CC BY
18
DOI: 10.18287/2542-0461-2021-12-4-195-211 ЮУ
НА УЧНАЯ СТАТЬЯ УДК 330.47
Дата поступления: 24.08.2021 рецензирования: 26.09.2021 принятия: 26.11.2021
Моделирование и оценка риска минимального портфеля, копирующего фондовый индекс
В.Н. Никишов
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева,
г. Самара, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3629-4015
В.О. Левченко
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева,
г. Самара, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-8648-3300
Аннотация: В статье предложена методика формирования минимального портфеля, копирующего фондовый индекс. Методика основана на использовании индекса оценки монополизма на рынке (индекса Герфиндаля) в качестве целевой функции и формировании ряда ограничений, обеспечивающих доходность и риск формируемого портфеля на уровне фондового индекса. В силу стохастической динамики ценных бумаг оценка степени подобия в части доходности и риска производилась методами имитационного моделирования в предположении, что изменение стоимости каждого актива удовлетворяет логарифмическому броуновскому движению с учетом ковариации между активами. Методика формирования минимального портфеля копирующего фондовый индекс оказывается особенно полезной в силу периодического пересмотра состава рыночного индекса, так как позволяет снизить количество затратных операций по переформатированию инвестиционного портфеля. Минимальный портфель, сформированной на основе предлагаемой методики - с одной стороны обеспечивает практически не меньшую доходность и не больший риск, чем индексный портфель, с другой стороны дает значительное уменьшение расходов на осуществление весьма затратных операций, связанных с переформатированием портфеля.
Ключевые слова: математическая модель; оценка риска; портфель ценных бумаг; фондовый индекс; минимальный порфель; cardinality condition; мосбиржа; ri.imoex.
Цитирование. Никишов В.Н., Левченко В.О. Моделирование и оценка риска минимального портфеля, копирующего фондовый индекс // Вестник Самарского университета. Экономика и управление. 2021. Т. 12, № 4. С. 195-211. DOI: http://doi.org/10.18287/2542-0461-2021-12-4-195-211. Информация о конфликте интересов: авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
© Никишов В.Н., Левченко В.О., 2021
Никишов Виктор Николаевич - доцент кафедры «Математики и бизнес-информатики», Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г.Самара, Московское шоссе, 34.
Левченко Вадим Олегович - старший преподаватель кафедры «Математики и бизнес-информатики», Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г.Самара, Московское шоссе, 34.
SCIENTIFIC ARTICLE
Submitted: 24.08.2021 Revised: 26.09.2021 Accepted: 26.11.2021
Modeling and risk assessment of the minimum portfolio copying the stock index
V.N. Nikishov
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3629-4015
V.O. Levchenko
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-8648-3300
Abstract: The article proposes a methodology for forming a minimum portfolio that copies a stock index. The methodology is based on the use of the index for assessing monopoly in the market (Herfindahl index) as an objective function and the formation of a number of restrictions that ensure the profitability and risk of the formed portfolio at the level of the stock index. Due to the stochastic dynamics of securities, the assessment of the degree of similarity in terms of profitability and risk was made using simulation methods under the assumption that the change in the value of each asset satisfies the logarithmic Brownian motion, taking into account the covariance between assets. The method of forming the minimum portfolio copying the stock index turns out to be especially useful due to the periodic revision of the composition of the market index, as it allows to reduce the number of costly operations to reformat the investment portfolio. The minimum portfolio formed on the basis of the proposed methodology - on the one hand, provides practically no less profitability and no greater risk than the index portfolio, on the other hand, it provides a significant reduction in the cost of performing very costly operations associated with reformatting the portfolio.
Key words: mathematical model; risk assessment; portfolio of securities; stock index; minimum portfolio; cardinality condition; Moscow exchange; ri.imoex.
Citation. Nikishov V.N., Levchenko V.O. Modeling and risk assessment of the minimum portfolio copying the stock index. Vestnik Samarskogo universiteta. Economika i upravlenie = Vestnik of Samara University. Economics and management, vol. 12, no. 4. pp. 195-211. DOI: http://doi.org/10.18287/2542-0461-2021-12-4-195-211. (In Russ.)
Information on the conflict of interest: authors declares no conflict of interest. © Nikishov V.N., Levchenko V.O., 2021
Victor N. Nikishov - associate Professor of the Department of Mathematics and Business Informatics, Samara University, 34, Moskovskoe shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
Vadim O. Levchenko - senior lecturer of the Department of Mathematics and Business Informatics, Samara University, 34, Moskovskoe shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
Введение
Нестабильная экономическая ситуация в стране, неуклонное снижение депозитных ставок, уменьшение доверия к надежности банков заставляет инвесторов рассматривать все возможные способы сохранения средств, в том числе путем участия в биржевой торговле ценными бумагами.
Одной из самых надежных стратегий инвестирования, как начинающих, так и опытных инвесторов является формирование портфеля ценных бумаг более или менее подобного составу фондовых индексов, таких как ST500, Nasdag и др. за рубежом и, типа RTS, IMOEX и их отраслевых разновидностей у нас.
Периодическое изменение состава ценных бумаг, входящих в индекс вынуждает инвестора совершать большое количество затратных операций для поддержания подобия ранее сформированного портфеля новому составу индекса.
