CC BY
21
УДК 539.3
C. Ю. МИСЮРА А Н. ШУПИКОВ
Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ГИДРОТУРБИН В ВАКУУМЕ И С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ
ВОДЫ
В статье представлена методика расчета собственных частот колебаний конструкций в вакууме и при взаимодействии с водой. На тестовом примере проверена работоспособность предлагаемого подхода и подтверждена достоверность результатов, получаемых на его основе. Собственные частоты, полученные по предлагаемой методике, близки к экспериментальным данным и найденным аналитически. На основе представленной методики проведен анализ собственных частот колебаний конструкции крышки гидротурбины в вакууме и с учетом влияния воды.
Ключевые слова: собственные колебания, МКЭ, гидроупругие колебания, крышка гидротурбины.
S.M. MISURA , O.M. SHUPIKOV
A.N. Podgorny Institute for Mechanical Engineering Problems of NAS of Ukraine
MODELLING OF DYNAMIC BEHAVIOR OF ELEMENTS OF CONSTRUCTIONS OF A HYDROTURBINE IN VACUUM AND WITH AN INFLUENCE OF A WATER
Annotation
This article represents a method of calculation of natural frequencies of constructions into vacuum and at contact with water. A performance of the proposed approach was tested on an example and a significance of the results obtained on the base it was confirmed. Coefficients of reduction of values of natural frequencies obtained by the proposed method are similar to experimental data and analytical data. A mathematical model of hydro turbine lid and water based on FEM was developed. An analysis of natural frequencies of hydro turbine lid into a vacuum and at considering of the influence of water on the base of the proposed approach was carried out. The natural frequency of the lid subject to water for a one meter depth is 24,4 Hz. It is 3,9% smaller than the frequency in a vacuum. It is found that there exists an influence of water on natural frequencies for all test range and a frequency of hydroelastic vibrations is reduced with increasing water depth.
Keywords: natural frequency, FEM, hydro turbine lid.
Введение. Ранее для оценки влияния воды на динамические характеристики крышки гидротурбины использовались результаты, полученные для круглой пластины, которая колеблется в жидкости [1].
Статья [2] посвящена определению собственных частот гидроупругих колебаний крышки гидротурбин. В этой работе формы колебаний крышки гидротурбины в жидкости представляются в виде разложения по формам ее колебаний в вакууме, однако при этом не учитываются размеры объема жидкости, находящегося под крышкой. В этой работе метод расчета основан на приближенном подходе, в котором крышка рассматривалась как циклически симметричное ортотропное тело вращения. Однако, при небольшом числе ребер это приводит к погрешностям.
В ниже перечисленных статьях для описания влияния жидкости в гидроупругих задачах применяется подход учитывающий эффект ее сжимаемости, а также влияния формы и объема жидкости, омывающей исследуемую конструкцию.
В работе [3] на основе программного комплекса ANSYS предлагается подход к исследованию гидроупругих колебаний коленообразного трубопровода, заполненного пульсирующей жидкостью. Представлены результаты расчетов и их сравнение с экспериментальными данными, полученными на стендовом оборудовании.
В работе [4] разработана методика исследования собственных частот и форм колебаний трубопроводов произвольной пространственной конфигурации с различным числом и расположением упругих опор. Достоверность результатов расчёта, проведенного с использованием МКЭ, подтверждена экспериментально.
Поэтому для более точного описания процесса колебаний крышки с учетом влияния воды предлагается методика на основе МКЭ, в которой крышка представлена как сложная пространственная конструкция, состоящая из тонкостенных элементов. Учет влияния воды осуществляется на основе применения акустических трехмерных КЭ, которые позволяют учесть размер объема и сжимаемость жидкости взаимодействующей с крышкой.
