Моделирование экологической обстановки с учётом турбулентного движения в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95: 504.3.054

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ОБСТАНОВКИ С УЧЁТОМ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ

УВАРОВ Р.А.

Эф Эф Эф Эф ,д 2ф _ -ч

-Д- + и^-1- + + w^- = р'Дф + v'—2 + QS(r - r0).

dt

dx

dy

dz

dz

Будем считать, что здесь и, v, w — функции вида и = и + и' J v = v + v' J W = W + w' J

где и', v', W' — изменяющиеся в течение нескольких часов составляющие вектора скорости, представляющие собой отклонения от основного потока и, v, W с априори известной нормой отклонения;

Проводится моделирование переноса загрязняющего вещества в регионе со сложной формой границы с учетом направления ветра, интенсивности выброса загрязнения источниками. Описывается функциональное представление границы области с помощью конструктивного аппарата теории R-функций. Графически представляется решение уравнения диффузии для нескольких источников.

1. Сведения об экологической проблеме

р', v' — коэффициенты диффузии, соответствующей мезопроцессам.

Задача решается как периодическая с периодом т, свойственным характерному времени процесса и граничным условиям

5ф 0

— = 0, при z = H,

В настоящее время во многих регионах, в том числе и в Украине, актуальной является экологическая проблема, связанная с результатами человеческой деятельности, влияющими на естественные циклы природных процессов. Математическое моделирование загрязнения [1] имеет междисциплинный характер. Следовательно, для комплексного решения экологической проблемы наряду с физическими моделями необходимы также химические, биологические, агрофизические и другие методы контроля окружающей среды, которые будут работать в рамках единого комплекса, что позволит более полно исследовать экологические процессы с учетом прямых и обратных связей [2].

2. Моделирование турбулентного движения в атмосфере

Для описания процесса распространения примеси применим формально уравнение диффузии [ 1]:

Эф -

---ь ШХНф + СТф - рДф

dt

= f

(1)

Используя в данной модели вектор и как результат осреднения за несколько суток и считая р неизвестным, с помощью методов теории возмущений можно найти соответствующее значение р, которое будет наилучшим значением некоторого функционала. Однако при решении прямой задачи (1) с выбранным р может оказаться, что, хотя выбранный функционал и будет получен правильно, дифференциальное поле решений может отличаться от фактического (или модельного, полученного на основе мезозадач). Тогда для случая единственного заданного функционала модель переноса субстанции с выбранным коэффициентом диффузии будет хорошим инструментом для исследований.

В случае более детальных характеристик поля загрязнения или некоторых различных функционалов предпочтительнее моделирование процесса с помощью набора мелкомасштабных моделей. Рассмотрим уравнение переноса субстанции с помощью элементарного уравнения диффузии:

Эф

— = аф , при z = 0 ,

Ф ^ 0, x, у ^ .

В результате решения набора сформулированных таким образом задач будут учтены все статистические особенности мезопроцессов. Таким образом,

нам потребуется моделирование функций и', v', w' .

Поскольку рассматриваемый процесс линеен, то при моделировании этих величин учтем их повторяемость, что соответствует их действию на более длительных по отношению к T интервалах времени. Окончательно результат решения задачи необходимо усреднить на интервале [0,т].

Предполагая, что длительность процесса загрязнения имеет характерное время в несколько часов, изменчивостью метеорологических элементов можно пренебречь и в первом приближении считать их постоянными: в нашем случае это и, v, w .

Пусть процесс переноса субстанции является двумерным и описывается уравнением

Эф Эф - .

и& + v эу "ЦАф = QS(r " r0), (2)

где и, v — заданные скорости, которые ради простоты будем считать постоянными, ар — пока неизвестный коэффициент диффузии. Решение уравнения (2) для бесконечной области имеет вид:

Q I и(х - Х0) +v(y - У0)

ф =----exp

2л р

2р

:Kf

л/й

2 2 2 + v2

2р

r - r0

(3)

здесь K0 (x) — функция Макдональда:

РИ, 2001, № 3

129

K0(x) = Je-xchydy,x > 0 .

