Моделирование финансовых потоков в процедуре амортизации ипотечного кредита с постоянными по величине выплатами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Таблица 2

Потери от поставок металла с браком на ОАО «АВТОВАЗ»

Наименование потерь В 2002 году, тн В 2001 году, тн Прирост, %

ВСЕГО перерасход металла из-за брака, в том числе: 17 606 28 026 -37,18%

- потери металла от замен 894 1 823 -50,95%

- технологические потери от брака 4 205 5 686 -26,05%

В феврале 2000 года на ОАО «ЛМЗ» согласно перечню мероприятий плана внешнего управления было принято положение об управлении закупок, руководство по качеству, стандарт СТП СК 6, была сформирована соответствующая служба. Для повышения качества поставляемых материалов и комплектующих изделий на ОАО «ЛМЗ», в данной работе автор предлагает стимулировать поставщиков не в явном виде, а путем изменения различных условий контрактов на поставку так, чтобы это было экономически выгодно ОАО «ЛМЗ» и поставщикам. В качестве таких стимулирующих условий контракта на поставку могут выступать: увеличение цены за единицу поставляемого материального ресурса, увеличение объемов заказа, сокращение сроков оплаты за поставку, увеличение размера аванса.

На основе выполненного исследования автором разработан общий методологический подход к формированию условий согласованного взаимодействия при выборе в качестве стимулирующих воздействий функций стимулирования и изменений параметров целевых функций. Предложено в качестве системы стимулирования использовать одновременно функцию стимулирования и изменения существенных параметров системы, что приводит к расширению области компромисса и более эффективному функционированию производственно - экономической системы. Разработан ряд моделей механизмов согласованного взаимодействия при управлении промышленными комплексами. Даны рекомендации по использованию предлагаемых подходов и моделей на практике.

Моделирование финансовых потоков в процедуре

АМОРТИЗАЦИИ ИПОТЕЧНОГО КРЕДИТА С ПОСТОЯННЫМИ ПО ВЕЛИЧИНЕ ВЫПЛАТАМИ

Каждый вид ипотечного кредита задает свой механизм погашения основного долга и уплаты процентов, определяя тем самым форму организации финансовых потоков. Рассмотрим формирование процедуры погашения ипотечного кредита с постоянными по величине выплатами и организацию в ней финансовых потоков.

Предположим, что кредитор задал величину основной суммы кредита Б, установил его срок п, и процентную ставку являющейся постоянной в течении срока ссуды. На основании этих исходных данных рассчитываются периодические выплаты по ипотеки в соответствии с уравнением

Г = £>/¿(7 + /)“* =£>/ ап;1.

к=1

(1)

При найденной в соответствии с (1) величине расхода по займу

V можно сформировать план погашения ипотечного кредита. Для этого найдем сумму первого платежа, идущую на погашение основного долга, как разность между величиной срочной уплаты V и процентами, т.е.

^ = V - В ■ I

(2)

Второй платеж представляет собой наращенную сумму первого и равен

Я2 = V - (Б- ЯО 1 = Я! + (1 + 1),

третий платеж - наращенную сумму второго

Я3 = Яг (1 + 1) = Я1 (1 + 1 )2 и т.д.

Общая формула для определения величины погашения долга на конец любого года к равна

Як = Як_1 (1 + I ) = Я1 (1 + I ) к_1 , к = 1, 2, ..., п.

(3)

Для последнего года займа п величина погашения долга составит 106

кп=кп! (1 +1) = ^а + о11-1.

В соответствии с формулой (3) периодические платежи по погашению долга образуют ряд:

Кх ; Кх (1 + 1); (1 + 1)2; ..; Кх (1 + 1)к 1 ; . .; ^(1+1)^. (4)

Как следует из этого ряда и формулы (3) величина погашения долга увеличивается от года к году и в конце срока займа становится равной (1+1)ПЧ .

Сумма членов ряда (4) по какой-либо год образует величину погашенной задолженности на конец этого года. Например, на конец года к величина погашенной задолженности равна

+ 0' = Ъ,Ч,, к = 1, 2, ..., П, (5)

•=0

к-1

где (7 + / )' - коэффициент наращения (накопления) еди-

•=0

ничного финансового потока за п периодов.

