CC BY
29
УДК 539.612, 539.6, 532.613.1
Моделирование эффекта изменения прочности и трещиностойкости полиуретановых эластомеров при модифицировании углеродными
нанотрубками
Э.Р. Бадамшина1, Р.В. Гольдштейн2, К.Б. Устинов2, Я.И. Эстрин1
1 Институт проблем химической физики РАН, Черноголовка, 142432, Россия 2 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия
При введении весьма малых доз однослойных углеродных нанотрубок наблюдалось аномальное изменение механических свойств полиуретанамидомочевинного сшитого эластомера, содержащего 10 % объемной доли полиамида-6: при добавлении сотых и тысячных долей процента наполнителя наблюдались локальные максимумы модуля упругости и предельных напряжений. Ранее в работах моделировался эффект аномального изменения модуля упругости на основе представлений о появлении слоя промежуточной фазы на границе контактирующих частиц исходного материала. В настоящей работе на основе представлений моделируется аномальная зависимость прочности от концентрации нанотрубок. Рассматриваются модели распространения трещины в таком композите, учитывающие влияние наполнителя на структуру области в вершине трещины и трещиностойкость.
Ключевые слова: эластомер, включение, прочность, трещиностойкость
Modeling of strength and fracture toughness variation in polyurethane elastomers
modified with carbon nanotubes
E.R. Badamshina1, R.V. Goldstein2, K.B. Ustinov2, and Ya.I. Estrin1
1 Institute of Problems of Chemical Physics RAS, Chernogolovka, 142432, Russia 2 Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia
The addition of extremely small portions of single-wall carbon nanotubes causes an anomalous change in the mechanical properties of a cross-linked polyurethane-amide-urea elastomer containing 10% of polyamide-6. Particularly, the local maxima of the elastic modulus and ultimate stress are observed with the nanofiller content of hundredths and thousandths of a percent. Earlier, we simulated the anomalous variation of the elastic modulus based on the concept of intermediate phase layer formation at the boundary of contacting particles of the initial material. In this work, the anomalous change in strength depending on the concentration of nanotubes is modeled on the same basis. Crack propagation models accounting for the influence of nanoparticles on the structure of the crack process zone and fracture toughness are considered.
Keywords: elastomer, inclusion, strength, fracture toughness
1. Введение
При введении весьма малых доз (сотых и тысячных долей процента объемной концентрации) однослойных углеродных нанотрубок наблюдалось аномальное изменение механических свойств полиуретанового эластомера, состоящего из матрицы, образуемой полиуретано-вым амидо-мочевиновым сшитым эластомером, и включений полиамида-6: в указанном диапазоне концентраций наполнителя наблюдались локальные максимумы модуля упругости и предельных напряжений при одно-
осном растяжении. Ввиду малости количества вносимых нанотрубок его явно недостаточно для непосредственного влияния на изменение механических характеристик. Следовательно, естественно предположить, что присутствие нанотрубок приводит к некоторому изменению структуры эластомера (двухфазной в исходном состоянии), которое, в свою очередь, вызывает изменение наблюдаемых механических свойств. Такое изменение структуры наблюдалось в экспериментах в виде изменения размеров включений полиамида [1, 2], причем минимум наблюдаемого размера частиц включения
© Бадамшина Э.Р., Гольдштейн Р.В., Устинов К.Б., Эстрин Я.И., 2016
коррелировал с максимумами упругого модуля и предельного напряжения.
Ранее, в работах [3-5] моделировали эффект аномального изменения модуля упругости на основе представлений об адгезионном взаимодействии либо за счет влияния слоя промежуточной фазы на границе контактирующих частиц исходного материала. В настоящей работе на основе представлений о промежуточной фазе выполнено моделирование аномальной зависимости прочности от концентрации нанотрубок.
Как отмечено в [4, 5], изменение среднего размера частиц наполнителя (полиамида) в зависимости от концентрации вносимых нанотрубок можно объяснить тем, что за счет большой величины поверхностной энергии нанотрубок они служат центрами кристаллизации частиц полиамида. Однако благодаря высокой поверхностной энергии нанотрубки весьма склонны к самоассоциации с образованием агрегатов, и при увеличении концентрации выше оптимальной часть нанотрубок переходит в агрегированное состояние [2], уменьшая количество центров зарождения частиц полиамида, и, возможно, создавая при этом повышенную концентрацию дефектов матрицы.
