CC BY
53
УДК 621.924.93
В.В. Шпилев, М.К. Решетников, О.Ю. Давиденко МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕТЕРОГЕННОЙ СТРУИ ПРИ ГИДРОАБРАЗИВНОЙ РЕЗКЕ
Получена математическая модель многофазового движения гетерогенной струи с учетом совместного движения компонент и возможности определения величин, описывающих внутренние и внешние взаимодействия. Полученные уравнения, базирующиеся на одном из основных принципов механики - уравнении сохранения импульса суммарного количества движения, позволяют учитывать взаимодействие фонового потока и частиц абразива, имеющих различные скорости, что предопределяет появление гидродинамических сил.
Гидроабразивная резка, математическая модель, уравнение сохранения количества движения, взвесенесущий поток
V.V. Shpilev, M.K. Reshetnikov, O.Y. Davidenko MODELING OF HETEROGENEOUS JETS DURING WATERJET CUTTING
A mathematical model of a heterogeneous multi-phase movement of the jet with a joint motion of the components and the possibility of determining the quantities describing the internal and external interactions. The resulting equations, based on one of the basic principles of mechanics - the equation of conservation of momentum is the total amount of traffic, allow for the interaction of the background flux and abrasive particles with different speed, which determines the appearance of the hydrodynamic forces.
Waterjet cutting, the mathematical model, the equation of conservation of momentum,
Feed bearing suspension
Метод гидроабразивной резки - альтернатива не только механической, но и лазерной, плазменной, электроискровой и кислородной резки, а при необходимости обработки материалов, не терпящих температурного воздействия, является единственно возможным и наиболее эффективным и универсальным из родственных методов. Следует отметить, что до настоящего времени теории струйной гидроабразивной обработки, охватывающей все стороны процесса, еще не существует, поэтому исследование этого процесса представляет определенный научный интерес.
Так как наибольшее влияние на процесс гидроабразивной резки оказывают скорость струи, её диаметр и концентрация частиц, то для того, чтобы увеличить эффективность резания, необходимо математически смоделировать процесс движения жидкости и абразивных частиц с возможностью определения величин, описывающих внутренние и внешние взаимодействия. В основу модели заложим уравнение сохранения импульса суммарного количества движения, позволяющее учитывать взаимодействие фонового потока и частиц абразива, имеющих различные скорости, что предопределит появление гидродинамических сил.
При математическом моделировании процессов и движений гетерогенных смесей были приняты 2 допущения:
1. Размеры включений или неоднородностей в смеси во много раз больше молекулярнокинетических (расстояний между молекулами, размеров кристаллической решетки, средних длин свободного пробега молекул). Таким образом, указанные неоднородности содержат большое количество молекул.
2. Размеры указанных неоднородностей во много раз меньше расстояний, на которых осреднен-ные или макроскопические параметры смеси или фаз меняются существенно. Таким образом, размеры неоднородностей много меньше длин рассматриваемых.
Первое допущение позволяет использовать классические представления и уравнения механики сплошных однофазных сред. При этом для описания физических свойств можно использовать уравнения и параметры, полученные из опытов в однофазном состоянии.
Второе допущение позволяет описывать макроскопические процессы в гетерогенной смеси методами механики сплошной среды с помощью осредненных или макроскопических параметров.
В процессе движения такой среды, в результате взаимодействия фонового потока и частиц абразива, обусловленных различными скоростями, предопределяется появление гидродинамических сил, например сил сопротивления. Следовательно, в уравнениях сохранения необходимо учитывать указанные взаимодействия фонового потока и движущихся твердых частиц.
Так уравнение неразрывности для фонового потока и частиц абразива можно представить в виде [1]: _
_1. Р + 1. и +1.= 0;
<р1 йх и1 йх ¥ йх ’
1 йр2 1 йи 1 й¥ _
------Г2 + _-------------------------------------------------------^ +-= 0. (2)
р2 йх и2 йх ¥ йх
где и1 - скорость движения фонового потока; и2 - скорость движения частиц абразива; Р1, Р2 - концентрация первой и второй компоненты взвесенесущего потока; Б - площадь живого сечения потока.
В интегральной форме уравнение расхода взвесенесущей среды имеет вид
т = т1 + т2 = ¥ (р1р1и1 + р2р2и2).
Уравнение количества движения:
т1 йи1 _ йр1 Е1
¥ йх йх т2 йи2 _ йр2Е2
¥ йх йх т0
+ р1р1 В — Я ; (3)
+ р2р2В + Я . (4)
Здесь т1 =рхри1 ¥; т2 =р2р2и2¥; Е1 и Е2 - интенсивность обмена энергией между
первой и второй компонентой взвесенесущего потока; Р и р - плотность первой и второй компоненты взвесенесущего потока; В - вектор массовых сил; Я - сила гидродинамического взаимодействия компонент потока,
Уравнение количества движения для среды в целом получается сложением уравнений (3), (4):
тй и / йх = ¥й (р1 Е1 + р2 Е2) / йх + рВ ¥ , (5)
Уравнение сохранения энергии для одномерного взвесенесущего потока имеет вид:
й йр1 Е1 ------- . . ~^Г - .-у-Ч
РР1и1 — —г- = V! + Ап + Атр + ррВ V!; (6)
йх 2 йх
й и
ріФіи2 т
и
А12 + Атр + Р 2^2 В ^2’
(7)
ёх 2 ёх
В некоторых случаях, когда инерционные эффекты относительного движения компонент потока несущественны, для описания гетерогенных смесей можно использовать и диффузионное (одножидкостное) приближение.
