Моделирование и анализ нелинейных технологических размерных цепей сборок Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621. 757

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ СБОРОК

© М.А. Гаер1, Д.А. Журавлев2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предложено теоретическое описание технологии моделирования и анализа нелинейных размерных цепей сборок дифференциально-геометрическими методами. Для решения промежуточной задачи введено понятие дерева транзитивности зависимостей возможных отклонений размеров и разработан алгоритм его построения. Ил. 8. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: пространственные допуски деталей и сборок; сборка с учетом трехмерных отклонений; анализ сборок с учетом допусков; размерные цепи.

MODELING AND ANALYSIS OF NON-LINEAR TECHNOLOGICAL ASSEMBLY DIMENSIONAL CHAINS M.A. Gaer, D.A. Zhuravlev

Irkutsk State Technical University 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article proposes a theoretical description of the technology of modeling and analysis of non-linear dimensional chains of assemblies by differential geometric methods. To solve the intermediate task the authors introduce the concept of the tree of transitive dependencies of possible dimension deviations and develop the algorithm of its construction. 8 figures. 3 sources.

Key words: spatial tolerances of parts and assemblies; assembly given three-dimensional deviations; assembly (unit) analysis with regard to tolerances; dimensional chains.

Качественные выводы из теории размерных цепей состоят в признании эффекта накопления линейных погрешностей за счет угловых и независимости угловых погрешностей от линейных. Подобные заключения являются прямым следствием использования двухмерного представления изделий и отдельных деталей. Действительно, моделью, описывающей погрешности относительных перемещений и поворотов реальных, то есть существующих в трехмерном пространстве поверхностей, служили их проекции на плоскость чертежа. Значительная потеря эффективности конструкторского проектирования в связи с данным представлением показывалась во многих работах еще до начала применения современных математических трехмерных моделей.

В ведущих зарубежных производствах для ускорения выхода продукции на рынок используется принцип параллельного инжиниринга на основе метода трехмерной мастер-модели. Трехмерная электронная мастер-модель - это в совокупности трехмерный электронный макет детали, прошедший увязку в окружении сборки, которая является единым носителем геометрии и топологии конструкции для всех последующих разработок [3].

Основным недостатком трехмерной мастер-модели, точнее сказать, недоработкой, является неиспользование трехмерных допустимых отклонений и отсутствие проверки конструкции на собираемость с

их учетом. Совершенно логичным становится включить в понятие трехмерной мастер-модели допуски, а точнее, пространственные допустимые отклонения [1]. Поэтому задача поиска эффективных математических методов проверки конструкции на собираемость с учетом трехмерных допустимых отклонений становится весьма актуальной.

Одним из направлений исследований в этой области является моделирование пространственных размерных цепей.

В первую очередь отметим, что в размерной цепи сборки, будь она линейной, плоской или пространственной, может быть любое количество точек. Поэтому возникает вопрос о добавлении новой точки в уже имеющуюся систему связей размеров.

В плоском случае, сколько бы ни было точек, любые четыре из них жестко связаны шестью расстояниями, при этом из этих четырех точек никакие три не должны лежать на одной прямой. Следовательно, вся система точек на плоскости должна обладать указанным свойством.

Аналогично для пространственной размерной цепи можно сделать вывод, что вся система точек в пространстве должна обладать следующим свойством: никакие четыре точки из данных не должны лежать в одной плоскости, а каждые пять точек жестко связаны десятью расстояниями между ними.

Итак, рассмотрим плоскую размерную цепь, со-

1Гаер Максим Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: 89021709580, e-mail: [email protected]

Gaer Maxim, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Mechanical Engineering Technology, tel.: 89021709580, e-mail: [email protected]

2Журавлев Диомид Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения. Zhuravlev Diomid, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Mechanical Engineering Technology.

стоящую из п точек. На первом шаге возьмем некоторое его четырехточечное подмножество {А1,А2,А3,А4}, соединенное своими шестью расстояниями 11,12,13,14,15,16, связанными неявной функцией Р2(11,12,13,14,15,1в) = 0, и выберем замыкающее звено (пусть для определенности это будет 11) (рис. 1). Тогда для М1 получаем следующую целевую функцию:

М1(М2,МЗ,М4,М5,М6) == -

dF2

dF2

att

dF2

(1)

d(t

d(t

Рис. 1. Индукционно-транзитивный переход в плоской размерной цепи

На втором шаге к множеству {А1,А2,А3,А4} добавим пятую точку Л5 и будем рассматривать уже другое четырехточечное подмножество, которое должно быть построено так, чтобы звено 11 в него не входило, для определенности пусть это будет {А2,А3,А4,А5}. Множество последних точек соединено своими шестью расстояниями 14,15,1Ь,17,18,,19, связанными неявной функцией Р2(14,{5,{6,17,{в,{9) = 0 (см. рис. 1).

