Моделирование и синтез замкнутых механических систем с многократными связями на основе целочисленных решений структурного уравнения механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Расчет и конструирование

УДК 621.01

МОДЕЛИРОВАНИЕ И СИНТЕЗ ЗАМКНУТЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МНОГОКРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ НА ОСНОВЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ СТРУКТУРНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ

В.И. Пожбелко, Е.Н. Ермошина

MODELLING AND SYNTHESIS CLOSED MECHANICAL SYSTEMS WITH MANY-SIDED CONNECTIONS ON BASE WHOLE-NUMERATION SOLUTIONS OF STRUCTURAL EQUATION

V.l. Pozhbelko, E.N. Ermoshina

Рассматривается методика и примеры синтеза многозвенных механических систем на основе полученных целочисленных решений исходного структурного уравнения механики. Установлено, что данное алгебраическое уравнение с двумя неизвестными имеет конечное множество из девяти решений в целых числах, которые могут быть использованы для построения (на основе этих решений) возможных структур механических систем взаимосвязанных твердых тел.

Ключевые слова: механические системы, структурный синтез, целочисленное решение уравнения, диофантов анализ.

The paper presents structural synthesis of mechanical systems with manysided connections which using in technics. Result examples of creation such systems on base whole-numeration solutions of structural equation.

Keywords: mechanical systems, structural synthesis.

1. Постановка задачи и предлагаемый путь ее решения

Математические выражения (уравнения, неравенства и другие зависимости переменных величин) являются основным средством формализации и познания при моделировании физических явлений и строения окружающего мира, представляющего собой различные механические системы [1-4], состоящие из целого числа взаимосвязанных твердых тел (рис. 1). Таким образом, в механике возникает проблема решения уравнений прикладной математики именно в целых числах, относящаяся к достаточно сложным задачам аналитической теории чисел [5-7] и получившая название «диофантов анализ уравнений» (по имени древнегреческого математика Диофанта).

В работах [5-7] отмечено, что в первую очередь такие проблемы возникают, когда приходится искать целочисленные решения уравнений, где число неизвестных превышает число уравнений (например, два и более неизвестных в одном уравнении) и которые содержат:

а) более простую задачу - установление существования конечного (или бесконечного) количества целочисленных решений данного уравнения или системы исходных уравнений (или полного отсутствия таких решений в целых числах);

б) более сложную задачу - определение расчетным путем точного количества этих целочисленных решений при увеличенном (два и более) числе неизвестных в рассматриваемом уравнении;

в) рассматриваемую в данной работе предельно сложную задачу - нахождение всех этих решений в целых числах для количественного описания, а также последующее моделирование и целенаправленное создание (на основе этих решений) возможных структур механических систем взаимосвязанных твердых тел:

- как уже существующих (образовавшихся в природе окружающего мира в виде различных химических соединений и живых биологических объектов);

- так и искусственно создаваемых человеком разнообразных подвижных и неподвижных механических устройств (например, движущиеся механизмы машин и неподвижные шарнирнорычажные фермы).

Отметим, что разнообразные механические системы взаимосвязанных твердых тел могут содержать как только простые (simple joints) соединения между собой двух отдельных компонентов (звеньев) системы (это будет частный случай - обозначим его V = 0), так и сложные многократные (complex many-sided) соединения между собой трех и более отдельных компонентов (звеньев) системы (этот более общий случай ее строения обозначим V Ф 0). Некоторые примеры возможных подвижных соединений (связей) звеньев между собой в различных замкнутых механических системах даны на рис. 2 (где кратность j образующихся соединений будет на единицу меньше числа сходящихся в узле звеньев механической системы).

Рис. 1. Примеры механических систем с многократными связями, созданных природой и изобретенных человеком (на основе познания закономерностей окружающего мира): а - кристаллическая решетка твердых веществ [3]; б - шарнирный прямолинейно направляющий механизм [1]; в -стержневая ферма однопролетного моста [1]; г - человекоподобный робот-манипулятор; д - сотовые конструкции пчелиных ульев (с ячейками шестигранной формы); е - сотовые конструкции решеток охлаждения современных ядерных реакторов (с ячейками девятигранной формы) [4]

Рис. 2. Варианты многократных связей элементов механических систем (узлов с кратностью / £ 2 )

Для формализации строения многозвенных механических систем используем полученное в работе [2] уравнение многократных связей замкнутых механических систем (исходное структурное уравнение механики), которое в общем случае (V Ф 0) имеет вид

V2 + 2Vз + 3V4 + 4у5 +... + (к — 1^к = V; у< С = 2(К —1), (1)

где Vу - число у-кратных соединений звеньев замкнутой механической системы (утах = К); К -

число образуемых звеньями системы взаимно независимых замкнутых контуров (К> 1); V -приведенное число многократных соединений звеньев (узлов) механической системы; параметр к в последнем слагаемом данного уравнения зависит от величины К и равен к = К +1 (при С < К в области К < 2 ) или равен к = К (при С > К в области К > 2).