Уменьшение размеров частиц наполнителя (полиамида) приводит к уменьшению среднего расстояния между ними. Поскольку частицы полиамида являются более прочными по сравнению с матрицей, можно предполагать, что они будут служить стопорами для дефектов, развивающихся в матрице. Вид этих дефектов не обязательно конкретизировать: это могут быть дефекты, подобные дислокациям, трещиноподобные дефекты и некая обобщенная «поврежденность». Существенно то, что при наличии трещиноподобного дефекта напряжение, выдерживаемое образцом, обратно пропорционально квадратному корню из длины начальной трещины (или трещиноподобного дефекта). Подобные рассуждения наводят на мысль о возможности применения закона, аналогичного закону Холла-Петча, для материалов, отличных от поликристаллов. Далее будет показано, что для рассматриваемого эластомера зависимость прочности от концентрации нанотрубок (опосредованно, через расстояние между частицами полиамида) может быть объяснена с применением подобных соображений.
2. Описание модели
Следуя [4, 5], рассмотрим весьма простую количественную модель. Введем следующие обозначения: О — объемная концентрация полиамида в композите (для всех образцов О = 0.1, здесь и далее все безразмерные величины приведены в долях единицы); п — суммарное число нанотрубок в композите; V — объем композита;
— число нанотрубок в единице объема:
VN о — объем одной нанотрубки, для использованных
2 —25 3
нанотрубок VN0 =nRNLN = 8.48 -10 м, где RN = = 0.6 нм — радиус нанотрубки; LN = 0.75 мкм — длина нанотрубки; VN = nVN 0 — суммарный объем нанотрубок; Q N — объемная концентрация нанотрубок:
ß n = Vn/V = UVnoI V = VnO^n ; (2)
M — число нанотрубок в агрегате; n = n/M — суммарное число агрегатов; m'N — число агрегатов в единице объема:
, n = n fflN Q N V = MV
N
M
Vn oM
(3)
Примем, что зависимость числа нанотрубок в агрегате от концентрации можно аппроксимировать зависимостью
M = 1 + ßßN. (4)
Здесь учтено, что lim M = 1, ß, k — параметры ап-
Q N ^0
проксимации. Зависимость (4) монотонна.
Используя (3), (4), можно выразить полное количество частиц фазы полиамида в единице объема:
ют = Ю0 +-^—^. (5)
Vn о(1 + ßQN)
Здесь Ю0 — фоновое число частиц полиамида в единице объема, образующееся при отсутствии нанонаполни-теля.
Расстояние между центрами частиц полиамида имеет порядок
/ Q
R = Ю-1'3 =
(
у1/3
Юо +
Vn о(1 + ßßN)
(6)
Принимая во внимание соображения, изложенные во введении, предположим, что предельные напряжения определяются соотношением, аналогичным закону Хол-ла-Петча, а именно:
стсг = СТо • (7)
Здесь Сто, К — параметры модели. Расстояние между центрами частиц R определяется выражением (6). Подчеркнем, что в рассматриваемом случае в качестве размера структурного элемента выбирается размер более
Таблица 1
Ю
N
= n/V;
(1)
№ образца qn -104 Eeff, МПа °t> МПа Средний диаметр включений полиамида, нм
1 0.0000 13.5 20.2 104
2 0.0425 17.2 27.7
3 0.1700 29.6 30.9 62
4 0.3400 24.2 23.8
5 0.6800 16.0 22.8 96
6 1.1000 12.1 14.5
7 1.5000 16.9 7.6 92
Рис. 1. Зависимость прочности от объемной концентрации нанотрубок. Модель без учета (1) и с учетом вклада микродефектов (2), точки — эксперимент
слабого элемента, т.е. характерное расстояние между включениями полиамида, а не размер частиц полиамида (хотя эти размеры однозначно взаимосвязаны).
3. Сопоставление с экспериментом. Определение параметров модели
Процедура изготовления образцов и методика проведения экспериментов описаны в [1, 2]. Исходные экспериментальные данные представлены в табл. 1 [2].
Средний диаметр включения определялся на основе исследования гистограмм для каждого образца [1, 2], a t — прочность на разрыв при одноосном растяжении, Eeff — модуль Юнга. Характерные микрофотографии образцов приведены в [1, 2].
