CC BY
26
УДК 534.1: 001.891.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ВИБРОЗАЩИТЫ А.А.Засядко1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Излагаются результаты разработки системы моделирования в приложении к управляемым системам виброзащиты. Рассматриваются методология и технологии имитационного объектно-ориентированного моделирования, которые закладываются в основу создания и применения инструментального комплекса «виртуальной реальности». Приведены иллюстративные примеры моделирования управляемых систем виброзащиты с использованием программного комплекса MSC. Adams. Ил. 6. Библиогр. 8 назв.
Ключевые слова: виброзащита; управление; система; динамика; моделирование; имитация; программно-инструментальный комплекс.
DYNAMICS SIMULATION OF CONTROLLED VIBROPROTECTION SYSTEMS A.A.Zasyadko
National Research Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The article presents the results of simulation system development in the application to controlled systems of vibroprotec-tion. It considers the methodology and technology of object-oriented simulation modeling that form the basis for the creation and use of a "virtual reality" software and tool complex. Illustrative exa mples of simulation of controlled vibroprotec-tion systems with the use of a software package MSC. Adams are given. 6 figures. 8 sources.
Key words: vibroprotection; control; system; dynamics; modeling; simulation; software and tool complex.
Актуальной проблемой современной техники является создание управляемых систем виброзащиты (УСВ). Данные УСВ направлены на эффективное ограничение, как правило, низкочастотных колебаний объектов защиты, часто - прецизионных, динамика которых предопределяет качество и безопасность новой техники, эксплуатируемой в условиях высокой силовой или динамической нагруженности.
Важная особенность этой проблемы заключается в том, что УСВ представляют собой в общем случае сложные информационно-механические системы, в которых осуществляется взаимодействие разнородных по природе компонент, что порождает сложные задачи их динамического анализа и синтеза. Теория и практика информационно-механических систем требует своего существенного развития, являясь относительно новой областью исследований в направлении, надо полагать, «физической кибернетики» [1].
Построение УСВ приводит к гетерогенным реализациям систем, которые образуются подключением к объектам виброзащиты, совершающим обычно механические движения, необходимых управляемых средств виброзащиты с возможностями информационных преобразований посредством формирования различных законов управления. Эти регулируемые процессы осуществляют преобразования не только информационных характеристик внутри систем, но и, главным образом, движений и сил, а по существу -энергии. Комбинированием таких информационно-
механических преобразований обеспечиваются необходимые эффекты, лежащие в основе принципа действия УСВ. Построение УСВ порождает нетрадиционные решения в виде распределенных (в определенном смысле) систем управления, где возникают возможности формирования объектов (управления) и средств виброзащиты так, что каждая из этих частей выступает определенным (пассивно-активным) регулятором колебательных процессов. На рис.1 приведена классификационная схема известных реализаций характерных решений УСВ.
В качестве технологических решений, обеспечивающих необходимые системы виброзащиты, выступают, как правило, построения в виде «подвесов» или «опор» твердых тел, которые формируют требуемое поведение объектов под действием вибрационных нагрузок.
Введение в колебательные системы при построениях необходимых подвесов или опор с наличием управляемых устройств, от пассивных (изоляторов, демпферов или гасителей) до активных (сервосвязей и различных механизмов), приводит к достаточно сложным моделям систем виброзащиты в качестве многосвязанных (составных) колебательных систем. Такого рода системы могут включать разнообразные соединения как твердых (сосредоточенных), так и упругоподатливых (распределенных) тел, связи которых должны позволять посредством информационно-механических преобразований целенаправленно
1Засядко Анатолий Алексеевич, кандидат технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, тел.: 89149037599, e-mail: [email protected]
Zasyadko Anatoly, Candidate of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, tel.: 89149037599, e-mail: [email protected]
Рис. 1. Классификационная схема известных типов УСВ
формировать регулирующие воздействия для обеспечения целесообразных эффектов виброзащиты.
Ввиду указанных особенностей, построения таких систем требуют, как правило, использования структурных методов динамического анализа и синтеза, которые являются рациональным аппаратом теории УСВ, позволяя процессы механических колебаний и управления представлять обобщенными моделями [2]. Однако сделанные разработки структурных методов пока далеки от недолжного обоснования, поскольку не позволяют находить во многих случаях решения систем для современных приложений (с учетом их гетерогенности, нелинейности, многомерности и пр.). Все это делает актуальным дальнейшее развитие «технологии управляемой виброзащиты» в теоретических и практических аспектах. В настоящее время решение подобного рода задач не может обойтись без компьютерного моделирования в направлении автоматизации решений с выбором элементов и связей в составе структур колебательных систем, которые закладываются в основу построения УСВ.
