CC BY
24
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 539.3+517.44
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ
© О.Э. ЯРЕМКО1, А. А. МАЛЫШЕВ2 1 Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского,
кафедра математического анализа e-mail: [email protected] 2Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского,
кафедра математического анализа e-mail: [email protected]
Яремко О. Э., Малышев А. А. — Моделирование движения вязкой жидкости под действием поверхностной нагрузки // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 340—346. —
Найдено аналитическое решение задачи о пластической деформации земной поверхности. Принята модель движения полубесконечной, кусочно-однородной несжимаемой вязкой жидкости, находящейся под действием радиально- симметричного давления, приложенного к свободной поверхности. Решение проводилось методом матричных преобразований Фурье с разрывными коэффициентами.
Ключевые слова: пластическая деформация, вязкая жидкость, матричное преобразование Фурье
Yaremko O. E., Malishev A. A. — Modeling of viscous fluid movement due to the surface load // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 340—346. — The analytical solving plastic deformation problem of a terrestrial surface is found.The model of movement of the semi-infinite piecewise homogeneous incompressible viscous liquid which are under action radially - is accepted the symmetric pressure enclosed to a free surface. The solving was spent by a method of Fourier’s vector transform with discontinuous coefficients.
Keywords: Plastic deformation, viscous liquid, Fourier’s matrix transform
1. Постановка задачи
При рассмотрении вопроса о пластической деформации земной поверхности после исчезновения с нее льда ледникового периода возникает задача, встречающаяся в теории вязкой жидкости [5]. В качестве модели рассматриваем движение полубесконечной, кусочно-однородной несжимаемой вязкой жидкости, находящейся под действием радиально- симметричного давления, приложенного к свободной поверхности. Изучим задачу о распределении напряжений в длинном кусочно-однородного п +1- полупространстве
Г "+1 1
^п+1 ^п+1 {(Г7 * 0 £ 1П+1} > 1П+1 ^ ^ ^ ^ и (1к-1,1к) ,10 0,1к- 1 < 1к ,1п +1 ^ ^ .
Уравнения движения жидкости [5] переписать в цилиндрической системе координат
1 д ( ддт.Л д*г д2дтг 1 дР*
- Т2" + ^0^ _“ "ИГ,г 6 (1к-1,1к) (1)
дг у дг у г2 д^2 ^ дг
1 д ( д«т-^ , д2«т- _ 1 дрТ (, , ) (2)
ГдГ У^) + ^ ^ ,г 6 (/к-1> 1к) , (2)
где положено Рт _ рт — дртг. Уравнение непрерывности [5] принимает вид
1 д ( ддТг \ ддТ-
г-Дг^т) + “-г _0,г 6 (1к-1,1к) (3)
Компоненты напряжений в направлении оси г будут равны
I О д«*- /,ч
°гх _ —РТ + 2^^“д7’ (4)
(ддтг дд^Л
т- _ "• I — + (5)
Учитывая равенство нормальной компоненты напряжения ст^ приложенному давлению ст (г, 4), т.е. <71^ = —ст (г, £)из соотношения (4) получим первое граничное условие
д«
Р1 + 5Р1? (г, 4) — 2^1 _ ст (г, 4), г _ 0, (6)
дг
здесь ^ (г, 4)-неизвестное уравнение свободной поверхности, при этом на свободной поверхности скорость изменения величины ^ (г, 4) равна , т.е.
| _ «ь, * _0 (7)
Условие равенства нулю касательного напряжения на свободной поверхности приводит ко второму
граничному условию
Т1г- _ 0, г _ 0 (8)
Примем также условия на бесконечности
стп+1- _ ° тп+1г- _ 0, «п+1- _ ° «п+1г _ 0, г _ ^.
На поверхностях г _ 1т выполняются внутренние граничные условия [3] (условия сопряжения) заключающиеся в непрерывности компонент тензора напряжения и компонент вектора скоростей, т.е.
стТ- _ стТ+1-, Ттг- _ Тт+1г-, «Т- _ «Т+1-, дтг _ «т+1г, г (9)
Ранее эту задачу в однородном случае изучали [5], [6].
2. Математический аппарат
В этом пункте построено матричное интегральное преобразование Фурье четвертого порядка на действительной полуоси с п точками сопряжения, доказана теорема разложения. Спектральная задача Штурма-Лиувилля для оператора Фурье состоит в определении нетривиального решения краевой задачи
^2 _ \ 2 _____________________________
^ + Ат2А21 ут (ж,А)_0, т _1,п + 1,
3 ^
^“01’Т йг* У1^ А)_0, х _ 10 , е _ 1, 2 (10)
Т=0
І
І
І—Ук = 53 ак-2,і ІХїУк+Ь — = ^ , к =1,п> т = 1 4
і=0 і=0
І*
Іг* уп+1 (—, А)
< то, і = 0, 3.
