CC BY
10ВЕСТН. CAMAF. ГОС. ТЕХН. УН-ТЛ. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2009. № 2 (24)
Электротехника
УДК 621.365
МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА В ТРЕХФАЗНОМ ИНДУКТОРЕ С ВРАЩАЮЩИМСЯ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ1
А.А. Базаров, А.И. Дан илу ш кин, Е.А. Никитича2
Самарский государственный технический университет 443100. Самара, ул. Молодо гвардейская, 244
Исследуются электромагнитные про11ессы в системе «трехфазный индуктор с вращающимся магнитным полем - цилиндрическая заготовка» с целью качественной оценки характера распределения внутренних источников тепла и определения энергетических параметров процесса нагрева.
Ключевые слова: трехфазный индуктор, вращающееся магнитное поле, распределение внутренних источников тепла,
В статье рассматривается новая задача расчета электромагнитных и тепловых полей при нагреве ферромагнитной заготовки во вращающемся магнитном поле трехфазного индуктора. Особенностью является решение взаимосвязанных электромагнитной и тепловой задач с учетом нелинейных зависимостей магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля и температуры, а также неравномерности распределения магнитной индукции, вызванной значительным воздушным зазором. Использование готовых прог раммных средств вызывает определенные сложности, обусловленные необходимостью согласования границ конструкции для задания граничных условий в разных задачах, что не всегда можно корректно выполнить. Поэтому алгоритм разработки моделей должен учитывать указанную проблему. Исследования, выполненные авторами и частично представленные в статье, позволяют решить эту задачу.
Для создания вращающегося магнитного поля используется конструкция индуктора в форме статора трехфазной асинхронной машины. В роторе, в качестве которого рассматривается нагреваемая заготовка, тепло выделяется под действием вихревых токов, наведенных вращающимся магнитным полем обмотки статора. Предлагаемая конструкция позволит обеспечить равномерную загрузку трех фаз сети, повысить коэффициент мощности системы и коэффициент полезного действия, уменьшить влияние краевых эффектов. Однако реализация такого метода нагрева
1 Работа поддержана грантом РФФИ {проект №07-08-00216.
1 Базаров Александр Александрович - кандидат технических наук, доцент,
e-mail: [email protected] Данилушкин Александр Иванович - доктор технических наук, профессор. Никитина Екатерина Александровна аспирант.
требует решения ряда задач, связанных с исследованием электромагнитных и тепловых полей системы, разработкой конструкции индуктора, расчетом и выбором оптимальной схемы трехфазной обмотки.
При индукционном нагреве имеют место два вида преобразования энергии: энергия источника питания преобразуется в энергию магнитного поля, затем она преобразуется в джоулево тепло, поглощаясь проводящей заготовкой. Из этого вытекают две взаимосвязанные задачи - электромагнитная и тепловая.
При решении любой сложной системы принимается ряд общих и специфических допущений, корректность которых зависит от конкретной системы. К общим допущениям при решении электромагнитной задачи можно отнести следующие: запаздывание электромагнитной волны в воздухе отсутствует; установившиеся электромагнитные процессы рассчитываются для величин, меняющихся по гармоническому закону; магнитная проницаемость однозначно зависит от напряженности магнитного поля; магнитная проницаемость считается действительной величиной (так как потери на гистерезис при нагреве ферромагнитного тела много меньше потерь на вихревые токи).
Так как индуктор нагревательной установки выполнен в виде статора асинхронной машины, её с некоторым допущением можно рассматривать как асинхронный двигатель с массивным ротором, работающий в режиме короткого замыкания. Известно, что любая электрическая машина является системой взаимно перемещающихся контуров тока с распределенными параметрами. Наиболее распространенный способ математического моделирования процессов в такой системе - представление её в виде электрической цепи с сосредоточенными параметрами - схемы замещения. Однако в исследуемом объекте при таком аналитическом расчете некоторые параметры магнитной цепи и схемы замещения не могут претендовать на точность уже по причине большого воздушного зазора между заготовкой и индуктором, что нехарактерно для асинхронных машин. Это в очередной раз подчеркивает неприемлемость аналитического расчета для электромагнитной задачи.