В решении задач УСВ требуется обычно гамма моделей, что является несвойственным для класса теоретических наук, таких как механика, управление и прочие, но характерно для прикладных областей знаний. В свою очередь, решение этих задач вызывает необходимость не только составлять адекватные расчетные схемы рассматриваемых колебательных систем, но и обращаться одновременно с комплексом расчетных схем для осуществления построений сложных виброзащитных систем. Целенаправленное обращение с гаммой моделей - это всегда комплекс вычислительных экспериментов на ЭВМ по обоснованию таких систем, когда разработка осуществляется путем составления ряда частных моделей с получением отдельных результатов и комплексированием их в целом для нахождения общего решения, которое должно
удовлетворять исходные - заданные условия.
На современном уровне возможностей такие решения требуют развития методов и средств имитационного моделирования, желательно с помощью поддержки проводимых решений визуализацией. В связи с этим для анализируемых задач управляемой виброзащиты рассматривается актуальный подход к обеспечению построения, который может быть определен как «объектно-ориентированное моделирование».
Таким образом, необходим инструментальный комплекс, позволяющий получать виртуальные модели для имитационных исследований динамики колебательных систем с визуализацией структурных построений прототипов при разработке виброзащиты на основе принципов построения УСВ по технологии т.н. «виртуальной реальности» (рис.2).
В качестве методологии объектно-ориентированного моделирования построений УСВ, которая закладывается в основу рассматриваемого инструментального комплекса технологии «виртуальной реальности», выступает концепция «дополнительных связей» [3, 4].
В свою очередь, виртуальные модели полагаются на возможности имитационных подходов (симуляции движений при различных построениях систем), которые могут опираться на возможности визуализации систем. При этом визуализация может охватывать не только структурные отображения построений колебательных систем, но и наглядные представления расчетных схем и движений объектов защиты (в виде машин, механизмов, сооружений и др.), а также и средств защиты (в виде различных устройств управления на схемном уровне). Наглядные представления функционирования систем в качестве образца изделия или функционирования технического решения макета системы «вчерне», или, попросту, работающей модели, принято определять термином «прототи-
Рис. 2. Схема инструментального комплекса технологии «виртуальной реальности» УСВ
пирование», которое нашло сегодня широкое распространение, в частности, в компьютерной индустрии [5].
I. Рассмотрим концептуально применяемую методологию объектно-ориентированного моделирования УСВ. Пусть исходная модель для построения УСВ с учетом известных предположений представлена многомерной колебательной системой (на примере, в частности, «твердотельной» - сосредоточенной), линеаризованные ДУ которой имеют вид:
Лд+ С д+ Кд = ),
(1)
где - п-мерный вектор столбец обобщенных координат, характеризующих перемещение объекта относительно основания; 0(1) - вектор столбец проекций внешних сил на оси координат главного вектора и главного момента (силовое воздействие); А,С,К - квадратные симметричные (п х п) матрицы коэффициентов определенно положительных квадратичных форм:
1 • • 1 • • 1
Т = — Лд*д; Ф = — Сд*д; П = — Кд*д;
2 2
(2)
выражающих соответственно кинетическую энергию Т, диссипативную функцию Ф и потенциальную энергию системы П (обозначено ц*- вектор - строка).
Уравнение (1) эквивалентно шести линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Его можно переписать в операторной форме
Лдр2 + Сдр + Кд = 0(р) , (3)
где А,С,К - матрицы, элементы которых являются в общем случае полиномами от оператора дифференцирования р.
Представленная колебательная система УСВ интерпретируется замкнутой динамической системой, эквивалентной в функциональном отношении системе автоматического регулирования (САР). Наличие замкнутого контура для рассматриваемых систем устанавливается, если переписать уравнение (3) в виде:
0) - (Ср + К )д]
1
Лр2
= д
(4)
занную на рис.3.