Индексные фонды имеют целью создание портфелей, чье поведение почти дублирует тот или иной рыночный индекс. Если бы они просто копировали состав индекса, то потери на переформирование такого портфеля могли бы быть очень существенны, так как это потребовало бы большого числа операций с бумагами, входящими в индекс с небольшими лотами. Было бы идеально, если бы можно было бы сформировать портфель из небольшого числа ценных бумаг, динамика которого полностью дублировала бы динамику цены индексного портфеля. Это позволило бы вместо большого количества операций с небольшими лотами делать небольшое число операций (возможно с большими лотами). Конечно, на практике это невозможно и за возможность сократить число бумаг в порт-
феле приходится платить возможным отклонением динамики цены подобного портфеля от динамики цены индексного портфеля. Тем не менее, в некоторых случаях это оказывается оправданным.
Характеристики индекса Мосбиржи RI.IMOEX
Таблица 1 - База индекса Мосбиржи: RI.IMOEX [1]
№ Тикер Цена Кол-во Капитал-я Free-float Коэф огр Капитал в индексе Вес,%
1 AFKS 34,165 9 650 000 000 329 692 250 000 0,33 1 108 798 442 500 0,61%
2 AFLT 66,880 2 444 535 448 163 490 530 762 0,41 1 67 031 117 613 0,37%
3 ALRS 108,820 7 364 965 630 801 455 559 857 0,34 1 272 494 890 351 1,52%
4 CBO M 7,204 29 829 709 866 214 893 229 875 0,2 1 42 978 645 975 0,24%
5 CHM F 1 483,400 837 718 660 1 242 671 860 244 0,22 1 273 387 809 254 1,53%
6 DSKY 140,980 739 000 000 104 184 220 000 0,74 1 77 096 322 800 0,43%
7 FEES 0,217 1 274 665 323 063 276 831 814 863 0,18 1 49 829 726 675 0,28%
8 FIVE 2 401,500 271 572 872 652 182 252 108 0,41 1 267 394 723 364 1,49%
9 GAZP 226,740 23 673 512 900 5 367 732 314 946 0,5 0,89098 6 2 683 866 157 473 13,36 %
10 GLTR 506,850 178 740 916 90 594 833 275 0,57 1 51 639 054 967 0,29%
11 GMK N 23 250,000 158 245 476 3 679 207 317 000 0,38 0,89098 6 1 398 098 780 460 6,96%
12 HHR U 2 601,200 50 317 860 130 886 817 432 0,48 1 62 825 672 367 0,35%
13 HYD R 0,814 439 288 905 849 357 712 956 033 0,19 1 67 965 461 646 0,38%
14 IRAO 5,077 104 400 000 000 530 038 800 000 0,33 1 174 912 804 000 0,98%
15 LKOH 6 172,500 692 865 762 4 276 713 915 945 0,55 0,89098 6 2 352 192 653 770 11,71 %
16 LSRG 826,600 103 030 215 85 164 775 719 0,42 1 35 769 205 802 0,20%
17 MAG N 58,650 11 174 330 000 655 374 454 500 0,16 1 104 859 912 720 0,59%
18 MAIL 1 751,800 208 582 082 365 394 091 248 0,53 1 193 658 868 361 1,08%
19 MGN T 5 300,000 101 911 355 540 130 181 500 0,68 1 367 288 523 420 2,05%
20 MOE X 171,090 2 276 401 458 389 469 525 449 0,63 1 245 365 801 033 1,37%
21 MTSS 314,700 1 998 381 575 628 890 681 653 0,45 1 283 000 806 744 1,58%
22 NLM K 236,200 5 993 227 240 1 415 600 274 088 0,21 1 297 276 057 558 1,66%
23 NVTK 1 495,800 3 036 306 000 4 541 706 514 800 0,21 1 953 758 368 108 5,33%
24 OZON 3 990,000 179 230 154 715 128 314 460 0,21 1 150 176 946 037 0,84%
25 PHOR 4 102,000 129 500 000 531 209 000 000 0,25 1 132 802 250 000 0,74%
26 PIKK 871,000 660 497 344 575 293 186 624 0,18 1 103 552 773 592 0,58%
Продолжение таблицы 1
Free- Коэф Капитал в ин-
№ Тикер Цена Кол-во Капитал-я float огр дексе Вес,%
13 1 829 657 187
27 PLZL 446,500 136 069 400 100 0,21 1 384 228 009 291 2,15%
101 721 631
28 POGR 25,705 3 957 270 254 879 0,65 1 66 119 060 721 0,37%
685 174 099
29 POLY 1 452,200 471 818 000 600 0,71 1 486 473 610 716 2,72%
30 QIWI 795,500 51 487 257 40 958 112 944 0,57 1 23 346 124 378 0,13%
6 051 029 624
31 ROSN 570,950 10 598 177 817 616 0,11 1 665 613 258 708 3,72%
304 564 523
32 RSTI 1,532 198 827 865 141 823 0,11 1 33 502 097 621 0,19%
RTK 353 217 747
33 M 107,590 3 282 997 929 181 0,29 1 102 433 146 683 0,57%
739 899 823
34 RUAL 48,700 15 193 014 862 779 0,17 1 125 782 970 042 0,70%
6 343 108 800 0,83609 3 044 692 224 14,22
35 SBER 293,840 21 586 948 000 320 0,48 3 154 %
SBER 293 070 000 0,83609
36 P 293,070 1 000 000 000 000 1 3 293 070 000 000 1,27%
1 240 227 906
37 SNGS 34,715 35 725 994 705 184 0,25 1 310 056 976 546 1,73%
SNGS 319 632 926
38 P 41,500 7 701 998 235 753 0,73 1 233 332 036 529 1,30%
1 304 817 860
39 TATN 598,900 2 178 690 700 230 0,32 1 417 541 715 274 2,33%
TATN
40 P 562,700 147 508 500 83 003 032 950 1 1 83 003 032 950 0,46%
897 512 491
41 TCSG 4 503,200 199 305 492 574 0,58 1 520 557 245 113 2,91%
TRNF 151 235 408 075
42 P 400,000 1 554 875 000 0,37 1 87 100 987 750 0,49%
12 960 541 337 516 477 572
43 VTBR 0,040 338 293 0,27 1 139 448 944 519 0,78%
YND 1 539 476 193 0,89098 1 493 291 907
44 X 4 804,400 320 430 479 308 0,97 6 508 7,43%
На рисунке 1 представлена дневная динамика курса индекса за первые 4 месяца 2021 года.