Рассмотрим более детально уравнение сохранения количества движения: выделим в потоке произвольный объем V (рисунок) и применим к нему теорему об изменении количества движения: главный вектор всех внешних массовых и поверхностных сил, действующих на поток, равен сумме изменений её импульса конвективно отданного или воспринятого системой в единицу времени. Для гетерогенной среды изменение вектора количества движения фонового потока составит:
й І(Рі^йУ) = (р^и^У).
йт
йт
(8)
Гетерогенный поток
Раскроем производную от произведения вектора скорости фонового потока иі на массу фонового потока р^ёУ в элементарном объеме:
й _ 7Т7 йй _й(ржйУ)
—(лтйУ) = рмйУ —1+и ——. (9)
йт йт йт
Производную по времени во втором слагаемом заменим по уравнению неразрывности фонового потока (1), в итоге получим:
й | РіРіЦйУ = І рі^і ^йУ. (10)
йт У у йт
Определим теперь векторы внешних сил, действующих на фоновый поток выделенного объема V. Главный вектор поверхностных сил:
Р
где 81 - поверхность, ограничивающая фоновый поток в объеме V; П1 - тензор поверхностных сил, действующих на фоновый поток.
Поверхность 81 разобьем на две составляющие: 811 - поверхность, по которой фоновый поток соприкасается с собой же, 812 - поверхность, по которой фоновый поток соприкасается с частицами абразива. Тогда
Первое слагаемое преобразуем с помощью теоремы Гаусса-Остроградского:
2
11
J nndS = J ё1уП11^1ёУ. (12)
511 У
Второе слагаемое в (11) представим формально через объемный интеграл от некоторой силы
” R12
взаимодействия между компонентами потока 12 в расчете на единицу массы:
J П12 dS =J р1$1 R12 dV. (13)
512 V
Вектор массовой силы, отнесенной к единице массы, действующей на фоновый поток, обозначим через B1. Тогда суммарная сила:
P1 = J р^Б^У. (14)
У
Приравняв изменение количества движения (10) и (11) импульсу всех сил (12)-(14) и учитывая произвольность в выборе объема, окончательно получаем для фонового потока:
d и _► _► _► _►
рхфх —1 + x(V3 -U1) = divftП11 + рхфх R12 + рхфх B1; (15)
dT
аналогично для частиц абразива:
dc2 ~
Р2Ф2 — + x(C2 - Сз) = diy^2П22 +A^2R21 + Р2^2. (16)
dT
Сложим (15) и (16), чтобы получить уравнение изменения количества движения для всей среды в целом:
-*■ —►
dC1 dC2 =*
рхфх-------+ р2ф2-+ x(c2 - С1) = diyП + рБ. (17)
dT dT
В уравнении (17) учтено, что Р1Р1R 12 +Р2Р2 R 21 = 0 и приняты обозначения:
Ф1П11 + $2П22 = П1 ’ Р1^1 B1 + р2$2 B2 = рВ при B1 = B2 = B; п - тензор поверхностных напряжений, действующих в гетерогенной среде. Уравнение количества движения для всей среды в целом можно записать в виде:
rfCwV) + = d,ш+рв, (18)
VdT VdT
dCBV) = 0 Ht
Поскольку для среды в целом d 1 вынесем в левой части уравнения (18) из-под знака
_ x =рУ
производной рУ . Принимая во внимание также равенства $1У = У1; $2У = У2, 1 рУ и
р 2У2
Х0 =
2 рУ , окончательно получаем:
du 1 1ТТ -*
— = — gradП + B, (19)
dT р
где V — Ххы + Х2Ь2\ Р — рХ1 + РХ2 — Р1Ф1 + Р2Ф2 В - вектор массовой силы, отнесенной к
единице массы, действующей на фоновый поток.
На основе полученных уравнений можно получить расчетные зависимости, определяющие основные параметры гидроабразивной струи, её скорость и диаметр.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дейч М.Е. Гидрогазодинамика / М.Е. Дейч, А.Е. Зарянкин. М.: Энергоатомиздат, 1984. 428 с.
Шпилев Василий Владимирович - Vasily V. Shpilev -
аспирант кафедры «Технология Postgraduate student «Manufacturing
машиностроения» Саратовского Engineering» Saratov
государственного технического университета State Technical University
Решетников Михаил Константинович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Технология машиностроения» Саратовского государственного технического университета Давиденко Олег Юрьевич -доктор технических наук, профессор кафедры «Технология машиностроения» Саратовского государственного технического университета
Mihail K. Reshetnikov -
doctor of technical sciences, professor «Manufacturing Engineering»
Saratov State Technical University
Oleg Yu. Davydenko -
doctor of technical sciences, professor «Manufacturing Engineering»
Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 13.05.2011, принята к опубликованию 24.06.2011