Рис. 3. Структурная (детализированная) схема многомерной колебательной системы
В общем случае задача оценки динамических свойств колебательной системы, на основании решения которой обеспечивается построение УСВ, формулируется как задача определения взаимосвязи между: вектором внешних сил О^) (входным сигналом - источником - воздействием на систему) и вектором обобщенных координат (выходным сигналом -приемником - реакцией системы на действие этих возмущений).
Структурный подход позволяет оценивать динамику колебательных систем с помощью математического аппарата, который разработан в теории автоматического регулирования [6]. Разумеется, структурные интерпретации, возникающие при построениях колебательных систем (как показано на рис.3) являются эквивалентными их математической модели [7]. Однако при моделировании более характерной является ситуация, когда дополнительные связи должны быть найдены, т.е. оказываются неизвестными.
Перепишем исходные (операторные) уравнения системы (3) в виде
д = ^ТТ"^-Ф = W(р) • 0, (5)
Лр + Ср + К
где матрицу передаточных функций системы запишем:
W(р) =-
1
д( р)
(6)
Лр2 + Ср + К 0( р) В общем случае для исходного ДУ (1) матрица (6)
представляется:
W (р) =
W - W - W
"11 "12 ---- " Ш
- W W - W
"21 "22 ---- " 2N
- W - W
W
(7)
который получает графическую интерпретацию, пока-
Диагональные элементы матрицы (7)
(1=]) -
это собственные передаточные функции системы. Они отражают «прямые связи» в системе, устанавливая связь между -ой компонентой вектора внешних возмущающих сил Q(t) и ^ой компонентой вектора q(t).
Недиагональные элементы Wij(p) (Щ) - это перекрестные передаточные функции системы. Они отражают наличие в системе «обратных связей», характеризующих влияние ^ой компоненты вектора входных возмущений Q(t) на ¡-ую компоненту вектора q(t). Эти обратные связи могут быть названы внутренними, в отличие от которых в системе специальным образом будут вводиться дополнительные связи - внешние для регулирования процессов.
Вводя обозначения О = ■ 1
Ар2
перепишем уравнения (4) в виде
и Ь = -(Ср + К),
£(') = (О- -Ь) • д(Г) или 9(0 = (О-1 -Ь)10(0. (8)
Умножая правую часть (8) на единичную матрицу, получим
9(0 = О(Е - ОЬ)- • й{1) .
(9)
Последнее уравнение позволяет изобразить структурную схему системы в матричной форме, которая приведена на рис. 4.
Рис. 4. Матричная структурная схема многомерной колебательной системы
На этой схеме G и Ц передаточные функции прямых и обратных связей, определяются:
О =
Ж, 0 .... 0
0 Ж22 ..
. 0
0 0 .... Ж„
Ь =
0 - Ж,
- Ж21 0
- Ж
" 1Л
. - Ж
- Ж - Ж.
0
. (10)
Таким образом, многомерную колебательную систему или модель построения УСВ можно представить как эквивалентную систему САР, имеющую «прямые» и «обратные» связи, которая определяется на основании (9) передаточной функцией (6), получающей вид:
Ж(р) = О(Е - ОЬ)-1 . (11)
Как известно, построение САР обеспечивается формированием цепей обратных связей, которые охватывают или входят в объекты управления. При этом техническая реализация данных цепей производится по принципу «однонаправленности» связей, о
чем свидетельствуют ранее приведенные структурные интерпретации системы, где соответствующие связи были введены однонаправленными стрелками (рис. 3, 4). Построение ВЗС обеспечивается формированием цепей обратных связей, а при наличии возможностей и прямых связей, которые могут быть реализованы, реконструированием объектов защиты.
Главная особенность технической реализации всех цепей связей в УСВ заключается в том, что средства виброзащиты - регуляторы динамических процессов управления должны воспроизводить определенные динамические эффекты, которые создаются их информационно-механическими (энергетическими) взаимодействиями с объектом защиты. При построениях УСВ закладывается качественно иной принцип действия (в отличие от САР), поскольку прямые и обратные связи оказываются «двунаправленными» (по природе механических процессов). В отличие от информационного принципа построения САР, которые допускают трактовку односторонности в передачах сигналов, в системах управляемой виброзащиты осуществляется, прежде всего, преобразование движений или сил, которые обязательно обладают (по законам механики) «реакциями» связей, представляющих противодействия (в направлении, обратном передаче сигналов). Этот аспект структурными интерпретациями, известными из автоматики [8], не раскрывается, что приводит к необходимости определения процессов с позиций не только «динамика - сигналы», но и «динамика - нагрузки». Подобного рода специфика процессов в УСВ подлежит учету в разрабатываемых подходах. Введение в колебательные системы «дополнительных связей», с помощью которых достигается, с одной стороны, определение необходимых структур для формирования требуемых динамических характеристик, с другой стороны, отыскание приемлемых технических реализаций цепей этих связей служит основополагающим принципом построений УСВ.