Далее в системе точек {А2,А3,А4,А5} выберем замыкающее звено так, чтобы оно присутствовало и в предыдущей системе точек {А1,А2,А3,А4}, например, 14. Тогда получим следующее выражение для М4:

dF2

dF2

M4(M5lM6lM7lMeiM9) == -ZfrMs

dF2

dt,

dF2

dt2 dF2 dt9

(2)

д{2 д{2 д{2 Теперь, рассматривая все пять точек {А1,А2,А3,А4,А5} вместе в одной размерной цепи, вместо М2 в равенстве (1) подставим выражение (2) и тем самым получим целевую функцию для замыкающего звена всей пятиточечной цепи.

Следующим шагом будет добавление к имеющимся пяти точкам новой шестой точки А6 с выбором четырехточечного подмножества, его замыкающего звена и получением новой целевой функции уже для ше-

ститочечной размерной цепи. И так далее, пока все n точек не окажутся в одной цепи с одной целевой функцией.

Все выше описанные действия назовем индукци-онно-транзитивным переходом в размерной цепи.

Рассмотренный индукционно-транзитивный переход для плоской размерной цепи легко обобщается и для пространственной размерной цепи. Все рассуждения здесь аналогичны. Только вместо четырехточечных подмножеств необходимо рассматривать пятиточечные, а вместо неявной шестиместной функциональной зависимости - неявную десятиместную функциональную зависимость.

Отметим также, что индукционно-транзитивный переход справедлив для линейной размерной цепи (рис. 2). Так, если сначала целевая функция была, например, М1 = М3-М2, на втором шаге М3 = = М5 - М4, то окончательно Llí = hl5 - М4 - hl2.

Рис. 2. Индукционно-транзитивный переход в линейной размерной цепи

Индукционно-транзитивный переход в технологической (плоской или пространственной) размерной цепи удобно представить в виде графа-дерева, корнем которого является замыкающее звено Мр (далее мы будем называть его ключевой характеристикой), а листьями - те звенья, которые остаются в окончательной целевой функции всей цепи. Назовем такой граф графом транзитивности зависимостей возможных отклонений размеров технологической цепи, или коротко графом транзитивности (или деревом транзитивности).

В качестве демонстрации рассмотрим индукцион-но-транзитивный переход в плоской размерной цепи, описанный выше и изображенный на рис. 3.

Итак, корнем дерева будет ключевая характеристика М1. Инцидентные корню ребра соединяют его с другими участниками первой четырехточечной подцепи (рис. 3,а).

На следующем шаге М4 по формуле (2) заменяется на зависимость от М5,М6,М7,Мв,М9. Тогда вершина М4 в дереве соединяется инцидентными с ней ребрами с участниками второй четырехточечной подцепи (рис. 3,6).

Так как и перешли на следующий уровень, то на предыдущем уровне дерева соответствующие им вершины удаляем (рис. 3,в). Таким образом, окончательная целевая функция будет зависеть от М2,М3,М5,М6,М7,Мв,М9, что и демонстрирует построенный граф (рис. 3,г). Это означает, что при решении задачи M1 ^ max/min будут участвовать лишь эти звенья размерной цепи.

в) г)

Рис. 3. Построение графа транзитивности

Алгоритм построения дерева транзитивности

Будем рассматривать размерную цепь, включающую п точек А = {А1,А2,-,Ап}. Точку А> е А назовем стационарной точкой размерной цепи, если ее положение в сборке не зависит от изменяющихся размеров отрезков. Множество всех стационарных точек данной размерной цепи обозначим 5 с А.

Длину отрезка, соединяющего две точки А1 и А], обозначим , где I,] = ~\/п,[ Ф у, а соответствующее ему приращение (возможное отклонение) - . Множество всех М^ обозначим 8.

Выбираем замыкающее звено, которому соответствует назначенная ключевая характеристика, пусть это будет К = {Мрч} с 8.