Постановка задачи. Исследование собственных упругих и гидроупругих частот колебаний конструкции начинается с построения ее геометрической модели. Поскольку в данной работе будут
рассматриваться пространственные конструкции, состоящие из тонкостенных элементов, для которых отношение толщины элементов конструкции к характерному размеру не превышает 1/10, применяется теория тонких пластин и оболочек. Поэтому для решения задачи используется треугольный упругий оболочечный конечный элемент (КЭ) с тремя узлами. Элемент в каждом узле имеет шесть степеней свободы: перемещения в направлении осей X, У, 2 и повороты вокруг осей X, У, 2. Расположение узлов элемента I, 3 и К и система координат показаны на рис 1. Далее, создается конечноэлементная модель объема воды, контактирующий с конструкцией, при этом используется четырехузловой пространственный КЭ. Данный элемент предназначен для описания акустических свойств жидкости (сжимаемость), а также её динамического взаимодействия с упругой конструкцией. Узлы элемента имеют четыре степени свободы: перемещения по координатам X, У, 2 и давление. Расположение узлов I, 3 и К и система координат элемента показаны на рис 2.
I
к
X
Рис. 1. Треугольный элемент
Рис. 2. Тэтраэдральный элемент
К
и
У
С помощью таких элементов решаются задачи собственных колебаний гидроупругих систем. Связь оболочечной конечноэлементной модели с акустическими элементами осуществляется с помощью граничных элементов. Задаются условия закрепления конструкции.
Для отыскания собственных частот в вакууме используется алгоритм Ланцоша [5]. При решении системы алгебраических уравнений учитывается разреженность матриц. Метод Ланцоша особенно эффективен при отыскании собственных частот в заданной части спектра собственных значений механической системы.
Для отыскания собственных частот с учетом влияния воды используется метод анализа несимметричных алгебраических систем, так как в этом случае матрицы [К] и [М] несимметричны [5].
Возможность предлагаемого подхода, а также достоверность результатов, получаемых на его основе, показаны на примере расчета собственных частот колебаний цилиндрического резервуара заполненного водой и крышки гидротурбины.
Метод решения. Собственные колебания конструкции в вакууме совершаются при отсутствии внешних сил. Будем считать, что демпфирование также отсутствует, тогда матричное уравнение движения конструкции, имеет вид:
М + Клг = 0, (1)
где М - матрица масс конструкции; К - матрица жесткости конструкции; V - вектор узловых перемещений.
Решение данного уравнения ищем в виде
V = wсоъШ, (2)
где ю - частота колебаний; w - матрица-столбец, которая содержит амплитудные значения перемещений и называется формой колебаний.
Собственные колебания характеризуются совокупностью значений собственных частот Ю^ и
форм wi [6].
В данном случае задача заключается в отыскании нескольких низших частот и соответствующих им форм колебаний.
Подставив (2) в (1), придем к уравнению
К -ю2М ) w = 0, (3)
Это равенство представляет собой систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно элементов вектора w . Тривиальное решение этой системы w = 0, не представляет интереса, так как на основании (2) в этом случае получим V = 0 .
Уравнение (3) может иметь и нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю
К -а>2М
= 0.
(4)
Значения (, удовлетворяющие условию (4), представляют собой частоты собственных колебаний конструкции. Каждой собственной частоте ( соответствует нетривиальное решение Wj системы уравнений
К - ( 2м ^ = 0.