Решение исходного уравнения (1) заключается в определении всех целочисленных значений неизвестных (V2,Vз,V4,V5,...,Vk) при заданной целой величине К = 1; 2; 3;... и соответствующей ей целой константе С = 2(К — 1), задающей диапазон изменения V < С . На рис. 3 даны примеры разнообразных механических систем, структура которых удовлетворяет граничному V = С .

С математической точки зрения исходная зависимость (1) представляет собой линейное алгебраическое уравнение 1-й степени с целой константой С и постоянными целыми коэффициентами с1, образующих арифметическую прогрессию (число слагаемых которой зависит от задаваемой величины К = 1; 2; 3;.):

(с0У + С1У2 + С2У3 + С3У4 + С4У5... + СгУг) — С = 0, (2)

где с0 = 0, с1 = 1, с2 = 2, с3 = 3 , с4 = 4,..., сг = (к — 1) ;

У2 =^ У3 =^ У4 =^ У5 =^ ^ ^ Уг = ^к .

Предлагаемый алгоритм поиска всех решений уравнения (1) состоит из трех этапов;

а) определение диапазона возможных целочисленных значений неизвестных (I этап);

б) составление аналитической зависимости между неизвестными (II этап);

в) определение всех решений искомого уравнения в целых числах - из совместного рассмотрения пунктов а и б (III этап).

2. Решение структурного уравнения механики в целых числах

Применим предлагаемый трехэтапный алгоритм для решения в целых числах исходного структурного уравнения механики (1) при К = 1, К = 2, К = 3.

I. К = 1

Исходное структурное уравнение механики (1) при К = 1 вырождается (V ^2, С = 0) и имеет единственное решение

V2 ^=0,

которое представлено на рис. 4 в виде одноконтурной замкнутой механической системы.

II. К = 2

Исходное структурное уравнение механики (1) при К = 2 примет вид

V2 + 2v3 ^ ; V< 2(К — 1) = 2 и в диапазоне возможных целочисленных значений неизвестных 0<V2 <2, 0^3 <1 имеет следующие 4 решения в четных и нечетных числах:

а) К = 1, V = 0, С = 2(К -1) = 0

б) К = 2, V2 = 2, У^2 =2,

С = 2(К -1) = 2

УУ

УУ

уу

УУ УУ - -уу

в)АГ=3,у2=4, у=у2=4,

С = 2(К -1) = 4

УУ

УУ

К < < Ї А

УУ УУ

/ УУ \

УУ

УУ

V2 = 8

V3 = 4

г) К = 4, V2 = 6, у^2 =6, С = 6

д) К = 5, У^2 =2v3 =8, С = 2( К -1) = !

УУУУ<

УУУУ

УУУ

е)К= 6, У3 = 2, У4 =2, V = 2v3 + 3v4 = 10, С = 10

ж) К = 7, V2 = 12, V ^2 =12, С = 2(К -1) = 12

Рис. 3. Моделирование строения замкнутых одноконтурных (К = 1) и многоконтурных (Кй 2) шарнирно-рычажных структур (выполнение граничного условия структурного уравнения механики (1) вида у = С )

V, = 0, у3 = 0, V, = 1, у3 = 0, V, = 2, у3 = 0, V, = 0, у3 = 1 (представленные на рис. 4 в виде различных двухконтурных механических систем).