Эта сумма есть сумма к членов геометрической прогрессии со знаменателем и = (1 +1) и начальным членом, равным 1. Поэтому при 1 Ф О

5к1 = Ы^1 = \(1 + 1)к-1\Ц = (ик-1)Ц. и-1

к

Если { = 0, то як^ 1 = п.

•=1

Как следует из приведенной формулы коэффициента наращения, вп; 1 зависит только от срока кредита и процентной ставки. С увеличением каждого из этих параметров его величина увеличивается. Значения коэффициента легко табулировать и использовать в расчетах специальные таблицы.

В соответствии с (5) величины погашенной задолженности составляют следующий ряд:

Я: Я: вг,!; ...; Я1 в к,1; ... ; ^8^; или

•=о •=о •=о

Первый член этого ряда равен wi = Ri, так как s];, = 1, а последний член wn = Ri sM; , = D, т.е. последний член ряда (6) равен сумме займа, а это означает, что долг за срок займа выплачен в полной мере. Размер погашенной задолженности, как следует из ряда и формулы (5), последовательно увеличивается от величины R| в конце первого года до суммы займа D в конце срока погашения.

Размер погашенной задолженности до начала года к определяется из уравнения:

wk=Risk-i-,i> к = 2, 3, ..., n, Wj = 0.

(7)

Величины погашенной задолженности на начало года в соответствии с (7) образует ряд:

0; Rj Si,í;RiS2,í; ...: R s . • •: ... ; RiSn_u;r или

•=o •=o •=o •=o

Размер погашенной задолженности на начало года увеличивается от нуля на начало первого года и до величины

п=2

и’" =/¿,^(7 + /)' = I) — ¡{¡(I + i)n на начало последнего года

•=о

займа.

Величина долга на начало какого-либо года к при известной

задолженности на этот период W |! образует последовательность

значений следующего ряда:

D; D-W®; D-W®; ...; D-w£ ; ...; D-w® или

D, D — RiSi„i; D — RiS2„i ; ...; D — RiSk-i;¡; ...; D — Risn—1,;¡ • Остаток долга на начало года к равен

к-2

D¡ =D-RI^0 + iY =D-RIsk_Il,t = 2,3, ...,n, D¡ =D. (8)

•=o

Если учесть, что размер долга на начало последнего года займа

равен

< =D-R}(l + i)n, то остаток долга на начало последнего года займа равен

онп =£>-< =^-£)+/гД7 + 0"=^(7 + 0".

Остаток долга на конец каждого года при известной погашенной задолженности \¥ь к = 1, 2, п образует аналогичную последовательность в виде следующего ряда:

Б, - Я^^; Б - ; ...; Б -Яв ^; ...; Б - Я^п^ .

При этом долг на конец года к составит

Ок=В-м?к= 0-11^0 + 1)' =0-Я^кг, к=1,2,...,п.

•=0

(9)

Учитывая, что величина погашенной задолженности на конец последнего года займа п равна сумме займа Б(\уп = Б), остаток долга на конец года п, равен нулю, т.е.

Бп = Б - \¥п = Б - Я^п;! = Б - Б = 0.

Определим величину процентов, выплачиваемую в конце каждого года, в случае, когда расходы по займу являются постоянными величинами. Так как проценты начисляются на размер долга в начальный период, величины процентов составят следующий ряд:

Б-ц (Б-^“)1; (Б-^“)ц ...;(Б-Оц ...;(Б-<)1 или Б-ц (Б - Яв1; О I ; (Б - Явг^) ц ...; (Б - Я^ кч ;1) I ; ...; (Б -

Я18 п-1 ; 0 1 •

Процентные платежи, выплачиваемые в конце года к, определяются из уравнения:

Л = (Б - Я, вы О I, к = 2, 3, ..., п , ^ = Б1,

(10)

а величина процентов, выплачиваемая в конце года п, составит в соответствии с формулой (10)

}п = (Б - Я, 8п_1;1) 1 = ( Б - Б + ^ ( 1 + 1)п) 1 = Яи (1 + 1)п

Полученные уравнения (1-10) в совокупности позволяют сформировать план погашения займа должником при условии постоянства срочных выплат.

В общем виде взаимосвязанные модели финансовых потоков при формировании плана-графика погашения задолженности во времени представлены в таблице 1.

