Моделирование грузовых матриц корреспонденций гравитационным и энтропийным методами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Необходимо отметить очевидное преимущество предлагаемого алгоритма, поскольку в режиме реального времени можно найти локальный минимум, обеспечивающий оптимальные значения потоков насыщения магистрали. При этом алгоритм позволяет оценить ситуацию системно и обладает значительной эластичностью, другими словами, способен быстро подстроиттся под изменения транспортного спроса на примыкающих рампах и может быть рекомендован как эффективный инструмент предупреждения транспортных заторов на дорогах высших категорий. Дозирование величин входящих потоков предлагается реализовать с применением светофорного регулирования (светофор типа Т.8) в следующей известной постановке [7]:

С • Сг & ,

где д, - длительность обслуживания рамповой полосы, с; с, - величина пропускной способности ¡-й рампы,

авт./ч; С, - величина длительности цикла режима регулирования на ¡-й рампе, с; в, - величина допустимого «потока въезда» на автомагистраль, авт./ч.

Таким образом, на современном этапе управления магистральными улицами организация удобных транспортных связей между смежными районами, а также изоляция транзитных внутригородских автомобильных потоков от жилой застройки являются приоритетными задачами в области транспортно-градостроительного проектирования. Необходимо не только обеспечить соответствие между пропускной способностью улично-дорожной сети и объемами транспортных потоков, но и добиться приемлемого технического решения магистралей, уровня их оборудования, обеспечивающего благоприятные условия движения транспортных средств (однородность потока, обособление транспортного движения, оптимальную скорость и безопасность движения на примыкающих рампах).

Статья поступила 19.03.2015 г.

Библиографический список

1. Президиум Госсовета по вопросам совершенствования сети автодорог // Официальный сайт администрации Президента Российской Федерации [Электронный ресурс]. URL: http://news.kremlin.ru/news/46754 (10 марта 2015).

2. ГОСТ P 52398-2005. Классификация автомобильных дорог. Основные параметры и требования // ГОСТ. Эксперт. Единая база ГОСТов РФ [Электронный ресурс]. URL: http://gostexpert.ru/gost/gost-52398-2005 (10 марта 2015).

3. Правила дорожного движения 2015 года // ПДД России 2015 года [Электронный ресурс]. URL: http://www.xn/8sbka1akndeg.com/pdd/p1 (10 марта 2015).

4. СНиП 2.07.01-89. Градостроительство. Планировка и застройка городских и сельских поселений // ГАРАНТ. Инфор-

мационно-правовой портал [Электронный ресурс]. URL: http://base.garant.ru/2305985/ (10 марта 2015).

5. Highway Capacity Manual 2010 (HCM 2010). Transportation Research Board, National Research Council. Washington D.C., USA, 2010 [Электронный ресурс]. URL: http://hcm.trb.org/ (10 марта 2015).

6. Manual on Uniform Traffic Control Devices (MUTCD) [Электронный ресурс]. URL: http://mutcd.fhwa.dot.gov/ (10 марта 2015).

7. Зедгенизов А.В. Лагерев Р.Ю. Влияние режима работы светофорной сигнализации на пропускную способность остановочных пунктов // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2011. № 1 (1). С. 38-44.

УДК 656.073

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРУЗОВЫХ МАТРИЦ КОРРЕСПОНДЕНЦИЙ ГРАВИТАЦИОННЫМ И ЭНТРОПИЙНЫМ МЕТОДАМИ

© О.А. Лебедева1, Д.В. Антонов2

Ангарская государственная техническая академия, 665835, Россия, Иркутская обл., г. Ангарск, ул. Чайковского, 60.

Дан обзор основных моделей в области математического моделирования грузовых матриц корреспонденций. Математические модели, применяемые для анализа транспортных сетей, весьма разнообразны по решаемым задачам, математическому аппарату, используемым данным и степени детализации процедур. Дать исчерпывающую классификацию всех моделей не представляется возможным, поэтому в данной статье рассмотрены лишь модели восстановления корреспонденций гравитационным и энтропийным методами.

Ключевые слова: грузовые перевозки; математические модели; восстановление грузовых матриц корреспонденций; грузовые потоки; моделирование.