III. К = 3

Исходное структурное уравнение механики (1) при К = 3 примет вид

V, + 2у3 =У; У< 2(К -1) = 4 и в пределах V < 4 может иметь только 5 значений величины V :

V = С1 = 0; V = С2 =1; V = С3 = 2; V = С4 = 3; V = С5 = 4, приводящих к следующей совокупности целочисленных решений уравнения (1), определяющих возможные варианты структуры трехконтурных механических систем:

а) С1 = 0 :

V2 + 2Vз = 0 ^ V2 = 0, Vз = 0 (первое решение);

б) С, = 1:

1 -V,

V2 + 2Vз = 1 ^ Vз =—2— ^ из условия Уз > 0 величина V, может быть только нечетной и равной V, = 1, Vз = 0 (второе решение);

в) С3 = 2:

- 7 у л

У2 + 2Уз = 3 ^ Уз =--------- ^ из условия Уз > 0 величина У2 может быть только нечетной

У2 + 2Уз = 2 ^ Уз = 1 —2“ ^ из условия Уз > 0 величина У2 может быть только четной и

в пределах У2 < 2 таких четных цифр только две: У2 = 0, Уз = 1 (третье решение); У2 = 2, Уз = 0 (четвертое решение);

г) С4 = з :

з-у0 2

и в пределах У2 < з таких нечетных цифр только две (1; з): У2 = 1, Уз = 1 (пятое решение); У2 = з , Уз = 0 (шестое решение);

д) С5 = 4 :

У2

^2 + 2Уз = 4 ^ Уз = 2 —— ^ из условия Уз > 0 величина У2 может быть только четной и в

пределах У2 < 4 таких четных цифр только три (это 0; 2; 4): У2 = 0, Уз = 2 (седьмое решение); У2 = 2, Уз = 1 (восьмое решение); У2 = 4, Уз = 0 (девятое решение).

V = С = 0

а) К = 1, С = 0

v2 = 0, v3 = 0 v2 = 1, v3 = 0

v2 = 2, v3 = 0 v2 = 0, v3 = 1

б) К = 2, С = 2(К -1) = 2

Рис. 4. Создание одноконтурных (К = 1) и двухконтурных (К = 2) замкнутых механических систем (на основе решений в целых числах структурного уравнения механики (1) в случае С£ К)

Таким образом, исходное уравнение механики (1) при К = 3 содержит 2 неизвестных (V2, Vз) и имеет только 9 решений в целых числах (представленных на рис. 5 в виде трехконтурных замкнутых механических систем).

3. Теорема о конечном множестве целочисленных решений

структурного уравнения механики с несколькими неизвестными

Анализ полученных в п. 2 целочисленных решений линейного структурного уравнения механики (1) позволяет предположить, что их различное число предопределено разными наборами четных и нечетных цифр согласно предлагаемой ниже теореме.

Теорема

Линейное структурное уравнение механики вида

v2 + 2v3 + 3v4 + 4v5 +... + (к- 1)ук ^ ; v<С = 2(К-1)^ v2 + 2v3 <С0 (3)

при любых К > 1 (т. е. с любым числом неизвестных) имеет конечное множество Z целочисленных решений (V2, Vз, V4,...), определяемое набором четных и/или нечетных взаимно простых целых чисел в составе константы С0 и рассчитываемое по формуле

Сэ = 2(К -1) - ^4 + 4V5 +... + (к-1)Ук ], Сэ < С = 2( К -1), (5)

где N1 - число целочисленных решений в пределах данного значения С0 ; т0, к0 - сумма четных цифр (т0) и их количество (к0) в цифровом диапазоне от нуля до предела, равного С0 (включительно); ть к]_- сумма нечетных цифр (т{) и их количество (к!) в цифровом диапазоне от нуля до предела, равного Со (включительно).

1) У2 = 0, У3 = 0( V = 0)

2) V2 = 1, Vз = 0( V = 1)

3) V2 = 0, Vз = 1( V = 2)

4) ^2 = ^ ^ = 0( V = 2)

5) V2 = 1, Vз = 1( V = 3)

6) V2 = 3, v3 = 0( V = 3)

7) У2 = 0, У3 = 2 (V = 4)

8) V 2 = 2,

V3 = 1 (V = 4)

УУ УУ ¿2^

УУУ

9) V2 = 4,

V3 = 0 (V = 4)

Рис. 5. Создание трехконтурных (К = 3, С = 2(К - 1)) замкнутых механических систем (на основе решений в целых числах структурного уравнения механики (1) в случае С > К)

Пример № 1. Исходные данные: К = 2; У2 + 2у3 = 2(К —1) = 2 ; Со = С = 2 ; Ni = N . Результаты расчета: то = 0 + 2 = 2, ко = 2; т! = 1, к = 1 ^ N = (2/2 + 2) + (1) = 4; 2 = N = 4. Пример № 2. Исходные данные: К = 3; У2 + 2Уз = 4; Со = С = 4 ; Ni = N .