Как можно видеть доходность индекса характеризуется большой волатильностью.
Ковариационная матрица доходности V - матрица размерностью 44*44.
На основе дневных данных за 4 месяца 2021 года вычислены значения альфа и бета ценных бумаг, входящих в индекс, вычисленные на основе дневных данных за первые 4 месяца 2021 года.
Линия рынка ценных бумаг SLM, построена на основе курса акций, входящих в индекс Мосбир-жи по дневным данным за 4 месяца 2021 года изображена на рисунке 3.
• Математическая формулировка задачи
Структура индекса характеризуется вектором столбцом с, данный вектор приведен в таблице 1 -последний столбец. Размерность вектора с равна п=44.
Дневная средняя доходность ценных бумаг т^,] = 1,2.. п вычислена по данным за 4 месяца 2021 года и приведена в таблице наряду с вектором с.
RI.IMOEX
3 700,00 3 600,00 3 500,00 3 400,00 3 300,00 3 200,00 3 100,00
4 0
oo
0
1 1 1 1 <4
2 2 2 2 Гч|
m oo тН ю CJ1
1 1 2 2 Гч|
m oo
9 9 .2 .2
00
22222222222222222222222222
. 1 1 2 . . .0
..OOOOO^rJ^OOOmmmOOOOO^^OOO 00
4 0.
3 .3 00
lo oo
0. 0. .4 .4
00
1 1 1 1 <4
2 2 2 2 Гч|
m ю тН ю CJ1
1 1 2 2 Гч|
44 00
Рисунок 1 - Дневная динамика курса индекса за первые 4 месяца 2021 года
На рисунке 2 представлена доходность индекса за этот же период времени.
RI.IMOEX
4,00% 3,00% 2,00%% 1,00% 0,00% -1,00%% -2,00%% -3,00%%
Рисунок 2 - Доходность индекса за первые 4 месяца 2021 года Таблица 2 - Alfa, beta ценных бумаг входящих в индекс
Тикер rsred beta alfa Тикер rsred beta alfa
AFKS 0,21% 0,821 0,46% NVTK 0,14% 1,622 0,04%
AFLT -0,13% 0,409 0,10% OZON 0,46% 1,208 0,34%
ALRS 0,12% 0,555 0,33% PHOR 0,38% 0,175 0,25%
CBOM 0,12% 0,568 0,32% PIKK 0,56% 0,332 0,41%
CHMF 0,37% 0,941 0,55% PLZL -0,15% 0,376 -0,32%
DSKY 0,12% 0,068 0,29% POGR -0,21% 0,151 -0,39%
FEES -0,06% 0,443 0,09% POLY -0,17% 0,362 -0,37%
FIVE -0,19% 0,418 -0,06% QIWI 0,06% 0,666 -0,15%
GAZP 0,10% 1,064 0,22% ROSN 0,24% 0,921 0,01%
GLTR 0,02% 0,399 0,12% RSTI -0,25% 0,593 -0,25%
Продолжение таблицы 2
Тикер rsred beta alfa Тикер rsred beta alfa
GMKN 0,10% 1,311 0,19% RTKM 0,09% 0,323 0,09%
HHRU 0,41% -0,127 0,48% RUAL 0,45% 1,153 0,45%
HYDR 0,09% 0,398 0,15% SBER 0,11% 1,060 0,11%
IRAO -0,09% 0,475 -0,05% SBERP 0,18% 0,810 0,18%
LKOH 0,16% 1,207 0,18% SNGS -0,06% 0,947 -0,06%
LSRG -0,09% 0,358 -0,08% SNGSP 0,02% 0,369 0,02%
MAGN 0,20% 0,600 0,19% TATN -0,03% 1,281 -0,03%
MAIL -0,19% 0,364 -0,21% TATNP -0,04% 1,112 -0,04%
MGNT -0,14% 0,513 -0,18% TCSG 0,69% 1,328 0,69%
MOEX 0,13% 0,283 0,08% TRNFP 0,01% 0,395 0,01%
MTSS -0,05% 0,392 -0,12% VTBR 0,34% 0,755 0,34%
NLMK 0,29% 0,784 0,20% YNDX -0,04% 0,878 -0,04%
E( r )=SLM
J yu
)
2 -1 ,5 - 1 -0 0 0, 5 1 5
-0 г ,2 л 0% 10/
Рисунок 3 - Линия рынка ценных бумаг SLM
Таблица 3 - Структура рыночного индекса М.1МОЕХ и средняя дневная доходность акций индекса
N Тикер N Тикер r
1 AFKS 0,21% 0,61% 23 NVTK 0,14% 5,33%
2 AFLT -0,13% 0,37% 24 OZON 0,46% 0,84%