«Дополнительные связи», выявляемые в структурных представлениях колебательных систем, определяются в качестве структурных элементов, осуществляющих дополнительные (к исходному построению системы) каналы передачи - преобразования воздействий между отдельными звеньями (как комплексами элементов) в составе систем.
«Дополнительные связи» классифицируются по ряду признаков, которые используются при построениях УСВ в виде следующих решений: положительные или отрицательные; прямые или обратные (по направлению передачи сигнала); кинематические (приложенные со стороны основания системы) или силовые (приложенные со стороны окружающей среды); пассивные (без источников энергии или внешних сил - автономные в колебательной системе) или активные (используют энергию внешних источников или сил).
В общем случае дополнительная связь выступает в качестве некоторой динамической подсистемы, назначением которой является формирование необходимого воздействия на основную систему так, чтобы взаимовлияние исходной системы и вводимых цепей
элементов дополнительной связи привело к возникновению определенного динамического эффекта.
В общем виде зависимость, отражающую динамические свойства дополнительной связи (в некотором классе рассматриваемых систем), можно записать в виде уравнения
и (р) = Wк (р) • X (р)
(12)
где и(^ - вектор управляющих воздействий, формируемых дополнительными связями; X(() - вектор параметров, которые выбраны в качестве управляющих; ^(р) - матрица передаточных функций дополнительных связей.
Элементы данной матрицы в общем случае могут быть представлены следующей дробно-рациональной функцией:
^ ( р) =
а рп + а р"~ + ■ ■■+а„-1 р+д„ Ьрт + Крт-1 + ■■■+ ь р + ь
т-1г т
т > п,
(13)
где а], Ы] - коэффициенты, определяющие свойства дополнительной связи в конкретном случае.
Для исследования динамических свойств колебательных систем в области низких частот достаточно рассматривать передаточную функцию дополнительных связей не сложнее вида (поскольку механическая система выступает фильтром нижних частот колебаний):
ао р + а1
^ (р) =
ь0 р + ь1 р
(14)
которая определяет поведение системы при введении дополнительной связи на основе регулирования параметрами перемещений и скоростей. Подставляя выражение (12), описывающее дополнительную связь в виде ^ (р) , в исходное уравнение
колебательной системы (3), можно записать модель сложной колебательной системы, которая образует гибридное или гетерогенное построение ВЗС:
Лдр2 + Сдр + Кд + и 1 (р) = 0(р) + и2 (р) ,
(15)
где и 1 (г) + и 2«) = и (г); и1 = Wg (р) X,; иг = Wg (р)Х2
- векторы управляющих воздействий; X1 и X2 -векторы управляющих параметров, элементами которых могут быть элементы вектора обобщенных координат д или сил 0, также их производные для реализации управления по отклонению или возмущению.
При известных параметрах исходной системы Л,С,К и заданных возмущениях 0, назначая вектор
X и матрицу ^(р), решается задача анализа. В свою очередь, задача синтеза заключается в отыска-
нии характеристик X и ^ (р) при известных Л, С,К и 0.
Выбирая матрицу передаточных функций дополнительных связей, необходимо иметь в виду, что в случае введения активных связей может произойти потеря устойчивости системы. Поэтому при исследованиях необходимо оценивать влияние выбора характеристик дополнительных связей, в частности, в случае активной реализации, на устойчивость колебательной системы.
II. Рассмотрим подход к применяемой технологии объектно - ориентированного моделирования УСВ, которые являются по принципу действия динамическими системами.
Под «динамической системой» понимается объект, функционирующий в непрерывном времени, наблюдаемый и изменяющий свое состояние под воздействием внутренних и внешних причин - возмущений и введения дополнительных связей. Разрешимые случаи позволяют считать соответствующие системы «простыми динамическими системами».