MODELING FREIGHT CORRESPONDENCE MATRICES BY THE GRAVITY AND ENTROPY METHOD O.A. Lebedeva, D.V. Antonov

Angarsk State Technical Academy,

60 Chaikovsky St., Angarsk, Irkutsk region, 665835, Russia.

1Лебедева Ольга Анатольевна, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры управления на автомобильном транспорте, тел.: 89526326611, e-mail: [email protected]

Lebedeva Olga, Candidate of technical sciences, Senior Lecturer of the Department of Motor Transport Management, tel.: 89526326611, e-mail: [email protected]

2Антонов Дмитрий Владимирович, студент, тел.: 89041505599, e-mail: [email protected] Antonov Dmitry, Student, tel.: 89041505599, e-mail: [email protected]

The paper gives a review of the basic mathematical models of freight correspondence matrices. Mathematical models used for transport network analysis are diverse depending on the tasks solved, mathematical apparatus, used data and the level of detail in procedures. It does not seem possible to give a complete classification of all models. Therefore, the paper only deals with the models of correspondence recovery by the gravity and entropy methods. Keywords: freight transportation; mathematical models; recovery of freight correspondence matrices; freight flows; modeling.

Спрос на передвижения в городе описывается набором матриц корреспонденций. Результатом прогноза являются матрицы корреспонденций грузового транспорта. Восстановление грузовых матриц корреспонденций является актуальной и сложной задачей, поскольку использование официальных данных при прогнозе грузовых передвижений не позволяет получить достоверного результата, так как они не относятся к данным статистической отчетности. Как следствие, имеет место искажение отчетности перевозчиками.

Расчет матриц корреспонденций рекомендуется выполнять дифференцированно для потребительских (продовольственных и непродовольственных), промышленных и прочих грузов, доставляемых транспортом малой грузоподъемности от производителей или складских зон по торговым точкам или потребителям. Суммарная суточная матрица корреспонденций формируется в результате сложения матриц корреспонденций различных видов грузов [4].

Задача расчета матрицы корреспонденций потребительских и промышленных грузов выполняется посредством максимизации функции вида [4]

N

X хЛ(jXj)

i=1, j=1

при ограничениях

X xj = Ai;

j=i

X x = Bj;

(1)

(2) (3)

'=1 V

7=1, 2,.. .Ы, j = 1,2,.. .И, где N - количество транспортных районов; ху - величина грузовой корреспонденции из района / в район ], авт./сут.; А/ , В] - величины объемов отправлений и прибытий для района /, авт./сут.; Ру - априорные предпочтения участников движения, рассчитываемые как

Ру = exp(~Y*ty),

(4)

где - время сообщения между районами / и ] на грузовом транспорте, определяемое в результате построения кратчайших по времени сообщения путей на графе УДС с учетом затрат времени на выход на нее; у - коэффициент предпочтения, уточняемый в процессе калибровки.

К числу наиболее распространенных моделей расчета корреспонденций относятся гравитационные, энтропийные модели, а также модели конкурирующих возможностей и некоторые другие [3].

Рассмотрим гравитационную модель применительно к транспортной задаче. Идея построения гравитационной модели возникла на основе закона всемирного тяготения, согласно которому все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Применительно к транспортной системе в качестве тел выступают пункты, порождающие/поглощающие потоки, за массу тела принимается суммарный объем въезжающего/выезжающего потока, физическое расстояние можно заменить на любые другие затраты, связанные с передвижением. В самой простой форме гравитационная модель имеет вид [1]:

stdt

Ру = к—j,/е S,j е D ,

(5)

где я - общий объем выезжающих из пункта 'е 5; ¿ . - общий объем въезжающих в пункт V е В; Су - удельные затраты на передвижение из / в у; к - калибровочный коэффициент, к>0.

Система (5) обладает существенным недостатком. Нетрудно заметить, что при увеличении объемов я и , например, в 2 раза, модель (5) приведет к увеличению корреспонденции р в 4 раза, что совершенно

нелогично. Поэтому вместо классической гравитационной модели (5) на практике используют ее модификацию, где добавляют дополнительные условия, например, балансовые ограничения на выезд и въезд. Кроме того, квадрат расстояния (затрат) с2 заменяют

на так называемую функцию тяготения, характеризующую предпочтения индивидуумов при выборе пары источник - сток (/, у) для передвижения. В результате модифицированная гравитационная модель имеет следующий вид:

Sdj V

--- XPj = s>

Р = f (c,)

j=1

или

XPj = dj,Р ^ 0,i е S, j е D i=1

Pj =aißjsidjf (Cij ), ie S, j е D,

(6)

где калибровочные коэффициенты at и ß опреде-

ляются из системы

Xßjj (c.j)

.je D

ß, =

Xaisif (су )

(7)

c

у

a =

Очевидно, что система будет совместной только тогда, когда суммарные объемы по выезду и въезду

равны £dJ.