Таблица 1

Модели потоков при формировании общего плана погашения задолженности

Год Расходы по займу Расходы на погашение долга Погашенный долг Остаток долга Проценты

V Як < \¥к А" Бк к

1 У=Б/ап;; 0 Я^ Б

2 V Ы1=(1+0 Я^!;! Я1§2; 1 С)— Я^!; ; Б— Я^г;; ( Б- Я181;0

3 V Я1=(1+;)2 1^2; 1 Я^З; 1 Б- Я^^ Б— Я^з;; (Б- Я^; 0

1 V Я1=(1+0к-1 1^1 Эк;! Б- К1вк-1;; Б- Я^; (Б- Я^к-!;;

п V ы^ыг1 Я^п^ Б- Ы18п_1;; Б- (Б- Я18п_1:1

Общий план погашения задолженности может быть легко переведен в конкретный вид при заданных параметрах контракта Б, п, 1.

Рассмотрим числовой пример формирования графика погашения ипотечного кредита с постоянными по величине выплатами.

Кредитор задает максимальную величину суммы кредита, которая является определенным процентом от стоимости собственности (например, 85%), выкупаемой заемщиком, устанавливает максимальный срок кредита, который должен быть, например, короче срока выхода заемщика на пенсию, и предлагает процентную ставку, сложившуюся на рынке. Затем рассчитываются периодические выплаты по ипотеке. Пусть кредитор установил следующие значения исходных показателей:

сумма кредита Б = 500 • 103 руб.; срок ипотечного кредита п = 10 лет; годовая процентная ставка I = 12%.

Пусть периодические платежи осуществляются один раз в конце каждого года. Обычно периодические выплаты осуществляются ежемесячно, но в рассматриваемом примере сделано предложение о ежегодных выплатах.

Из исходных данных видно, что ежегодные платежи должны быть больше процентных платежей, равных 500 • 103 • 0,12 = 60 • 10 руб. Поэтому для того, чтобы погасить ипотечный кредит, ежегодный платеж должен превышать 60 • 103 руб. В соответствии с формулой (1) находим, что

V = Б/ а10; 12 = 500 • 103 / 5,65 = 88,5 • 103 руб.

Г рафик погашения (амортизации) кредита показывает в любой момент времени его состояние, характеризующееся такими параметрами, как остатком долга, величиной погашенного долга, размером платежа на выплату процентов, выплату основной суммы кредита. План амортизации может быть рассчитан несколькими путями. Рассмотрим способ основанный на использовании системы уравнений (2-7) и формировании на их основе таблицы 1. Проиллюстрируем на рассматриваемом числовом примере этот способ.

В числовом виде таблицу 1 будем формировать по столбцам. Второй столбец представляет собой ежегодные постоянные выплаты, равные V =

= 88,5 • 10 руб. Часть ежегодных выплат расходуется на погашение основного долга, а другая часть - на погашение процентов. Расходы на погашение долга за первый год равны разности между постоянными выплатами V и процентами за первый год 1: Я: = 88,5 • 103 -60 • 103 = 28,5 • 103 руб. За второй год Я2 = ^ ( 1 + ¿) = 28,5 • 103 • 1, 12 = 31, 92 • 103 руб., за третий год Я3 = ^ ( 1 + ¿)2 = 28,5 • 103 •

1, 122 = 35, 63 • 103 руб. и т.д. В четвертом и пятом столбцах рассчитаны значения погашенного долга для любого промежуточного периода: на начало Н’," и конец периода \\(. к = 1, ..., п. Так, на начало первого года и1" = 0, а на конец года \\, = Яь ]2 = К] = 28,5 • 103 руб, на начало второго года И’" = Я] = 28,5 • 103 руб., \\2 =

Къ82; 12= 60,42 • 103 руб. и т.д.

В шестом и седьмом столбцах рассчитаны значения остаточной задолженности для любого периода, включая его начало и конец. Эти величины определяются для какого-то периода как разности между суммой кредита Б и величиной выплаченного долга до этого периода. На начало 1-го года остаток долга равен сумме кредита /У = 500 • 103 руб., а на конец первого года Б| = Б - \\ | = 500 •

103 - 28, 5 • 103 = 471, 5 • 103 руб., на начло второго года остаток долга равен = Б - \¥1 = 471, • 103 руб., а конец 2-го года Т>2 = Б

- \¥2 = 439,58 • 103 руб. и т.д.