3 ALRS 0,12% 1,52% 25 PHOR 0,38% 0,74%
4 CBOM 0,12% 0,24% 26 PIKK 0,56% 0,58%
5 CHMF 0,37% 1,53% 27 PLZL -0,15% 2,15%
6 DSKY 0,12% 0,43% 28 POGR -0,21% 0,37%
7 FEES -0,06% 0,28% 29 POLY -0,17% 2,72%
8 FIVE -0,19% 1,49% 30 QIWI 0,06% 0,13%
9 GAZP 0,10% 13,36% 31 ROSN 0,24% 3,72%
10 GLTR 0,02% 0,29% 32 RSTI -0,25% 0,19%
11 GMKN 0,10% 6,96% 33 RTKM 0,09% 0,57%
12 HHRU 0,41% 0,35% 34 RUAL 0,45% 0,70%
13 HYDR 0,09% 0,38% 35 SBER 0,11% 14,22%
14 IRAO -0,09% 0,98% 36 SBERP 0,18% 1,27%
15 LKOH 0,16% 11,71% 37 SNGS -0,06% 1,73%
16 LSRG -0,09% 0,20% 38 SNGSP 0,02% 1,30%
17 MAGN 0,20% 0,59% 39 TATN -0,03% 2,33%
Продолжение таблицы 3
N Тикер rj N Тикер r
18 MAIL -0,19% 1,08% 40 TATNP -0,04% 0,46%
19 MGNT -0,14% 2,05% 41 TCSG 0,69% 2,91%
20 MOEX 0,13% 1,37% 42 TRNFP 0,01% 0,49%
21 MTSS -0,05% 1,58% 43 VTBR 0,34% 0,78%
22 NLMK 0,29% 1,66% 44 YNDX -0,04% 7,43%
Разреженный портфель будет характеризоваться вектором х^,} = 1,2. ..т<п меньшей размерности.
Доходность индекса определяется как портфель ценных бумаг с, доходность которого равна Ш = сТг = 0,105%. Волатильность индекса Ш = (стУс)0'5 = 1,055% [2].
Нужно найти портфель х, аппроксимирующий рыночный индекс с наименьшим количеством ценных бумаг.
При построении минимального портфеля желательно чтобы ошибка аппроксимации была минимальной, например, чтобы не превышала малой величины £:
JE ((с - х)тг)2/Е(стг)2 < £.
В развернутом виде:
J(c — x)TV(c — х) + (с — x)rrT(c — х)/л1стУс + cTrrTc < е (1)
Пусть m - количество ценных бумаг в разреженном портфеле, для которых Xj > 0,j = 1,2.. m. Тогда стандартная (общепринятая формулировка) имеет вид: Целевая функция F = m ^ min.
Ограничение 1: (с — x)TV(c — х) + (с — x)rrT(c — х) < s2(cTVc + cTrrTc); J(c — x)TV(c — x) + (с — x)rrT(c — x)/^cTVc + cTrrTc < £. Ограничения 2: Xj > 0;j = 1,2,. .m;Xj = 0;j = m + 1;m = 2,.. .n.
Zn
X,- = 1.
7 = 1
Это выпуклая негладкая задача условной оптимизации, для которой нет эффективных алгоритмов [3]. Для решения задачи введем целевую функцию неявно связанную с минимизацией m - количества активов.
п
ля IF равный IF = у
Данная величина подобна индексу Герфиндаля, который применяется для характеристики монополизма того или иного рынка, характеризует наличие или отсутствие на нем конкуренции.
Значение индекса Герфиндаля изменяется от практического нуля (когда на рынке много компаний и доля каждой невелика), до величины равной 10000, когда на рынке полный монополизм - осталась только одна компания с удельным весом равным 100%.
Аналогично значение индекса портфеля IF принимает значения от величины порядка 500 (когда все акции имеют один вес равный 1/44), до 10 000 - когда портфель состоит из акции одного вида. Требование максимума IF автоматически ведет к минимизации m. Целевая функция имеет вид:
Zn 2
(l00x,) .
/=1
F = Y (W°xj) i—t ]=i
2
X;) ^ max.
Ограничения:
^(c — x)TV(c — x) + (c — x)rrT(c — x)/^cTVc + cTrrTc < £
Xj >0;j = 1,2.. n;
Zn
Xj = 1.