<еХ JeВ

Выбор функции тяготения / осуществляется либо в процессе калибровки модели на основе сопоставления расчетных данных по модели и эмпирических наблюдений, либо на основе некоторых соображений о предпочтениях при выборе пары источник -сток.

Важно отметить, что величины а, и В зависят от всего набора ^ и ^, следовательно, и объемы кор-респонденций р зависят от загрузки всей системы.

Численные значения а и В определяют по специальной итеративной процедуре.

Рассмотрим энтропийную модель применительно к транспортной задаче. Как и в случае гравитационного подхода, идею построения энтропийной модели подсказала физика, а именно, второй закон термодинамики, утверждающий, что любая замкнутая физическая система стремится достичь устойчивого равновесного состояния, которое характеризуется максимумом энтропии этой системы [2].

Транспортную систему можно считать замкнутой. Таким образом, проблему определения корреспон-денций р можно ставить как задачу максимизации

энтропии в транспортной системе.

Пусть задано фиксированное пространственное распределение. Порождающие потоки, как и ранее, назовем источниками и объединим их в множество Б (1 е 5), зоны, поглощающие потоки, назовем стоками и объединим их в множество О (] е В). Источниками

могут служить, например, районы, стоками - места дислокации грузоотправителей и грузополучателей. В транспортной системе перемещение идет от источников к стокам. Предположим, что все грузоотправители и грузополучатели имеют уникальный идентификатор, например, номер паспорта. Состояние транспортной системы определяется распределением между парами источник - сток. Поэтому каждой паре источник -сток соответствует величина корреспонденций р ,

количество транспортных средств, отправляющихся из источника, равно количеству транспортных средств, прибывающих в сток. Очевидно, что существует множество состояний, приводящих к одной и той же матрице корреспонденций - р = {р : 1 е 5, ] е в} . Следуя

принципу максимизации энтропии, будем искать значения р , доставляющие максимум функции Р(р),

определяющей вероятность реализации состояния системы, соответствующего матрице корреспонден-ций р .

Обозначим через у(р) вероятность каждой реализации матрицы р , через Q(р) - количество состояний системы, соответствующих р . Тогда:

Р (р) = Кр^ (р). (8)

Пусть в системе имеется п источников и т стоков.

п т

Обозначим через Я = общее количество

1=1 ]=1

транспортных средств в системе, через уу > 0 - вероятность выбора подвижного состава р .

По аналогии со схемой Бернулли значение у{р) определяется формулой

m n

— 1/А1 . 1/А2 . . ,,Рпт — ГТ I I . .Pii

IUI' (9)

,=1 j=1

Вычислим количество состояний Q (р). Если объем корреспонденций из источника 1 в сток 1 равен рп , то количество способов достижения этого объема

равно Ср. Аналогично, р12 равно Ср2Л1, корреспонденции рп - Срр_Л2 и так далее.

В итоге получаем следующую формулу для Q (р):

— / К R~Pll R-Pll-Pu R^ Р/1

R! (R-Рп)!

(R -Рп )!Pii! (R -Рп Р12 )!Pl2!

(R-Ри P12 )! (R-Р11 Р12 -Р13 )!Р13!

\ 1=1 j=1 P !

r mn

. (10)

R!

m n

П П Р!

1=1 j=1

Очевидно, что результат не зависит от того, в каком порядке берутся корреспонденции р для вычисления количества способов распределения транспортных средств в системе.

Подставив рассчитанные значения у(р) и Q(р)

в формулы (9) и (10), получаем критерий выбора наиболее вероятного состояния системы:

m n л/У

Р(р)=Я! ПП] ^тах . (11)

I=1 ]=1 р]!

Помимо требования максимизации вероятности Р(р) на значения р , как правило, накладываются

дополнительные условия. Самыми естественными из них являются балансовые ограничения и условия неотрицательности. Пусть в каждой зоне-источнике 1 е Б задан общий объем выезжающих ^, в каждой зоне-стоке ] е В - общий объем въезжающих ^. Рассмотрим только те корреспонденции р , которые удовлетворяют следующим условиям:

п т

£р] = ^, £р] = dJр] > 0,1 е Б,] е В . (12)

]=1 >=1

Очевидно, для совместимости системы суммарный объем выезжающих должен быть равен суммар-

ному объему въезжающих:

т п

X я = Х ^ = Я. (13)

'=1 у=1

Дополнительно к условиям баланса (12) введем ограничение на общие затраты при проезде:

ТЕс уру=C, ,=i j=i

(14)

(14), образует полиэдральное множество. Целевая функция критерия (17) на допустимой области является строго вогнутой. В самом деле, матрица Гессе для (17) имеет вид диагональной матрицы размерности

- I 1 1

тпх тп с элементами на главной диагонали <!-->.