Сравнение экспериментальных результатов (точки) с рассчитанными по формуле (7) значениями прочности при a0 = 0, K = 0.0087 МПа • м^2 (пунктирная линия) представлены на рис. 1. Из сравнения видно, что можно уменьшить число вводимых параметров за счет того, что один из них обращается в нуль. Остальные параметры для расчета взяты теми же, что и для расчета размера частицы полиамида и эффективных упругих модулей композита (см. приложение).
Из рис. 1 видно, что с ростом концентрации нанотрубок наблюдается систематическое отклонение расчетных значений от экспериментальных. Возможной причиной может быть наличие микродефектов, количество или размер которых коррелирует с концентрацией нанотрубок. В этой связи можно предположить, что рост концентрации нанотрубок может приводить также к росту концентрации микродефектов, ослабляющих материал. Данное предположение отражается введением полуэмпирической поправки к формуле (7) — вычитанием члена, пропорционального концентрации нанотрубок (как и ранее, положено a 0 = 0): K
a cr ~ K 2 ß N.
(8)
Рис. 2. Зависимость модуля Юнга от объемной концентрации нанотрубок. E0 = 1 (1), 10 МПа (2), точки — эксперимент
лены зависимости модуля Юнга и размера включения полиамида (отнесенного к размеру включения при отсутствии нанонаполнителя) от объемной концентрации нанотрубок (см. Приложение).
4. Модель концевой области трещины
Рассмотрим модель распространения трещины в исследуемом композите. Область, находящаяся вдали от трещины, может рассматриваться как заполненная однородным материалом с эквивалентными эффективными упругими свойствами, область, непосредственно примыкающая к вершине трещины, может требовать отдельного рассмотрения. Для данной зоны размеры частиц включения полиамида и наночастиц становятся сопоставимыми с характерными размерами области вблизи вершины. В этой связи характер распределения наночастиц и частиц полиамида может оказывать существенное влияние на процесс распространения трещины.
С точки зрения влияния нанонаполнителя на трещиностойкость можно выделить следующие аспекты:
- общее увеличение прочности, обусловленное влиянием нанонаполнителя на размеры характерного структурного элемента, наблюдаемое на макроуровне, должно отражаться также на микро- и наноуровнях;
- влияние структуры композита вблизи вершины трещины на траекторию распространения трещины;
- влияние нанонаполнителя на упорядочивание структуры полимерных молекул, приводящее к увеличению прочности.
Соответствующий график для К2 = 90 000 представлен на рис. 1 сплошной линией. На рис. 2 и 3 представ-
Рис. 3. Зависимость размера включения полиамида от объемной концентрации нанотрубок. Линия — модель, точки — эксперимент
Рассмотрим влияние каждого из указанных механизмов подробнее. Согласно первому из них (влияние на-нонаполнителя на размеры характерного структурного элемента) зависимость трещиностойкости от концентрации наночастиц должна сохранять вид, подобный (7), (8).
4.1. Влияние структуры композита вблизи вершины трещины на траекторию распространения трещины
Продвижение трещины через неоднородную среду может происходить по-разному: растущая трещина может проходить по менее прочной фазе в обход более прочных включений, по границам фаз и насквозь через все фазы. При увеличении суммарного объема промежуточной фазы (предполагаемой более прочной, чем матрица) прочность должна возрастать либо за счет увеличения площади поверхности разрушения, либо за счет необходимости увеличения затрат энергии на разрушение адгезионного взаимодействия между фазами при прохождении трещины по межфазным границам, либо за счет необходимости разрушения большего объема более прочных частиц. При прохождении трещины по менее прочной фазе, либо по границе, разделяющей фазы, увеличение площади вновь образованной трещины должно коррелировать с суммарной концентрацией включений и промежуточного слоя (П3) (см. приложение). Тогда для энергии трещинообразования у можно дать следующую оценку:
= 1 + К (О + О). (9)
То
Здесь у о — энергия трещинообразования при отсутствии включений полиамида; ку — коэффициент, учитывающий влияние перечисленных факторов. Использование формул (П1) дает
(
-1 = 1 +
То
1 +
3Н
(
О
1/3
«о +"
О
N
¥ш о(1 + poN)
куО.
(10)
Для трещиностойкости получаем следующую оценку:
(11)
К
Ч 2Еей у,
где Ее{{ определяется (П5). Из (9) видно, что согласно данному механизму зависимость несильная.
