Моделирование геометрических фракталов с помощью бесконечных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ш

УДК 519.1 Кузьмин Олег Викторович,

д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и дискретной математики ИМЭИ ИГУ, тел. (3952)242226, e-mail: [email protected]

Малакичев Артем Олегович, соискатель ИМЭИ ИГУ, e-mail: [email protected]

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФРАКТАЛОВ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРАФОВ

O. V. Kuzmin, A.O. Malakichev

GEOMETRIC FRACTALS MODELING THROUGH INFINITE GRAPHS

Аннотация. Рассмотрены способы построения фрактальных графов, соответствующих геометрическим фракталам. Предложено два алгоритма построения таких графов. Приведены примеры таких построений для двух известных геометрических фракталов. Получены некоторые числовые характеристики построенных графов.

Ключевые слова: фрактал, геометрический фрактал, фрактальный граф, граф-затравка, ЗВЗ.

Abstract. The methods of constructing fractal graphs corresponding geometric fractals are considered. Two algorithms for constructing such graphs are proposed. Examples of such constructions for the two known geometric fractals are built. Some numerical characteristics of the constructed graphs are obtained.

Keywords: fractal, geometric fractal, fractal graph.

Введение

В [1] описан метод моделирования сложных структур с помощью предфрактальных графов, а также рассмотрены некоторые метрические и топологические свойства таких графов.

Не менее интересным представляется моделирование геометрических (регулярных) предф-ракталов и фракталов с использованием метода, предложенного в [1]. В данной работе продолжено изучение таких построений, начатое в [2]. Рассмотрены графы, соответствующие классическим фракталам «салфетке» и «ковру Серпинского», а также некоторые их характеристики.

Понятие фрактала встречается в различной литературе (см., например, [3, 4]), и, наверное, уже нет раздела науки, куда бы они так или иначе не проникли. Не является исключением и теория графов. Рассмотрим основные понятия, делая упор на способы построения геометрических фракталов и фрактальных графов.

Геометрический (регулярный) фрактал О можно представить как множество, которое является объединенными по определенному правилу копиями множества-генератора О0 (начальное множество, на основе которого строится фрактал).

Фрактальный граф О' регулярного фрактала О определим следующим образом. Произвольный граф F' будем называть затравкой (отметим, что в работе [1] затравка - связный граф, мы же не будем требовать такого условия, так как построенные графы могут быть и не связными, так же как и сами фрактальные множества). В заданном графе удаляем одну вершину и все инцидентные ей ребра, затем соединим каждую смежную ей (в исходном графе) вершину с одной из вершин графа-затравки. Соединять вершины можно произвольно или по заданному заранее правилу. Такая операция называется «замена вершины затравкой» (ЗВЗ) [1]. Конечное число таких итераций приводит к предфрактальному графу О'к, где к е N, N = {0,1,2,...}, а при бесконечном увеличении числа операций ЗВЗ результатом будет яв-

ляться фрактальный граф, т. е. О'к ———

2. «Салфетка Серпинского» и ее граф

Фрактальное множество «салфетка Серпин-ского» (рис. 1), которое будем обозначать символом Т, - один из классических геометрических

фракталов, генератором Т0 которого является

правильный треугольник. Существует множество различных способов построения этого фрактала (см., например [3, 4]).

Рис. 1. Фрактал «салфетка Серпинского»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Множеству Т поставим в соответствие бесконечный граф Т', который строится следующим образом. Каждый треугольник «салфетки» заменим на вершину графа; если у двух треугольников была общая точка, то соответствующие им вершины графа соединяем ребром. Множеству-генератору при таком построении будет соответствовать граф Т0', состоящий из одной вершины; предфракталу после первой итерации - граф Т' состоящий из трех вершин и трех ребер. Предфракталу к -й итерации будет соответствовать граф Т'. «Салфетке Серпинского» при таком построении соответствует бесконечный граф Т , т. е. Тк ' (см. [2]).

На рис. 2 показаны первые три итерации построения графа Тк .

Рис. 2. Построение графа Т'

Теорема 2.1

Граф Т' является фрактальным.

Доказательство

Действительно, Т' можно построить из графа Т , состоящего из одной вершины, с помощью затравки Г' - полного графа на трех вершинах. Процедура замены вершины затравкой будет производиться следующим образом. В графе с одной вершиной заменяем ее на затравку Т0'. Далее совершаем циклический обход графа Т , получившегося после первой итерации, заменяя каждую его вершину на затравку Г', тем самым получая граф Т , соответствующий второй итерации построения «салфетки». Продолжая данную операцию, на к -м шаге мы получим предфрактальный граф Т , соответствующий к -й итерации фрактала Т . При бесконечном количестве шагов Т'

к к

тШШ

Обозначим количество вершин предфрак-тального графа Т' как у(Т'), а количество ребер как е(Т'). Для подсчета количества ребер и вершин графа Т на каждой итерации были получены следующие соотношения.

