CC BY
50
www.volsu.ru
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
DOI: http://dx.doi.org/10.15688/jvolsu1.2015.5.3
УДК 519.6 ББК 22.193
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
_ ____о____о ____л
НА ОСНОВЕ ЛАГРАНЖЕВО-ЭЙЛЕРОВОЙ СХЕМЫ LES-ASG1
Антон Владимирович Белоусов
Студент Института математики и информационных технологий, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected]
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Сергей Сергеевич Храпов
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры информационных систем и компьютерного моделирования, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected]
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. Приведены формулы для численного моделирования газодинамических течений на основе лагранжево-эйлеровой схемы LES-ASG в двумерном случае. Приводится объяснение отличительной особенности численной схемы LES-ASG от схемы cSPH-TVD [1; 2]. Подробно рассматрива-g ется как лагранжев, так и эйлеров этап. Рассмотрены условия устойчивости
^ численной схемы. Проведен анализ и сравнение с численной схемой MUSCL
в одномерном случае.
m Ключевые слова: численные схемы, LES, ASG, cSPH-TVD, лагранжево-
g эйлерова схема.
а
* Введение
m
< В данной работе мы подробно рассмотрим все этапы и формулы численной схемы
о LES-ASG, которая является модификацией численной схемы cSPH-TVD. Проведем срав-
о нение схемы LES-ASG и схемы MUSCL для одномерного случая. В дальнейшем данная
рэ схема будет использоваться в качестве основы для создания программного комплекса, @ направленного на моделирования газодинамических течений.
1. Основные уравнения
Будем исходить из интегральных законов сохранения массы для однородной несжимаемой жидкости, а также законов сохранения энергии и импульса для «жидкой частицы» с «объемом» £(£), деформирующейся произвольным образом в процессе движения, в двумерном случае:
— JJ р dxdy = 0,
т
(1)
^ jj pudx dy = - JJ (^X - P f^ dx dy,
т
т
(2)
II P^ dxdy = - II (jy - P dxdy,
m m
itUedxdy=-U
m m
плотность среды; u и v —
(
d(up) д (vp)
x
+
- pufx - pvfy) dxdy,
)
(3)
(4)
где р — плотность среды; и и V — скорость газа вдоль ординат х и у соответственно;
д 4
е — полная энергия единицы объема; р — изотропное давление; /х = — и /„ =
д х
д4 , „
= —— удельная потенциальная внешняя сила; 4 — гравитационный потенциал.
Система уравнений (1)-(4) замыкается уравнением состояния идеального газа р = (у — — 1)ре, где у — показатель адиабаты, а е — удельная внутренняя энергия.
Введем характерное значение плотности р0, а также пространственную /0, и временной ¿0 масштабы задачи. Далее будем использовать только безразмерные величины (р, и, V, р, е, 4), переопределив их следующим образом
Ро
Р = — , u
u о
,
v
vt о 1о '
4=40 4 /2 •
pt0 Pol2;
et0_ Pol 2;
2. Численная схема ЬЕБ-ЛБв
Численная схема ЬЕБ-АБО (лагранжево-эйлерова схема с антисимметричной сеткой) — это модифицированный еБРИ-ТУЭ подход [1;2;7]. Основной отличительной особенностью схемы ЬЕБ-АБО от схемы еБРИ-ТУЭ является различие в расчете лагран-жевого этапа. В еБРИ-ТУЭ методе на лагранжевом этапе для расчета каждой ячейки задействуются все близлежащие ячейки, как это показано на рисунке 1. Из-за этого возникают нежелательные осцилляции. А в схеме ЬЕБ-АБО при расчетах не задей-ствуются диагонально расположенные соседние ячейки, как это делается на эйлеровом этапе. Пример показан на рисунке 2.
Рис. 1. Нахождение значений в ячейке на лагранжевом этапе с использованием cSPH-TVD схемы
Рис. 2. Нахождение значений в ячейке на лагранжевом этапе с использованием LES-ASG схемы
Воспользуемся стандартными процедурами дискретизации сплошной среды, применяемыми в численных схемах, основанных на эйлеровом и лагранжевом подходах [3;4]. Покроем расчетную область равномерной эйлеровой (неподвижной) сеткой с пространственным шагом h, где h^- = h = const (г и j — пространственные индексы) и х0+1 = х® + hi, у®+1 = у0 + hj. Совместим, в начальный момент времени, частицы с ячейками эйлеровой сетки. Число ячеек и частиц равно N.