В общем случае процесс нагрева рассматриваемого класса объектов описывается нелинейной взаимосвязанной системой уравнений Максвелла [1] и Фурье [2] соответственно для электромагнитного и теплового полей с соответствующими краевыми условиями:
rot{l)=^k (i)
div{H\ = 0; lHv{e}=0-
dt r\ or J
Здесь {//}, {e {, \в} - векторы напряженности магнитного и электрического полей и магнитной индукции; (а)ум -удельная электропроводимость; Г-температу-ра; t - время; А,(г,0,Г)- компоненты тензора теплопроводности (теплопроводность как функция температуры представляется кубическим сплайном); qv~ удельная мощность тепловыделения (в линейной постановке - константа, в нелинейной постановке - задаваемая кубическим сплайном в функции температуры); с{г$гх,Т) -
удельная теплоемкость (в нелинейном случае это функция температуры, аппроксимированная кубическими сплайнами); (уМ^Д^Г) - плотность, в - угловая координата.
Геометрическая модель исследуемой индукционной системы представлена на рис. I,
Основным видом нелинейной среды являются ферромагнитные участки магнитной цепи и стальные конструктивные элементы, для которых связь между индукцией и напряженностью магнитного поля выражается зависимостью
в = в(н)=ц(н)н, в = в(н)=р.0р(н)н.
Остальными нелинейностями в рассматриваемом диапазоне частот при обычно применяемых материалах пренебрегают.
Зависимость В(н) определяется магнитными свойствами среды в бесконечно малом объеме, включающем в себя рассматриваемую точку. Известная неопределенность зависимости В(Я) связана с проявлением гистерезиса и наличием частных циклов намагничивания, в связи с чем вектор индукции В зависит не только от Н, но и от предыдущего ее изменения в данной точке и от начальной намагниченности.
4
Рис. 1. Геометрическая модель исследуемой установки: I - магнитопровод индуктора; 2 - воздушный зазор; 3 - футеровка: 4 - изоляция; 5 - нагреваемое изделие; 6 - медная трубка специального профиля
При решении нелинейных В(н) уравнений электромагнитного поля основную кривую намагничивания аппроксимируют аналитическими выражениями, которые, с одной стороны, должны достаточно точно описывать эту кривую, а с другой - допускать интегрирование системы уравнений поля в удобном для расчетов виде. Наибольшее распространение получила параболическая зависимость В{н). Однако сложная структура исследуемой системы «индуктор - нагреваемое изделие», содержащая ряд конструктивных элементов неканонической формы с различными физическими свойствами, не позволяет с достаточной для практики точностью использовать аналитические методы решения.
Численный расчет электромагнитных полей в сложной составной структуре тел, содержащей ферромагнитные участки магнитной цепи, стальные конструктивные
элементы и ферромагнитную загрузку, производился с помощью программного комплекса ELCUT 5,2 Professional [3].
Расчет выполнялся в два этапа. На первом этапе электромагнитная задача решалась как задача нестационарного магнитного поля, которая позволяет рассчитывать ноле, возбужденное токами произвольной формы, и анализировать переходные процессы. В качестве исходных данных вводятся: свойства сред, источники поля, распределенные и сосредоточенные токи, кривые намагничивания ферромагнитных материалов, граничные условия и др. Основными расчетными параметрами являются изменяющиеся во времени магнитный потенциал, магнитная индукция, напряженность поля, токи, энергия магнитного поля, силы Лоренца, моменты, собственные и взаимные индуктивности и потокосцепление.
Задача расчета нестационарного магнитного поля представляет собой общий случай расчета магнитного и электрического полей, вызванных переменными токами (синусоидальные, импульсные и др.), постоянными магнитами, или внешним магнитным полем, в линейной и нелинейной (ферромагнитной) среде, с учетом вихревых токов (поверхностный эффект). Формулировка задачи может быть получена из уравнений Максвелла для векторного магнитного потенциала А (В = rot А , В -вектор магнитной индукции) и скалярного электрического потенциала U (Е = -grad Uу Е - вектор напряженности электрического поля):
roi^"1 •rot а)= j + rot Нс; (3)
j = g ■ Е = -g ■ grad U - g- ЗА/dt, (4)
где ц~' - тензор, обратный тензору магнитной проницаемости, g - электропроводность.