[ V

Такая матрица отрицательно определена для любых

где с - удельные затраты на передвижения из ис- т, п и ху > 0. Таким образом, задача (12), (14), (17)

точника i в сток j; С - полные затраты в транспортной системе.

Таким образом, проблема построения матрицы корреспонденций р = р 'Ле S, j е DJ сводится к

задаче условной оптимизации (11), (12), (14).

Нет сомнений, что в заданной форме (11) функция P (р) весьма неприятна для оптимизации. Для удобства максимизации можно воздействовать на P(р) любым монотонным оператором, например, прологарифмировать P(р) и вместо формулы (11) использовать критерий

m n

lnP(р) = lnR !+ЕЕ(ру ln^j -lnру max . (15)

,=i j=i

Проводя параллель между физической и транспортной системами, отмечено наличие большого количества неуправляемых элементов, что позволяет предположить, что значения р достаточно велики.

Поэтому вполне правомерно для дальнейшего преобразования критерия (15) использовать формулу Стир-линга, lnz! = zlnz - z, которая справедлива при больших z. Имеем

ln P (р)* R ln R + ln^-

'■=i j=i

ру

(16)

При фиксированных объемах выездов я и въездов dj и выполнении равенства (13) величина R ln R

постоянна и может быть исключена из критерия.

В результате проведенных преобразований наиболее вероятное состояние транспортной системы будет соответствовать такой матрице корреспонден-ций р , элементы которой удовлетворяют условиям (12), (14) и критерию

ЕЕру ln — ^ max .

i=i j=i

ру

(17)

При построении энтропийной модели (12), (14), (17) предполагалось, что известна априорная информация о предпочтении индивидуумом одной коммуникации другой. Если же любое состояние система принимает с равной вероятностью, то есть для любых пар (i, j) значение v постоянно и определяется как

v = —, то вместо критерия (17) рассматривают

1 mn

m n ^

ЕЕру ln—>max. (18)

i=i i=i р1

Допустимая область, задаваемая условиями (12),

относится к классу задач выпуклой гладкой оптимизации. Строгая вогнутость целевой функции гарантирует единственность ее решения. Несмотря на свои хорошие свойства, для реальных транспортных сетей задача (12), (14), (17) имеет большую размерность, что в свою очередь серьезно усложняет применение на практике стандартных для этого класса задач численных методов.

Для решения задачи (12), (14), (17) разработана простая итерационная схема: начиная с матрицы

р = 'Уу} на каждой итерации метода попеременно

достигается выполнение балансовых ограничений для выездов и въездов:

Ер

.Je D

к+i r\k 1

ру =^kkdj

Zv

.(19)

В настоящей работе доказана сходимость процесса (19) к оптимальному решению задачи (12), (14), (17). Существуют и другие подходы к решению энтропийных моделей.

Количество переменных в задаче (12), (14), (17), как правило, во много раз превышает число ограничений. Традиционно в такой ситуации вместо исходной решается двойственная задача, которая в данном случае заключается в максимизации функции Лагран-жа:

L р ^ ц, у) = ЕЁ

,=! j=i

ру ln ^ + Л-( я -ру ) +

ру

dà-ру ) + Г(С - Суру)

,(20)

где Я = (Я :' е 5) - вектор двойственных переменных, соответствующих балансовым ограничениям (12) для источников, р = (р : У е В) - вектор двойственных переменных, соответствующих балансовым ограничениям (12) для стоков, у - двойственная переменная, соответствующая ограничению по затратам (14).

Точка максимума для Ь(р, Я, р, у) должна удовлетворять условиям (12), (14) и системе уравнений:

V..

1п-. -1 -Я-р.-ус.. = 0, ' е 5, у е В . (21)

Ру . .

Из системы (21) можно выразить корреспонденции Ру = V ехр(-1 - Я - Ру - Ус у ) . (22)

Видим, что для V > 0 условие неотрицательно-

-1-!