В восьмом столбце рассчитаны значения процентов, определяемые для каждого периода как процент от оставшегося долга. На первый год величина процентов составляет .Г1 = Б1 = 500 • 103 0,12

= 60 • 103 руб., на второй 12 =

= Т>21 = 56, 58 • 103 руб. и т.д.

Данные, рассчитанные по всем потокам, сведены в таблицу

2. Как следует из таблицы, чем больше времени проходит с момента предоставления кредита, тем большая часть периодического платежа направляется на выплату основного долга и тем меньшая часть идет на погашение кредита.

Таблица 2

План погашения ипотечного кредита V = 88, 5 ■ 103 руб., / =

12%, п = 10

Год Рас- Расходы Погашенный Остаток долга Процен

ходы на долг Ты

по погаше-

зай- ние

му долга

V- ю3 Як ю3 ю3 А" -3 ок ■ ю3 Ь ■ ю3

1 88,5 ^=28,5 •"* ж II w]=28,5 ь а: II Б1=471,5 Т:=60

2 88,5 1*2=31,92 У^2 =28-5 W2=60,4 В1 =471,5 Б2=439,6 Т 2= 56,6

3 88,5 Я3=35,6 М>^ =28.5 W2=96,l Е)^ =439,6 Б3=404 ^=52,9

4 88,5 Я4=39,9 =96,1 W4=136,2 Е)^ =404 Б4=363,8 14=48,6

5 88,5 Я5=44,8 =136.2 ■№5= 181 Е)$ =363,8 Б5 = 319 15=43,8

6 88,5 Я6=50,2 М= 181 wб=231,4 А? -1, Б6=268,6 16=38,3

7 88,5 Я7=56,2 М>у =231.4 W7=287,6 Г)у =268,6 Б7 =212,4 17=32,4

8 88,5 Я8=63 Ид! =287.6 W8=350,6 Е)% =212,4 Б8=149,5 18=25,5

9 88,5 Я9=70,4 УУд =350.6 ■№9=442,2 Е)д =149,5 Б9=78,8 19=18,1

p. H D,o=149,5 J,0=9,6

nio =-°-2

За десять лет, как следует из последней строки 5-го и 7-го столбцов и итоговой суммы расходов (2-й столбец), задолженность по кредиту полностью погашена. Недопогашенная часть ссуды 6 600 руб. вызвана округлением расчетов.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда выплаты процентов и погашение основного долга производится ежемесячно, т.е. 12 раз в году.

В этой ситуации периодические расходы по займу равны

V = D/ а 12n; 1 / 12-

(П)

Величина погашения долга на конец периода к равна

Rk = Ri(l + i /12)к ■ \ к = 1, 2, ..., 12п,

(12)

гдеЯ! = V-Di/12.

Сумма погашенной задолженности на конец периода к составит

к-1

Wk=Ri^{l + i/12X = RrSk; ! / 12, к = 1, 2,..., 12 п.

•=о

(13)

Задолженность на конец периода к можно определить по уравнению

к-1

Dk=D-wk=D-RI'^(l + i/12y, к=1,2,...,12п.

•=0

(14)

Процентные платежи на конец периода к равны

к-i

Jk=(D- wk )i/l2 = Dki/12 = Di/12 - Rj/U^ (1 + i/m)’,

•=o

k= 1,2,..., 12n. (15)

Уравнения (11-15) позволяют сформировать план погашения задолженности при постоянных периодических расходах по займу, когда выплаты процентов и погашение долга производятся 12 раз в году.

Используем исходные данные рассмотренного примера для формирования графика погашения кредита в типичной ситуации, когда амортизация долга осуществляется ежемесячно.

Определим в соответствии с (11) ежемесячные расходы по займу для следующих исходных данных:

сумма кредита Б = 500 • 103 руб., срок ипотечного кредита 12п= 12 • 10 = 120 месяцев;

ежемесячная процентная ставка ¿/12 = 12/12 = 1%

или 0,01.

Коэффициент приведенных значений для исходных данных

равен

<2120; 0,01 = 69,7.

Тогда ежемесячные расходы по займу составят следующую величину

V = 500 • 103 / 69,7 = 7,17- 103 руб.

Таким образом, ежемесячная финансовая нагрузка у заемщика равна 7,17- 103руб.