0

Преобразуем координаты так, чтобы их начало находилось в точке r0, а направление новой оси x было параллельно направлению вектора скорости U . Тогда формула (3) примет вид:

2яр [2ц

Ф = 2^-^p^ [K0 Ц-|r|l где ~ = 4а

2ц

2 2 2 + v2

Пусть теперь конус расхождения моделируемой плотности примеси таков, что на расстоянии xj от точки выброса примеси его ширина равна 2yj, как показано на рис. 1.

Полагая величину xj достаточной для асимптотического представления функции K0(x) и задаваясь точностью измерения плотности примеси в конусе расхождения порядка є, получаем уравнение для определения величины ц:

Ф^ьУь й) = е,

или в развернутом виде:

Q

2F^xj

2 2 ■ + Уі

iexp {x> -J

x2 + y2

(4)

Графическое решение задачи (4) представлено на рис. 2.

Рис. 2

Пусть процесс переноса субстанции имеет вид (2). Представим функции u, v в виде

u = U + u'(а), v = v + v'(a), (5)

где u', v' — отклонения от основного потока U, v, зависящие от параметра a , рассматриваются как случайные флуктуации ограниченной априори величины. Подставляя выражения (5) в (2), находим

( ) Q \ u(x - x0) + v(y - У0) 1

9(x, y, a) = -— exp^---------------\ x

2тсц [ 2ц J

exp

u '(a)(x - x0) + v'(a)(y - y 0) 2ц

K0

y/(u + u'(a))2 + (v + v'(a))

2ц

1r - Г0

2

Функция 9(x,y, a) представляет собой множество возможных реализаций аэрозольного облака в зависимости от статистической структуры флуктуации.

В случае нескольких источников равенство имеет вид:

9(x.y,a) = X:Q- exp{ u(x - x):-vi(y - yi)

2тсц ^ 2ц

x exp

u ■ (a)(x - xi) + v-(a)(y - yQ 2ц

(6)

- K0

л/(Ц + u- (a))2 + (vi + v- (a))2

2ц

r - r

3. Функциональное представление границы области

Характерным объектом изучения в аналитической геометрии является пара f (Р)) ^ (L), где f (р -функция; р — точка в n-мерном евклидовом пространстве En; L — геометрический объект в En, представляющий собой множество решений уравнения f(P = 0 (уравнения геометрического объекта L). Простейшими примерами таких пар являются:

1.

1 --

x

a

_У

b

^ {прямая, отсекающая по осям ко-

ординат отрезки a , b };

2. {x cos a + y sin a - p} ^ {прямая, перпендикуляр p к которой, опущенный из начала координат, наклонен к оси абсцисс под углом a };

3. |r2 - x2 -y2j^ {окружность радиуса r с центром в начале координат}.

130

РИ, 2001, № 3

Приведенные слева функции однозначно определяют указанные справа геометрические объекты, обратное же - неверно. Например, прямая, отсекающая по осям координат отрезки a , b , может быть

задана не только уравнением

1 - *

a

^ = 0 b

но и

дО, описывается некоторой логической формулой, связывающей простые локусы (примитивы), а затем с помощью R-функций осуществляется переход к обычным, принятым в аналитической геометрии, уравнениям (неравенствам) вида ю(х,у) = 0 [ю(х, У > о]. Техника их построения описана в [3].