Следует понимать, что структура моделей не всегда соответствует структуре построения системы. В основе таких моделей лежит элемент (блок), со скрытой от внешнего наблюдателя внутренней структурой. Глядя на такой элементарный блок со стороны, можно увидеть только специальные переменные, называемые в общем случае «контактными». Такая структурно сложная модель состоит из множества блоков, которые взаимодействуют между собой через «функциональные связи» между видимыми извне контактными переменными. Как правило, элементы и соответственно блоки сложной системы характеризуются различными физическими принципами действия, что, в конце концов, будет не столь заметно в итоговой математической модели, но чрезвычайно важно при построении модели. В случае если данным блокам соответствуют «простые динамические системы», то задача моделирования достаточно проста и состоит в том, чтобы построить для составного блока такой эквивалентный элементарный блок, поведение которого соответствует определению «простой динамической системы». Поведение эквивалентного блока должно строиться по описаниям локальных систем с учетом «функциональных связей» между ними. Наличие данных связей (через контактные переменные) означает, что значения переменных, соответствующих контактам между блоками, в любой момент равны.
В пакетах программ моделирования встречаются функциональные связи двух видов:
1). «Однонаправленные» - ориентированные, когда соединяемые контакты делятся на источник и приемник, постулируя, что приемник не может влиять на источник;
2) «Двунаправленные» - неориентированные, когда соединяемые контакты равноправны.
В случае использования «однонаправленных связей» входная переменная не может находиться в левой части формулы или ДУ, а также являться искомой переменной в АУ. Источником может быть выход
внутреннего или вход внешнего блока, а приемником -вход внутреннего или выход внешнего блока. Любой источник может участвовать в любом числе связей, в то время как приемник может участвовать только в одной связи.
В случае неориентированных связей структура модели соответствует структуре построения системы, позволяя вполне адекватно описывать информационные - механические взаимодействия между блоками в системах (например, посредством управления), где обычно принимаются меры, исключающие обратное влияние реакций связи. При использовании «неориентированных связей» блоки являются «неориентированными». Появляющиеся АУ должны решаться численно. Поэтому использование неориентированных связей всегда требует больших вычислительных ресурсов, а также может вызывать проблемы с согласованием начальных условий. К сожалению, в отличие от ориентированных блоков, преобразовать совокупную систему к виду, пригодному для численного решения, не всегда удается. В общем случае необходимо выполнить достаточно сложный анализ и символьные преобразования для того, чтобы получить эквивалентную, численно разрешимую систему.
Поэтому структурная сложность изучаемых систем приводит к необходимости использования в построениях УСВ технологии «визуального моделирования», которая позволяет воспроизводить на ЭВМ функционирование рассматриваемых объектов. Эта технология дает описание моделируемой системы в естественном для прикладной области виде и преимущественно графической форме (рисовать функциональную схему, размещать на ней блоки, выделять контактные переменные и соединять их связями, наглядно представлять результаты).
Одним из главных достоинств систем «визуального моделирования» является то, что она позволяет создавать графическую среду на ЭВМ, которая дает «виртуально функционирующую систему», похожую на испытательную установку для вычислительных опытов - имитационных экспериментов. Важная особенность технологии «визуализации» в применении к концепции «объектно-ориентированного моделирования» состоит в расширении границ повторного использования созданных и подтвердивших работоспособность моделей.
В настоящее время существует множество инструментальных средств, позволяющих моделировать «гетерогенные» структурно-сложные системы.
Известные пакеты программ моделирования можно разделить на две группы, которые с той или иной мерой универсальности (адекватности) описывают системы:
1. «Блочного моделирования» - для структур систем с однонаправленными связями. К ним относят: SIMULINK пакета MATLAB, SystemBuild пакета MA-TRIXX, VisSim и т.п.
2. «Физического моделирования» - для структур систем с однонаправленными и двунаправленными связями. К ним можно отнести: «20-SIM» (Controllab Products B.V); Dymola (Dymasim); Omola, OmSim (Lund
University) и пр.