Результаты расчета: то = о + 2 + 4 = 6, ко = 3; т^ = 1 + 3 = 4, к1 = 2 ^ N = (3 + 3) + (3) = 9;

2 = N = 9 . (Совпадают с представленными на рис. 4 и 5 для случаев К = 2 и К = 3).

Примечание

В работе [6] рассматривается метод поиска целочисленных решений линейного уравнения с двумя неизвестными вида ах + Ьу + Е = о,

решение которого представлено в виде х = хо - Ь , у = уо + а1, где ^ - параметр (? = о, ± 1, ± 2,...), (Хо,Уо)- некоторое решение данного уравнения, в указанном уравнении а, Ь - целые числа, отличные от нуля и взаимно простые; Е - целое.

Применительно к рассматриваемой механической системе с К = 2 (см. рис. 4) на а, Ь, Е необходимо наложить дополнительные условия: х > о, у > о; а = 1, Ь = 2; Е < о; (Хо = Е, Уо = — Е) -одно из решений; Е е [—2, о].

С учетом данных условий получаем следующую систему неравенств:

Jх = E - 2t > 0;

{у = -E + t >0,

из которой определяем интервал изменения параметра t (с учетом отрицательной величины E):

E

t< ^; t > E и получаем следующий набор целочисленных решений:

X = 0, У! = 0; х2 = 1, у2 = 0; х3 = 2, у3 = 0; х4 = 0, у4 = 1.

Сравнительный анализ полученного множества из 4 решений показывает, что данный результат (пары чисел х и у) полностью согласуется как с целочисленными решениями при K = 2 (см. п.2), так и с определением числа решений по аналитической зависимости (4) теоремы, предложенной в п.3 данной работы.

Выводы

1. Установлено, что исходное структурное уравнение механики вида [2] v2 + 2v3 + 3v4 + 4v5 +... + (к- 1)vk =v ; v<2(K-1)

имеет конечное множество целочисленных решений Z (4), зависящих от набора четных и нечетных чисел в пределах константы данного уравнения, возрастающее с увеличением числа K образуемых звеньями механической системы замкнутых контуров.

2. Полученные целочисленные решения указанного структурного уравнения механики отражают все возможное многообразие структур с многократными связями и могут быть практически реализованы в виде разнообразных механических систем взаимосвязанных твердых тел (подвижных или неподвижных звеньев) для разных областей техники.

3. В синтезированных на основе целочисленных решений разнообразных механических систем (см. рис. 4 и 5) выявлена общая закономерность упрощения структуры (за счет снижения сложности составляющих звеньев) при переходе от нижней границы v = 0 к верхней границе v = C их строения с многократными связями.

Литература

1. Крайнев, А.Ф. Механика (искусство построения) машин. Фундаментальный словарь / А. Ф. Крайнев. - М. : Машиностроение, 2000. - 904 с.

2. Пожбелко, В.И. Структурный анализ и синтез механизмов заданного уровня сложности по универсальной структурной таблице стандартных кодов строения /В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2012. - Т. 10, №1 (19). - С. 24-45.

3. Глинка, Н.Л. Кристаллические решетки твердого вещества // Общая химия /Н.Л. Глинка. -Л.: Химия, 1986. - Гл. V. - 704 с.

4. Крапивцев, В.Г. Организация конвективного переноса в пучке твэлов за сотовыми решетками для водо-водяных энергетических реакторов / В.Г. Крапивцев, В.И. Солонин, С.И. Цирин // Известия вузов. Машиностроение. - 2011. - № 4. - С. 7-12.

5. Серпинский, В. О. О решении уравнений в целых числах: пер. с пол. / В. О. Серпинский. - М. : Изд-во физ.-мат. лит., 1961. - 88 с.

6. Гельфонд, А. О. Решение уравнений в целых числах / А. О. Гельфонд. - М. : Наука, 1983. - 63 с.

7. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М. : Совет. эн-цикл., 1988. - 847 с.

Поступила в редакцию 4 сентября 2012 г.

Пожбелко Владимир Иванович. Доктор технических наук, профессор, Южно-Уральский государственный университет. Область научных интересов - теория механизмов и машин.

Vladimir I. Pozhbelko. Doctor engineering science, professor, South-Ural State University. The area of scientific interests - theory of machine and mechanisms.

Ермошина Екатерина Николаевна. Студентка, Южно-Уральский государственный университет. Область научных интересов - прикладные математика и физика.

Ekaterina N. Ermoshina. Student, South Ural State University. The area of scientific interests -applied mathematics and physics.