7=1
2
x,l ^
Выбор целевой функции в таком виде является ноу-хау для решения задач подобного рода. Дело в том, что все остальные подходы на основе снижения количества активов, входящих в портфель себя не оправдали (метод штрафов [4] и тому подобные эвристические методы).
Zn
(l00x,)
7=1
max минимизация количества акций, входящих в разреженный портфель осуществляется автоматически в ходе решения и зависит, прежде всего, от задаваемой ошибки аппроксимации £: п(е).
В таблице 4 приведены значения целевой функции и, соответствующее им количество акций, входящих в разреженный портфель, в зависимости от значения eps.
Таблица 4 - Значения целевой функции и соответствующее им количество акций
eps 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00%
n(eps) 42 22 15 15 14 12
F 888,1 1 420,0 1 858,7 2 317,3 2 842,7 3 444,2
В частности, при ошибке в 10% количество акций, входящих в разреженный портфель уже 22, а при eps=20% можно ограничиться 15 видами акций.
Структура разреженного портфеля для разных значений eps приведена в таблице 5.
Таблица 5 - Структура разреженного портфеля для разных значений eps
№ eps|X 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% CT индекс
1 AFKS 0,73% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,61%
2 AFLT 0,44% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,37%
3 ALRS 0,71% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,52%
4 CBOM 0,14% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,24%
5 CHMF 2,57% 2,60% 1,95% 2,43% 2,87% 3,29% 1,53%
6 DSKY 1,43% 1,59% 1,33% 0,60% 0,00% 0,00% 0,43%
7 FEES 1,07% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,28%
8 FIVE 3,70% 4,22% 4,72% 4,58% 3,98% 2,91% 1,49%
9 GAZP 16,77% 25,83% 33,68% 41,97% 49,30% 56,10% 13,36%
10 GLTR 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,29%
11 GMKN 7,74% 7,21% 7,46% 6,90% 6,82% 6,96% 6,96%
12 HHRU 0,05% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,35%
13 HYDR 0,65% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,38%
14 IRAO 0,62% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,98%
15 LKOH 11,70% 12,54% 12,34% 9,56% 7,44% 5,96% 11,71%
16 LSRG 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,20%
17 MAGN 0,34% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,59%
П
родолжение таблицы 5
№ eps\X 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% CT индекс
18 MAIL 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,08%
19 MGNT 0,32% 0,34% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 2,05%
20 MOEX 0,27% 0,26% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,37%
21 MTSS 0,56% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,58%
22 NLMK 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,66%
23 NVTK 2,78% 2,87% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 5,33%
24 OZON 0,63% 0,67% 0,53% 0,71% 0,79% 0,77% 0,84%
25 PHOR 0,48% 0,43% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,74%
26 PIKK 0,79% 0,76% 0,66% 0,36% 0,09% 0,04% 0,58%
27 PLZL 3,40% 2,67% 3,14% 0,52% 0,00% 0,00% 2,15%
28 POGR 2,48% 4,74% 3,88% 5,42% 5,99% 6,16% 0,37%
29 POLY 0,23% 0,21% 0,17% 0,17% 0,08% 0,00% 2,72%
30 QIWI 0,51% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,13%
31 ROSN 3,35% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 3,72%
32 RSTI 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,19%
33 RTKM 0,67% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,57%
34 RUAL 0,37% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,70%
35 SBER 16,34% 20,14% 19,85% 16,90% 13,10% 8,55% 14,22%
36 SBERP 0,59% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,27%
37 SNGS 2,37% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,73%
38 SNGSP 0,01% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,30%
39 TATN 1,49% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 2,33%
40 TATNP 1,13% 0,96% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,46%
41 TCSG 2,87% 2,69% 2,33% 1,41% 0,75% 0,20% 2,91%
42 TRNFP 1,56% 1,43% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,49%
43 VTBR 0,53% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,78%
44 YNDX 7,61% 7,85% 7,96% 8,47% 8,79% 9,06% 7,43%
В целях сравнения инвестиционных возможностей портфелей на основе всех акций входящих в индекс (полный портфель) и разреженного портфеля содержащего меньшее количество построим эффективную границу для каждого из них.
Граница эффективного множества для всех акций, входящих в индекс и для акций разреженного портфеля, состоящего из 14 акций разреженного портфеля, полученного при eps=25% приведена на рисунке 4.
Как можно видеть границы эффективных множеств достаточно близки, что служит дополнительным подтверждением эквивалентности замены индекса разреженным портфелем.
• Имитационное моделирование методом Монте Карло для оценки риска замены индекса разреженным портфелем
Имитационное моделирование методом Монте Карло является одним из способов оценки риска замены индекса разреженным портфелем.
Кроме того это способ оценки динамики доходности портфелей в краткосрочной перспективе.
Наиболее распространенным способом имитационного моделирования является разложение ковариационной матрицы на произведение нижней и верхней треугольной матрицы - разложение Холецкого:
V = G ■GT.
Риск портфеля дается выражением:
aß =X' VX = ^ Viixixi,
где V = (^¿у) = cov(ri, гу) - ковариационная матрица доходностей активов, входящих в портфель.
Элементы ковариационной матрицы У^ оцениваются на основе исторических данных: У^ = 1 V7
7> (пЮ-гОЫь)-^).