4.2. Ориентационное упрочнение
Ориентационное упрочнение может играть большую роль в изменении прочностных характеристик эластомеров при больших удлинениях за счет включения в сопротивление растяжению все большего числа распрямляющихся полимерных цепей. При идеальной ориентации молекул полимера прочность эластомера на разрыв теоретически может увеличиться настолько, что прочность композита станет определяться прочностью более жесткой фазы (полиамида). При этом наличие
включений (обычно в изделиях из эластомеров для этой цели используют частицы сажи, но могут с успехом подойти и нанотрубки) приводит к усилению действия данного механизма, а сам механизм упрочняющего действия включений предполагается основанным на специфическом взаимодействии молекул эластомера с поверхностью частиц включений [6-8] и с ростом площади контактирующей поверхности упрочняющее действие включений должно расти. В рассматриваемом эластомере частицы полиамида могут играть аналогичную роль.
При реализации любого из высказанных предположений максимум прочности, согласно рассматриваемой модели, должен коррелировать с максимумом площади поверхности контактирующих фаз, т.е. с минимумом размера включений, что согласуется с экспериментальными данными. Положение максимума трещино-стойкости при этом не столь очевидно. Для выявления его зависимости от концентрации нановключений требуется проведение дополнительного ряда экспериментов по измерению трещиностойкости.
5. Заключение
Целью работы было моделирование немонотонной зависимости прочности композита в зависимости от концентрации нанотрубок. Ранее [4, 5] моделировались зависимости упругих модулей и размеров частиц включений полиамида. Все три зависимости имеют немонотонный характер, причем их экстремумы совпадают. При моделировании использовалось три предположения: 1) нанонаполнитель (нанотрубки) при увеличении его концентрации образует агрегаты, причем число на-нотрубок в агрегате монотонно возрастает, и данное возрастание в первом приближении может быть описано однопараметрической функцией; 2) на границе частиц полиамида и матрицы возникает слой полимера с измененными механическими свойствами; 3) прочность материала определяется подобно закону Холла-Петча характерным размером между агрегатами. Поскольку частицы полиамида являются более прочными по сравнению с матрицей, они будут являться стопорами для дефектов, развивающихся в матрице, и их максимальный размер должен коррелировать с этим расстоянием. Поэтому напряжение, выдерживаемое образцом, обратно пропорционально квадратному корню из этого расстояния. Значения параметров модели при этом не противоречат разумным физическим предположениям. С помощью предложенной модели удалось получить качественное и даже количественное совпадение всех трех немонотонных зависимостей подбором всего пяти (или шести) параметров. Безусловно, увеличение числа параметров позволит улучшить количественное согласование. Однако описание трех немонотонных зависимостей с помощью модели, содержащей всего пять пара-
метров, наводит на мысль о том, что модель отражает реальные физические явления, лежащие в основе наблюдаемых зависимостей.
Приложение. Определение эффективного упругого модуля композита
Модель, описывающая немонотонное изменение модуля упругости в зависимости от концентрации нанотрубок, предложена в [4, 5]. Далее дается ее краткое описание.
Из (5) следует, что объем одиночных частиц полиамида Vp и их радиус Rp и диаметр Dp имеют порядки:
V =
О
ЮТ
R =-
Dp
3О 4nœT
у/3
= О^3
О N
(П1)
у1/3
VN 0(1 + ß^N )
Данная зависимость при подходящем выборе параметров ю0, ß, k позволяет качественно описать наблюдаемую тенденцию изменения размера частиц включения в зависимости от концентрации нанонаполнителя. Однако для количественного согласования необходимо предположить несколько больший характерный средний размер включений. Данное предположение представляется допустимым, поскольку микрофотографии сделаны по заданным поверхностям, а при этом пересекающие эти поверхности частицы не обязаны пересекать их своим максимальным сечением. Кроме того, форма частиц не обязана быть сферической. Предположение трехкратного превышения характерного максимального размера частиц полиамида над наблюдаемым в сечениях позволяет дать не только качественное, но и количественное описание.
Предположив, что каждую частицу полиамида окружает слой промежуточной фазы толщиной h, объемную концентрацию промежуточной фазы О' можно найти
исходя из соотношения
О = 4/ЗпРр + h)3 -Rp] О
4/ЗпЯр
( и У3
1+А
-1 =
33h
h
1+—+-
у
^p 3Rp
(П2)
При достаточно тонком слое << 1 последними членами в скобке можно пренебречь и (П2) преобразовать к виду
3Ь
(П3)
О' = 3h о.