уравнениями

2(1 - *

a

У

b

о, еху (1

х

a

У

b

- 0 и

т.п., а для окружности можно написать, например, такие уравнения:

R ~л[х2 + у2

= 0 —(r2 - х2 -у2) = 0

2R

Примеры показывают, что отыскание геометрического объекта по заданной функции (прямая задача аналитической геометрии) представляет собой задачу, имеющую однозначное решение, в то время как построение уравнения f = 0 по заданному геометрическому объекту L (обратная задача аналитической геометрии) может привести к бесчисленному множеству решений (пучку функций, равных нулю на l и отличных от нуля вне l )•

Чтобы между указанными выше парами {функция f (р)} ^ {геометрический объект L } существовало взаимно-однозначное соответствие, необходимо рассмотреть также некоторые дополнительные условия, удовлетворение которым позволило бы выделить из множества возможных решений обратной задачи аналитической геометрии единственное. Но для этого придется выйти за пределы геометрического объекта l и рассмотреть поведение f (р) везде в En , что в классической аналитической геометрии делается редко. В частности, простейший способ связать f(p) и L — это выполнить условие

f(P) = to.‘i J?(х'-5')2 • Р(х..х„). (7)

означающее, что среди множества возможных функций, равных нулю на L (и нигде больше), должна быть выбрана такая, которая равна кратчайшему расстоянию от любой точки р до геометрического

объекта L . Функцию f (р), удовлетворяющую (7), принято называть нормальной функцией L, а уравнение f(p) = 0 — нормальным уравнением L . Среди функций, стоящих слева в приведенных выше примерах, нормальными являются:

х cos а + у sin а - p — для прямой,

В большинстве случаев для построения функций ю , ®i используются следующие R-функции:

х Ла у х Va у

1

1 + а 1

1 + а

^ х + у-л/ х2 + у2

{х + у + л/ х2 + у2

2аху

2аху

х = -х ’

(8)

х~у

ху

х + у ,

х~у

ху

Пхп + уП

где а = а( х,у), -1 <а< 1. Чаще всего выбирают а = 0,1,0.9 илиа = ^1 + х2 + у2j-1 [3]. При необходимости дополнительно может быть реализовано условие нормализованности [3]:

дю

dv

= 1

ю=0

Первые две из формул (8) соответствуют известным логическим операциям пересечения и соединения множеств, третья — отрицанию, а остальные две -равнозначности (отрицанию симметрической разности) [3,4]. С другими R-функциями, методами их построения и использования можно познакомится по публикациям [3].

Следуя определению (7), нормальное уравнение отрезка MjM2 с концами в точках и

M2(х2,у2) записывается в виде:

ф( х,у,х1,у1,х2,у2)

1 Iff. +

2 I L2

(l2 - b)

2L

2

1 - sign

f f 2 )

1 - #■

V J

(9)

где f1 = (2х - х1 - х^(у 2 - уО ,

f2 = (2у - у1 - у^х2 - ч) , f3 =| (2х - х1 - хЛх2 - х0 + (2у - у1 - уЛу2 - у0| ,

R-4 х2 + у2

для окружности.

L =

л/(х2 - х02 + (у 2 - у^2 .

Рассмотрим, как решает RFM вопрос о построении

функций ю и юі . Сложный локус, каким может

оказаться область q , а следовательно, и ее граница РИ, 2001, № 3

Форму границы региона, в котором будем проводить исследование экологической обстановки, представим в виде замкнутой ломаной. Нормальное

131

уравнение замкнутой ломаной с вершинами в точках Mi(xbyi), M^X2,y^, M^xn,yJ,

исходя из равенства (9), запишем в виде:

n-1

f(x,y) = ~ Ф(х,У,хі,Уі,хі+ьУі+і)~ i=1

~ Ф(х,У,хп,Уп,х1,У1)• (10)

Благодаря ассоциативности операции R-равнозначности, мы можем включать в конструируемую функцию (10) границы региона нормальные функции (9) участков границы в произвольной последовательности.

С помощью данного подхода построено уравнение границы Украины ю Украины = 0 (рис.3).

Рис.3. Линии уровня функции юукраины

При этом использовано 310 отрезков прямых. Функциональное представление границы Украины единым аналитическим выражением позволяет в дальнейшем включать его (или уравнения участков границы) в разрешающий алгоритм.