Введем временные слои tn+1 = tn + тп с неравномерным шагом тп. На первом лагранжевом этапе, используя модифицированный в работе [6] SPH-подход, рассчитываем изменения интегральных характеристик и положений частиц, обусловленные действием газодинамических и внешних сил.
Частицы будем характеризовать массой М, импульсом Р и энергией Е соответственно: Mij(t) = //s..(t) pdxdy; Pid(t) = //s..(t) puvdxdy; Eid(t) = //s..(t) edxdy. После лагранжева этапа необходимо вернуть частицы в исходное состояние Ах™+1 — х0, — у®, вычислив при этом изменение интегральных характеристик частиц (M^f1, P^f1, ^jf1), вызванное таким перемещением. Именно на эйлеровом этапе возникает нужда использования неподвижной сетки для расчета потоков массы, импульса и энергии на границах ячеек в момент времени tnf1/2 = tn+тп/2, обусловленных перетеканием вещества через границы ячеек. Соответствующее изменение интегральных характеристик частиц пропорционально разности втекающих и вытекающих в ячейку потоков. Для расчетов потоков применяется модифицированный в [6] TVD-подход и приближенное решение задачи Римана.
Обратим внимание, что при рассмотрении областей вакуума в соответствующие ячейки помещаются частицы с нулевыми: массой, импульсом и энергией (частицы вакуума). В данном случае для частиц вакуума лагранжев этап LES-ASG метода пропускается, а на эйлеровом этапе при наличии в соседних ячейках частиц с ненулевыми параметрами осуществляется вычисление вытекающих в соответствующую ячейку потоков и определяется изменение интегральных характеристик частиц вакуума. Таким образом, рассматриваемый метод позволяет осуществлять эффективный сквозной рас-
чет в области течения нестационарных границ «вещество — вакуум».
2.1. Лагранжев этап
Введем дополнительную вспомогательную функцию ф, которая удовлетворяет соотношению р= ф2/2. Посредством введенной функции преобразуем в уравнениях (2)-(4) величины:
дф д дф д( и ) иф дф ф д( иф)
д
х
ф
дх' ду Фду, дх
2 дх 2 дх
д(ор) Vф дф + ф д(vф)
(5)
д 2 д 2
Необходимость перехода от лагранжева этапа к эйлеровому и обратно требует введения в численный алгоритм величин
^ 0 = -1
(
\
А(х, Ь)йхйу
(6)
/
являющихся аналогом средних значений функции А = (р, ри, рv,e,р, ф,4) в ячейках, при конечно-объемной аппроксимации на неподвижной сетке.
Подставляя в систему (1)-(4) соотношения (5) и учитывая (6), преобразовав при этом интегральные характеристики частиц с учетом (5), получим
¿И
г,3
Ц
г,3>
(7)
где
и.
г,3
( рг,3 \ (ри)г,3
\ ег,3 )
Р = _ & =_ 1г'] дх, 1г'] ду,
Ц
г,3
0
дф
дхг дф
фг,3 ^ — рг,^
ф
г,3
и
дф д( иф)
г,3
д хг
+
хг
V
— (ри)3 & — (рп\з £
дф | д(vф),
% .
ду.
г,3
/
и
(р и)
г,3
(ро)г,з
— и иг,3 — скорости центра масс частиц. значение величины фг,^
рг,з рг,3
можно выразить через компоненты вектора консервативных переменных Ига- в виде
и Ог
— скорости центра масс частиц. Значение величины фг консерв
фг,з = л/2р г,з, (8)
где
,
(у — 1)
(е -
I с г,]
рг,3 2
2
Кз рг,з 2
)
(9)
2
Для аппроксимации пространственных производных, входящих в уравнение (7), будем использовать модифицированный БРИ-подход со сглаживающим ядром Ш [17; 18]. В качестве сглаживающего ядра будем использовать кубический сплайн Монагана:
Ш (д)
2 —
3
1 — 3 я2 + У3, 0 <д< 1;
4(2—^ 0,
1 < < 2; 2 < д.
(10)
Ш(д)
где д можно представить как дх (10) и (11), следует, что
2 —
3
9 2
—3д + 7 д2,
3
4
—4(2 — ^, 0,
1хг хк \ к
или ду
0 < д < 1;
1 <д< 2;
2 < ,
\ Уг — Ук \ к
(11)
. Исходя из соотношения
дШ г,к дШ (д)дд ' 8%дп(хг — хк)
Ш (д)—
д хг
д д х
к
дШ3,к _ дШ(1) д1 _ ш' (д)^1дп(Уз — Ук)
дУз
д д
где
Ш г,к = Ш (\хг — хк\,к)
= Ш (\у, — Ук\,к)
к
Ш г,к = Ш (\х? — хк\,к),
Ш,к = Ш(\у] — ук\, к).