В соответствии с уравнением (4) полный ток в проводнике может рассматриваться как сумма стороннего тока, вызванного приложенным извне напряжением, и вихревого тока, индуцированного переменным магнитным полем:
J ~ Jстор ieuxp >
где
icmop = -8 ■ &ad U '*
В рассматриваемой задаче вектор индукции В всегда лежит в плоскости модели (ху или zr), в то время как вектор плотности электрического тока j и векторный потенциал А перпендикулярны к ней. Отличны от нуля только компоненты jz и Az.
Для плоскопараллельных задач уравнение имеет вид
д f \ 1 дА д _ глМ
дх v Ц у дх J ду
а для осесимметричного случая
д Г 1 д{гА)л 4_ В ri ж
дг дг J Г ßz
дА__.
S ~ Jcmop
дА
дНсу дНг
дх
ду
ё Jстор '
( дН„
К dz
дНа
дг
(5)
(6)
В нелинейной постановке свойства материалов считаются изотропными -/I или ]±г - у.г ) И задаются зависимостью В{В), представленной кубическим
"X ~ г~у
сплайном.
Расчетная модель системы с сеткой конечных элементов представлена на рис, 2.
На внешних и внутренних границах расчетной области принято условие Дирихле, задающее на части границы известный векторный магнитный потенциал А0 в вершине или на ребре модели.
Однако полученные результаты расчета задачи нестационарного магнитного поля являются промежуточными и не позволяют определить интегральные характеристики устройства, необходимые для проектирования конструкции индукционного нагревателя. Наиболее важным результатом расчета нестационарного магнитного поля является получение зависимостей ц(г), которые можно дискретно задать
в расчетных областях ферромагнитных сред (рис. 3). Для расчета интегральных параметров индукционной системы, таких как полный электрический ток (с его сторонней и вихревой компонентами), электрическое напряжение, мощность тепловыделения (омические потери), вектор Пойнтинга, индукция магнитного поля, напряженность магнитного поля, магнитные силы и их моменты, комплексное сопротивление (импеданс), индуктивность, необходимых для решения тепловой задачи, полученные дифференциальные результаты далее использовались как исходные данные в задаче расчета стационарного магнитного поля переменных токов.
Р и с. 2. Геометрическая модель с сеткой конечных элементов
Наиболее удобным способом передачи значений полученных интегральных параметров из электромагнитной задачи в тепловую является использование связанных электротепловых моделей. В качестве первой составляющей для такой комбинации подходит только задача стационарного магнитного поля переменных токов.
Анализ стационарного магнитного поля переменных токов состоит в расчете электрического и магнитного полей, возбужденных приложенными переменными (синусоидально изменяющимися во времени) токами или внешним переменным полем. Изменение поля во времени предполагается синусоидальным. Все компоненты поля и электрические токи изменяются как
г = г0 СОз(й)/ + $,),
где 20 - амплитудное (максимальное) значение 2, ф. - фазовый угол, ш - угловая частота.
—и
— —I-
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 расстояние от поверхности заготовки, мм
Р и с. 3. Распределение магнитной проницаемости по глубине заготовки
Задача формулируется как дифференциальное уравнение в частных производных относительно комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала А ( В = го/ А , В - вектор магнитной индукции). Вектор магнитной индукции предполагается лежащим в плоскости модели (ху или гг), в то время как вектор плотности электрического тока ] и векторный магнитный потенциал А ортогональны к нему. Только компоненты и А, в плоской постановке и и Л6 в осесимметричном случае отличны от нуля. Будем обозначать их просто j и А. Уравнение для плоской задачи запишется в виде
8 Ча/ д __
дх Л дх; ду .Их
- шщА = -}стор,
(7)
и для осесимметричного случая
д_ дг
\ дА гц, дг у
дг
- -- -)стор,
(8)
1_дА
где электропроводность g и компоненты тензора магнитной проницаемости и ц,, (цт и цг) постоянны в переделах каждого блока модели. Сторонняя составляющая тока }стор предполагается постоянной в пределах каждого блока модели в плоской задаче и обратно пропорциональной радиусу (1/г) в осесимметричном случае.