' ¿—4=1
Стандартная схема моделирования для положительно-определенной ковариационной матрицы У^ включает следующие этапы.
Рисунок 4 - Граница эффективного множества для всех акций, входящих в индекс и для акций разреженного портфеля
Производится разложение ковариационной матрицы на произведение У = ВС, где В - нижняя треугольная матрица, а С - верхняя треугольная матрица:
/Ьи 0 ... 0\ /1 с12 ... ¿V
В = 1Ь21 Ь22 ... 0 |. С = 1 0 1 ... С2п
\ьп1 Ьп2 ... Ь44/ \0 0 ... 1
Элементы матрицы даются выражениями:
Ьц = Ьу = Щ}-У ь1кск];(1>] > 1); с1} = а1}/Ь11; сц = (щ}-У Ь1кск]-];(1 < I <
¿—Ч{=1 \ ¿—Ч{=1 )
])■
Для симметрической матрицыс^- = Ъ^/Ъц, I < ].
0 0
, то факторизация может
/l/VV о ... о \ vd= о i/JbT2 ... о
\ 0 0 ... l
Тогда V = С • Ст.
На основе данной факторизации можно моделировать многомерное нормальное распределение
В случае матриц большой размерности более удобна программная реализация в среде VBA EXCEL [6]. Программа производит считывание данных ковариационной матрицы V и формирует на выходе матрицу Холецкого G. Sub xxolezkii()
Dim a(1 To 50, 1 To 50), b(1 To 50, 1 To 50), c(1 To 50, 1 To 50), d(1 To 50, 1 To 50) As Single Dim s, gm(1 To 50, 1 To 50) As Single: Dim i, j, k, nm As Integer: nm = 44 Range("d177").Activate: For i = 1 To nm: For j = 1 To nm: a(i, j) = ActiveCell.Value ActiveCell.0ffset(0, 1).Activate: Next j: ActiveCell.Offset(1, -nm).Activate: Next i For i = 1 To nm: For j = 1 To nm: b(i, j) = 0: c(i, j) = 0: d(i, j) = 0: If i = j Then c(i, j) = 1 Next j: Next i
For i = 1 To nm: b(i, 1) = a(i, 1): Next I : For j = 1 To nm: c(1, j) = a(1, j) / b(1, 1):Next j For i = 2 To nm: For j = 2 To nm: s = 0: For k = 1 To j - 1: s = s + b(i, k) * c(k, j): Next k If i >= j Then b(i, j) = a(i, j) - s: s = 0: For k = 1 To i - 1: s = s + b(i, k) * c(k, j): Next k If i < j Then c(i, j) = (a(i, j) - s) / b(i, i): Next j: Next i For i = 1 To nm: d(i, i) = 1 / b(i, i) л 0.5: Next i
For i = 1 To nm:For j = 1 To nm:s = 0:For k = 1 To nm:s = s + b(i, k) * d(k, j):Next k gm(i, j) = s: Next j: Next i
Range("d223").Activate : For i = 1 To nm: For j = 1 To nm: ActiveCell.Value = gm(i, j) ActiveCell.0ffset(0, 1).Activate: Next j: ActiveCell.0ffset(1, -nm).Activate:Next i Range("aw223").Activate: For i = 1 To nm: For j = 1 To nm: ActiveCell.Value = gm(j, i) ActiveCell.0ffset(0, 1).Activate: Next j: ActiveCell.0ffset(1, -nm).Activate:Next i: End Sub
1) Генерируем n - нормально распределенных случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями - получим вектор строку z(i,k) , i=1,2..44, где количество имитаций k=1,2.. 1000. (Можно увеличить до 5тысяч для солидности).
2) Умножая матрицу GT на каждую строку z(i,k) и на ^0,5 - количество дней моделирования получим вектор строку x(i,k) =GT*z(i,k)*^0,5.
3) Добавляя среднее значение по каждой акции получим вектор r(i,k) =x(i,k)+rsred(i) *t -доходности i-ой акции для k-ой имитации.
• Оценка риска замены индекса разреженным портфелем
. Для оценки риска разбиваем область изменения доходности портфелей на интервалы и вычисляем частоты
В таблице 6 приведены частоты для индексного портфеля и для разреженных портфелей со значе-
[5].
ниями eps=5%; 10%; 15 %;20%;25%; 3 0%
Таблица 6 — частоты для индексного портфеля и для разреженных портфелей со значениями eps=5%;10%;15%;20%;25%;30%
Карман R_Ind r_P(5%) r_P(10%) r_P(15%) r_P(20%) r_P(25%) r_P(30%)
-18,67% 0 0 0 0 0 0 0
-17,23% 0 0 0 0 0 0 0
-15,80% 0 0 0 0 1 2 2
-14,36% 2 3 3 2 1 0 0
-12,93% 2 1 1 2 2 2 2
-11,49% 1 1 1 1 2 3 4
-10,05% 4 5 7 9 12 12 14
-8,62% 10 11 14 16 14 15 14
-7,18% 19 18 18 12 15 20 25
-5,74% 24 28 26 36 42 38 32
-4,31% 40 46 59 57 54 58 59
-2,87% 55 51 50 54 53 50 55
-1,44% 68 73 68 59 66 72 63
0,00% 81 79 76 79 81 80 81
1,44% 69 71 70 75 77 75 87
2,87% 88 88 92 89 85 90 84
4,31% 93 96 91 92 92 90 85
5,74% 103 110 108 100 93 92 87
7,18% 81 73 76 79 74 68 72
8,62% 76 73 70 66 70 74 70
10,05% 67 66 61 64 61 57 54
11,49% 42 38 40 41 41 39 43
12,93% 31 32 28 28 24 25 29
14,36% 11 5 10 10 13 13 9
15,80% 13 15 13 13 11 11 16
17,23% 12 13 9 8 9 4 3
18,67% 6 3 7 6 5 6 6
20,11% 1 0 1 1 1 2 2
На рисунке 5 приведены графики частот, полученные в результате имитационного моделирования индексного портфеля и разреженного портфеля для eps=10%.
