Моделирование электрохимического формообразования при ограничениях на растворение Текст научной статьи по специальности «Математика»

4-

Электроника, технологии производства материалов электронной техники^

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Бартенев Г.М., Лаврентьев В.В. О законе трения при упругом контакте поверхностей // Доклады АН СССР. 1961. Т. 141, № 2. С. 334-337.

2. Жабрев В.А Диффузионные процессы в стеклах и стеклообразующих расплавах. СПб.: Отдел оперативной полиграфии H И ИХ СПбГУ, 1988. 188 с.

3. Нагорный B.C. Электрокаплеструйные регистрирующие устройства. Л.: Машиностроение, 1988. 269 с.

4. Пщелко Н.С. Поляризация приповерхностных слоев ионных диэлектриков на границе элскт-роадгезионного контакта с проводником // Нано-структурированные металлы и материалы (Цветные металлы). 2005. № 9. С. 44-50.

5. Пщелко Н.С., Стоянова Т.В. Влияние шероховатости поверхностей электроадгезионного контакта на его силовые характеристики // Цветные металлы. 2008. № 5. С. 51-57.

УДК 519.6(07)

В.П. Житников, O.P. Зиннатуллина, Е.М. Ошмарина, Г.И. Федорова

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОГО ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА РАСТВОРЕНИЕ

Задачи для уравнения Лапласа с подвижными границами, когда скорость движения границы пропорциональна градиенту потенциала, называются задачами Хеле — Шоу со свободными границами. Решения этих задач могут интерпретироваться как течения вязкой жидкости [1,2], процессы растворения металлов при электрохимической обработке (ЭХО) [3—7] и другие процессы. В данной статье представлена постановка задачи, осуществляемая применительно к электрохимической обработке.

Ранее при решении задач ЭХО принималось, что зависимость выхода по току (доли тока, участвующего в реакции растворения металла) от плотности тока либо постоянна [3, 7], либо аппроксимировалась гиперболой [4,5] или лроб-но-линейной функцией [6]. Цель данной работы — решение стационарной задачи Хеле — Шоу в случае, когда зависимость выхода по току имеет скачкообразный характер. Такая зависимость близка к реальной в случае интенсивной ЭХО в пассивирующих электролитах. Применение этой модели позволяет найти главные характерные зоны на обрабатываемой поверхности.

Математическая модель процесса ЭХО. При электрохимической обработке в качестве обрабатываемой поверхности используется один из электродов (анод), в качестве электрода-инструмента (ЭИ) — катод. При заполнении межэлек-

тродного пространства электролитом и подключении источника тока к электродам происходит растворение материала анода. Скорость растворения Уест — скорость движения каждой точки границы (по нормали) — определяется законом Фарадея, записанным с учетом закона Ома:

Кст=кцЕ, (1)

где к — электрохимическая постоянная; Е— модуль вектора напряженности электрического поля в данной точке анода; г| = г|(£) — выход потоку.

Рассмотрим задачу формообразования обрабатываемой поверхности при резке проволочным ЭИ, движущимся вертикально вниз с постоянной скоростью У„. Сечение межэлектродного пространства (МЭП) показано на рис. 1, о. В сечении ЭИ представляется точечным источником С.

При достаточно длительной обработке устанавливается стационарный процесс, т. е. форма обрабатываемой поверхности остается неизменной.

Задача решается методами теории функций комплексного переменного [8]. Необходимо найти аналитическую функцию = ф + Л|/, удовлетворяющую заданным условиям на границе. Потенциал ср считается постоянным на границе, соответствующей обрабатываемой поверхности, на любой линии тока постоянные значения имеет функция тока у. Поэтому областью, соогвет-

а)

П

.С Р

б)

®

Ал

с'

О

О

Рис. 1. Меридиональное сечение межэлектродного пространства: а — физическая плоскость; б — плоскость комплексного потенциала £0/г— зона активного растворения; Л/— зона постоянного (критического) значения напряженности; СЛ — нерастворяемая (прямолинейная) граница

ствующей МЭП на плоскости комплексного потенпиааа, будет полуполоса (рис. 1,6).

В данной статье зависимость выхода по току от напряженности моделируется скачкообразной функцией

I, Е>Е;

1>

[0, £<£,.

При этом на обрабатываемой поверхности образуются три зоны с тремя типами краевых условий. Первая зона £/)£, в которой напряженность за счет близости к ЭИ превышает £,, характеризуется условием стационарности |3]. На плоскости годографа напряженности Е -этому участку соответствует дуга окружности радиуса Е0/2с центром в точке /£0/ 2 (рис. 2, а), где £0 — напряженность в точке й.

В силу симметрии МЭП на рис. 2 и далее рассматривается одна его половина. Величина Е0

С

Но Ч ® \

£/

А \С .

0 £| Е,

С

определяется из условия равенства скорости растворения (1) скорости движения ЭИ в точке £>

Е0 = Уе1/к.

Переходному участку £6 с постоянным модулем напряженности на плоскости Е = Ее~ю (где 0 — угол наклона вектора напряженности к оси X) соответствует дуга окружности радиуса £, < £0 с центром в начале координат. Поскольку обрабатываемая поверхность эквипотенциальна, вектор напряженности нормален к поверхности в каждой ее точке. Поэтому участку, где отсутствует растворение, соответствует отрезок действительной оси СА. На участках границы АС и СЛ соответствующих средней линии, вектор напряженности наклонен под углом соответственно 9 = я/2 и 0 = —я/2 к оси X. В точке расположения источника Снапряженностьбесконечна. Поэтому на плоскости годографа этим участкам соответствуют вертикальные лучи.