Теорема 1. Для каждого действительного значения А, А Є (0, то) задача (10) имеет ц линейно независимых решений, составленных из столбцов матрицы и (—, А),
П
и (—, А) = ^2 9 (— - 1к—1) 9 (1к - —) ик (—, А) + 9 (— - 1п) ип+1 (—, А), к=1
к
ц- размер матриц ат^*.
Двойственная сингулярная спектральная задача Штурма-Лиувилля состоит в определении нетривиального решения векторной краевой задачи
У*п (С,А) (зрт + Лл.^) =0, т = 1,п +1
(у* - ІІУ*к ... (-1)2 ізу*)
1
а
41,1
\ а11,3
ак
(Ук + 1 (£Ук+1 ... ( 1) Ук + 1)
к = 1, п, т =1,4,
Е Ук (С, А) а01,* = 0, С = І0 ,е =1, 2
12,0
12,1
а1 2,3
4 1,3
а4 2,0 а4 2,1
, С = 1 к
4 2,3
(11)
і=0
< то, і = 0, 3.
Для решения задач Штурма-Лиувилля (10),(11) используется матричная форма записи [4].
Теорема 2. Для каждого действительного значения А, А Є (0, то) задача (11) имеет ровно ц линейно независимых решений составленных из столбцов матрицы и* (—, А),
П
ик (С, А) = £ 9 (С - 1к—1) 9 (1к - С) ик (С, А) + 9 (С - /„) <+1 (С, А).
к = 1
В дальнейшем будем считать выполненными условия:
\
det ~11,0 ”11,2?— 1 =0, (12)
-Е20- - единичная матрица размера 2ц х 2ц, 02д- нулевая матрица размера 2ц х 2ц.
Теорема 3. Если вектор-функция
П
/ (С) = £ 9 (С - 1к—1) 9 (1к - С) /к (С) + 9 (С - 1п) /п+1 (С) к = 1
^2д 02д
0 0
а101,0 . •. а11,2д—1
0 0
а201,0 . . а021,3
Х = 00
1
определена, кусочно-непрерывна, абсолютно суммируема и имеет ограниченную вариацию на 1+, и данные задач (10)-(11) удовлетворяют условию (12), то для х Є 1+ справедливо интегральное представле-
2 [f (x - 0) + f (x + 0)] = u (x,A) • U u* (e,A) f (0 de) • A2q-1dA, (13)
0 Vo /
Интегральное представление (13) порождает прямое Fn + и обратное F-1 преобразования Фурье четвертого порядка на декартовой полуоси с n точками деления по правилам:
Lm+1 n 7
Fn+ [f ] (A) = £ / um+1 (e, A) fm+1 (e) de = f (A), (14)
л™ — П ^
F-l
Fn+
Ж
(ж) =— [ А29-1 и (ж, А) /(А) ЙА = / (ж), (15)
п ]
о
Доказательства теорем 1,2,3 приведено методом контурного интегрирования в [1, 8].
3. Решение задачи методом интегральных преобразований
Применим преобразования Ханкеля первого порядка [7] к уравнению (1), воспользуемся свойством
/.то дР [Ж
г^— ^1 (Сг) йг = — С гР7о (Сг) йг,
./о дг ./о
здесь 7о, Jl-функции Бесселя [2], тем самым, сведем это уравнение к обыкновенному дифференциальному уравнению
й "*г ^2_ С п
, 2— С п*г = — pi, (16)
аг2 ^
в котором приняты обозначения
р Ж р Ж
"гг = Г«*г^1 (Сг) Йг, Р = / гР^о (Сг) Йг.