Это деление является условным, прежде всего потому, что эти пакеты имеют много общего: позволяют строить функциональные схемы, поддерживают в той или иной степени объектно-ориентированное моделирование, предоставляют сходные возможности технологии визуализации (и анимации). Отличия обусловлены тем, какой из аспектов сложной динамической системы сочтен наиболее важным (критичным) при моделировании. Пакеты «блочного моделирования» более приспособлены для выражения иерархических блок-схем. При создании в них сложных моделей приходится строить громоздкие многоуровневые блок-схемы, не отражающие естественной структуры построения системы. Пакеты «физического моделирования» более пригодны для описания физических систем. Недостатками их являются: необходимость символьных преобразований, что резко сужает возможности описания гибридных решений; необходимость сопряжения решений ДУ с численными решениями алгебраических уравнений (на каждом временном интервале счета), что требует большой производительности и усложняет задачу получения достоверного решения.
В настоящее время нарождается третий тип пакетов моделирования, который отражает реализации VPD - технологии (Virtual Product Development - виртуальной разработки изделий) и развивается в рамках компьютерных систем инженерного (структурного) анализа CAE (Computer Aided Engineering). Семейство продуктов компании MSC - мирового лидера в этом перспективном направлении - выстроено в качестве интегрированной системы имитационного моделирования и визуализации. Программные комплексы MSC заслуживают внимания тем, что позволяют решать рассматриваемые задачи «объектно - ориентированного моделирования» на основе естественного подхода к прототипированию систем. Подобно известному методу «конечных элементов», в котором модель распределенной системы строится на базе геометрических примитивов или компонентов, непосредственно импортируемых из CAE или CAD - систем, компания MSC - разработчик популярного продукта Nastran (NAsa STRuctural ANalysis), разработала подход, позволяющий моделировать сосредоточенные системы без составления в явном виде (со стороны пользователя) ДУ движения системы.
Для рассматриваемых задач моделирования УСВ были использованы пакеты программ MSC: Adams (Automatic Dynamics Analysis of Mechanical Systems) и EASY5. Пакет Adams позволяет моделировать движения механических систем в виде твердотельных моделей, которые находятся под действием внешних сил (реакций внешних и внутренних связей). Пакет EASY5 моделирует системы на уровне функциональных блоков и устройств управления. Модели Adams и EASY5 комплексируются для визуальной имитации или симулирования динамики прототипируемого объекта в совместной работе с его системой управления.
Данная разработка призвана привести к созданию компьютерных (электронных) макетов в качестве
Рис. 5. Виртуально-визуальная имитационная модель пассивной УСВ (в плане: вид сбоку, фронтальный вид и в аксонометрии)
Рис. 6. Виртуально-визуальная имитационная модель активной УСВ (виброгаситель на объекте и между опор объекта - фронтальный вид и в аксонометрии)
«виртуальных» моделей УСВ, которые представляют среду для изучения функционирования и оценки построений объектов защиты с учетом выбора искомых средств виброзащиты путем введения в системы необходимых дополнительных связей.
На рис. 5, 6 показаны для иллюстрации полученные решения в рамках реализованного программного комплекса моделирования (на примере моделей с
двумя опорами для пассивной и активной системы - в двух вариантах дополнительной подвески «виброгасителя»).
Эти разработки накапливаются в качестве коллекции «структурно-параметрических» (изменяющихся автоматически при имитации для обоснования построений) моделей, которые позволяют исследовать рассматриваемые УСВ.
1. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. СПб: Наука, 2003. 208 с.
2. Елисеев С.В., Засядко А.А. Виброзащита и виброизоляция как управление колебаниями объектов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Ир-ГУПС, 2004. №1. С. 26-34.
3. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, А.А. Засядко [и др.] Иркутск: Изд. Ирк. гос. ун-т, 2008. 523 с.
4. Засядко А.А. Задачи моделирования сложных колебательных систем с дополнительными динамическими связя-
ский список
ми. В кн.: «Винеровские чтения» // Труды IV Всеросс. конференции. Ч. I. ИрГТУ, 2011. С.116-129.
5. Фатрелл Р., Шафер Д., Шафер Л. Управление программными проектами: достижение оптимального качества при минимуме затрат. М.: Вильямс, 2003. 1136 с.
6. Шаталов А.С. Структурные методы в теории управления и электроавтоматике. М. Л.: 1962. 408 с.
7. Елисеев С.В. Структурная теория виброзащитных систем. Новосибирск: Наука, 1978. 224 с.
8. Гальперин И. И. Автоматика как односторонняя механика. М. Л: Энергия,1964. 264 с.