-l-i

сти корреспонденций р выполнено автоматически,

поэтому может не учитываться при построении двойственной задачи и применении к ней численных методов. Однако заметим, что случай, когда уу = 0 означает отсутствие корреспонденций между парой (¡, ]), следовательно, р = 0 и максимизация функции Ла-

гранжа должны рассматриваться в пространстве меньшей размерности. Введем обозначения:

exi

а = -

p (-1 -л)

ß,=-

ex

p (-v)

(23)

Тогда выражение (22) перепишется в виде

р] = ?] ехР (■-гс]). (24)

При подстановке (24) в балансовые ограничения (12) определяются параметры а и В :

ß =

Yßjdjvij exP (-rcij)

jsD

Yaw exP (-rcj)

(25)

Отметим, что на практике величина С, как правило, неизвестна, поэтому лагранжевый множитель у нельзя определить из решения уравнения (14). Значе-

ние у определяется обычными методами калибровки.

Сравнивая выражение (24) с гравитационной моделью (5), видим, что отличие между ними состоит только в аналитическом задании функции тяготения f (су). При /(с]) = У] ехр(-ус]) гравитационная (5)

и энтропийная (12), (14), (17) модели эквивалентны. Таким образом, при однородной цели поездок, при заданных объемах выездов ^ и въездов dj, затратах

на передвижение с.. при фиксированных полных стоимостных затратах С существует наиболее вероятное распределение поездок между зонами (¡, Д и это распределение совпадает с тем, которое задается гравитационной моделью с экспоненциальной функцией притяжения.

Существует, однако, множество моделей, предназначенных для оптимизации функционирования транспортных сетей. В этом классе моделей решаются задачи оптимизации грузовых перевозок, выработки оптимальной конфигурации сети. Методы оптимизации транспортных сетей представляют собой обширную область исследования. Экспериментально планируется произвести сравнительный анализ точности восстановления грузовых матриц корреспон-денций, применяя гравитационную и энтропийную модели.

Статья поступила 27.02.2015 г.

Библиографический список

1. Введение в математическое моделирование транспортных потоков: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. / под ред. А.В. Гасникова. М.: Изд-во МЦНМО, 2013. 430 с.

2. Вильсон А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем / пер. с англ. М.: Наука, 1978 г. 248 с.

3. Лебедева О.А., Михайлов А.Ю. Сравнительный анализ методов оценки межостановочной матрицы корреспонденций // Современные технологии. Системный анализ. Моде-

лирование. 2013. № 4 (40). С. 85-88. 4. О введении в действие «Руководства по прогнозированию интенсивности движения на автомобильных дорогах» (для опытного применения): распоряж. Минтранса РФ от 19.06.2003 № ОС-555-р // ГАРАНТ. Информационно-правовой портал [Электронный ресурс]. и^: http://base.garant.ru/1593478/ (11 февр. 2015).

а =

-1

УДК 629.113.004.5

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИЧИН РАЗРУШЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

© О.Л. Маломыжев1, А.С. Бектемиров2, М.Э. Круглов3, Е.П. Черноусов4

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены причины разрушения двигателя внутреннего сгорания после замены ремня привода распределительного вала на станции технического обслуживания. Проведен анализ состояния деталей двигателя внутреннего сгорания после разрушения, выявлены наиболее значимые дефекты и неисправности, позволяющие установить истинную причину разрушения. Исследование позволяет использовать полученные данные при опреде-

1 Маломыжев Олег Львович, кандидат технических наук, доцент кафедры автомобильного транспорта Института авиа-машиностроения и транспорта, тел.: 89027658015; (3952) 405136, e-mail: [email protected]

Malomyzhev Oleg, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Automobile Transport of the Institute of Aircraft and Mechanical Engineering and Transport, tel.: 89027658015; (3952) 405136, e-mail: [email protected]

2Бектемиров Амир Саидбаддалович, кандидат технических наук, доцент кафедры автомобильного транспорта Института

авиамашиностроения и транспорта, тел.: 89246015636; (3952) 405136, e-mail: [email protected]

Bektemirov Amir, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Automobile Transport of the Insti-tute of

Aircraft and Mechanical Engineering and Transport, tel.: 89246015636; (3952) 405136, e-mail: [email protected]

3Круглов Максим Эдуардович, студент, тел.: 89041311000, e-mail: [email protected]

Kruglov Maksim, Student, tel.: 89041311000, e-mail: [email protected]

4Черноусов Евгений Павлович, студент, тел.: 89501151035, e-mail: [email protected]

Chernousov Evgeny, Student, tel.: 89501151035, e-mail: [email protected]