Список Ь с 8 назовем множеством листьев дерева транзитивности, если, и только если, в него включены лишь те М^, которым соответствуют отрезки с длиной, «напрямую» зависящей от назначенных допусков, а также те, длины которых в данной размерной цепи являются константами. Назовем последние константными листьями и обозначим С с I. По-другому, множество С константных листьев дерева транзитивности состоит из тех , которым соответствуют длины отрезков между точками из множества 5 стационарных точек.

Множеством транзитных вершин Т с 8 дерева транзитивности назовем список тех , которые не соответствуют ни корню дерева, ни листьям (на рис. 3,г - Д14).

Таким образом, множество всех вершин дерева транзитивности 8 = К иЬ и Т. Правильнее здесь сказать, что 8 является прямой суммой множеств К,Ь и Т, так как они попарно не пересекаются.

Итак, пусть перед началом построения дерева транзитивности мы имеем заполненные элементами множества А,Б, 3,К и 1\С.

На первом шаге дополним список 1\С до Ь множеством константных листьев С. Так как множество стационарных точек 5 нам известно, то найти множество С не составляет труда. В некоторых случаях бывает

так, что две точки стационарными не являются, а расстояние между ними константно. Соответствующие им М^ также необходимо включать в список С.

Далее остается найти множество транзитных вершин Т. В этом и заключается основная задача алгоритма.

Назовем т-точечное подмножество множества А (т = 4, если рассматриваемая размерная цепь плоская; или т = 5, если рассматриваемая размерная цепь пространственная) правильным, если из , соответствующих связывающим I расстояниям (I = 6, если рассматриваемая размерная цепь плоская; или I = 10, если рассматриваемая размерная цепь пространственная), ровно одного на данный момент нет в списке ЬиТ и К. Вершину, соответствующую этому М^, и будем называть подозреваемой на транзитную, а вершины, соответствующие остальным М^ из данного набора, будем называть инцидентно связанными с ней.

Сначала список транзитных точек Т пуст. Приступаем к поиску правильных т-точечных подмножеств множества А. Если такие подмножества не найдены, то нужно пересмотреть множество точек А. В каждом случае найденного правильного подмножества вершину, подозреваемую на транзитную, проверяем на принадлежность к одноточечному множеству К. Если это не так, то вершина становится транзитной, ею пополняется множество Т, а также запоминаются вершины, инцидентно связанные с ней. Поиск будем выполнять до тех пор, пока будут находиться правильные т-точечные подмножества и соответствующие им подозреваемые на транзитные вершины не будут принадлежать К.

Таким образом, мы разбили множество вершин 8 искомого дерева транзитивности на множество листьев I, множество транзитных вершин Т и корень К. А также для каждой транзитной вершины знаем список вершин, инцидентно связанных с ней.

Моделирование и анализ размерных цепей в рамках рассматриваемой теории не зависит от того, линейная она, плоская или пространственная. Все процессы происходят аналогично. Поэтому для демон-

страции удобно брать плоские размерные цепи, поскольку они уже не так примитивны, как линейные, но еще легко поддаются представлению.

Предлагаемый нами метод моделирования нелинейных размерных цепей будем описывать с применением наглядного примера. Пусть нам дана некоторая деталь, на которую зададим ключевую характеристику - расстояние между осями отверстий не должно отличаться от номинального более, чем на величину А = ±0,01 (рис. 4,а). Отталкиваясь от этого требования, а также учитывая заданные позиционные допуски на отклонение осей отверстий, начнем моделировать плоскую размерную цепь. Из условия становится понятно, что размер, соответствующий ключевой характеристике, будет изменяться за счет позиционных отклонений осей отверстий.

Сначала необходимо подобрать систему точек А, удовлетворяющую требованиям плоской размерной цепи. Корню дерева транзитивности будущей размерной цепи будет соответствовать назначенная нами ключевая характеристика. Поэтому первыми точками, которые мы включим в цепь, будут А1 и А2 (рис. 4,6). При поиске других точек необходимо стремиться к тому, чтобы в цепь вошли изменяемые размеры линий, напрямую зависящие от заданных допусков -

расстояния от осей отверстий до базовых поверхностей Б и В (см. рис. 4,а). Таким образом, мы добавляем в список А точки А3,А4,А5,А6 (см. рис. 4,6). Итак, набор точек А = {А1,А2,А3,А4,А5,А6} для плоской размерной цепи определен. Расстояния между двумя точками АI и А] обозначим {¡^, а соответствующее ему отклонение - , I,] = 16Л + ].