Ниже приведены некоторые результаты исследования процесса индукционного нагрева стальной ферромагнитной цилиндрической заготовки в трехфазном индукторе с вращающимся магнитным полем. При построении сетки конечных элементов задавался автоматический шаг дискретизации, сетка содержит 4507 узлов. Параметры системы: диаметр ферромагнитной заготовки - 140 мм, толщина футеровки (шамот группы В) - 20 мм, величина воздушного зазора 5 мм. Обмотка индуктора выполнена из стандартной медной трубки специального профиля со смещенным отверстием. Индуктор охлаждается водой. Источники поля задавались через полный ток амплитудой 17350 А и соответствующим углом сдвига в зависимости от расположения обмотки. Распределение плотности полного тока по радиусу заготовки приведено на рис.4.
расстояние от поверхности заготовки, мм
Р и с. 4. Распределение плотности полного тока по радиусу заготовки
По результатам расчета получено: средняя мощность тепловыделения составила суммарно во всех обмотках 36409 Вт, в заготовке - 154445,9 Вт. Магнитная индукция в статоре не превышает 0,75 Тл, в заготовке максимальное значение наблюдается на поверхности и не превышает 3,1 Тл. Коэффициент полезного действия - 0,81, коэффициент мощности - 0,45. Аналогичный индуктор продольного поля, выполненный в виде цилиндрической катушки, имеет коэффициент полезного действия 0,74, коэффициент мощности 0,38.
Тепловая задача для ротора представляет собой нелинейную задачу нестационарной теплопроводности для той же геометрической модели, что и в электромагнитной задаче. При решении тепловых задач в двумерной области используется уравнение теплопроводности вида [2]:
= _ -ср— (9)
дх ^ * дх ) г дг[_ г дг ) д(
где Г- температурное распределение в цилиндре; I - время; X - компоненты тензора теплопроводности (в линейной постановке); с/(т) - удельная мощность тепловыделения; в линейной постановке - константа, в нелинейной постановке - задаваемая 126
кубическим сплайном функция температуры; с(т) - удельная теплоемкость, в нелинейном случае это функция температуры, аппроксимированная кубическими сплайнами; р - плотность.
В качестве источников тепла задавалась объемная плотность тепловыделения для каждого блока, полученная в результате решения электромагнитной задачи. На внешних и внутренних границах расчетной области могут быть заданы граничные условия первого, второго или третьего рода, соответствующие реальным условиям теплообмена. Для оценки потерь в статоре (магнитопроводе и обмотке индуктора) рассматривалась аналогичная нелинейная задача нестационарной теплопроводности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вайнберг A.M. Индукционные плавильные печи. - М.: Энергия, 1967. — 415 с.
2. Лыков А. В. Тепломассообмен: справочник. - М, : Энергия, 1978. - 480 с.
3. ELCUT. Моделирование двумерных полей методом конечных элементов. Версия 5.5. Руководство пользователя. — СПб., 2007.
Статья поступила в редакцию 3 июня 2009 г.
UDC 621.365
MODELLING AND CALCULATION OF INTERNAL SOURCES OF HEAT IN THREE-PHASE INDUCTION HEATER WITH THE ROTATING MAGNETIC FIELD
A. Bazarov, A. Danilushkin, E. Nikitina1
In article are investigated electromagnetic processes in system «a three-phase induction heater with a rotating magnetic field - metal cylinder» for the purpose of qualitative estimation of character distribution internal sources of heat and definition of power paramétrés of heating process.
Key words: three-phase inductor, rotating magnetic field, distribution of internal heat sources.
1 Aieksandr A.Bazarov - Candidate of Technical Sciences, Associate professor. Aleksandr I. Danilushkin - Doctor of Technical Sciences, Professor. Ekaterina A. Nikitina - Postgraduate student.