Яр
Эффективный модуль четырехфазной среды (матрица, промежуточный слой, включения полиамида, на-нотрубки) оценивается по приближенной формуле, основанной на правиле смеси
Eeff = E0(1 -О-О'-О N ) +
+ kjEjO' + k2E20 + k3E30 N.
(П4)
Здесь E0, Ej, E2, E3 — модули упругости матрицы, промежуточной фазы, полиамида, нанотрубок; k1, k2, k3 — коэффициенты, учитывающие влияние формы включений, коэффициентов Пуассона фаз и других факторов.
Пренебрегая On по сравнению с единицей, формулу (П4) с учетом (П3) можно преобразовать к следующему виду:
Eeff = E0 + k2(E2 -E0)0 + -^0 + k3E30N. (П5)
При этом неизвестные параметры h, k2, E2 сворачиваются в единый комплекс
X = 3hk1 (E1 -E0). (П6)
Для обоснования формулы (П5) воспользуемся подходом [9-11], суть которого состоит в последовательном рассмотрении частиц в слое окружающего их вещества и вычислении эффективных свойств такой двухфазной среды, а затем вычислении эффективных свойств среды, состоящей из частиц, образованных из однородного материала, обладающего свойствами, рассчитанными на предыдущем этапе, находящихся в слое вещества следующей фазы, и т.д. Для сферических частиц данный подход использован в [9], в [10, 11] он был использован для расчета эффективных свойств частиц произвольных форм. Согласно данному подходу эффективный модуль частицы полиамида с добавлением нанотрубок есть
E23 = E2 + k'3E3 ОN /О. (П7)
Здесь О N/О — объемная концентрация нанотрубок в полиамиде (с учетом малости О N ). Для сильно вытянутых жестких частиц, таких как нанотрубки, при выполнении условия (Ln/Rn)2 >> E3/E1 >> 1 [12-14], удовлетворяемого для рассматриваемых значений параметров, имеем k3 = 0.18. Эффективный модуль частицы, образованной промежуточным слоем и частицей полиамида (с включениями нанотрубок), уже не может быть рассчитан в рамках теории малых концентраций. Согласно решению для коаксиальных сфер для малых концентраций промежуточного слоя указанный модуль (в наших обозначениях) есть [15]
E13 = E23 -(E23 -EJ)aО//(О + О'). (П8)
Здесь а — коэффициент порядка единицы, зависящий от упругих параметров слагающих фаз. Эффективный модуль композита есть
Eeff = E0 + k2(E13 - Eo)(О + О'). (П9)
Для включений сферической формы можно принять k2 = 0.02 [16]. Последовательная подстановка (П7) в (П8) и (П8) в (П9) при пренебрежении ОN, ввиду ее отмеченной выше малости, а также в некоторых членах ^(О'+О) и (а-1)О', по сравнению с единицей, дает формулу (П5), в которой k3 = k2k3 ~ 0.005, k1 = k2a.
Для рассматриваемых условий E2 = 300 МПа, E3 = = 5 • 106 МПа — модули упругости полиамида и нано-трубок (в продольном направлении) соответственно [17]. Для модуля упругости эластомерной матрицы зна-
чения имеют большой разброс, кроме того, технологически для получения эластомера необходимо введение некоторого количества полиамида. Для расчетов было выбрано среднее значение E0 = 10 МПа, а также значение E0 = 1 МПа, позволяющее лучше согласовать получаемую зависимость с экспериментом. Размер частицы полиамида и эффективный упругий модуль определяются формулами (5), (П1), (П5), в которые в качестве собственных параметров (параметров, не определяемых непосредственно независимыми методами) входят ю0, ß, Y.
Сравнение экспериментальных результатов с расчетными для эффективных модулей и размеров включения, рассчитанных по формулам (П5) и (П1) соответственно, при значениях параметров k = 4, Ю0 = 6.3-1018 м-3, ß = 1 -1018, Y = 4.8-10-5МПа- м для E0 = 1 МПа и y = = 3.2 -10-5 МПа - м для E0 = 10 МПа представлено на рис. 2 и 3 (численные значения здесь отличаются от данных в [3, 4]). Локальный максимум упругого модуля определяется посредством предпоследнего члена формулы (П5) влиянием промежуточного слоя, суммарный объем которого зависит от размера включений полиамида. С ростом концентрации нанотрубок начинает сказываться непосредственное влияние этой концентрации, приводящее к росту модуля.
Работа выполнена при финансовой поддержке Программы Президиума РАН 1.1.