На рисунке R_Ind — частоты смоделированного индекса и г_Р(10%).
На рисунке 6 приведены графики частот, полученные в результате имитационного моделирования индексного портфеля и разреженного портфеля для eps=20%.
В таблице 7 приведены квадраты разности частот между R_ind и r_ind(eps).
R_IND; r_P(10%)
чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр чр рЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ оЧ рч оч оч оч оч оч оч оч
^ гч гн СЭ 00 К ио ^ гч гн СЭ «н г^ ^ ьп К оо СЭ «н гч ^ ио оо~ СЭ
......
1111
Рисунок 5 - Графики частот, полученные в результате имитационного моделирования индексного портфеля и разреженного портфеля для eps=10%
портфеля и разреженного портфеля для eps=20%
Таблица 7 - Квадраты разности частот между R_ind и r_ind(eps)
r_P( 5%) r_P(1 0%) r_P(1 5%) r_P(2 0%) r_P(2 5%) r_P(3 0%)
306 610 816 990 1225 1665
• Имитационное моделирование стохастической динамики портфеля акций
Рассмотрим портфель акций, его стоимость в момент времени t
P(t) = n=inksk(t),
здесь пк = ук - количество акций к -го вида, ук- удельный вес акций к — вида в портфеле Sk(0)
- стоимость акции к — вида в начальный момент времени, Р(0) = Т,к=1пк $к(0) - начальная стоимость портфеля.
Представим ковариационную матрицу доходности акций V в виде:
V = в •Сг,
где С — матрица Холецкого.
Стоимость акции меняется во времени в соответствии с геометрическим броуновским движением:
с. ■ '—■/,. ~lJ J>
Г-
где №¿(1) - стандартный процесс Винера, С ¡у - элементы матрицы Холецкого.
СцйШ] эквивалентно выражению
7=1
1/2
^ GijdWj = CidWt, где Ci =
Лемма Ито
Если х(Ь) удовлетворяет уравнению dx = а(х, + Ь(х, Ь)йШ(Ь), то функция Р(х, Ь) удовлетворяет уравнению:
Введем функцию ^ = Р^^ = ЬС^, для которой ^ = 0, = ^^ = —
Учитывая, что в данном случае а(х, Ь) = а(Б^ = цБ^, Ь(х, Ь) = С^Б^ после применения леммы Ито [7] получим:
^ = (гг — с1/2)<к +
откуда имеем ^ = Р0 + (г^ — С?/2)ь + С(Ж((0, Р((0) = 1п(5;(0)) и, следовательно,
= Б1(0)ехр — С?/2) • с) • ехр(С1 • ВД)).
В развернутом виде:
= 5((0)ехр ^ — ^^ С^ • ^ ехр ^^ 6^(1)^. Для портфеля соответственно получим:
™ = ^ ^ — ^ ^ ^ еХР
С учетом наличия на рынке безрисковой процентной ставки гу заменим ц на
Стохастическая динамика портфеля имеет вид: P(t)
P(t) =W) = erft ^^ YieXP ^ + 2Ê ' ^ exp ^Ê GijWj(t)
i=l
Нормированная стоимость опционов call и Put на момент времени исполнения Т для каждой к — й реализации будет даваться выражением
Callk(T) = max(0; Рк(Т) — К); Putk(T) = max (0; К — Рк(Т}),
Здесь Т — момент исполнения, К = К/Р(0) - нормированная цена исполнения. Нормированная стоимость опционов на момент заключения контрактов находим как среднее по ансамблю реализаций:
Са11(0) = ±exp(—rfT) • Callk(T); Put(0) = ±exp(—rfT) • Z%=1Putk(T).
Здесь N - размерность ансамбля реализаций.
Рисунок 7 - Формирование портфеля ценных бумаг
При формировании портфеля ценных бумаг зачастую неудобно иметь дело с большим количеством ценных бумаг в портфеле. Это вдвойне неприятно, если требуется изменять портфель ценных бумаг слишком часто в связи с наличием очень волатильных акций.