При гидроупругих колебаниях конструкции в динамический процесс вовлекается жидкость, которая ее омывает, поэтому связанная система уравнений имеет вид
М"
Р[ьТ М/
+
К" 0
-
КГ
= 0,
(5)
где
М" \
и
М1 \
- матрицы масс оболочечных и акустических КЭ соответственно;
К" \, [К^ \ - матрицы жесткости оболочечных и акустических КЭ; q - вектор обобщённых узловых перемещений; р - плотность жидкости, р - вектор узловых давлений;
[¿\ - матрица связи между граничными элементами конструкции и КЭ акустической среды, определяемая формулой
[1]=1Ш Ф}
йЛ„
(6)
Здесь
{ф}- функции формы давления в акустическом КЭ; Ф } - функции формы перемещений КЭ оболочки;
{п} - вектор направляющих косинусов нормали к поверхности оболочки, взаимодействующей с
водой;
A - площадь поверхности соприкосновения между структурными и акустическими КЭ [7]. Цилиндрический резервуар. В качестве тестовой задачи рассматривается открытый цилиндрический сосуд (рис 3), их иногда устанавливают на небольших гидроэлектростанциях [8]. Колебания резервуара такого типа изучены на стальной модели заполненной водой размерами: высота B= 0,8 м, радиус a = 0,285 м, толщина стенки й=0,008 м. Днище резервуара жестко закреплено. Для выбора размера КЭ выполнена серия расчетов для оценки сходимости решения. В табл. 1 приводятся коэффициенты Ks снижения значения частот, полученных на основе предлагаемого подхода, аналитического решения, а также экспериментальные данные, где
К8 = (жидк !(вак.
Таблица 1
Коэффициенты & снижения собственных частот при заполнении резервуара жидкостью.
п (число узловых меридианов) Предлагаемый подход (К" ) Аналитическое решение [8] (К" )теор Экспериментальные данные [8] (К" Хкспер
2 0,603 0,592 0,62
3 0,659 0,655 0,66
4 0,703 0,695 0,70
На рис. 4 показана зависимость коэффициентов при различном числе узловых меридианов п.
0
Рис. 3. Открытый резервуар с водой.
Рис. 4. Графическая зависимость К= К«(п) коэффициенты снижения собственных частот при заполнении резервуара жидкостью при различном числе узловых меридианов.
Отличие между результатами, полученными на основе предлагаемого подхода и экспериментальными данными, составляет от 0,1 до 2,8 %.
Крышки гидротурбины. Крышка гидротурбины является пространственной циклически симметричной конструкцией, состоящей из тонкостенных оболочек вращения, объединенных п ребрами - меридиональными пластинами сложной конфигурации (рис. 5). Для размещения механизмов и снижения массы узла в ребрах предусмотрены круглые отверстия. В кольцевых пластинах созданы фигурные отверстия в виде профиля лопатки, которые предназначены для демонтажа и ремонта отдельных лопаток без полной разборки направляющего аппарата. Габаритные размеры крышки: диаметр - 3,44 м, высота - 1,05 м. Крышка изготавливается из листового проката стали Ст20 или его аналога ASTM А516 Gr.60. Механические свойства материала: Е = 2,1-105 МПа - модуль упругости; V = 0,3 - коэффициент Пуассона; р = 7850 кг/м3 - удельный вес материала; стт = 215 МПа - предел текучести; ств = 430 МПа - временное сопротивление; [ст] = 0.5стт = 107,5 МПа - допускаемые напряжения. На рис. 6 показан сектор крышки с углом раствора 90°
Рис. 5. Крышка гидротурбины
Рис. 6. Сектор крышки гидротурбины
Условия закрепления крышки по опорной поверхности фланца считается абсолютно жесткими, вдоль окружности, на которой расположены шпильки фланцевого соединения (рис. 7).
В данной конструкции предусмотрено опирание подпятника агрегата на крышку, поэтому на нее действует вес генератора и рабочего колеса массой 25 т, которая моделируется приведенной плотностью для расчета собственных колебаний.
При построении модели сектора вначале задаются ключевые точки в плоскости ребра, по которым строятся линии, затем создается модель ребра с отверстием (поверхность пластины). Далее создается ребро, которое расположено под углом относительно ребра с отверстием - прямоугольник, ограниченный верхней и нижней кольцевыми пластинами, а также внутренней и наружной обечайками. Затем создаются малые ребра, совокупность которых соединяет опорный фланец с цилиндрической оболочкой [9].