Часть этой суммы идет на погашение основного долга, а другая часть на погашение процентов. В соответствии с (12) расходы на погашение долга составят:

в первый месяц Я] = V — 01/12 = 7,17-Ю3 - 500-103 • 0,01=2,17-103 руб.;

во второй месяц Я2 = К](1 + 0,01) = 2,19-103 руб.; в третий месяц Я3 = Я2(1 + 0,01) = 2,21 -103 руб.; в четвертый месяц Я4 = Я3(1 + 0,01) = 2,24-103 руб.; в пятый месяц Я5 = Я4(1 + 0,01) = 2,26-103 руб.; в двенадцатый месяц Я]2 = Я](1 + 0,01)п = 2,42-103 руб.; в двадцать четвертый месяц Я21 = Я] (1 + 0,01)23 = 2,76-103

руб.;

в сто двадцатый месяц Я^о = К] (1 + 0,01)119 = 7,16-Ю3 руб. При известных значениях ежемесячных расходов на погашение долга легко определить ежемесячные расходы, идущие на погашение процентов по уравнению

1к = У-Кк, к = 2, ...,120, ] = 01/12.

Так, в первый месяц процентные платежи составят: в первый месяц II = 5 00-103 • 0,01 = 5 - 103 руб.;

во второй месяц 12 = (7,17 - 2,19)103 = 4,98 • 103 руб.; в третий месяц 13 = (7,17 - 2,21)103 = 4,96 • 103 руб.; в четвертый месяц = = (7,17 - 2,24)103 = 4,93 • 103 руб.; в пятый месяц 15 = (7,17 - 2,26)103 = 4,91 • 103 руб.; в двенадцатый месяц ]и = (7,17 - 2,42)103 = 4,75 • 103 руб.;

в двадцать четвертый месяц 124 = (7,17 - 2,76)103 = 4,41 • 103

руб.;

в сто двадцатый месяц ]ио = (7,17 - 7,16) 103 = 0,01 • 103 руб. По уравнениям (13-14) легко определить в каждый текущий месяц сумму погашенной задолженности и имеющуюся задолженность до конца срока кредита.

Результаты расчета приведены в таблице 3, характеризующей состояние займа в любой месяц кредитного срока. Из таблицы видно, что все периодические платежи одинаковы, но постепенно в каждом растет доля основной суммы, а доля на погашение процентов сокращается, остаток кредита постепенно уменьшается.

Таблица 3

План погашения ипотечного кредита V с ежемесячной амортизацией долга V = 7, 17 • 103 руб., I = 0,01

Месяц Расходы по займу Расходы на погашение Погашенный долг на конец месяца Остаток долга на конец месяца

V- 103 долга Як ю3 процентов } 103 \¥к • 103 103

1 7,17 2,17 5 2,17 497,8

2 7,17 2,19 4,98 4,36 495,6

3 7,17 2,21 4,96 6,53 493,5

4 7,17 2,24 4,93 8,81 491,2

5 7,17 2,26 4,91 11,07 488,9

12 7,17 2,42 4,75 27,52 472,5

24 7,17 2,76 4,41 58,52 441,5

120 7,17 7,16 0,01 499,2 0,8

ИТОГО 860-103 руб. 500-103 Руб- 360-103 руб-

Таким образом, в работе рассмотрен общий подход формирования процедуры амортизации долга, позволяющий использовать его для решения практических задач погашения постоянного ипотечного кредита с любыми исходными данными.

Гераськин М.И.

Механизмы управления экономическими

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ В ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМАХ

Рассматривается проблема математического моделирования межкорпоративных и межрегиональных взаимодействий в рамках образующихся в результате этих взаимодействий поликомпонентных (поликорпоративных и полирегиональных) систем. Сформирована модель взаимодействий, определены критерии эффективности субъектов взаимодействий и ограничения на параметры их состояния. Исследованы экономические механизмы взаимодействий и определен экономический эффект, возникающий в поликомпонентной системе

Введение

Развитие рыночных механизмов хозяйствования в экономике современной России стало предпосылкой отчетливо обозначившихся тенденций к реструктуризации крупных промышленных предприятий с образованием на их основе корпоративных структур в рамках процессов обособления отдельных подразделений предприятий в соответствии с присущими им целями и наделения их полномочиями выбора тактических приоритетов функционирования. Корпоративные производственно-финансовые системы базируются на принципах финансовой самостоятельности, децентрализации управления, диверсификации функций, экономической заинтересованности элементов в результатах деятельности.