Одним из подходов к частичному решению данной проблемы является идея формирования разреженного (sparse) портфеля ценных бумаг, в некотором смысле дублирующем целевой портфель. Термин разреженный означает, что число входящих в портфель ценных бумаг невелико. Ограничение на количество входящих в портфель ценных бумаг является самым важным и наиболее трудно реализуемым. Мотивацией для данного ограничения являются соображения сложности портфеля, как для проведения расчетов, так и для администрирования инвестиционным менеджером - управляющим. Данное ограничение в англоязычной литературе называется cardinality condition. Методы решения оптимизационных задач, содержащих данное ограничение являются эвристическими и, в основном решаются путем введения штрафных функций [8-13].
Стратегия копирования индекса состоит в формировании портфеля, который по своему составу повторяет некоторый фондовый индекс, обычно индекс с широкой базой. Недостатком такой стратегии является то, что выплата дивидендов и процентов по бумагам, входящим в индекс, автоматически отражается в его стоимости. В то же время менеджер несет дополнительные издержки при реинвестировании полученных средств. Кроме того, для приобретения какого-либо актива может потребоваться определенное время для аккумулирования необходимой суммы денег. Точное копирование индекса может повлечь высокие трансакционные издержки, так как менеджеру приходится приобретать относительно малое количество большого числа разных активов. Кроме того, при изменении состава индекса также должны последовать изменения и в структуре портфеля. Обычно, при исключении какой-либо бумаги из состава индекса цена ее падает, в то же время цена включаемого в индекс актива возрастает. Поэтому менеджер несет дополнительные затраты в сумме разности цен продаваемого и покупаемого активов.
Чтобы исключить указанные недостатки, можно копировать индекс на основе определенной выборки бумаг, входящих в индекс, которые наиболее близко повторяют его динамику. В этом случае сокращаются трансакционные расходы. Однако возникает вероятность отклонения результатов сформированного портфеля от результатов рыночного портфеля.
Заключение
Индексные фонды относятся к пассивным инвестиционным управляющим. Их задачей является получение доходности не хуже чем доходность некоторого индекса.
Основной стратегией фонда, которая позволяет ему зарабатывать является инвестирование в портфель с небольшим количеством акций, доходность которого следует за доходностью индекса. Это позволяет реже пересматривать портфель, снижает транзакционные издержки. Обратной стороной такого подхода является риск отклонения доходности из-за несовершенного хеджирования.
Библиографический список
1. Фондовая биржа ОАО ММВБ-РТС // URL: http ://www.moex.com/.
2. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового анализа // М.: Анкил, 2006, с.440.
3. Нестеров Ю. Е. Методы выпуклой оптимизации // М.: МЦНМО, 2011.
4. Шукаев Д. Н. Прикладные методы оптимизации // М.: Издательский дом Академии Естествознания, 2017.
5. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ / Т. Андерсон. М.: Физматгиз, 1963. 500 с.
6. Мэри Джексон, Майк Стонтон. Финансовое моделирование в EXCEL и VBA: углубленный курс // М.: ООО "И.Д. Вильямс", 2006, c.352.
7. Ито К. Вероятностные процессы, вып. 1,2 // Изд-во "ИЛ". М: 1960.
8. Рубцов Б. Б. Современные фондовые рынки // М.: Альпина Бизнес Букс, 2013. - 370 с.
9. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли Д.В. Инвестиции. // М.: ИНФРА-М, 2011.1035c.
10. Holton G.A. Value-at-Risk. Theory and Practice. - Academic Press. 2003.
11. Беннинга, Шимон. Финансовое моделирование с использованием EXCEL // М.: ООО "И.Д. Вильямс", 2007, c.592.
12. Чернова Г. В., Кудрявцев А.А. Управление рисками : учеб. пособие // М.: ТК Велби, Проспект, 2007. -160 с.
13. Королев В. Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2007. 544 с.
References
1. Stock Exchange of OJSC MICEX-RTS // URL: http://www.moex.com/.
2. Melnikov A.V. Mathematical methods of financial analysis // A.V. Melnikov, N.V. Popova, V.S. Skomyakov. M .: Ankil, 2006, p. 440.
3. Nesterov Yu.E. Methods of convex optimization // Moscow: MTsNMO, 2011.
4. Shukaev D.N.Applied optimization methods // Moscow: Publishing House of the Academy of Natural Sciences, 2017.
5. Anderson T. Introduction to multivariate statistical analysis / T. Anderson. Moscow: Fizmatgiz, 1963.500 p.
6. Mary Jackson, Mike Staunton. Financial modeling in EXCEL and VBA: an advanced course // M .: ID Williams, 2006, p. 352.
7. Ito K. Probabilistic Processes, no. 1.2 // Publishing house "IL". M: 1960.
8. Rubtsov B. B. Modern stock markets // M .: Alpina Business Books, 2013 .-- 370 p.
9. Sharpe W.F., Alexander G.J., Bailey D.W. Investments. // M .: INFRA-M, 2011.1035c.
10. Holton G.A. Value-at-Risk. Theory and Practice. - Academic Press. 2003.
11. Benning, Shimon. Financial modeling using EXCEL // M .: ID Williams, 2007, p. 592.
12. Chernova G.V., Kudryavtsev A.A. Risk management: textbook. manual // M .: TK Welby, Prospect, 2007. -160 p.
13. Korolev V. Yu., Bening VE, Shorgin S. Ya. Mathematical foundations of risk theory. Moscow: Fizmatlit, 2007.544 p.