(12)
(13)
(14)
(15)
Заменяя входящие в уравнение (7) пространственные производные конечными суммами, содержащими аналитически вычисляемые производные от сглаживающего ядра Ш, получим
Ц
,
г+1
ф , ф к,
к=г-1
3 + 1
0
дШ г,к + Рг,,, дШкк
хг
ф ,
к= -1
+ф ,
ф ,
к
+1
М
= -1
+1
М
к= -1
ф , к
ф ,
дШ^к , рг,з
4к- "Ж
к= -1
ф к,
дУ3
+
ф ,
4
дШ
, к
, к
дУз
иг,о + ик,] дШг,к . (ри)г^.,. г,к
д х
+
ф ,
4
дШ ^
к,
+0г,кдШ-1,к (ро) ^ , +- 4 г ,к
д хг
дШ
}
+
, к
2
%
ф
,
%
}
(16)
На шаге «предиктор» находим методом ломаных промежуточные значения и , в
2
о
*
момент времени tn+i = tn + т„
U.
г,3
(
Ura. + — + 2h
0
(фг+ij - Vi-I,j) - Pi,j(4i+i,j - 4i-i,j) -<Vi,j(<$i,j+i - Vi,j-i) - Pi,j(4ij+i - 4i,i-i)
ф
i,3
Фг+i,
Ui,j + Ui+i,j
- I
фг,3 Vi,3+i
2
Vi,j + Vi,j+i
фг-i,
Щ, +Ui-1,
<Pi,i-i
2
Vi,j + Vi,j-i
(17)
2 ^ 1 2 V -(Рикз - и ) - Мч СФм+1 - 1) У
знак «~» над вектором консервативных переменных И^- означает, что центр масс частиц смещен относительно исходного положения. На шаге «корректор» по наклону интегральной кривой в точке И^- и вычисляем приращение значений И^- и на временном слое гп+1 = + тп:
U
,n+i
Uj + U
1,3
1,3 + f Q« (U,x.
к, xk, Ук)
Ax.
1,3
A
1,3
т
T
Ui,j + Uk,j
Vn•+ V* ■ ъ,3 г,3
(18)
2
Таким образом, рекуррентные соотношения (17) и (18) позволяют для момента времени 1п+1 вычислить интегральные характеристики частиц, движущихся под действием газодинамических и внешних сил.
*
*
*
2
2
2.2. Эйлеров этап
На эйлеровом этапе вычисляются потоки массы, импульса и энергии, обусловленные перемещением жидкости через границы ячеек, в момент времени 1п+у2 = tn + тп/2. На данном этапе находится приближенное решение задачи Римана. Разность втекающих и вытекающих в ячейки потоков позволяет определить изменения характеристических «жидких» частиц, рассчитанных на предыдущем этапе в момент времени Ьп+1 = 1п + тп [14]. Представляя (1)-(4) в дифференциальной форме, а затем в консервативной эйлеровой форме при отсутствии сил газодинамического давления, получим:
дЬ дх ду
Применив стандартную процедуру конечно-разностной аппроксимации к уравнению (19), для г,]-й ячейки получим соотношение:
т тга+1 _ "Гт Тп (т?п+У2 Т71га+1/Л _ (г^п+1/2 г,п+1/2\ (20)
ЦЬЗ = ИЬЗ ^ {Fi+1/2 Г г-1/2 ) ^ ^+1/2 ^3-1/2) , (20)
Г п+1
где значения И^- вычисляются на лагранжевом этапе по формуле (17), а значения
тлП+1/2 -гл,т-тП+У2 ч г^п+1/2 ^,-¡^+1/2 ч
потоков на границах ячеек = с(Иi±1|2j) и = ^(И^^±1/2) находятся
из приближенных решений задачи Римана. Для подавления нефизических осцилляций и обеспечения монотонности профилей сеточных величин на потоках накладывается функция-ограничитель.
Задача Римана решается отдельно для каждой из границ эйлеровых ячеек. При этом в качестве начальных условий необходимо задать слева (Ь) и справа (К) от рассматриваемой границы значения параметров потока, которые определяют величину скачка и могут быть получены на основе кусочно-полиноминальной реконструкции функции и(х,у,1). От порядка реконструкции зависит точность численного алгоритма. В настоящей работе ограничимся рассмотрением случая кусочно-линейной реконструкции, обеспечивающей численной схеме второй порядок точности по пространству.