Следующая задача - построить дерево транзитивности. Множеством стационарных точек здесь будет 5 = {А3,А4,А5,А6}. В список Ь\С войдут

Найдем множество константных листьев, соответствующих множеству стационарных точек 5\С = {М34,М35,М36,М45,М46,М56}. Объединим теперь Ь\С и С = I. Все отрезки, соответствующие вершинам, вошедшим в список I, изображены на рис. 4,в.

Приступаем к поиску правильных четырехточечных подмножеств множества А.

Выберем в качестве первого четырехточечного подмножества любой набор, в котором присутствовал бы отрезок, отвечающий ключевой характеристике, например, набор {А1,А2,А3,А4}, и проведем соответствующие отрезки 11 = 113; 12 = 114; 13 = 112; 14 = = 1з4-. 15 = 124'. *6 = *23 (рис. 5,а).

а)

б)

Рис. 4. Исходные данные

в)

а) б)

Рис. 5. Схема добавления точек в размерную цепь

в)

После проверки принадлежности их к списку Ь, выясняется, что кроме ключевой характеристики М12 к листьям не относятся еще две вершины- М14 и М23. Это дает направление для выбора следующих четырехточечных подмножеств, которые будем осуществлять согласно схеме, полученной естественным образом:

* А1А3А4А5

Для каждого из указанных подмножеств точек отметим соответствующие им отрезки (рис. 5). Для второго и третьего четырехточечных подмножеств выясняем, что в каждом случае ровно по одному отрезку не содержится в списке I. Это значит, что дерево транзитивности готово (рис. 6). Обведенные вершины-листья в получившемся дереве транзитивности являются неконстантными, остальным листьям соответствует Щ = 0.

^ Ша М35М45 (М^ ^

Рис. 6. Дерево транзитивности

36 ^46

Далее, двигаясь по дереву транзитивности, находим целевую функцию для исследования на максимум-минимум:

Ми = М12(М1з,М15,М241М2б),

М15 < 0,006.

Переходя к конкретным числовым данным вышеописанной задачи, воспользуемся компьютерными средствами автоматизации расчетов, а именно, напи-

промежутки изменения переменных которой берем из шем небольшую программу в СКМ «Mathematica 7.0» назначенных допусков (см. рис. 4,а). Так, [2] (рис. 7, 8).

-0,0025 < М13; М15 < 0,0025; -0,006 < М13;

1п[17]:= Maximize[{dll2, dll3 s 0.003, dll3 £ -0.003, dll5 s 0.003, dll5 £ -0.003, dl24 s 0.005,

dl24 £ -0.005, dl2€ * 0.005, dl26 ¡> -0.005}, {dll3, dll5, dl24, dl26}]

Out[17]= {0.00961538, {dll3 -0.003, dll50.003, dl24 ^ 0.005, dl26^-0.005}}

ln[1S]:= Minimize[{dll2, dll3 <; 0.003, dll3 £ -0.003, dll5 <; 0.003, dll5 £ -0.003, dl24 s 0.005, dl24 £ -0.005, dl2€ 0.005, dl26 £ -0.005}, {dll3, dll5, dl24, dl26}]

Out[18]= {-0.00961538, {dll3 ^ 0.003, dll5-0.003, dl24 ^-0.005, dl26 ^ 0.005}}

Рис. 7. Уточнение значений допусков

. DF14 О + DF16 dl23 + DF11 dll3 4 DF15 dl24 + DF12 dll4 .

In[13|: dll2 = -Simplify - ; Expand[N[dll2]]

L DF13 1

Out[13]= -0 .153846 dll3 + dll5 + 0.230769 dl24 - 1. dl26

r14|: Maximize [{dll2, dll3 i 0.0025, dll3 £ -0.0025, dll5 i 0.0025, dll5 ^ -0.0025, dl24 s 0.006, dl24 £ -0.006, dl26i 0.006, dl26 £ -0.006), {dll3, dll5, dl24, dl26}]

Out[14]- {О.0102692, {dll3 -0.0025, dll5-» 0 . 0025, dl24 ^ 0.006, d!26 -» - 0 . 006}}

n[15|:= Minimize [{dll2 , dll3 i 0.0025, dll3 £ -0.0025, dll5 i 0.0025, dI15 L -0.0025, dl24 i 0.006, dl24 £ -0.006, dl26i 0.006, dl26 £ -0.006}, {dll3, dll5, dl24, dl26}]