Литература
1. Бадамшина Э.Р., Гафурова М.П., Эстрин Я.И. Модифицирование углеродных нанотрубок и синтез полимерных композитов с их участием // Успехи химии. - 2010. - Т. 79. - № 11. - С. 1027— 1064.
2. Бадамшина Э.Р., Атовмян Е.Г., Грищук A.A., Крестинин A.B., Лес-
ничая В.А., Ольхов Ю.А., Эстрин Я.И. Влияние «гомеопатических» добавок углеродных наноматериалов на свойства полиуретановых эластомеров // Тезисы II Межд. форума по нанотехнологиям Rus-nanotech 09, Москва, 2009. - С. 306.
3. Бадамшина Э.Р., Эстрин Я.И., Кулагина Г.С., Лурье С.А., Соля-ев Ю.О. Моделирование эффекта необычного изменения механических свойств полиуретанамидомочевинного (ПУАМ) эластомера при модифицировании углеродными однослойными нанотрубками // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. — Т. 16. — № 4. — С. 551—562.
4. Бадамшина Э.Р., Гольдштейн Р.В., Ольхов Ю.А., Устинов К.Б., Эстрин Я.И. Моделирование изменения механических свойств полиуретановых эластомеров при модифицировании углеродными нанотрубками. — М., 2011. — 17 с. / Препринт ИПМех РАН № 1000.
5. Бадамшина Э.Р., Гольдштейн Р.В., Ольхов Ю.А., Устинов К.Б., Эстрин Я.И. Моделирование изменения механических свойств полиуретановых эластомеров при модифицировании углеродными нанотрубками // Физ. мезомех. — 2012. — Т. 15. — № 3. — С. 5—10.
6. Александров А.П., Лазуркин Ю.С. Прочность аморфных и кристал-
лизующихся каучукоподобных полимеров // Докл. Акад. наук СССР. — 1944. — Т. 45. — № 7. — С. 308—311.
7. Dannenberg E.M. Molecular slippage mechanism of reinforcement // Transactions of Institute of Rubber Industry. — 1966. — V. 42. — P. 26— 42.
8. Dannenberg E.M. The effects of surface chemical interactions on the properties of filler-reinforced rubbers // Rubber Chem. Technol. — 1975. — V. 48. — P. 410—444.
9. Shen L., Li J. Effective elastic moduli of composites reinforced by particle or fiber with an inhomogeneous interphase // Int. J. Solids Struct. — 2003. — V. 40. — No. 6. — Р. 1393—1409.
10. Гольдштейн Р.В., Устинов К.Б. Влияние включений на эффективные свойства композитов. Учет влияния промежуточной фазы. — М., 2005. — 23 с. / Препринт ИПМех РАН № 792.
11. Goldstein R.V., Ustinov K.B. On Effective Elastic Properties of Nano-Composites, a 3-Phase Model // Materials of Int. Conf. NAN0'06, Brno University of Technology, Czech Republic, 2006. — P. 81—86.
12. Russel W.B., Acrwos A. On the effective moduli of composite materials: Slender rigid inclusions at dilute concentrations // Z. Angew. Math. Phys. — 1972. — V. 23. — P. 434.
13. Устинов К.Б. Об определении эффективных упругих характеристик двухфазных сред. Случай изолированных неоднородностей в форме эллипсоидов вращения // Успехи механики. — 2003. — Т. 2. — № 2. — C. 126—168.
14. Ustinov K.B., Goldstein R. V. On application of classical Eshelby approach to calculating effective elastic moduli of dispersed composites // Int. J. Fract. — 2007. — V. 147. — No. 1—4. — Р. 55—66.
15. Sevostianov I., Kachanov M. Homogenization of a nanoparticle with graded interface // Int. J. Fract. — 2006. — V. 139. — P. 121—127.
16. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. — Martinus Nijhoff Publishers, 1982.
17. Энциклопедия полимеров. Т. 2, 3. — М.: Советская энциклопедия,
1977.
Поступила в редакцию 08.04.2016 г.
Сведения об авторах
Бадамшина Эльмира Рашатовна, д.х.н., зам. дир. ИПХФ РАН, [email protected] Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, гнс ИПМех РАН, [email protected] Устинов Константин Борисович, д.ф.-м.н., доц., снс ИПМех РАН, [email protected] Эстрин Яков Иосифович, д.х.н., гнс ИПХФ РАН, [email protected]