Запишем выражения для и(х,у,1) слева (Ь) и справа ( К) от границы хс0+у2- и
1 /° •
У 1,3+1/2-
и 1+1/2,3
^+1/2,^ — иг+1, | 2 +
и., +12 -
+1/2 (ь Дх£Л
2 I ,
+1/2 (2 + дхз^«»
^2+ 2 ¡^х^1,
■
(21)
где
и
г,3+1/2
и
п+1/2 ■ ^ - Д^м^ е
(2+ДТ)«
1,3
2 -
и^З+1/2 — иг^+1 [ 2 +
,га+1/2
иу г,3+1,
Дх* ■
Дхп+1 — ДХг,з + Дхг,3 2 + 2
тп и™ + и.
2
п+1
1 2 ' 2 2
,п+1 _
+
~п+1 Т Уп + V ■
(22)
(23)
Наклоны кусочно-линейного распределения (21) и (22) должны удовлетворять ТУЭ-условию [12]. Для этого воспользуемся функцией-ограничителем [20]
@п — £ I 'и1+1,3 - и1з и1з - иг-1,3
®Пг ? — С
у
2
2
4,3+1
2
2
(24)
(25)
В качестве функции ограничителя, подавляющего нефизические осцилляции вблизи разрывов, могут применяться, например, ограничитель тгптой [19]
С(а, Ь) — 1 [Б1дп(а) + 81§п(6)] шт(|а|,
ограничитель ван Лира [15; 16]
2аЬ
С{а,Ь) — { ^ГЬ, аЬ> 0 0, аЬ < 0,
(26)
(27)
ь
ограничитель ван Альбады [8]
функция вирегЬее
_ (а2 + Qb+jb2 + Qa .28. С(а, Ь)_-а2 + Ь2 + 2Z-' (28)
С(а, b) _ max(a, b) max[min(1, 2 к), fmin(2, к)],
min(a,b) (29)
к
max(a, b)'
где а и Ь — вектора наклонов Q распределения величины и внутри ячейки; С — малая константа. Перечисленные ограничители (26)-(29) удовлетворяют ТУЭ-условию, ограничитель штшс^ (26), кроме того, сохраняет монотонность реконструируемой функции.
С учетом (21), (22) и методов приближенного решения задачи Римана (ЬЕ, ИЬЬ, ИЬЬС) [21], можно вычислить значения потоков и С™_+11/|, входящих в уравнение
(20). Рассмотрим значение потоков Г^/^2, введем следующие обозначения
иь,к — и±/2, — гсад,
тогда для потоков на границах ячеек, используя метод Лакса — Фридрихса (ЬЕ), имеем
[9]:
^п+1/2 Гь + ¥К иь — ип Ь ±1/2 — -2- + -2-, (30)
где
( РцвЦцв. \
F
L,R
2
PL,R ui,R + PL,R
PL,R UL,RVL,R
V uL}R(el,R + PL,R) J
Б* — шах(|5'ь|, |) — скорость распространения единственного разрыва, разделяющего две области с постоянными значениями и^, Для минимальной Бь и максимальной Бн скоростей распространения волн внутри ячейки справедливы оценки [10; 11]
— ш\п(иь — сь,ик — сЕ), — шах(иь + сь,ик + ск),
(ри)ь^ I УРцв. л где ULR — -, CLR — л/- — адиабатическая скорость звука в газе; pLR —
Рь^ у Рь, в.
, -,4 / и2ькрь,К У2ькрЬ>и\ г^п+1/2
— (у — 1) I е ь^-------- I. Аналогично находим значения потоков 2,
используя вместо основного пространственного индекса индекс .
В методе ИЬЬ значения потоков для уравнения (20) определяются по системе, представленной ниже [13]
F
Fl, 0 < SL;
<n+\/2 _ SRFL — SLFR + SLSK(UL — Uß) c c ,Qn
i±i/2 _ \-^-^-, sl s 0 s sR; (31)
I SR — SL
1
Fr, 0 > SR.
Значения Бь и Бк вычисляются аналогично методу ЬЕ.
Метод НЬЬС предпологает расчет потоков исходя из системы
Г
,п+1/2 г±1/2
П ) п )
Бь > 0; Бк < 0; Бс > 0; < 0.