Для получения оболочечных частей конструкции и полной модели сектора (см. рис.6) линии сечений поверхностей оболочек поворачиваются на угол 90 . После этого копированием размножаются ребра под углом и малые ребра, а далее создаются контуры фигурных отверстий в виде профиля лопатки направляющего аппарата. Полную модель крышки получаем путем четырехкратного копирования сектора. Далее на модель наносится конечноэлементная сетка. Итоговая конечноэлементная модель крышки гидротурбины насчитывает 6778 элементов. Конечноэлементная модель крышки гидротурбины с объемом воды представлена на рис. 8.
Рис. 7. Схема закрепления конструкции Рис. 8. Разрез крышки гидротурбины с объемом воды
Наибольший интерес представляет первая собственная частоты, так как она наиболее близка к частоте возмущения.
Значение первой частоты при собственных колебаниях в вакууме составляет 25,45 Гц, а ее форма показана на рис 9. Исследовано влияние глубины Н объема воды, омывающего крышку. Объем воды представляет собой цилиндр диаметром Б = 3,3 м с высотой Н от 0 до 6,2 м. (см. рис 8).
Полученные данные представлены на рис. 10. Влияние объема воды проявляется во всем исследованном диапазоне, с увеличением глубины Н частота гидроупругих колебаний снижается.
Рис. 9. Зонтичная форма собственных колебаний Рис. 10. Результаты расчета собственных колебаний
соответствующая первой частоте
Выводы. Представлена методика расчета собственных частот колебаний конструкций в вакууме и при взаимодействии с водой.
На тестовом примере проверена работоспособность предлагаемого подхода и подтверждена достоверность результатов, получаемых на его основе.
Коэффициенты снижения собственных частот, полученные по предлагаемой методике, близки к экспериментальным данным и аналитическому решению [8]. Видно, что их расхождение колеблется от 0,1 до 2,8 %.
На основе представленной методики проведен анализ первой собственной частоты колебаний конструкции крышки гидротурбины в вакууме и с учетом влияния воды. Собственная частота гидроупругой задачи при метровой глубине под крышкой, полученная МКЭ, равна 24,4 Гц, что на 3,9 % меньше, чем частота в вакууме.
Проведено исследования зависимости первой частоты гидроупругих колебаний от размеров объема жидкости под крышкой. Установлено, что влияние воды проявляется во всем исследованном диапазоне, а с увеличением глубины частота гидроупругих колебаний снижается.
Литература
1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. - М.: Физматгиз. - 1967. - 444 с.
2. Вшьш пдропружш коливання кришок пдротурбш / [I. Веремеенко, О. Зеленська, Б. Кантор, О. Сселева, Т. Медведовська, О. Стрельшкова ]// Машинознавство. - Львiв: 2003. - № 8 (74). С. 3-7.
3. Макарьянц Г.М. Исследование виброакустических характеристик трубопровода при его силовом нагружении с использованием программного комплекса ANSYS / Г.М. Макарьянц, А.Б. Прокофьев, Е.В. Шахматов, Г.В. Шестаков. - Режим доступа: http://www.publications.ssau.ru/files/STAT/194.pdf
4. Макарьянц Г.М. Использование численных методов при моделировании собственных колебаний трубопроводных системы / Г.М. Макарьянц, А.Б. Прокофьев, Е.В. Шахматов.- Режим доступа: http:/www.publications.ssau.ru/ files/STAT/193.pdf
5. ANSYS, Inc. Release Theory Reference
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич - М.: Мир, - 1975. - 541 с.
7. Schroeder, Marcus. Finite element solution of fluid structure interaction problems // Shock & vibration symposium. - San diego, 1975.
8. Гонткевич В.С. Собственные колебания оболочек в жидкости / В.С. Гонткевич. - Киев.: Наукова думка. - 1964. - 103 с.
9. Кантор Б.Я. Исследование напряженно-деформированного состояния крышки гидротурбины и возможностей совершенствования конструкции / Б.Я. Кантор, С.А. Андрющенко, С.Ю. Мисюра // Вюник НТУ "ХПГ. Динамша i мщшсть машин". - 2010. - Вип. 69. - С. 58-67.