Утверждение 2.1

Имеют место следующие рекуррентные соотношения:

у(Т') = 3у(Т'_1), е(Т) = 3е(Тк_,) + 3 с начальными условиями ) = 1, е(Т ) = 0.

Следствие 2.1

Имеют место следующие явные соотношения:

у(Т') = 3к, е(Т') = |(3к -1)

с начальными условиями у(Т0 ) = 1, е(Т0 ) = 0.

Доказательства этих утверждений проводятся по индукции, с учетом полноты затравки и появления новых ребер на каждой итерации.

3. «Ковер Серпинского» и его граф

Регулярный фрактал «ковер Серпинского» (рис. 3), который будем обозначать символом 5, тоже один из известнейших геометрических фракталов. При его построении в качестве множества-генератора £0 берется квадрат. У этого фрактала также имеется множество способов построения (см., например [3, 4]).

Т , т. е. полученный фрактальный граф

будет соответствовать «салфетке Серпинского». Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые свойства графа, построенного вышеуказанными способами.

Граф Т является планарным, т. к. максимальный полный подграф содержит три вершины.

Рис. 3. Фрактал «ковер Серпинского»

Множеству 5 поставим в соответствие бесконечный граф 5', который строится по следующему правилу. Каждый квадрат, составляющий фрактал, заменяется на вершину графа; если у квадратов есть общие точки, то соответствующие им вершины соединяем ребром. Множеству-генератору 50 будет соответствовать граф , состоящий из одной вершины; множеству после первой итерации - граф 5 , состоящий из восьми вершин и двенадцати ребер (который представляет собой квадрат с вписанным в него квадратом, так что середины сторон описанного квадрата являются вершинами сторон вписанного), и т. д. Предф-

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ш

ракталу на к -й итерации будет соответствовать предфрактальный граф Б'к. Продолжая построение, при к ^ да получим бесконечный граф £' -фрактальный граф, соответствующий «ковру Сер-пинского», т. е. £ к —;-> £'.

' к к -^да

На рис. 4 показаны первые три итерации построения графа £к .

Рис. 4. Построение графа £2

Теорема 3.1

Граф £ ' является фрактальным.

Доказательство

Граф £ можно построить с помощью операции ЗВЗ. Построение начнем с графа £0, состоящего из одной вершины. Далее заменяем вершину графа £ на граф £ . Совершая последовательный обход £[ по ребрам по часовой стрелке, будем последовательно заменять каждую его вершину на граф £[ (т. е. граф £ - затравка для фрактального графа £ '). Тем самым получим граф £'2, состоящий из восьми одинаковых блоков. Занумеруем блоки по часовой стрелке, начиная с крайнего левого. Последовательно соединим блоки ребрами таким образом, чтобы любые четыре вершины соседних блоков, по две из которых являются соседними в каждом блоке, образовывали полный граф (клику) на четырех вершинах. Кроме того, соединим ребром крайние вершины блоков, которые стоят на нечетных местах. Продолжим данную операцию, на каждом шаге заменяя вершины полученного графа на затравку £ и проводя ребра по правилу, указанному выше. Полученный граф £ к соответствует предфракталу к -й итерации. Данному фрактальному множеству £ при таком построении будет соответствовать бесконечный фрактальный граф £' [2], т. е. £'к ——-— > £' . Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые свойства построенного графа.

Граф £ не является планарным, так как при его построении нарушается смежность старых ребер (т. е. ребер предыдущей итерации) [1].

Количество вершин предфрактального графа £'к обозначим как у(£2 ), а количество ребер как е(£'к). Для подсчета количества ребер и вершин графа £ на каждой итерации были установлены следующие соотношения.

Теорема 3.1

Имеют место следующие рекуррентные соотношения:

у(£к) = 8у(£к _Д е£ ) = 8(е(£ _,) + 3к )-12 с начальными условиями у(£2 ) = 1, е(£2 ) = 0.

Следствие 3.1

Имеют место следующие явные соотношения:

у(£к) = 8 к,

е(£2) = ^8к-,'3,'+1 -12-

-1

.. . 7

с начальными условиями у(£2 ) = 1, е(£2 ) = 0.

Доказательства этих утверждений проводятся методом математической индукции. Отметим также, что элементы последовательности е(£ ) очень быстро увеличиваются.