Значение П (^ПИ/^ находим через
где
Вл
Бс (БьРь - Гь)
Бь Б<
Вз
В В2
Вз
Бс(Бь(ру)ь - Гь)
с
Бь Б{
с
В2
Бс(Бь(ри)ь - Гь) + Бь(рь + Рь(Бь - иь)(Бс - иь))
Бь Б<
с
В
Бс(Бьеь - Гь) + Бь(рь + Рь(Бь - иь)(Бс - иь))Бс
4 —
Бь Б
С
Значение П (тП+т/^ находим через
п (*п+:г?) —
В2 Оз
\»4)
где
О
2—
О,
п _ Бс(БкРк - Гк) _ Бс(БкМк - ¥к) —-^-^-, —-^-^-,
Бк - БС Бк - БС
Бс (Бк(ри)к - Г к) + Бк(рк + Рк(Бк - ик )(БС - ик))
Бк - Бс
Бс(Бкек - Гк) + Бк(рк + Рк(Бк - ик)(Бс - ик))Бс
Бк - Бс
В отличие от НЬЬ нам потребуется еще найти Бс
Б
с
Рк - Рь + Р ьиь(Бь - иь) - Ркик(Бк - ик) р( Бь - иь) - Рк(Бк - ик)
где Бь и Бк вычисляются по формулам
Бь — иь - сь<х(рь,рс), Б к — ик - ска(р к, Рс), Ь < а;
а(а, Ь)
* - О
Ь > а.
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
Акустическое приближение давления рс находится как
рс = max ^0,1 (pL + pR - 4(ur - uL)(pL + Pr)(cL + cr)^ .
(37)
2.3. Условия устойчивости
Для устойчивости численной схемы LES-ASG необходимо, чтобы за время интегрирования тга:
1) на лагранжевом этапе центр масс частиц смещался на расстояние, не превышающее h/2 относительно начального положения;
2) на эйлеровом этапе возмещения распространялись на расстояние, меньшее размера ячейки h.
С учетом этих условий, временной шаг тга для алгоритма LES-ASG должен определяться из условий:
т„ = К min
n Ii-1
' Vkjl
h
h
/
(38)
и VI | + я/ 1'°г,3 I + °г,з. где 0 < К < 1 — число Куранта; с — адиабатическая скорость звука в газе.
3. Проведение вычислительных экспериментов
Проведем несколько различных тестов. В качестве ограничителя используем min-mod, а для приближенного решения задачи Римана будем использовать метод ЬЕ.
Рассмотрим тест (А) для сгустка плотности в виде окружности на квадратной расчетной области с размерностью N — 102. В качестве начальных значений: показатель адиабаты у — 1,4; в областях задается однородная плотность р(х, у) — 1; и(х, у) — 0; у(х, у) — 0; х и у Е [0,1], а энергия:
Р
e(x, у)
10у Р
. Y
2 N
R2 <Г-
2 N R2 ä N •
где Я — это радиус отклонения от центра расчетной области. На рисунках 3-8 представлены результаты эксперимента.
Рассмотрим тест (В) о взаимодействии двух взрывных волн, который был применен Вудвартом [22] и Колеллой для изучения свойств численной схемы РРМЬР годуновского типа, реализующий счет давления на лагранжевом этапе [22]. Начальное состояние состоит из трех областей, с показателем адиабаты у — 1, 4 и ограниченных твердыми стенками. В областях задается однородная плотность р(х, у) — 1, и(х, у) — 0, у(х, у) — — 0, х и у Е [0,1], а разрыв по давлению:
(1000, 0 <д< 1;
р(х, у) — \ 0, 01, 0,1 < х < 0, 9; [100, 0, 9 < х < 1.
В результате формируются две сильные сходящиеся ударные волны. На рисунке 9 показана динамика взаимодействия двух взрывных волн для расчетной области N — 400.
Рис. 5. Тест А, распределение плотности после 10-й расчетной итерации
Рис. 6. Тест А, распределение плотности после 30-й расчетной итерации
х
Рис. 7. Тест А, распределение энергии после Рис. 8. Тест А, поле скоростей после
30-й расчетной итерации 30-й расчетной итерации
Рассмотрим тест (С), в котором смоделируем задачу Римана о распаде произвольного разрыва. Зададим начальные условия для квадратной расчетной области размером
N — 103, с левой границы от разрыва рь — 1, рь — 1 ис правой границы от разрыва рк — 1, рк — 0,1, распределение скоростей и и V нулевые на всей расчетной области. Показатель адиабаты у — 1,4. Данный тест применяется для оценки устойчивости численной схемы при моделировании сильных ударных волн. Решение состоит из сильной ударной волны, контактной волны и левой волны разряжения. На рисунках 10 и 11 представлены профильные разрезы давления и плотности. Функция-ограничитель тттоА позволяет получить профиль наиболее приближенным к монотонному, при этом масштабы численной размазки получаются более существенными.