Out[1S]- {-0.0102692, {dll3 -> 0.0025, dll5 - 0 . 0025, dl24 ^-0.006, dl2 6 ^ 0 . 006}}

_Puc. 8. Расчет размерной цепи_

В результате проведенного анализа технологической размерной цепи для рассматриваемой детали с назначенными допусками (см. рис. 4,а) и назначенной ключевой характеристикой А= ±0,01 получили следующие результаты:

- наибольшее отклонение от номинального расстояния между осями отверстий будет равно приблизительно 0,010269 (достигается при минимально возможных отклонениях от длин отрезков 113 и 126 и максимально возможных отклонениях от длин отрезков 115 и 124, а именно, -0,0025; -0,006; 0,0025 и 0,006 соответственно);

- наименьшее отклонение от номинального расстояния между осями отверстий будет равно приблизительно -0,010269 (оно достигается при максималь-

но возможных отклонениях от длин отрезков 113 и126 и минимально возможных отклонениях от длин отрезков 115 и 124, а именно, 0,0025; 0,006; -0,0025 и -0,006 соответственно).

Таким образом, требование к расстоянию между осями отверстий в виде ключевой характеристики А= ±0,01 не выдержано, хотя и незначительно. Если это критично для изделия, то необходимо изменение значений назначенных позиционных допусков осей отверстий. Например, если на меньшее отверстие назначить допуск 0,003 вместо 0,0025, а на большее -0,005 вместо 0,006, то результат будет уже удовлетворительным (см. рис. 7).

Статья поступила 18.09.2014 г.

Библиографический список

1. Гаер М.А., Яценко О.В. Электронная мастер-модель с Петербург, 2007. 368 с.

трехмерными допустимыми отклонениями // Вестник ИрГТУ. 3. Современные технологии агрегатно-сборочного производ-2013. № 12. С. 56-58. ства самолетов / Пекарш А.И., Тарасов Ю.М., Кривов Г.А. [и

2. Половко А.М. Mathematica для студента. СПб.: БХВ- др.]. М: Аграф-пресс, 2006. 304 с.

УДК 62.752

О ВЫБОРЕ ФОРМЫ СТРУКТУРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЫЧАЖНЫХ СВЯЗЕЙ В МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ (ЧАСТЬ I)

© С.В. Елисеев1, П.А. Лонцих2, Е.В. Каимов3

13Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены методологические основы построения механических колебательных систем, в которых формируются рычажные связи. Предложены подходы к построению математических моделей для колебательных систем с двумя и более степенями свободы, где одна из парциальных систем совершает угловые колебания и обеспечивает рычажные взаимодействия. Установлено, что рычажная связь в понятиях структурных математических моделей реализуется как цепь с дополнительной отрицательной обратной связью по отношению к объекту, динамическое состояние которого обеспечивается при действии силовых и кинематических возмущений, что характерно для таких задач динамики машин, как вибрационная защита. В общем случае передаточная функция рычажной связи с массоинерционными свойствами интерпретируется как дробно-рациональное выражение второго порядка общего вида. При уменьшении массы рычажного устройства передаточная функция трансформируется в приведенную жесткость упругой системы, работающей в цепи обратной связи объекта защиты. Показано, что возможны процессы как упрощения представлений о рычажных связях, так и усложнения. Представлена методика структурных преобразований для построения необходимых цепей обратных связей, отражающих рычажные взаимодействия в механических колебательных системах. Ил. 4. Библиогр. 28 назв.

Ключевые слова: рычажные связи; передаточные функции; приведенные массы и жесткости; эквивалентный перенос силовых воздействий; структурные схемы; математические модели.

1 Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел.: (3952) 598428, 89025665129, e-mail: [email protected]

Eliseev Sergei, Doctor of technical sciences, Professor, Chief Researcher, Director of the Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, tel.: (3952) 598428, 89025665129, e-mail: [email protected]

2Лонцих Павел Абрамович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой управления качеством и механики, тел.: (3952) 405179, e-mail: [email protected]

Lontsikh Pavel, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Quality Management and Mechanics, tel.: (3952) 405179, e-mail: [email protected]

3Каимов Евгений Витальевич, младший научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел.: (3952) 638326, e-mail: [email protected]

Kaimov Evgeniy, Junior Researcher of the Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, tel.: (3952) 638326, e-mail: [email protected]