Введем параметрические плоскости / = £0/£ и области изменения которых показаны на рис. 2, б, в. Функция 1(С>) представлена в виде суммы известных функций с заданными особенностями, учитывающими свойства решения, и ряда Лорана:

я т=1 4 '

Пусть С, = е'°■ Тогда

/ о 00

I = —+ ст$\пта . (3)

п 2 /я=|

В соответствии с рис. 2, б, в /-а а = Е0/Е1 .Тогда

С+1

б) , А' ©

С а\ л

0 1 Ео/Е

о и

Рис. 2. Форма областей на различных плоскостях: а — плоскости годографа напряженности; б, в— параметрических плоскостях

I

Электроника, технологии производства материалов электронной техники^

А, л I п 2

1 V ( Р т=\ У

т , „-/я

/7 + />

(4)

<*2{( \ 1 л 4

ас, кр (/7-])

+ ±тст((т-\)рт-2-(т + \)р'т-2) = 0. (5)

т=1

Отсюда можно выразить с, и />|

1 00

С, =

2(/>2-/> + 1)

../Я . - /Я р +р

р- 1 V 2

—г £ т с/

Л2

Л=-

(Я-1Г

2/>

т=2

(Рт-Р~т)

лг=]

(6)

(7)

27ГК с - е /а»

(8)

т=1

Разложив логарифм в (8) в степенной ряд при

(,= ре'° и приравнивая действительную часть Щг) нулю, найдем с1т. Тогда

2 як е~ю° тек ££ т

5тст0

1 —

л

(1С, 7ГК

-2<^со5ст0 +1

БШ/иа,,

| т= I

(9)

Поскольку Е = = £0//,тосучетом (2)

и (9) дифференциал

Комплексный потенциал И^г) представляет собой функцию, имеющую чисто мнимые значения на Д/ч ЕОи СА, постоянную мнимую часть, равную нулю на ОС и равную //(2к) наЛС(где / — ток, текущий в цепи, к — электропроводность электролита). Представим ЩС,) в виде / Г-е^о

£0

пкЕп

Я1=1

Я Ц -1

втстц С2 -2г;со5о0+1

Ст=1

БШ /ИСТ

_ т р +р

(С+Г1")

К* (10)

Численное решение. Задача сводится к определению коэффициентов ряда Лорана (2) мето-

дом коллокаций по условию

■(ре'")

а при

где С, = е'°а —образточки С. Величина а0опре- 0<ст<л и численному интегрированию функ-

деляется из решения уравнения, которое полу- ции (10) для расчета формы обрабатываемой по-

чается приравниванием выражения (3) нулю. верхности. При численном решении задачи для

а) „--т--т--б)

0.2

10 <»

1- —5-

1,2 2

и— ■■! ==< а= 1 -----—I

-0,2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0,4 0,6 0.8 1/сс

Рис. 3. Результаты решения: а — формы обрабатываемой поверхности; б — зависимости торцевого и бокового зазоров от отношения 1/а = £[/£<,

оценки погрешности применялась методика многокомпонентного анализа, описанная в [9].

Численные результаты приведены на рис. 3.

I кI

Отметим, что величина—— = —— в(10)иг-

к£0 к Уе/

рает роль ширины разреза. При расчетах она принималась равной единице. Из рис. 3 видно, что при а -»оо зона активного растворения увеличивается и решение приближается к известному стационарному решению [5|. При а -> 1 зона активного растворения исчезает, а увеличивается зона постоянной напряженности, в пре-

деле возникает режим, характерный для электроэрозионной обработки.

Предложенная модель ЭХО дала возможность исследовать зависимость формы и других параметров от отношения максимальной и критической напряженностей во всем диапазоне изменения этою отношения, включая предельные режимы.

Полученные численные результаты позволяют упростить процесс идентификации параметров математической модели по экспериментальным данным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации // Прикл. математика и механика. 1945. Т. 9. С. 79-90.

2. Галин JI.A. Нестационарная фильтрация со свободными границами // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. С. 246-249.

3. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1984. 80 с.

4. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. 387 с.

5. Котляр Л.М., Миназегдинов Н.М. Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. М.: Academia, 2005. 200 с.

6. Житников В.П., Зайцев А.Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. М.: Машиностроение, 2008. 413 с.

7 Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R.

Simulation of non-stationary processes of electro-machining // Materials Proc. Technol. 2004. Vol. 149, № 1-3. P. 398-403.

8. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

9. Шерыхалина II.М., Поречный С.С. Применение методов многокомпонентного анализа для решения некорректных задач // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2008. № 6(69). С. 89-96.

УДК 004.896:629.7.02:539.22:678.067

Д.Н. Андреев

ПРОБЛЕМЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ПРОИЗВОДСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ АЭРОКОСМИЧЕСКОЙ ОТРАСЛИ

Для хранения жидкого и газообразного топлива в аэрокосмической отрасли широко применяются емкости различной формы — топливные баки (ТВ. Летательные аппараты (Л А) имеют два типа ТВ — внешние и внутренние. Последние скрыты под обшивкой корпуса ЛА и фактически не подвергаются воздействию внешних факторов. Внешние — подвесные топливные баки топливных отсеков (ТО) ракет-носителей

(РН) и разгонных блоков — кроме воздействия хранимых вешеств и динамических нагрузок подвергаются при движении ЛА воздействию внешних факторов (песок и пыль, осадки, солевой туман, большие колебания влажности воздуха и рабочих температур, грибки, озон и пр. |4]). Топливные отсеки РН — практически всегда основные несушие элементы транспортных космических систем (ТКС). Жидкое содержимое

Г

7