Рис. 9. Тест В, динамика взаимодействия двух взрывных волн для N = 400: графики распределения давления р(х,Ы/2) в разрезе по центру расчетной области, вдоль движения волн
Рис. 10. Тест С, распределение давления при моделировании распада произвольного разрыва
Рис. 11. Тест С, распределение плотности при моделировании распада произвольного разрыва
В работе [1] проводилось сравнение погрешностей численных схем ЬЕБ-АБО и МиБСЬ с использованием кусочно-линейной и кусочно-постоянной реконструкции. В качестве основного теста рассматривалось решение уравнения переноса с неоднородным распределением скорости. В таблице приведены результаты эксперимента.
Погрешность вычислений схем МУБСЬ и ЬББ-ЛБО [1]
N Кусочно-постоянная реконструкция Кусочно-линейная реконструкция
МиБСЬ ЬЕБ МиБСЬ ЬЕБ
300 7,5455 х 10-2 7,5451 х 10-2 2,0163 х 10-2 1,0191 х 10-2
600 4,2171 х 10-2 4,2169 х 10-2 5,7162 х 10-3 5,7275 х 10-3
1200 2,2633 х 10-2 2,2633 х 10-2 2,6335 х 10-3 2,6309 х 10-3
2400 1,1818 х 10-2 1,1818 х 10-2 1,2402 х 10-3 1,2411 х 10-3
4800 6,0794 х 10-3 6,0794 х 10-3 5,9244 х 10-4 5,9223 х 10-4
9600 3,0903 х 10-3 3,0903 х 10-3 2,7158 х 10-4 2,7163 х 10-4
Заключение
По результатам численных экспериментов с использованием схемы ЬЕБ-АБО, для моделирования газодинамических течений, можно сделать вывод, что модификация схемы еБРИ-ТУЭ проведена успешно. Возмущения, которые возникали в угловых ячейках при использовании еБРИ-ТУЭ-метода, значительно уменьшены и профиль сечения имеет более гладкое распределение. Сравнивая результаты вычислений с использованием метода ЬЕБ-АБО и МиБСЬ, можно с уверенностью говорить о схожести точности численных схем [1]. В дальнейшем численная схема ЬЕБ-АБО будет использована для создания программного комплекса, нацеленного на моделирование газодинамических течений, который в будущем можно задействовать как основу для развития и создания более сложных и точных модулей, нацеленных на моделирование газодинамических течений.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 15-45-02655, № 15-47-02642, № 15-02-06204, № 14-07-97030.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белоусов, А. В. Разработка программы для численного газодинамического моделирования на основе лагранжево-эйлеровой схемы ЬЕБ-АБО / А. В. Белоусов, С. С. Храпов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2015. — № 1 (26). — С. 30-39.
2. Жумалиев, А. Г. Численная схема еБРИ-ТУО: моделирование фронта ударной волны / А. Г. Жумалиев, С. С. Храпов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2012. — № 16. — С. 24-27.
3. Еремин, М. А. Конечно-объемная схема интегрирования уравнений гидродинамики / М. А. Еремин, А. В. Хоперсков, С. А. Хоперсков // Изв. Волгогр. гос. техн. ун-та. —
2010. - № 6:8. - C. 24-27.
4. Кузьмин, Н. М. Численное моделирование эволюции неустойчивых мод джетов, выходящих из молодых звездных объектов / Н. М. Кузьмин, В. В. Мусцевой, С. С. Храпов // Астрон. журн. - 2007. - № 84:12. - C. 1089-1098.
5. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов. - М. : ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. - 656 с.
6. Численная схема для моделирования динамики поверхностных вод на основе комбинированного SPH-TVD-подхода / C. C. Храпов, А. В. Хоперсков, Н. М. Кузьмин, А. В. Писарев, И. А. Кобелев // Вычислительные методы и программирование. - 2011. -Т. 12, № 1. - C. 282-297.