оо
Аналогичным образом уравнения (2) и (3) в изображениях примут вид
^ — СЧ* = — Р (17)
dz2
Mi
dv-
ev*r + = 0 (18)
Исключив из уравнений (16),(17),(18) функции P- и v-r приходим следуя за [5] к дифференциальному уравнению для гл^
д 2 \ 2
д^2 - e2J viz (e,z) = o. (19)
С этого места наш ход решения отличается от классического [5], т.к. мы планируем использовать векторное интегральное преобразование Фурье F+i граничные. Прежде всего, запишем условия (7) , (8) в изображениях. Выразив все неизвестные через viz, приведем граничные условия к виду
d V1z Q f2 dr1z c2- /с a2 /с
—r^T - 3M1 e —J— = e c (e, t) - e gP1? (e, t),
dz3 dz
d2viz
dz2
+ С Viz
(20)
/ ra Ji (Сг) dr, ^ — / r^ Jo (Сг) dr
oo
oo Аналогичным образом преобразуются условия сопряжения при z — li
d3Viz 2 dviz
І 7 3 3MiS 7 -- Mi+l
dz3 dz
d3
vi+1z
dz3
— 3Мі+іс'
2 dvi+1z
dz
+ С g (Pi+1 - Pi) ? (r,t)
d2V
Mi
dz2
+ С MiViz Mi+l
d2v,-
i+lz
2
+ С Mi+1vi+1z
(21)
dz2
dviz __ dvi+1z
dz dz
Для решения задачи (19),(20),(21) применим метод преобразований Фурье порядка. Выберем параметры в граничных условиях и в условиях сопряжения задач Штурма -Лиувилля (10),(11) следующим образом: в граничных условиях полагаем
*11,0
о,
*11,1
*21,0
— 3м1С
'21,1
‘11,2
о,
*11,3 — M1
"° — С2, а21,1 — 0, а°1,2 — 1, а01,3 — о
в условиях сопряжения считаем
(22)
аП,0 — о , а2і ,1 — - “^k^: _ 2 > а11,2 — о, 2 а21,3 — M2
о k21 а M2 С2, 2 а21, 1 — о, 2 а21,2 — M2 , 2 а221,3 — о
о k31 а — І, _ 2 а31,1 — о, _ 2 а31,2 — о, 2 а321,3 — о
О k41 а — о, _ 2 а41,1 —І, _ 2 а41,2 — о, 2 а421,3 — о
■22,0 — о, _ 2 а12,1 - I СО ?г +1 С ю _ 2 > а 12,2 — о, 2 а21,3 — M2+1
k2 а22,0 — М2 + 1С , а42, 1 — о, _ 2 а22,2 — 2 = M2+1, а22,3 —о
k а32,0 — І, а32,1 — о, _ 2 а322,2 — о, 2 а322,3 — о
k а42,0 — о, а42,1 —І, 2 а422,2 — о, 2 а422,3 — о
(2З)
Решение задачи (4), (5), (6) найдем методом матричных преобразований Фурье четвертого порядка, с коэффициентами в граничных условиях, определяемыми формулами (22), (23). В результате приходим к решению задачи (19), (20), (21)
Viz — Hi,i (z, о, С) («0)
-if С2а(С,*) о
(
—(c,t)
Hi,i (z, о, С) (а0) ^ С^ J + t Hi,2 (z,lk ,С) M—i1
\
( с2» (Pi+i - Pi) ^ ^
о о о
/
где приняты обозначения
a0 a0
а11,0 а11,1
а0 а0
а21,0 а21,1
(24)
о
M
0
0
а
а
1
Щ,т П О = (г) ^0 ( ^11,0 ^11,0 ) 1 (г, П) ^ Ез ^ ,
І = 1, п + 1,
причем матрицы-функции ^п+1,^и+1 определены равенствами
^п+1 (“) = ( в?2 ^в?2 ) ,^п+1 = ( в-?2 ^в-?2 ) ,
а остальные матрицы-функции однозначно определяются по индукции условиями сопряжения 3 «Г 3 «
£ ат1,г ^ ^ ) = £ ат2,г «~г( ^ , “ = ^ , ^ = 1, n, т =1, 2, 3, 4
г=0 г=0
также матрицы определены соотношениями
(г,С) ¥>*/ (г,С)
//
V ^к7/ (г,С) ^/7/ (г,С) )
///
, к = 1, п +1,
Продифференцируем обе части формулы (24) при г = 1 по 4 и воспользуемся условием (7)
12
= Нм (0, О, С) (а?)
2 = 0
-?/ (С,*) Н1,1 (0,0,С) (а0)
1 \ с2др1
0
Применим формулу (7), тогда (25) перепишется в виде
н(С)С2^ (С,*) - *«12=0 • н(С)С2дР1,
где
Н (С) = Н1,1 (0, 0, С) (а0)-
0
(25)
(26)
Решив дифференциальное уравнение (26) с нулевыми начальными условиями и условием (7) найдем
?(С,і)
? (С, *) = Н (С) С2 / ехр (—Н (С) С2дР1 (* - т))а (С, т) йт
0
(27)
Последнее равенство совместно с формулами (24), (25), (26), (27) дает формальное решение поставленной задачи в изображениях Ханкеля [7]. Как известно [5], вычислить получающиеся при переходе к оригиналам интегралы не удается даже в однородном случае, т.е. в случае, когда коэффициенты вязкости ^ постоянны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баврин И. И., Матросов В. Л., Яремко О. Э. Операторы преобразования в анализе, математической физике и теории распознавания образов. М., Прометей, 2006. 292 с.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Справочная математическая библиотека. М. Физматгиз, 1966 г. 296 с.
3. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. 400 с.
0
2
1
1
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Физматлит, 2010. 560 с.
5. Снеддон И. Преобразование Фурье. М., И.- Л., 1955. 668 с.
6. Снеддон И. Н., Бери Д. С. Классическая теория упругости. Вузовская книга, 2008, 215 с.
7. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 402 с.
8. Яремко О. Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для задач с разрывными коэффициентами и операторы преобразования. Доклады Академии Наук, Т. 417, № 3, Ноябрь 2007. С. 323-325