4. Алгоритмы построения фрактальных графов

Можно предложить несколько способов построения графов, соответствующих геометрическим фракталам.

Первый способ заключается в том, что между множеством генераторов фрактала и множеством вершин графа устанавливается взаимно однозначное соответствие. При этом ребра соединяют только те вершины, соответственные генераторы которых имели общие точки.

Формализуем данный способ построения предфрактального графа в виде алгоритма.

Алгоритм 1

Шаг 1. Задаем О0 - множество-генератор фрактала.

Шаг 2. Задаем 0г-1 ^ - рекуррентное правило построения предфрактального множества.

Шаг 3. Проводим построение

G0 ^0Х Ок-1 ^Ок, т. е. строим несколь-

ко итераций предфрактального множества.

Шаг 4. Устанавливаем взаимно однозначное соответствие Ок ^ 02 между предфракталом Ок и графом 0'к.

Второй способ построения основан на задании начального графа О'0, затравки (как было видно из пункта 2, на каком-либо шаге построения

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

графа О' затравка может совпадать с графом О') и правила, по которому будет строиться фрактальный граф (т. е. ЗВЗ и способ построения новых ребер), по аналогии с построением, изложенном в [1].

Формализуем данный способ поэтапного построение предфрактального графа с помощью следующего алгоритма.

Алгоритм 2

Шаг 1. Задаем начальный граф О'.

Шаг 2. Задаем граф-затравку Г к

Шаг 3. Задаем О'-1 ^ О' - рекуррентное правило построения предфрактального графа.

Шаг 4. Проводим построение

О0 ^О[ О'-1 ^О', т. е. строим несколь-

ко итераций предфрактального графа.

Заключение

Геометрические фракталы, при всей своей простоте построения и наглядности, все же остаются структурами ветвящимися и в какой-то степени хаотичными. Упорядочивание таких фракталов, определение их свойств, алгоритмизация универсальных способов их построения - задача непростая. Как было показано в данной работе, фрактальные множества можно изучать как беско-

нечные фрактальные графы, что безусловно открывает новые возможности в изучении фракталов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кочкаров А. А. Предфрактальные графы в проектировании и анализе сложных структур : препр. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2003 № 10. 23 с.

2. Кузьмин О. В. О некоторых алгоритмах построения фрактальных графов / О. В. Кузьмин,

A. О. Малакичев // Комбинаторные и вероятностные проблемы дискретной математики : сб. науч. тр. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2010. Вып. 4 Дискретный анализ и информатика. С. 64-70.

3. Божокин С. В. Фракталы и мультифракталы / С.

B. Божокин, Д. А. Паршин. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 128 с.

4. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р. М. Кроно-вер. М. : Постмаркет, 2000. 352 с.

5. Харари Ф. Теория графов. М. : Мир, 1973. 301 с.

УДК 62 - 336 Долотов Алексей Митрофанович,

д. т. н., профессор, зав. кафедрой «Прикладная механика» ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»,

тел. 89086572297, e-mail: [email protected] Белоголов Юрий Игоревич,

аспирант, ФГБОУ ВПО «ИрГУПС», тел. 89149152303, e-mail: [email protected]

ОЦЕНКА ОТКЛОНЕНИЙ ФОРМЫ СЕДЛА УПЛОТНЕНИЯ ПОНИЖЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ

A.M. Dolotov, Yu.I. Belogolov

LOW STRINGENCY SEAL SEAT FORM DEVIATION

EVALUATION

Аннотация. В статье предложена критериальная оценка отклонений формы тонкостенного оболочечного седла уплотнительного соединения в виде энергии, которую необходимо затратить на придание торцу седла круговой формы.

Ключевые слова: уплотнительное соединение пониженной жесткости, оболочечное седло клапана, отклонения формы.

Abstract. The paper proposes the criterial score for form deviations of a thin shell seal seat in the form of energy that must be expended on giving the end face of the seat circular shape.

Keywords: sealing compound reduced stiffness of the shell seat, form deviations.

Рассматривается уплотнительное соединение, выполненное в виде конического клапана и седла, выполненного в виде тонкостенной оболочки [3]. Имеется ряд конструктивных (особенности крепления упругого седла в корпусе, коробление корпуса), технологических (вибрации, возникающие в процессе изготовления седла, внутренние напряжения, возникающие в результате термообработки), эксплуатационных (термо-нагружение уплотнения) и других факторов, обусловливающих коробление седла. Вследствие этого форма торца реального седла имеет отклонения от идеальной окружности. Поэтому контакт затвора с седлом первоначально происходит в одной