4. Моделирование экологической обстановки

Моделирование экологической обстановки в регионе со сложной формой границы, которой является граница Украины, осуществим, расположив в определенных позициях источники, которые с известной интенсивностью выбрасывают в атмосферу загрязняющие вещества. Будем рассматривать двумерный случай, допустив, что размер области заг-рязняния по высоте будет несущественным по сравнению с размером области распространения загрязнения по поверхности.

На рис.4-7 представлены изолинии функции Ф (6), в предположении о нормальном законе распределения флуктуаций, в регионе со сложной формой границы при различных значениях составляющих скорости основного потока.

Рис. 4. Ui = Vj = 0

Рис. 5. Uj = Vj = 10

Рис. 6. Ui и Vi направлены за границу области

Рис. 7. Ui и Vi направлены внутрь области

132

РИ, 2001, № 3

При моделировании статической картины экологической обстановки в регионе со сложной формой границы и наиболее значимыми источниками загрязнения можно также использовать обобщенную интерполяционную формулу Лагранжа, которая в работах академика Рвачева В. Л. [4] получила название интерлокационной формулы Лагранжа.

Интерлокационная формула Лагранжа имеет вид

[4]:

u(x,y) = U0 + U1

i=1

( n A

i=1 Фі

Vi=1 ,

Ф

(11)

где ®i(x,y) = 0 — уравнение локуса i-го источника

с известным уровнем загрязнения фi; ф — неопределенная компонента, входящая в остаточный член (11). Она может аппроксимироваться некоторым полиномом с неопределенными коэффициентами, находимыми из условия минимума функционала (если он известен) на множестве функций, принимающих заданные значения на локусах, которыми являются области источников загрязнения.

Для учета характера затухания функции загрязнения региона модифицируем интерлокационную формулу Лагранжа:

u(x, у)

n n

i=1 ®i ~ ®i i=1 f n

n rai ' n is 1 i~

i=l фi i=i фі • f(®i)

(12)

здесь f (ю) — функция, определяющая закон распределения загрязнения от источника, граница которого определена фунцией ю. Применение функции (12) в отличие от (11) позволяет учитывать влияние загрязнения, исходящего от источников, на сами источники загрязнения, что более реально описывает процесс, чем просто интерполяция. На рис.8 показано распределение загрязнения от двух источников, уровень каждого из них зависит от распределения загрязнения от другого источника.

X ■ .00000Е+О0

X ■ . 50000Е+01

X □ .2500ОЕ+01

Рис. 8. Уровни загрязнения источников

На рис. 9-11 представлены картины линий уровня функции загрязнения, построенной с помощью формулы (12), для различных случаев характера ее затухания. В табл. 1,2 приведены значения функции на линиях уровня.

Рис. 9. f(ro) = e “

Рис. 10. f(ro) = —

ю

Рис. 11. f( ю) =-Д-ю 2

При визуальном сравнении рис.4 и 9 можно заметить некоторое различие, связанное с неполным отсутствием ветра в первом случае и заданием несоответствующих уровней загрязнения источников — во втором, хотя картины линий уровня, построенные двумя различными способами, достаточно похожи. Сравнить значения функций на линиях уровня можно по табл. 1,2.

РИ, 2001, № 3

133

Таблица 1

Значения линий уровня, представленных на рис.4-7

Рис.4 Рис.5 Рис.6 Рис.7

21,842 13,488 12,569 13,458

■ 20,866 12,529 11,749 12,613

■ 19,890 11,570 10,930 11,768

■ 18,914 10,610 10,111 10,923

■ 17,938 9,652 9,292 10,079

■ 16,962 8,692 8,473 9,234

■ 15,986 7,733 7,654 8,389

■ 15,009 6,774 6,835 7,545

■ 14,033 5,814 6,015 6,700

■ 13,057 4,856 5,196 5,855

■ 12,081 3,896 4,377 5,011

■ 11,105 2,937 3,558 4,166

■ 10,129 1,978 2,739 3,321

■ 9,154 1,019 1,919 2,477

При изучении глобальных процессов, период формирования которых оценивается неделями и месяцами, указанная выше методология позволяет построить иерархию моделей, идентификация которых возможна, например, с помощью космических снимков [11-

