев Р.Р., Давлетшин Р.С., Мустафина С.А. Программные модули для решения задач оптимизации химических процессов с учетом изменения активности катализатора.-Москва: ОФЭРНИО, №15478, ВНТИЦ, №0203025820376, 2010.- 21 с.
Literature
1. Ostrovskij N.M. Kinetika dezaktivacii katalizatorov. Matematicheskie modeli i ikh primenenie.— Moskva: Nauka, 2001.— 334 s.
2. Shangareev R.R., Davletshin R.S., Mustafina S.A. // Obozrenie prikladnoj i promyshlennoj matematiki.- 2010.- T.17, №5.- S.787.
3. Shangareev R.R., Davletshin R.S., Mustafina S.A. Programmnye moduli dlja reshenija zadach optimizacii himicheskih processov s uchetom izmenenija aktivnosti katalizatora.- Moskva: OFERNIO, №15478, VNTIC, №0203025820376, 2010.- 21 s.