7. Численная схема CSPH-TVD: исследование влияния ограничителей наклонов / Н. М. Кузьмин, А. В. Белоусов, Т. С. Шушкевич, С. С. Храпов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. - 2014. - № 1 (20). -C. 22-34.
8. Albada, G. D. van. A comparative study of computational methods in cosmic gas dynamics / G. D. van Albada, B. van Leer, W. W. Roberts // Astron. Astrophys. - 1982. -P. 76-84.
9. Courant, R. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences / R. Courant, E. Isaacson, M. Rees // Comm. Pure. - 1952. - P. 243-255.
10. Davis, S. F. Simplified Second-Order Godunov-Type Methods / S. F. Davis // SIAM J. Sci. Stat. Comput. - 1988. - P. 445-473.
11. Einfeldt, B. On Godunov-Type Methods for Gas Dynamics / B. Einfeldt // SIAM J. Numer. Anal. - 1988. - P. 294-318.
12. Harten, A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws / A. Harten // J. Comput. Phys. - 1983. - P. 357-393.
13. Harten, A. On upstream differencing and Godunov type methods for hyperbolic conservation laws / A. Harten, P. Lax, B. van Leer // SIAM review. - 1983. - P. 35-61.
14. Hudson, J. Numerical techniques for conservation laws with source terms / J. Hudson // PhD Thesis. - Reading : University of Reading, 1998. - P. 1-118.
15. Leer, B. van. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme II. Monotonicity and Conservation Combined in a Second Order Scheme / B. van Leer // J. Comput. Phys. -1974. - P. 361-370.
16. Leer, B. van. Towards the Ultimate Conservation Difference Scheme V. A Second Order Sequel to Godunov's Method / B. van Leer // J. Comput. Phys. - 1979. - P. 110-136.
17. Monaghan, J. J. Simulating free surface flows with SPH / J. J. Monaghan // Comput. Phys. - 1994. - P. 399-406.
18. Monaghan, J. J. Smoothed Particle Hydrodynamics / J. J. Monaghan // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. - 1992. - P. 543-574.
19. Roe, P. L. Some Contributions to the Modelling of Discontinuous Flows / P. L. Roe // Proceedings of the SIAM/AMS Seminar. - 1983. - P. 163-193.
20. Sweby, P. K. High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws / P. K. Sweby // SIAM J. - 1984. - P. 995-1011.
21. Toro, E. F. Restoration of the Contact Surface in the HLL / E. F. Toro, M. Spruce, W. Speares // Shock Waves. - 1994. - P. 25-34.
22. Woodward, P. The Numerical Simulation of Two-Dimensional Fluid Flow with Strong Shocks / P. Woodward, P. Colella // J. Comput. Phys. - 1984. - P. 115-173.
REFERENCES
1. Belousov A.V., Khrapov S.S. Razrabotka programmy dlya chislennogo gazodinamicheskogo modelirovaniya na osnove lagranzhevo-eylerovoy skhemy LES-ASG [Development of the Program for Numerical Gasdynamic Modeling on the Basis of Lagrange —
Euler Scheme the LES — ASG]. Vеstnik Volgogradskogo gosudarstvеnnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2015, no. 1 (26), pp. 30-39.
2. Zhumaliev A.G., Khrapov S.S. Chislennaya skhema cSPH-TVD: modelirovanie fronta udarnoy volny [A Numerical Scheme Based on the Combined SPH-TVD Approach: Simulation of the Shock Front]. Vеstnik Volgogradskogo gosudarstvеnnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2012, no. 16, pp. 24-27.
3. Eremin M.A., Khoperskov A.V., Khoperskov S.A. Konechno-obyemnaya skhema integrirovaniya uravneniy gidrodinamiki [Finite Volume Sheme of Integration for Hydrodynamics Equations]. Izv. Volgogr. gos. tеkhn. un-ta, 2010, no. 6:8, pp. 24-27.
4. Kuzmin N.M., Mustsevoy V.V., Khrapov S.S. Chislennoe modelirovanie evolyutsii neustoychivykh mod dzhetov, vykhodyashchikh iz molodykh zvezdnykh obyektov [Numerical Modeling of the Evolution of Unstable Modes of Jets From Young Stellar Objects]. Astron. zhurn. [Astronomy Reports], 2007, no. 84:12, pp. 1089-1098.
5. Kulikovskiy A.G., Pogorelov N.V., Semenov A.Yu. Matеmatichеskiе voprosy chishnnogo rеshеniya gipеrbolichеskikh sistеm uravmniy [Mathematical Problems in the Numerical Solution of Hyperbolic Systems]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2001. 656 p.