Литература: 1.Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 324 с. 2.Марчук Г.И., Кондратьев К.Я. Приоритеты глобальной экологии. М.: Наука, 1992. 264 с. 3. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 4.Рвачев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Обобщенные интерполяционные формулы

УДК 519.713

АККУМУЛЯЦИЯ - ОСНОВА ЖИЗНЕОБЕСПЕЧЕНИЯ И ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ

ГРИГОРЬЕВ А. В.

Анализируются характерные черты процессов аккумуляции в живой и неживой природе, устанавливается их общность и формулируются основные критерии жизнеобеспечения и жизнедеятельности.

Аккумуляция и потребление — процессы, лежащие в основе существования человека — его жизнеобеспечения и жизнедеятельности. Жизнеобеспечение включает: потребление энергоресурсов, продуктов питания, различных материалов и готовых изделий, информации, услуг предприятий службы быта, утилизацию отходов и прочее. Жизнедеятельность направлена на жизнеобеспечение и дальнейшее развитие общества: добычу и переработку сырья, выработку энергоресурсов для обеспечения нужд населения, промышленности и сельского хозяйства, разработку новых технологических процессов, информационных технологий, развитие культуры и прочее —вплоть до полетов в космическом пространстве.

Таблица 2

Значения линий уровня, представленных на рис.9-11

Рис.9 Рис.10 Рис. 11

21,918 25,835 23,377

■ 20,549 24,781 21,935

■ 19,181 23,726 20,493

■ 17,813 22,672 19,051

■ 16,444 21,618 17,609

■ 15,076 20,564 16,166

■ 13,708 19,510 14,724

■ 12,340 18,455 13,282

■ 10,971 17,401 11,840

■ 9,603 16,347 10,398

■ 8,235 15,293 8,957

■ 6,867 14,239 7,514

■ 5,498 13,184 6,072

■ 4,130 12,130 4,630

Лагранжа-Эрмита на произвольных локусах (Интерлокационные операторы R-функций) // Проблемы машиностроения. 1998. Т.1, №3-4. d50-165.

Поступила в редколлегию 30.01.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Путятин В.П.

Уваров Роман Александрович, аспирант ИП Маш НАН

Украины отдела “Прикладной математики и вычислительных методов”. Научные интересы: математическая физика, компьютерное моделирование, теория R-функций. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, к. 1304, тел. 95-95-77, 93-38-70.

Общим организующим началом при этом является аккумуляция в том или ином виде.

В самом широком смысле аккумуляция— это процессы накопления чего-либо. Необходимость накопления обуславливается неравномерностью процесса потребления чего бы то ни было. Поэтому процессы накопления предшествуют или сопровождают процессы потребления. Нарушение данного положения вещей приводит к диспропорции между количеством потребляемого и количеством имеющегося накопленного продукта потребления.

Основными объектами потребления являются сырьевые и топливно-энергетические ресурсы. Их накопление происходило на протяжении многих лет, и человеческая деятельность на эти процессы не влияла. Только на протяжении нескольких последних десятилетий человечество начало заниматься организацией процессов накопления путем использования природных ресурсов и процессов накопления, происходящих в природе.Больше всего это касается водных ресурсов, которые необходимы и для работы гидроэлектростанций, и для создания водохранилищ, обеспечивающих снабжение пресной водой население, промышленность и сельское хозяйство. Сюда же относятся мероприятия по восстановлению лесных массивов, сохранению водных богатств и различных видов флоры и

134

РИ, 2001, № 3