6. Khrapov C.C., Khoperskov A.V., Kuzmin N.M., Pisarev A.V., Kobelev I.A. Chislennaya skhema dlya modelirovaniya dinamiki poverkhnostnykh vod na osnove kombinirovannogo SPH-TVD-podkhoda [Numerical Scheme for Modeling the Dynamics of Surface Water Based on the Combined SPH-TVD-Approach]. Vychislitеlnyе mеtody i programmirovaniе, 2011, vol. 12, no. 1, pp. 282-297.
7. Kuzmin N.M., Belousov A.V., Shushkevich T.S., Khrapov S.S. Chislennaya skhema CSPH-TVD: issledovanie vliyaniya ogranichiteley naklonov [Numerical Scheme CSPH — TVD: Investigation of Influence Slope Limiters]. Vеstnik Volgogradskogo gosudars^nnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2014, no. 1 (20), pp. 22-34.
8. Albada G.D. van., Leer B. van., Roberts W.W. A Comparative Study of Computational Methods in Cosmic Gas Dynamics. Astron. Astrophys., 1982, pp. 76-84.
9. Courant R., Isaacson E., Rees M. On the Solution of Nonlinear Hyperbolic Differential Equations By Finite Differences. Comm. Pure., 1952, pp. 243-255.
10. Davis S.F. Simplified Second-Order Godunov-Type Methods. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1988, pp. 445-473.
11. Einfeldt B. On Godunov-Type Methods for Gas Dynamics. SIAM J. Numer. Anal., 1988, pp. 294-318.
12. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. J. Comput. Phys, 1983, pp. 357-393.
13. Harten A., Lax P., Leer B. van. On Upstream Differencing and Godunov Type Methods for Hyperbolic Conservation Laws. SIAM review, 1983, pp. 35-61.
14. Hudson J. Numerical techniques for conservation laws with source terms. PhD Thesis, Reading, University of Reading, 1998, pp. 1-118.
15. Leer B. van. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme II. Monotonicity and Conservation Combined in a Second Order Scheme. J. Comput. Phys., 1974, pp. 361-370.
16. Leer B. van. Towards the Ultimate Conservation Difference Scheme V. A Second Order Sequel to Godunov's Method. J. Comput. Phys., 1979, pp. 110-136.
17. Monaghan J.J. Simulating Free Surface Flows with SPH. Comput. Phys., 1994, pp. 399406.
18. Monaghan J.J. Smoothed Particle Hydrodynamics. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 1992, pp. 543-574.
19. Roe P.L. Some Contributions to the Modelling of Discontinuous Flows. Proceedings of the SIAM/AMS Seminar, 1983, pp. 163-193.
20. Sweby P.K. High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws. SIAM J, 1984, pp. 995-1011.
21. Toro E.F., Spruce M., Speares W. Restoration of the Contact Surface in the HLL. Shock
Waves, 1994, pp. 25-34.
22. Woodward P., Colella P. The Numerical Simulation of Two-Dimensional Fluid Flow with Strong Shocks. J. Comput. Phys., 1984, pp. 115-173.
GASDYNAMIC MODELING ON THE BASIS OF THE LAGRANGIAN AND EULER SCHEME LES-ASG
Anton Vladimirovich Belousov
Student, Institute of Mathematics and IT, Volgograd State University [email protected], [email protected]
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Sergey Sergeevich Khrapov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Information Systems and Computer Simulation, Volgograd State University [email protected], [email protected]
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. In this work the numerical scheme LES-ASG which is modification of CSPH-TVD is considered in detail. Formulas of all stages of calculation with use of LF, HLL, HLLC methods for the solution of a task of Riemann are presented. Using LES-ASG it was succeeded to achieve more smooth distribution in comparison with CSPH-TVD. By results of comparison of LES-ASG and MUSCL it is possible to draw a conclusion on similarity of accuracy of numerical schemes. In this paper, compare the two types of solving the transport equation with inhomogeneous distribution of velocity, namely LES (Lagrange — Euler scheme) and MUSCL (Monotonic Upstream-Centered Scheme). According to the research we can assume that the scheme LES and MUSCL is equally well applicable for modeling the transport equation. The numerical scheme LES-ASG will be used as a basis for creation of the program complex aimed at modeling of gasdynamic currents with use of the OpenMP and CUDA technologies.
Key words: numerical schemes, LES, ASG, cSPH-TVD, MUSCL, Lagran-gian and Euler scheme.
